LA INTEGRAL INDEFINIDA
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- Pascual Córdoba Sandoval
- hace 9 años
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1 Inegrales LA INTEGRAL INDEFINIDA Inegral indeinida: Primiiva (aniderivada) Primiivas (Aniderivadas) Dada la unción F (, es ácil hallar su derivada F (. El proceso inverso, enconrar F ( a parir de F ( se llama inegración o aniderivación. F ( (derivación) F ( ( (aniderivación) F ( A la aniderivada de ( se le llama primiiva de esa unción. Para ver que la primiiva de una unción es correca basa con derivar, pues: F ( es una primiiva de ( F ( ( Si F(, su derivada es F ( ; enonces: una primiiva de ( será F(. NOTA: Ora primiiva de ( es, por ejemplo, F (, pues derivando: F( ( ) (. Todas la unciones de la orma F( c, donde c es un número, son primiivas de ( Si F ( ln( ), su derivada es F ( ; en consecuencia, una primiiva de ( será F ( ln( ). NOTA: Como en el ejemplo anerior, odas las unciones de la orma F( ln( ) c son primiivas de (. Inegrales indeinidas Dada una unción (, si F ( es una de sus primiivas, la inegral indeinida de ( es la unción F( c, donde c es un número que se llama consane de inegración. Se escribe así: ( d F( c, (d indica la variable de inegración) En consecuencia, la derivada y la inegral son operaciones inversas; de manera análoga a como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la eponencial y el logarimo. Eso es, al aplicar sucesivamene la inegral y la derivada a una unción se obiene la misma unción: d ( d d ( y d ( d ( d En la segunda igualdad debería sumarse una consane. No lo hacemos para que quede más clara la idea undamenal. NOTA: Nos permiimos adverir que para poner inegrar con ciero éio es absoluamene necesario saber derivar muy bien. Si el lecor no domina las écnicas de derivación debería releionar sobre el valor del iempo anes de seguir adelane. José María Marínez Mediano
2 Inegrales ( ) d c d ln( ) c d d d d. Puede comprobarse que c. Puede comprobarse que ln( ) c Propiedades de la inegral indeinida () La inegral de un número por una unción es igual al número por la inegral de la unción: k ( d k ( d Eso signiica que los números que muliplican a una unción pueden enrar y salir del ( inegrando, según convenga. Así, por ejemplo: ( d k ( d k d. k k () La inegral de una suma de unciones es igual a la suma de las inegrales de cada una de esas unciones: ( ( ) d ( d d Esas propiedades signiican que la inegral se compora como un operador lineal. Número por unción: ( ) d ( ) d ( c) c (da igual poner c que c ). OJO: Esa propiedad sólo se reiere a acores numéricos. Así: ( ) d ( ) d Suma de unciones: ( ) d d d ( c) ( c ) c (las consanes c y c no son necesarias; basaría con poner una sola c). Las propiedades aneriores se uilizan según convenga, de denro a uera o de uera a denro. Así, por ejemplo: 8 d 6 d 6 d 6(ln( ) c) 6ln( ) c Siempre se buscará un inegrando del que sepamos hallar la primiiva. José María Marínez Mediano
3 Inegrales Relación de inegrales inmediaas Conviene saber de memoria la inegral de las unciones elemenales. Las más usuales son las siguienes. TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Función simple Función compuesa Ejemplos kd k d ; ( )d n n d, n n d d d ln n n d, n d ; d n d d d ln d ln( ) a a a d a d d ; d ln a ln a ln ln e d e e d e e d e ; e ( ) d e cos d sen cos d sen cos( ) d sen ( ) sen d cos sen d cos 8 sen d cos d ag d ag d ag cos cos cos ( ag ) d ag ( ag ) d ag ( ag ( )) d a -) / d arcsen d arcsen d arcsen (ln (ln d arccos d arccos e d arccose e d arcag d arcag d arcag ( NOTA: En odos los casos se omie (por ala de espacio) la suma de la consane de inegración, c. ( ( d c 6 ( ) ( ) 6 d 6 sin cos d sin c c e d e c d ln( 6) c 6 cos d sen c José María Marínez Mediano
4 Inegrales Técnicas y méodos de inegración Descomposición elemenal Siempre que sea posible se operará en el inegrando, buscando escribirlo como ora epresión equivalene que sea ácil de inegral; para ello hay que ener presenes las órmulas de inegrales inmediaas. Las operaciones algebraicas básicas son: muliplicar o dividir por una consane apropiada; sumar o resar; eecuar las operaciones indicadas ( ) d d d d = c d d d d d c ( ) ( ) d d d d d ln c d 6 d c ln( 6 ) d d d d = = d d arcan ln( ) c sen d sen sen d sen cos d send ( sencos d = = cos cos c (En la ª inegral se aplica la órmula n n d c.) n Para aplicar ese méodo es necesario conocer muy bien las órmulas de inegrales inmediaas; ambién es imprescindible operar con solura, como se pone de maniieso a coninuación. Ejemplo: Para calcular d es imprescindible saber que 9 ( ) ( d arcsen ( c. [El elemeno undamenal es que aparece la raíz cuadrada ( ( ) y el érmino ( ) ; de donde supondremos que (.] A coninuación hay que saber ransormar la epresión buscando que aparezca ( ( ) en el inerior de la raíz y ( en el numerador. El proceso puede ser el siguiene: d = d = d = d = 9 ( ) ( ) 9 9 = arcsen c Compruébese, derivando, que el resulado es correco. José María Marínez Mediano
5 Inegrales Descomposición de racciones racionales en racciones simples Si la descomposición en racciones no es an ácil como las visas en ejemplos aneriores, puede uilizarse el proceso que se describe a coninuación. P( Las racciones racionales son de la orma. Si el denominador es de grado menor o igual Q( P( R( que el numerador, la epresión anerior puede escribirse así: C(, donde C( Q( Q( y R( son, respecivamene, el cociene y el reso de la división. (Como debe saberse, el grado de R( es menor que el de Q() Con eso: P( R( d C( d d Q( Q( La inegral que puede presenar diiculades es la úlima. Vamos a resolverla en dos supuesos áciles: m m n () d () d a b a b c La inegral () es inmediaa (se resuelve por descomposición simple), pues: m m a ( m d d d a b c a b a a b ln ( ) ln( ) ( ) a d d c 7 ln(7 ) Para hallar d hay que dividir anes (el méodo de Ruini es adecuado). Se obiene: De donde d d d d Por ano: d ln( ) c Para resolver la inegral () hay que deerminar las raíces del denominador, a b c 0, y pueden darse res casos:.º Hay dos raíces reales simples: =, =..º Hay una sola raíz real doble, =..º El denominador no iene raíces reales. m n A B En el caso.º la descomposición que se hace es: a b c a ) ( m n A B En el caso.º se hace la descomposición: a b c a ) ( ) ( ( ) José María Marínez Mediano
6 Inegrales 6 En el caso.º la descomposición es: donde a b c ( p q) a m n b c k(a b) B a b c ( p q), Caso.º Para hallar la inegral d se procede así: Se hallan las raíces de 0. Son = y =. Por ano, la descomposición en racciones simples será: A B A( ) B( ) = A( ) B( ) ( )( ) Calculamos A y B dando valores a : si = : = A A = / si = : = B B = / También puede hacerse ideniicando coeicienes: A B A A( ) B( ) 0 A B A B 0 A B B / / Con eso: d d d = ln( ) ln( ) c Caso.º d Las raíces de 0 son =, doble. Por ano: A B A B( ) = A B( ) ( ) ( ) Calculamos A y B dando valores a : si = = A A = si = 0 = A + B B = Con eso: d d d = ln( ) c ( ) Caso.º d ( ) Se hace la descomposición: ( ) Obsérvese que el numerador: ( ) ; y que el denominador: ( ) Por ano: d = d d = ( ) = ln( ) arcan( ) c NOTA: Ese méodo de inegración puede usarse para cualquier grado del denominador Q(, aunque su aplicación resula más engorrosa. La mayoría de los libros de cálculo lo raen eplicado. / / José María Marínez Mediano
7 Inegrales 7 Méodo de inegración por pares Si se hace la dierencial del produco de dos unciones, u ( y v, se iene: d ( d ( ( d ( d ( d (Recuérdese que d ( ( d.) Despejando: ( d d ( ( d. Inegrando miembro a miembro se obiene la órmula de inegración por pares: ( ( d d ( d ( d ( ( d. Más escueamene: du v du v u dv vdu udv udv du v vdu ) udv uv vdu NOTA: Para la elección de las pares u y dv no hay un crierio concreo; puede ser recomendable omar dv como la pare más grande del inegrando que se pueda inegral con acilidad. El reso del inegrando será u. Ejemplo: Para inegral send puede omarse: () = u y sen d = dv d = du y v send cos () sen = u y d = dv cos d = du y v d () sen u y d = dv sen cos d du y v d Si se hace (): send cos cos d cos sen c Si se hace (): send sen cos d (La segunda inegral es más complicada que la primera. Por ano, esa parición no es acerada). Si se hace (): send sen ( sen cos d (También la segunda inegral es más complicada que la inicial. Tampoco es acerada esa parición). Oros ejemplos: e d. Tomando: u = du = d e d dv v e Se iene: e d = e e d = e e c ln d ln d ln 9 c José María Marínez Mediano
8 Inegrales 8 u ln du d Hemos omado: dv d v Para calcular e cos d hay que reierar el méodo. Veamos: Haciendo u e y cos d dv, se iene du e d, v = sen e cos d = e sen e sen d. La segunda inegral, e sen d, ambién debe hacerse por el méodo de pares. Tomando: u e y sin d dv du e d y cos v Luego, e cos d = e sen e sen d = e sen e ( cos e ( cos d e cos d = e sen e cos e cos d Por ano, e cos d = e sen e cos e cos d = e c (sen cos ) Ejercicios complemenarios Descomposición elemenal d d d ln( ) arcan c d d ln c Fracciones simples d d d ln( ln( c / 7 / 7 d d d ln( ) ln( ) d ln( 6 0) arcan( ) c 6 0 Inegración por pares ln d ln c cos d sen ln d = ln c cos 6sen 6cos c c José María Marínez Mediano
9 Inegrales 9 Cambio de variable La inegral de la orma ( u) du se puede escribir ( ) d, haciendo u y du d Eso es: ( u) du = ( ) d, Nauralmene, la segunda inegral deberá ser más ácil; y una vez resuela habrá que deshacer el cambio inicial. Para calcular ( ) d puede hacerse: Con eso: u ( ) u ( ) y du d d u du d du 6 u c ( ) 6 c Para calcular e d, si se hace: u du d d du u u Luego, e d e du e c e c La inegral d, hecha aneriormene, se puede resolver haciendo el cambio: 6 u 6 du 6d d du 6 Luego, d du du ln u c ln( 6 c 6 u 6 6 u 6 6 Para hallar d podemos hacer: Luego, u u udu u u du u u ; d udu u u c = ( ( c NOTA: Dependiendo de la unción que haya de inegrarse puede hacerse un cambio u oro; muchos de ellos son esándar. Ese eo no es el lugar para raar de ellos. El lecor ineresado puede consular una gran variedad de libros al respeco; enre oros: SalasHille, Calculus, Ed. Reveré. Piskunov, Calculo dierencial e inegral, Ed Mir Cambios de variable para inegrales rigonoméricas Los cambios más recuenes son:. Si el inegrando es una unción ( impar en cos, se hace el cambio sen =. (Una unción es impar en cos cuando al cambiar cos por cos la epresión cambia de signo. Por ejemplo, ( cos.) Así se obienen las siguienes equivalencias: sen sen = cos sen ; ag ag cos d cos d d d José María Marínez Mediano
10 Inegrales 0 Ejemplo: d (cos (cos d d ( ( ) d c sen cos ) d = = sen sen c. Si el inegrando es una unción ( impar en sen, se hace el cambio cos =. (Una unción es impar en sen cuando al cambiar sen por sen la epresión cambia de signo. Por ejemplo, ( sen.) Así se obiene las siguienes equivalencias: Ejemplo: cos = sen cos ; send d d sen ag ag cos d sen d sen cos ( sen d d ( = ( ) d c cos cos c cos ) d =. Si el inegrando no cambia al susiuir sen por sen y cos por cos, se hace el cambio ag =. Así se obiene las siguienes equivalencias: ag = ag cos cos d ( ag d d d sen ag sen ag cos sen cos Ejemplo: Para inegrar ag d, haciendo ag = se iene: ag d d = d Esa segunda inegral se hace por descomposición, pues dividiendo: Con eso, d = d = ln( ) c Deshaciendo el cambio inicial, se iene: ag ag ag d = ln( ag c ln(cos c José María Marínez Mediano
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