INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA

Transcripción

1 INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA Tano el nducor, como el capacor, que se analza más adelane, son elemenos pasvos capaces de almacenar y enregar candades fnas de energía. A dferenca de una fuene deal, esos elemenos no pueden sumnsrar una candad lmada de energía o una poenca promedo fna en un nervalo de empo de duracón nfna. Aunque el nducor y la nducanca se defnrán desde un puno de vsa esrcamene de crcuos, es decr, por medo de una ecuacón correne-volaje, se endrá una mejor comprensón de la defncón s se hacen unos pocos comenaros acerca del desarrollo hsórco del campo magnéco. A prncpos del sglo XIX, el cenífco danés Oersed demosró que un conducor con correne producía un campo magnéco, hacendo ver que el movmeno de la aguja de una brújula se veía afecado en presenca de un conducor con correne. Poco después, en Franca, Ampere hzo algunas medcones cudadosas que mosraron que ese campo magnéco esaba relaconado lnealmene con la correne que lo producía. El sguene paso se do unos vene años después, cuando el expermenador nglés Mchael Faraday y el nvenor noreamercano Joseph Henry descubreron cas smuláneamene que un campo magnéco varable podía nducr un volaje en un crcuo cercano. Ellos mosraron que ese volaje era proporconal a la asa de cambo en el empo, de la correne que producía el campo magnéco. A la consane de proporconaldad ahora se le llama nducanca y se denoa por L, enonces, d v = L d donde debe observarse que v e son ambas funcones del empo. Cuando se quera hacer hncapé en eso, se usarán los símbolos v() e (). En la sguene fgura se muesra el símbolo para el nducor, y se debe noar que se ha usado la convencón pasva de sgnos. La undad de nducanca es el henry (H), y la ecuacón de defncón muesra que el henry es sólo una expresón cora para un volsegundo / ampere. Los sgnos de referenca para el volaje y la correne se muesran en el símbolo para un nducor v = L d/d. El nducor cuya nducanca esá defnda en la ecuacón aneror es un modelo maemáco; es un elemeno deal que se puede usar para aproxmar el comporameno de un dsposvo real. Un nducor físco se puede hacer enrollando cera candad de alambre en forma de bobna. Eso es muy efecvo para aumenar la correne que orgna el campo CIRCUITOS DE CA- 7

2 magnéco, y ambén para aumenar el "número" de crcuos vecnos en donde se puede nducr un volaje de Faraday. El resulado de ese efeco doble es que la nducanca de una bobna es aproxmadamene proporconal al cuadrado del número de vuelas compleas del conducor que la forma. Por ejemplo, un nducor, o "bobna", que enga la forma de una hélce larga de paso muy pequeño, ene una nducanca de µn 2 A/s, donde A es el área de la seccón ransversal, s es la longud axal de la hélce, N es el número de vuelas del alambre, y µ (mu) es una consane del maeral que hay denro de la hélce llamada permeabldad. Para el espaco lbre (y muy aproxmadamene para el are), µ = µo = 4π x 0-7 H/m. Los nducores físcos deben verse en un curso smuláneo de laboraoro. Los emas relavos al flujo magnéco, permeabldad, y los méodos para usar las caraceríscas de la bobna físca para calcular una nducanca adecuada para el modelo maemáco, se raan en los cursos de físca y en los de eoría de campos elecromagnécos. Ahora se analzará la ecuacón aneror para deducr algunas de las caraceríscas elécrcas de ese modelo maemáco. Esa ecuacón muesra que el volaje en un nducor es proporconal a la asa de cambo (en el empo) de la correne que pasa a ravés de él. En parcular, muesra que no hay volaje en un nducor que lleva una correne consane, ndependenemene de la magnud de esa correne. De acuerdo con eso, se puede ver aun nducor como un "corocrcuo para CD". Oro hecho que esa ecuacón pone en evdenca esá relaconado con una asa de cambo nfna en la correne del nducor, al como la que causa un cambo abrupo en la correne, de un valor fno a oro valor fno. Ese cambo súbo o dsconnuo en la correne debe esar asocado con un volaje nfno en el nducor. En oras palabras, s se desea producr un cambo abrupo en la correne del nducor, se debe aplcar un volaje nfno. Aunque eórcamene puede ser acepable una funcón de excacón con volaje nfno, nunca podrá llegar a ser pare de un fenómeno mosrado por un dsposvo real. Como prono se verá, un cambo abrupo en la correne del nducor requere un cambo abrupo en su energía almacenada, y ese cambo repenno en energía requere una poenca nfna en ese nsane; de nuevo, una poenca nfna no es pare del mundo físco real. Para evar volajes y poencas nfnas, no debe permrse que la correne en un nducor cambe bruscamene de un valor a oro. La nducanca se defnó por medo de una senclla ecuacón dferencal, d v = L d y; a parr de ella, se puderon deducr varas conclusones acerca e las caraceríscas de un nducor. Por ejemplo, se vo que un nducor se puede consderar como un corocrcuo para correne dreca, y ambén se acordó que no se puede permr para que la correne de un nducor cambe abrupamene de un valor a oro porque eso requere asocarle un volaje y una poenca nfnos. La ecuacón de defncón del nducor conene aún más nformacón; escra en forma lgeramene dferene, d = vd (2) L y que nva a negrarla. Prmero se consderarán los límes enre los cuales se evaluarán ambas negrales. Se desea la correne en el empo, por lo que ese par de candades proporcona los límes superores de las negrales en ambos lados de la ecuacón, respecvamene; los límes nferores ambén se pueden expresar en forma general suponendo que la correne es (o) cuando el empo es o. Enonces CIRCUITOS DE CA- 8

3 () ( ) d = L 0 0 L () ( 0 ) = vd vd () vd ( ) 0 = L + 0 (3) La ecuacón (2) expresa el volaje del nducor en érmnos de la correne, menras que la ecuacón (3) da la correne en érmnos del volaje. Hay oras formas posbles para esa úlma ecuacón. Se puede escrbr la negral como una negral ndefnda ncluyendo una consane de negracón k: 0 () vd k = L + Tambén se puede suponer que se esá resolvendo un problema real en el cual la eleccón de 0 como asegura que no había correne o energía en el nducor. Por eso, s ( 0 ) = ( - ) = 0, enonces (4) () = L vd (5) La ecuacón (5) va a causar problemas con ese volaje en parcular. La ecuacón se basó en la suposcón de que la correne era cero cuando = -. Eso debe ser cero en el mundo físco real, pero se esá rabajando en el erreno del modelo maemáco; los elemenos y las funcones de excacón son odos deales. La dfculad surge después de negrar, pues se obene: ( ) = 0.6sen5 y al raar de evaluar la negral en el líme nferor, () = 0.6 sen sen (- ) El seno de ± no esá defndo; lo msmo podría represenarse por una consane desconocda: () = 0.6 sen 5 + k y se ve que ese resulado es dénco al obendo cuando se supuso una consane arbrara CIRCUITOS DE CA- 9

4 de negracón en la ecuacón (4). No debe hacerse un juco a la lgera, con base en el ese ejemplo, acerca de qué méodo se usará para sempre; cada uno ene sus venajas, dependendo del problema en parcular y de la aplcacón. La ecuacón (3) represena un méodo largo y general, pero muesra claramene que la consane de negracón es una correne. La ecuacón (4) es una expresón más concsa de (3), pero la nauraleza de la consane de negracón esá suprmda. Por úlmo, (5) es una excelene expresón ya que no requere la consane; sn embargo, sólo se aplca cuando la correne es cero en = - y cuando la expresón analíca para la correne no esá ndeermnada ahí. Ahora se presará aencón a la poenca y la energía. La poenca absorbda esá dada por el produco de la correne y el volaje d p = v = L W d. La energía W L acepada por el nducor se almacena en el campo magnéco alrededor de la bobna y se expresa como la negral de la poenca sobre el nervalo de empo deseado, y por lo ano () ( ) 2 2 {[ () ] [ ( )] } pd = L d = L d = L d d W L () W L ( 0 ) = 2 L{[()] 2 - [( 0 )] 2 } J (6) donde de nuevo se ha supueso que en 0 la correne es (o). Al usar esa expresón para la energía, se acosumbra suponer que se elge un valor de o para el que la correne es cero; ambén se acosumbra suponer que en ese nsane la energía vale cero. Enonces se ene smplemene que W L () = /2L 2 (7) en la cual se sobrenende que nuesra referenca para energía cero es cualquer nsane en el que la correne en el nducor vale cero. En cualquer empo subsecuene para el que la correne sea cero, ampoco habrá energía almacenada; sempre que la correne sea dferene a cero, ndependenemene de su dreccón o sgno, se almacena energía en el nducor. De eso se nfere que en algún momeno deberá enregarse energía al nducor para recuperarla después. Toda la energía almacenada puede recuperarse de un nducor deal; en el modelo maemáco no hay cargos de almacén o comsones para los agenes. Pero una bobna físca debe fabrcarse con alambre real, por lo que sempre endrá una ressenca asocada a ella. Enonces la energía ya no se podrá almacenar y recuperar sn pérddas. Ahora se hará una recapulacón, enumerando las caraceríscas de un nducor que resulan de su ecuacón de defncón: CIRCUITOS DE CA- 0

5 . S la correne que crcula en un nducor no esá cambando con el empo, enonces el volaje enre sus ermnales es cero. Por lo ano, un nducor se compora como corocrcuo para cd. 2. Puede almacenarse una candad fna de energía en un nducor aun, cuando el volaje enre sus ermnales sea cero, por ejemplo, cuando la correne es consane. 3. Es mposble poder cambar la correne de un nducor en una candad fna en un empo cero, ya que eso requere un volaje nfno en el nducor. Aunque más adelane será venajoso planear la hp6ess de que al volaje puede ser generado y aplcado aun nducor, pero por el momeno se evarán ales funcones de excacón, o ales respuesas. Un nducor resse un cambo abrupo en la correne que crcula a ravés de él en forma smlar a como una masa resse un cambo abrupo en su velocdad. 4. El nducor nunca dspa energía, sólo la almacena. Aunque eso es cero, para el modelo maemáco, no lo es para un nducor real. El elemeno pasvo que sgue es el capacor. La capacanca C se defne por la relacón volaje-correne dv = C (8) d donde v e sasfacen las convencones para un elemeno pasvo, como se ve en la sguene fgura 3. A parr de la ecuacón (8) se puede calcular la undad de capacanca como un ampere-segundo sobre vol, o coulomb sobre vol, y ahora se defne el farad (F) como un coulomb sobre vol. Las marcas de referenca para el volaje y la correne se muesran en el símbolo de un capacor de manera que = C dv/d. De nuevo, el capacor cuya capacanca se defne por medo de la ecuacón (8) es un modelo maemáco de un dsposvo real. La consruccón del dsposvo físco sugere el símbolo mosrado en la fgura aneror, cas de la msma forma en que símbolo helcodal usado para el nducor represena al alambre embobnado en elemeno físco. Un capacor físcamene consse en dos superfces conducoras sobre las cuales puede almacenarse la carga, separadas por una fna capa de aslane que ene una ressenca muy grande. S se CIRCUITOS DE CA-

6 supone que esa ressenca es lo sufcenemene grande para ser consderada nfna, enonces las cargas guales y de sgnos opuesos colocadas en las "placas" nunca se recombnarán, por lo menos a ravés de nnguna rayecora denro del elemeno. Imagínese ahora algún dsposvo exerno, al como una fuene de correne, conecado a ese capacor y ocasonando que una correne fluya enrando por una de las placas y salendo por la ora. Correnes guales esán enrando y salendo de las ermnales del elemeno, y eso no es más que lo que se espera de cualquer elemeno de crcuo. Ahora se examnará el neror del capacor. La correne posva que enra a una de las placas represena carga posva que se mueve haca esa placa a ravés de su ermnal; esa carga no puede pasar al neror del capacor, por lo cual se acumula en la placa. De hecho, la correne y la carga en aumeno esán relaconadas por la famlar ecuacón dq = d Ahora se planea un problema complcado suponendo que esa placa es un nodo muy grande, y aplcando la LCK. Aparenemene no se cumple; la correne esá llegando a la placa desde el crcuo exerno, pero no esá salendo de ella haca el "crcuo nerno". Esa paradoja molesó a un famoso cenífco escocés, James Clerk Maxwell hace cerca de un sglo, y la eoría elecromagnéca unfcada que desarrolló en ese enonces propone una correne de desplazameno que esá presene sempre que un campo elécrco o volaje varíe con el empo. La correne de desplazameno que fluye nernamene enre las placas del capacor es exacamene gual a la correne de conduccón que fluye por las ermnales del capacor; por lo ano, la ley correnes de Krchhoff se sasface s se ncluyen ano la correne de conduccón como la de desplazameno. Sn embargo, el análss de los crcuos no se ocupa de esa correne nerna de desplazameno, y como aforunadamene es gual a la correne de conduccón, se puede suponer que la hpóess de Maxwell relacona la correne de conduccón con el volaje cambane en el capacor. La relacón es lneal, y la consane de proporconaldad es, obvamene, la capacanca C: dsp = = Un capacor fabrcado con dos placas conducoras paralelas de área A, separadas una dsanca d, ene una capacanca C = εa/d, donde ε es la permvdad, una consane del maeral aslane enre las placas, y donde las dmensones lneales de las placas conducoras son mucho mayores que d. Para el are o el vacío, ε = ε 0 = pf/m. Los concepos de campo elécrco y correne de desplazameno y la forma generalzada de la ley de correnes de Krchhoff son emas más apropados para cursos de físca y de eoría elecromagnéca, como la es ambén la deermnacón de un modelo maemáco adecuado para represenar aun capacor físco en parcular. Se pueden descubrr varas caraceríscas mporanes del nuevo modelo maemáco a parr de su ecuacón de defncón (8). Un volaje consane en el capacor requere que la correne a ravés de él sea cero; por la ano, un capacor es un "crcuo abero para la cd". El símbolo del capacor, de hecho, represena eso. Tambén es evdene que un salo C dv d CIRCUITOS DE CA- 2

7 súbo en el volaje requere una correne nfna. Así como se proscrberon los cambos abrupos en la correne del nducor y los volajes nfnos asocados, usando argumenos físcos, no se permrán cambos abrupos en el volaje del capacor; la correne (y poenca) nfnas que resularían no son físcas. (Esa resrccón se elmnará cuando se suponga la exsenca de una correne mpulsva.) El volaje del capacor se puede expresar en érmnos de la correne, negrando (8). Prmero se obene dv = d C y luego se negra enre los nsanes 0 y y enre los volajes correspondenes v( 0 ) y v(): v ) = d + v( ) C 0 ( 0 (9) La ecuacón (9) ambén se puede escrbr como una negral ndefnda más una consane de negracón: v ) = d + k C ( (0) Fnalmene, en muchos problemas reales, 0 se puede selecconar como - y v(- ) como cero: v( ) = d C () Como la negral de la correne sobre cualquer perodo de empo es la carga acumulada en ese perodo en la placa del capacor haca la cual fluye la correne, es obvo que la capacanca podría haberse defndo como q = Cv La smlud enre las dversas ecuacones negrales nroducdas en esa seccón y las que aparecen en el análss de la nducanca es mpresonane, y sugere que la dualdad que se observa enre las ecuacones de mallas y de nodos en las redes ressvas puede exenderse para nclur ambén a la nducanca y la capacanca. Algunas caraceríscas mporanes de un capacor ahora son evdenes:. No hay correne a ravés de un capacor s el volaje no camba con el empo, Por lo ano, un capacor se compora como crcuo abero para la cd. 2. Puede almacenarse una candad fna de energía en un capacor aun cuando la correne a ravés de él sea cero, como cuando el volaje del capacor es consane. CIRCUITOS DE CA- 3

8 3. Es mposble poder cambar, en una candad fna, el volaje en un capacor en un empo de cero, ya que eso requere una correne nfna a ravés del capacor. Más adelane será úl esudar la hpóess de que se puede generar una correne así y aplcarla a un capacor, por el momeno se evarán ales funcones de excacón, o ales respuesas. Un capacor resse un cambo abrupo en su volaje en forma smlar a como un resore resse un cambo abrupo en su desplazameno. 4. Un capacor nunca dspa energía, sólo la almacena. Aunque eso es cero para el modelo maemáco, no lo es para un capacor físco. Es neresane ancpar el esudo sobre la dualdad releyendo los cuaro enuncados anerores, con ceras palabras remplazadas por sus "duales". S se nercamban capacor e nducor, capacanca e nducanca, volaje y correne, enre ermnales ya ravés de las ermnales, crcuo abero y corocrcuo, resore y masa, y desplazameno y velocdad (en cualquera de las dos dreccones), se obenen los cuaro enuncados que se acaban de dar para nducores. CIRCUITOS DE CA- 4