CICLO BASICO DE INGENIERIA. Aplicar los conceptos fundamentales relacionados con el algebra matricial y calculo de determinantes.

Transcripción

1 REPÚLI OLIVRIN DE VENEZUEL MINISTERIO DEL PODER POPULR PR L DEFENS UNIVERSIDD NIONL EPERIMENTL DE L FUERZ RMD NÚLEO ZULI DIVISIÓN DE SERETRÍ RRER: SIGNTUR: MT - NOMRE DEL PROFESOR: ILO SIO DE INGENIERI LGER LINEL POLNO NIROIS UNIDD I. MTRIES Y DETERMINNTES OJETIVO GENERL: plcar los concepos undamenales relaconados con el algebra marcal y calculo de deermnanes.. Marz. Dencón Es una dsrbucón ordenada recangular de elemenos de un conjuno numérco las cuales se encuenran dsrbudos en líneas horzonales y vercales llamadas las y columnas respecvamene las cuales se encuenran medas enre dos paréness o corcheas.. Noacón a j mxn j m n M : Elemeno genérco : Es el orden : la la en que esa el numero : la columna que esa el numero : número oal de las : numero oal de columnas a j mxn De manera desarrollada: Por ejemplo el número:

2 a a a : es el número correspondene a la la y a la columna : es el número correspondene a la la y a la columna : es el número correspondene a la la y a la columna. Tamaño (mxn) Es dado por el número de las y columnas que enga. Por ejemplo se la marz Q: m es el número oal de las = n es el numero oal de columnas = Por lo ano el amaño de la marz es x. Igualdad de Marces Las marces son guales s enen el msmo orden, dmensones y sus elemenos correspondenes son guales.. Tpos de marces a. Marz la Es aquella marz que ene una sola la y varas columnas (Una línea horzonal). b. Marz olumna Es aquella marz que ene una sola columna y varas las. c. Marz nula Es aquella marz cuyos elemenos son odos guales a cero

3 d. Marz cuadrada Es aquella marz cuyo número de las es gual al número de columnas. e. Marz Trangular Es la marz cuadrada cuyos elemenos que esán a un lado de la dagonal son nulos. e. Marz Trangular Superor Es la marz rangular donde odos los elemenos que esán por debajo de la dagonal prncpal son cero y algunos que esén por encma de la dagonal pueden ser cero (no odos). Ó e. Marz Trangular Superor Es la marz rangular donde odos los elemenos que esán por encma de la dagonal prncpal son cero y algunos que esén por debajo de la dagonal pueden ser cero (no odos).. Marz dagonal Es la marz cuadrada donde los elemenos que esán por encma y por debajo de la dagonal prncpal, es decr, que no perenecen a la dagonal son cero. 9 E F 7 G H

4 g. Marz escalar Es la marz cuadrada por el cual la dagonal esa ormada por un msmo numero. h. Marz dendad Es la marz cuadrada donde los componenes de la dagonal prncpal son y en odas las demás poscones son cero.. LGER DE MTRIES. Suma de marces Para poder sumar dos o más marces es necesaro que el orden de las marces sumando sean odos guales. Es decr: Ejemplo:.. Propedades de la suma de marces - Es asocava I J K mxn a j mxn b j j j j b a b a 7 7

5 - Es conmuava - El elemeno neuro: es el cero o marz nula = Marz nula - Toda marz ene su marz opuesa que es - = Marz Opuesa. Produco de un escalar por una marz Dado un numero α y una marz, ano α como los elemenos de son números, denmos el produco de ese numero α por la marz a ora marz cuyos elemenos son los de mulplcados por α. Es decr es la mulplcacón de un número por cada uno de los elemenos de la marz. Ejemplo: a j mxn a j aj (Escalar) Perenece a los reales Hallar: Propedades de produco de un escalar por una marz: y = dos marces, = Perenece a los reales....

6 . Producos de marces uando queramos mulplcar marces es necesaro que el número de columnas de la prmera marz sea gual al número de las de la segunda marz, para poder eecuar la operacón debemos mulplcar cada elemeno de cada la por cada elemeno de cada columna y sumando algebracamene. La marz resulane debe ener anas las como las enga la prmera marz y anas columnas como columnas enga la segunda marz. Es decr: ( ) a j mxn ( ) b j nxp Ejemplo:......( )..( ) Propedades de producos de marces - socava - Dsrbuva por la zquerda - Dsrbuva por la derecha ( ) ( ) =.La marz undad es el elemeno neuro para el produco de marces - El produco de marces no es conmuavo. Transpuesa de una marz Se denomna marz ranspuesa de una marz denoada, a la marz cuyas columnas son las las de. Se obene al nercambar las por columnas. S a j a j nxm mxn

7 Ejemplo:. Propedades Transpuesa de una marz - - S y son del msmo amaño enonces -, = Perenece a los reales - (Recuerde que la propedad conmuava no se cumple e el produco de marces) -. Propedades de Poencas en marces aso especal:, eso es en los números reales pero esa condcón no se cumple para la marces, pues la marces no cumple con la propedad conmuava de la mulplcacón, para operacones con marces ocurre eso. Sendo. Marz smérca Una marz cuadrada es smérca s se cumple que =. Las condcones de smería son: - Que los exremos de la dagonal secundara no camban. - La marz ene ser cuadrada. 7. Marz smérca x... n n ).(

8 Es la marz opuesa a su ranspuesa, sus elemenos dagonales son odos nulos y cada una de las sumas es el opueso del smérco con respeco a la dagonal. Ejemplo sea la marz :. Operacones elemenales de una marz. Inercambar las j. Mulplcacón de una la por un escalar. Susucón de una la por la suma de ella más veces ora la, 9. Marz equvalene Son las marces que se pueden obener una de la ora por medo de una sucesón na de operacones elemenales sobre renglones. Se denoa Ó Ejemplo: y son equvalenes pues s se mulplca por ½ la la de la marz obenemos la la de la marz.. Marz elemenal Es una marz obenda de la marz dendad por una sola operacón elemenal en las las. Ejemplo: c c,, j F Se le aplcó una operacón elemenal a la marz para que uera gual a la marz

9 . Marz escalonada Es escalonada s el número de ceros anerores a la prmera componene dsna de cero de una la crece la por la hasa llegar a las en la que odos sus componenes sean gual cero, eso es s exsen componenes dsnos de cero. Es decr, que exsa una línea complea con ceros y esa sea la ulma la, aunado a eso el prmer elemeno no nulo de cada la ene que ser. Ejemplo : Ejemplo :. Marz escalonada reducda Una marz esa de la orma escalonada reducda por las, cuando el prmer elemeno no nulo de cada la es, y los demás elemenos de la columna en la cual aparecen es cero. El prmer elemeno no nulo de una la esa a la derecha del prmer elemeno no nulo de la aneror. Las las ormadas exclusvamene por ceros s aparecen esán de úlmo. : ). : ). ). I I I D 7 7. Se cambo la la por la la. Se mulplco la la por -. : sgnca que la operacón elemenal se esablece en la la. Se mulplco por a la la para luego sumarle la la. : sgnca que la operacón elemenal se esablece en la la Pvoe o elemeno dsngudo

10 . Rango de una marz Se llama rango de una marz al número de las no nulas de su orma escalonada reducda por las. Noacón r[] El rango de una marz sempre es menor o gual que el número de las. El rango no puede ser mayor que las columnas. Ejemplo sea la marz D escalonada llevarla a la orma escalonada reducda por las: Observando la marz, el numero de las no nulas es gual a por lo ano el rango de la marz es, r[] = D D D : : : Marz Escalonada Marz Escalonada Reducda Marz Escalonada Marz Escalonada Reducda