7) Considere los ejercicios 2.b) y 2.c) a) Encuentre un nuevo modelo en variable de estados considerando la transformación dada por:

Transcripción

1 7 Consdere los ejerccos.b.c a Encuenre un nueo modelo en arable de esados consderando la ransformacón dada por: x x x x b Para.d halle la ransformacón por auoalores Resoleremos el ncso a para el ejercco.c Recordemos que el modelo en arables de esado para ese ejercco resuló: x x R L RC x R x L R u L x x e Enonces para enconrar el nueo modelo en arables de esado debemos enconrar prmero la denomnada marz de ransformacón P, a parr del ssema de ecuacones dado sabendo que x x P donde x x es el ecor de arables de esado orgnal es el ecor de arables de esado del nueo modelo por lo ano P es una marz de x Para ello debemos enonces escrbr a x x en funcón de Enonces de x x x x Sumando dchas ecs. llegamos a x Del msmo modo, resándolas llegamos a x Despejando x x de resula: 3 x 4 x

2 x P P Luego s desarrollamos x P como x P P Y enonces x P P 5 x P P Es fácl er gualando 3 Y 4 con 5 que P / ; P / ; P / ; P / enonces P Una ez que enemos la marz de ransformacón de semejanza Podemos hallar el modelo ransformado como u C Du donde P P P C CP P es la nersa de P que puede obenerse nrendo D D esa marz con alguno de los méodos a conocdos o en ese caso usando el ssema de ecuacones dado x x x x a que es fácl er que s x P enonces P x luego P El nueo modelo resulane será

3 R RC L RC R RC L RC R R L L C D = / / 7b En ese ejercco se nos pde obener el modelo ransformado usando la ransformacón por auoalores. Esa ransformacón parcular ene la propedad que la nuea marz a a resular dagonal con los auoalores de la marz orgnal en la dagonal prncpal. Eso úlmo nos a a permr smplfcar cálculos como el de la nuea marz de ranscón ransformada e.. e... e donde los,,..., n son los auoalores del... n e ssema ano orgnal como ransformado a que las ransformacones de semejanza manenen los auoalores Consderemos el caso del ejercco d x 4 x x x u x x e El proceso en ese caso sgue los sguenes pasos: Hallar los auoalores de Para ello gualamos a cero el deermnane de I, donde I es la marz dendad de orden n. Es decr 4 con lo que resula 3 se obenen 5 Hallar los auoecores Para enconrar los auoecores debemos hallar el ecor que para cada auoalor cumpla:

4 4 Enonces el auoecor para saldrá de: 4 que nos da dos ecuacones lnealmene dependenes de las cuales obenemos una relacón enre las componenes de por lo ano podemos despejar una componene del auoecor en funcón de la ora: Podemos darle a una de esas componenes un alor k que deseemos dsno de cero de modo que el prmer auoecor será k Del msmo modo se puede llegar a k 3 Fnalmene podemos armar la marz P. Para ello formamos las columnas de P con los auoecores hallados. S consderamos k= por ejemplo luego P= 4 Y ahora podemos consrur el nueo modelo ransformado aplcando una ez más como en odas las ransformacones de semejanza el hecho que u u D C

5 donde P P P C CP D D Es mporane noar que no necesamos hacer la cuena para hallar a que como ancpamos a a ser una marz dagonal con los auoalores en dcha dagonal en el orden en que los auoecores fueron ubcados como columnas de P. Es decr, en ese caso como la prmera columna de P se formó con el auoecor De modo que lo cual puede erfcarse hacendo P P 5 el prmer auoalor de la dagonal será el segundo El resulado en ese caso fnal para el modelo ransformado es: / 7 5 / 7 C D = 5 lgunos punos para recordar: Ha nfnas marces P que permen aplcar la ransformacón por auoalores, a que arando el orden de las columnas o el alor de k aría P pero gual se cumple que auoalores en dcha dagonal en el orden correspondene ambén lo serán las nueas marces de ranscón ransformadas sempre que se aplque esa ransformacón será dagonal con los Las ransformacones de semejanza son ransformacones lneales la ransformacón por auoalores sólo es una posble. Cualquer combnacón lneal ndependene de las arables de esado orgnales en funcón de oras nueas conduce a una ransformacón de semejanza. S ben los dsnos modelos semejanes en arables de esado dferen en las marces,, C D las marces de ranscón. Recordar que odos los modelos semejanes enen los msmos auoalores represenan el msmo ssema que es únco ene una únca ecuacón dferencal un únco h