LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE

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1 CAPÍTULO CINCO LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE 5. Inroducción El concepo de ranformar una función puede empleare dede el puno de via de hacer un cambio de variable para implificar la olución de un problema; e decir, i e iene un problema en la variable x, e uiuye x por alguna ora expreión en érmino de una nueva variable, por ejemplo, x en y, anicipando que el problema endrá una formulación y una olución má encilla en érmino de la nueva variable y; luego de obener la olución en érmino de la nueva variable, e ua el procedimieno opueo al cambio previo y e obiene enonce la olución del problema original. El logarimo e un ejemplo encillo de una ranformación a la que ya no hemo enfrenado; u virud e que ranforma un produco en una uma, que e una operación mucho má encilla. Efecuando la operación invera, el anilogarimo, obenemo el reulado del produco. En el Capíulo 3 e eudió la Tranformada de Fourier. Sin embargo, ea ranformación eá reringida a funcione que ienden a cero lo uficienemene rápido conforme ± de modo que la inegral de Fourier converja. Ahora e removerá ea rericción. También queremo exender el eorema de la inegral de Fourier a aquello cao donde deeamo la repuea de un iema lineal a una exciación que comienza en, e decir, e definen condicione iniciale, y luego dearrollar ciera propiedade de la ranformada modificada reulane, la cual idenificaremo como la ranformada de Laplace. Una ranformación que e de gran imporancia en el cálculo e la de inegración, { } x I f () f () d F( x) El reulado de ea operación e una función F(x), la imagen de f() bajo la ranformación. Obérvee que la operación invera a la inegración e la derivación; i e deigna por D la operación de derivar, d/d, enonce { } D F( x) f ( x) Con frecuencia e necearia una ranformación má complicada. Si e iene una función f() de la variable, e define una ranformada inegral de f() como b Tranformada inegral de f T f f K(, ) d (5.) { } a

2 8 La función K(, ), la cual e una función de do variable, e denomina el núcleo de la ranformación. Obérvee que la ranformada inegral ya no depende de ; e una función F() de la variable, de la cual depende el núcleo. El ipo de ranformada que e obiene y lo ipo de problema para lo cuale e de uilidad dependen de do coa: el núcleo y lo límie de inegración. Para ciero núcleo K(, ), la ranformación (5.) al aplicare a forma lineale en f() dada, cambia ea forma a expreione algebraica en F() que involucran ciero valore de fronera de la función f(). Como conecuencia, ciero ipo de problema en ecuacione diferenciale ordinaria e ranforman en problema algebraico cuya incógnia e la imagen F() de f(). Como ya e mencionó, i e conoce una ranformación invera, enonce e poible deerminar la olución y() del problema original. En general, recuerde que una ranformación T{f()} e lineal i para odo par de funcione f () y f () y para odo par de conane c y c, ella aiface la relación { () ()} { ()} { ()} T c f + c f ct f + c T f (5.) E decir, la ranformada de una combinación lineal de do funcione e la combinación lineal de la ranformada de ea funcione. Para la elección paricular del núcleo K(, ) e y lo límie de inegración dede cero haa infinio en la Ec. (5.), la ranformación definida aí e denomina una ranformación de Laplace y la imagen reulane una ranformada de Laplace. La ranformada de Laplace de f() e enonce una función de la variable y e denoa por F() o L{f()}. La ranformación de Laplace e probablemene la herramiena má poderoa para eudiar lo iema lineale decrio por ecuacione diferenciale con coeficiene conane. Como un proceo, la ranformación conviere un problema en ecuacione diferenciale en uno que involucra una o má ecuacione algebraica. 5. Definición de la Tranformada de Laplace Dada una función f() definida para odo lo valore poiivo de la variable, e forma la inegral f () e d F() (5.3) la cual define una nueva función F() del parámero, para odo para el cual converge la inegral. La función F() aí formada e denomina la ranformada de Laplace unilaeral de f(). Normalmene e omiirá el érmino unilaeral y la ranformada e denoará por F() o L{f()}. E decir, la definición formal de la ranformada de Laplace e { ()} L f F f() e d (5.4) El límie inferior de la Ec. (5.4) e ecogió como en vez de o + para incluir cao donde la función f() pueda ener una diconinuidad de alo en. Eo no debe coniderare una rericción, ya que en lo eudio uuale de raniorio, el origen del iempo iempre puede omare en el inane o en algún iempo finio >. La función en el lado derecho de la Ec. (5.4) no depende de porque la

3 83 inegral iene límie fijo. Como ya e mencionó, la ranformación de Laplace e un proceo que reduce un iema de ecuacione inegro-diferenciale imulánea lineale a un iema de ecuacione algebraica imulánea lineale. La ranformada de Laplace aocia una función en el dominio del iempo con ora función, la cual e define en el plano de frecuencia compleja. La propiedad má encilla y má obvia de la ranformación de Laplace e que e lineal. Ea afirmación e fácil de demorar ya que ella eá definida como una inegral. E decir, i f () y f () poeen ranformada F () y F () y c y c on conane, { } L cf() + cf() cf() + cf (5.5) La noación f () F() ignificará que la funcione f() y F() forman un par de ranformada de Laplace, e decir, que F() e la ranformada de Laplace de f(). En general, la variable e compleja ( σ + jω) pero, por lo momeno, e omará como real y má adelane e dicuirán la limiacione obre el carácer de la función f() y obre el recorrido de la variable. Pueo que el argumeno del exponene de e en la Ec. (5.3) o (5.4) debe er adimenional, enonce la dimenione de deben er la de frecuencia y la unidade de egundo invero Ahora e obendrán la ranformada de alguna funcione elemenale. La mayoría de lo ejemplo eán baado en la inegral p e d, p> (5.6) p cuya demoración procede de la idenidad T e p e d p En efeco, i p >, enonce e pt conforme T y e obiene la Ec. (5.5). pt. Ejemplo (a) Se deerminará la ranformada de Laplace de la función f(), >. Inerando ea función en la Ec. (5.3), e obiene L { } () e d e d (b) para >. En la noación indicada,, > (5.7) Conidéree ahora la función f() e c, >, donde c e una conane. En ee cao,

4 84 L c c ( ) { } c e e e d e d La úlima inegral e la mima que la de (5.6) con p c; por lo ano, e igual a ( c), con al que c>. Se concluye enonce que c e, > c c (5.8) Con la ayuda de méodo elemenale de inegración e pueden obener la ranformada de ora funcione. Por ejemplo,, 3 en a, co a + a + a para > ; má adelane e eudiarán procedimieno má encillo para obener ea ranformada. (5.9) Ejemplo Uando la propiedad de linealidad de la ranformada de Laplace e obendrá la ranformada de la función f () enha. Uando la idenidad a enh a e e enonce a a L{enh a} L e e a + a cuando > a y > a; e decir, a enh a, > a + a a Como la ecuación de definición de la ranformada de Laplace coniene una inegral en la cual uno de u límie e infinio y por la propiedad de linealidad, una de la primera preguna a reponder e refiere a la exiencia de la ranformada. Un ejemplo encillo de una función que no iene una ranformada de Laplace e f () exp exp. Por ello, a coninuación e darán alguno eorema concerniene a la convergencia de la inegral de Laplace.

5 Condicione para la Exiencia de la Tranformada de Laplace 5.3. Funcione Seccionalmene Coninua Se dice que una función f() e eccionalmene coninua en un inervalo acoado a < < b, i e coninua excepo en un número finio de puno < < L < N de (a, b) y i en cada puno de diconinuidad poee límie finio conforme iende a cualquier exremo de lo ubinervalo dede el inerior (i x a, el límie por el lado derecho exie en, y i N b, el límie por el lado izquierdo debe exiir en N ). Se uan lo ímbolo + f ( ), f ( ) i para denoar lo límie por el lado izquierdo y por el lado derecho, repecivamene, de f() en i. La función f() que e ilura en la Fig. 5. e eccionalmene coninua en (a, b). Tiene ólo una diconinuidad en y f ( ) A, f ( ) B + i i f() B f() A a b a b Figura 5.5 Figura 5. La función que e ilura en la Fig. 5. no e eccionalmene coninua. Poee ólo una diconinuidad en, pero el límie por el lado derecho de g() no exie en. Teorema. Sean la funcione f() y g() eccionalmene coninua en odo inervalo de la forma [c,t], donde c e fijo y T > c. Si f() g() para c y i la inegral converge, enonce la inegral c g() d

6 86 c f () d ambién converge. Má adelane e uará el Teorema para eablecer un conjuno de condicione de uficiencia para la exiencia de la ranformada de Laplace de una función. Sin embargo, primero e inroducirá la noación [ ] f () O g() la cual debe leere f() e del orden de g(). Ea noación ignifica que exien conane M y N ale que f () Mg() cuando N. En paricular, i f() O e α para alguna conane α, e dice que f() e de orden exponencial. Teorema. Sea f() una función eccionalmene coninua en odo inervalo de la forma [,T], donde T > y ea f () O e α para alguna conane α. Enonce la ranformada de Laplace { f } L () F() exie, al meno para > α. Demoración: De acuerdo con la hipóei del eorema, exien conane M y ale que f () Me α ( ) cuando >. Enonce f () e M e α cuando. Pueo que la inegral M e ( α) d converge cuando > α, la inegral e d ambién converge (Teorema ). Pueo que e f () d e f () d+ e f () d, >α la ranformada de Laplace L{f()} exie para > α. Como una aplicación imporane del Teorema, e demorará que i f() e de la forma n a n a e co b, e en b (5.) donde n e un enero no negaivo, enonce L{f()} exie para > a >. Primero obérvee que

7 87 n O e ε para odo número poiivo ε. Como cob y en b para odo, enemo que ( a ) f () O e +ε Por el eorema, L{f()} exie para > a+ε para odo número poiivo ε. Por coniguiene, L{f()} exie para > a. El reulado anerior e imporane en el eudio de ecuacione diferenciale lineale con coeficiene conane. Conidere la ecuación homogénea P( D) x donde D d/d y P(D) e un operador polinomial. Toda olución de ea ecuación e una combinación lineal de funcione de la forma (5.). Cualquier derivada de una olución e ambién una combinación lineal de funcione de ee ipo. Por lo ano, e puede decir que oda olución de la ecuación, y oda derivada de una olución, e de orden exponencial y poee una ranformada de Laplace. Teorema 3. Sea f() una función eccionalmene coninua en odo inervalo de la forma [, T] y ea f () O e α para alguna conane α. Enonce la función h(), donde h () f( udu ) e de orden exponencial. Si α >, h () Oe α y i α <, h() O[]. Demoración: Exien conane poiiva y M ale que f Me α para. También exie una conane poiiva M al que f() M para. Pueo que para >, e iene que h f ( u) du+ f ( u) du h () M du+ M f( udu ) o Si α >, enonce M ( α ) h () M + e e α α

8 88 M h M + e, α α y h O e α. Ejemplo 3 La función ecalón uniario (previamene definida en el Cap. ) cuando < < u( ) cuando > e un ejemplo de una función eccionalmene coninua en el inervalo < < T para odo número poiivo T (Fig. 5.3). Oberve la diconinuidad en : La ranformada de Laplace de ea función e Aí que, iempre que >, lím u( ) lím u( ) + u( ) e d e d e L e { u( )} u( ) Figura 5.3 Aquí e debe eñalar un puno imporane. La ranformada de Laplace eá definida olamene enre y +. La conduca de la función f ( ) para < nunca enra en la inegral y por ano no iene efeco obre u ranformada. Por ejemplo, la funcione f () y u() ( en el Ejemplo 3) ienen la mima ranformada /. La condicione mencionada en lo eorema para la exiencia de la ranformada de una función on adecuada para la mayoría de nuera neceidade; pero ella on condicione uficiene y no

9 89 necearia. Por ejemplo, la función f() puede ener una diconinuidad infinia en, por ejemplo,, e decir f() conforme, con al que exian número poiivo m, N y T, donde m <, ale que f() < N/ m cuando < < T. Enonce, i en cualquier ora forma, f() cumple con la condicione mencionada, u ranformada odavía exie porque la inegral exie. T e T f () d 5.3. Región de Convergencia de la Tranformada El recorrido de valore de la variable compleja para lo cuale converge la ranformada de Laplace a e denomina la región de convergencia (RDC). Por ejemplo, abemo que la eñal x e u, a real, iene como ranformada la función X ( + a), iempre que Re > a, pueo que lím e + a ólo i Re( + a) > o Re > a. Aí que la RDC para ee ejemplo la epecifica la condición Re > a y e muera en el plano complejo como lo ilura la Fig. 5.4 mediane el área ombreada a la derecha de la línea Re a, para el cao en que a >. jω a > a σ Figura Teorema de la Derivada y de la Inegral Se deea exprear la ranformada de Laplace f () e d de la derivada f'() de una función f() en érmino de la ranformada de Laplace F() de f(). Inegrando por pare e obiene

10 9 L { } f () f () e d f () e + f () e d Sea f() del orden de e conforme iende a infinio y coninua. Enonce, iempre que > a, el primer érmino en el lado derecho e conviere en f() y por ano { } L f () F f () (5.) Aí que la diferenciación de la función objeo correponde a la muliplicación de la función reulado por u variable y la adición de la conane f(). La fórmula (5.) da enonce la propiedad operacional fundamenal de la ranformación de Laplace; éa e la propiedad que hace poible reemplazar la operación de diferenciación en una ecuación diferencial por una imple operación algebraica obre la ranformación. Ejemplo 4 Se deea reolver la ecuación y + 3 y, > (5.) con la condición inicial y(). Muliplicando ambo lado de la Ec. (5.) por e e inegrando de cero a infinio, e obiene [ ] Del eorema de la derivada, Ec. (5.), e obiene que y () + 3 y() e d (5.3) y () e d Y() y() Y() donde Y() L{y()}. Suiuyendo en la Ec. (5.) da Y + Y (5.4) Aí que la ranformada de Laplace Y() de la función incógnia y() aiface ea ecuación. Reolviéndola, e obiene Y + 3 (5.5) Como e oberva, la fracción anerior e la ranformada de la función de (5.) e 3 e. Por lo ano, la olución y e 3, >

11 La Tranformada de Laplace Bilaeral La ranformada de Laplace F() de una función f(), como e definió en (5.3), involucra lo valore de la función f() para odo en el inervalo (, ). E decir, el inervalo adecuado en la olución de ecuacione diferenciale que on válida para. En la eoría de circuio elécrico, iema de conrol lineale y ora aplicacione, alguna vece e deeable coniderar lo valore de f() en odo el eje real y definir a F() en conecuencia. Eo conduce a la función F f e d (5.6) conocida como la ranformada de Laplace bilaeral de f(). Si la función f() e caual, e decir, i f() para <, enonce la inegral en (5.6) e igual a la inegral en (5.3). En ee exo no e uará la Ec. (5.6). La noación F() e reervará ólo para la ranformada unilaerale La Función Impulo Un concepo imporane ya preenado en el Cap. e el de la función impulo. Ea función, ambién conocida como la función dela de Dirac, e denoa por δ ( ) y e repreena gráficamene mediane una flecha verical, como en la Fig En un enido maemáico erico, la función impulo e un concepo baane ofiicado. Sin embargo, para la aplicacione de ineré e uficiene comprender u propiedade formale y aplicarla correcamene. La propiedade de ea función ya e eudiaron en el Cap. y no e repeirán aquí. Su ranformada e derivará má adelane. δ Figura El Teorema de la Derivada Al comienzo de ea ección e demoró que i F() L{f()}, enonce { } L f () F f () (5.7) Ahora e reviará el ignificado de f(). Si f() e coninua en el origen, enonce f() iene un ignificado claro: e el valor de f() para. Suponga, in embargo, que f() e diconinua y que f ( + ) lím f ( +ε), f ( ) lím f ( ε), ε> (5.8) ε ε

12 9 on u valore en + y, repecivamene (Fig. 5.7a). En ee cao, el número f() en la Ec. (5.7) depende de la inerpreación de f'(). Si f'() incluye el impulo [f(+) f()]δ() debido a la diconinuidad de f() en (Fig. 5.7b), enonce f() f(). Si f'() e la derivada de f() para > olamene y in el impulo en el origen (Fig. 5.7c), enonce f() f( + ). La primera inerpreación requiere aclarar el ignificado de la inegral en la Ec. (5.3) cuando f() coniene un impulo en el origen. Como e abe, la inegral de δ() en el inervalo (, ) no eá definida porque δ() e un impulo en. Para eviar ea dificulad, e inerpreará a F() como un límie de la inegral f()e en el inervalo (ε, ): lim F f e d f e d ε ε (5.9) donde ε >. Con ea inerpreación de F() e deduce que la ranformada de δ() e igual : porque ε δ (5.) δ () e d f() f'() f'() > f(+) f(+) f( ) f( ) (a) (b) (c) Figura 5.7 Ademá, el érmino f() en la Ec. (5.9) e el límie f( ) de f(ε) conforme ε. Si F() e inerprea como un límie en el inervalo (ε, ), enonce f() f( + ). En reumen, y f () e d F f () (5.) + f () e d F f () (5.) +

13 93 La diferencia f( + ) f( ) enre ea do inegrale e igual a la ranformada de Laplace del impulo [f( + ) f( )]δ() en el origen y cauada por la diconinuidad de f() en ee puno. Si la función f() e coninua en el origen, enonce debe quedar claro que f( ) f( + ) f() y la fórmula (5.7), (5.) y (5.) on equivalene. Si f() e coninua para excepo por un alo finio en, e fácil demorar que la fórmula (5.7) debe reemplazare por la fórmula L{ f () } F() f () [ f ( + ) f ( ) ] e donde la canidad enre corchee e la magniud del alo en. Derivada de Orden Superior. Sean f() y f'() coninua para y de orden exponencial y ambién ea f'() eccionalmene coninua en odo inervalo acoado. Enonce, como f"() e la derivada de f'(), la ranformada de f'() meno el valor inicial f'() de f'(), e decir L { f } L{ f } f [ ] () () () F f() f'() F f() f'() La aplicación repeida del argumeno anerior produce la relación { } (5.3) ( n) n n n ( n ) L f F f () f '() L f () (5.4) donde e upone que f() y u derivada de orden haa n on coninua para y de orden exponencial. Aplicando (5.4) al impulo δ(), e obiene L { ( n) () } δ porque la ranformada de δ() e igual a y lo valore de u derivada en on iguale a cero. n Ejemplo 5 Se deea obener la ranformada de f() en(a) a parir de la ranformada de co(a). Si f() co(a), enonce f () aen(a) y aplicando (5.7), e obiene y por ano L { a a} L{ a} en co a + a + a a L { en a} + a

14 94 Ejemplo 6 Deermínee la ranformada de f() u(). Solución: La función f() y f'() on coninua y f() e de O( e α ) ano, o Como L{} /, e iene enonce que L{ f } L { f } f () ( > ) L{} L{} L { } ( > ) para cualquier α poiiva. Por lo Ejemplo 7 Deermínee la ranformada de Laplace de f() n, donde n e cualquier enero poiivo. Solución La función f() n cumple con oda la condicione del Teorema para cualquier α poiiva. En ee cao, Aplicando la fórmula (5.4) e obiene y por ano, ( n) ( n+ ) ( n) f () f '() L f () f () n! f () ( n+ ) n+ n { } { } L f () L n! L n! n { } ( > ) n El Teorema de la Inegral Uando el eorema de la derivada, e obendrá la ranformada F() de la inegral definida por f () y( τ) dτ (5.5)

15 95 de una función y() en érmino de la ranformada Y() de y(). Se upone que f() e eccionalmene coninua y de orden exponencial. La función f() en la Ec. (5.5) e coninua y f(). También e iene que y() f'(). Por lo ano, la ranformada Y() de y() e igual la ranformada Y() f() y, pueo que f( ), e concluye que Y() F(). Enonce, F L y( τ) dτ Y (5.6) Ahora bien, la formulación de la leye de Kirchhoff para una red, con frecuencia incluye una inegral con límie de a. Ea inegrale pueden dividire en do pare, y( τ) dτ y d+ y( τ) dτ en donde el primer érmino de la derecha e una conane. Cuano y() e una corriene, ea inegral e el valor inicial de la carga, q( ), y cuando y() e un volaje, la inegral e el enlace de flujo Ψ Li, donde L e la inducancia. En cualquier cao, ee érmino debe incluire en la formulación de la ecuación; la ranformada de una conane q L { q} Y e puede ecribir una ecuación imilar para Ψ. q e Tralación Compleja Ahora e expreará la ranformada a + a e f e d f e d a> del produco e a f() en érmino de la ranformada F() de f(). La úlima inegral en la ecuación anerior e la mima inegral de la ecuación de definición de la ranformada, iempre que e reemplace por a. Por lo ano, e igual a F( a) y e obiene el par de ranformada a e f () F( + a) (5.7) Ea propiedad no dice que la ranformada del produco de e a por una función de e igual a la ranformada de la mima función con reemplazada por + a. Como herramiena para hallar ranformada invera, ea propiedad afirma que i + a e reemplazada por en la ranformada de una función f(), enonce f() e igual al produco de e a por la invera de la ranformada modificada.

16 96 Ejemplo 8 (a) Se deea evaluar L. ( + 4) Suprimiendo el facor /, obenemo Y ( + 4) ( + 4) cuya ranformada invera e igual a en. Inegrando ea ecuación y uando la Ec. (5.6), enemo que (b) L en co co d en ( + 4) 4 4 Ahora e uarán la Ec. (5.5) y (5.6) para evaluar la inegral aτ g() e dτ Ée e un cao epecial de la Ec. (5.6) con Y() e a. Uando (5.6) con f(), e iene que F() / y enonce L a { e } Uando(5.6) con Y() /(+a), e obiene y por ano, + a a a G ( + a) + a a g() e a a a > a ( e ) ( ) Aplicando la Ec. (5.6) a la ranformada de en(b) y co(b) e demuera fácilmene que e e a a co b en b + a + a + b b + a + b

17 El Problema de Inverión Si F() e la ranformada de Laplace de una función f(), enonce f() e denomina la ranformada de Laplace invera de F(). El problema de inverión e la deerminación de la ranformada invera f() de una función F() dada. Ee problema e báico en la aplicacione de la ranformada de Laplace. Conidere, por ejemplo, la ecuación diferencial y + 3 y 6, y() (5.8) Tranformando ea ecuación, e obiene 6 Y + 3 Y pueo que y() y la ranformada de f() 6 e igual a 6/. Por lo ano, 6 Y ( + 3) (5.9) Aí que para deerminar y() e debe hallar la ranformada invera de ea fracción. En general, hay do méodo de inverión fundamenale diferene:. El Méodo de la Fórmula de Inverión. En ee méodo, la función f() e exprea direcamene como una inegral que involucra la función F(). Ee reulado imporane, conocido como el de la fórmula de inverión, e dicue uualmene en el conexo de lo que e conoce como ranformada de Fourier (ópico fuera del alcance de ee exo).. Tabla. En ee méodo e inena exprear la función F() como una uma de ranformada F F + F + L + F (5.3) donde F,, K Fn on funcione con ranformada invera f, K, fn conocida y abulada. De la propiedad de linealidad de la ranformada e deermina que i F() puede er expandida como en la Ec. (5.3), enonce u ranformada invera f() eá dada por n f () f () + f () + L + f () (5.3) Como una iluración e expande la fracción (5.9) como una uma de do fraccione con ranformada conocida: 6 Y (5.3) ( + 3) + 3 Éa muera que la ranformada invera y() de Y() e la uma (Ea écnica ambién e uó en el Ejemplo 8). y e 3, > La idenidad en (5.3) proviene de la conocida écnica de expanión de funcione racionale en fraccione parciale, la cual e dicuirá má adelane. n

18 98 En el problema de inverión e deben coniderar la iguiene preguna:. Exiencia. Poee oda función F() una ranformada invera? Hay funcione que no poeen ranformada invera. Sin embargo, ea funcione ienen un ineré principalmene maemáico. Toda la funcione coniderada en ee exo poeen ranformada invera.. Unicidad. Pueden do funcione f () y f () ener la mima ranformada F()? Si do funcione ienen la mima ranformada, enonce ella deben er iguale para eencialmene odo lo valore de. Sin embargo, pueden diferir en un conjuno dicreo de puno. Si la funcione on coninua, enonce ella deben er idénica Inverión de Tranformada Racionale (Fraccione Parciale) Ahora e deerminará la ranformada invera f() de la clae de funcione racionale, e decir, de funcione de la forma N F (5.33) D donde N() y D() on polinomio en y no poeen facore comune. Aquí e upone que F() e una fracción propia, e decir, que el grado de N() e menor que el de D(). La fraccione impropia involucran funcione de ingularidad y e coniderarán poeriormene. Primero, upóngae que oda la raíce i, i,,, n, del denominador D() on diina. De acuerdo con la eoría de fraccione parciale, F() puede enonce expandire como una uma, e decir, N c c cn F + + L + (5.34) D Para deerminar el valor de c i, e muliplican ambo miembro de la Ec. (5.34) por i para obener la ecuación ( ) ( ) N c c F + + c + + i n i i ( i ) L i L D n e decir, e remueve del denominador el facor i ; evaluando ahora el reulado en i, e obiene N N ci ( i) F ( i) (5.35) i D D donde D ( ) [ dd d ] D ( ) i i i i i. Pueo que la ranformada invera de la fracción i /( i ) e igual a i e, de la Ec. (5.34) e concluye que la ranformada invera f() de la función racional F() e una uma de exponenciale: n f () c e + c e + L c e (5.36) n n

19 99 Ejemplo 9. Deermine la ranformada invera de la función F Solución: El denominador de F() e de mayor grado que el numerador y poee facore reale y diino; éo on:, y 3 5. Por lo ano, e pueden deerminar facore c, c, y c 3 ale que y uando la Ec. (5.35) e obiene Por lo ano, c c c ( + )( + 3) c F 3, c + F 4, c + 5 F f e e , > Ahora e coniderarán fraccione parciale para el cao en el cual el polinomio D() coniene facore lineale repeido de la forma ( i ) m. En ee cao, la expanión de F() en fraccione parciale conie de érmino de la forma ci ci cim + + L (5.37) m i i i donde lo número c ij, j,,, m, on independiene de y vienen dado por r d m ci, mr ( i) F, r,, K, m (5.38) r r! d i Aí que para evaluar el coeficiene c i,mr e remueve el facor ( i ) m del denominador de F() y e evalúa la derivada r-éima del reulado en i. La componene de f() debida a la raíz múliple i e la ranformada invera de la uma en (5.37) y viene dada por i i cim m i cie + ci e + L + e (5.39) m! De lo anerior e concluye que la ranformada invera de una función racional F() e una uma de exponenciale cuyo coeficiene on polinomio en. Lo exponene i e denominan lo polo de F(), e decir, lo polo on la raíce del denominador D(). Ejemplo. La función

20 c c c F + + ( + 3)( + 5) ( + 5) (5.4) iene un polo encillo en 3 y un polo múliple en 5 con muliplicidad m. En ee cao, c , c ( + ) Por ano, c d d f e e 3 5 +, > Oberve que el coeficiene c puede deerminare in diferenciación. Pueo que (5.4) e válida para oda, ambién e válida para (o cualquier oro número). Haciendo, por ejemplo, e obiene c c c Pueo que c y c, la igualdad anerior produce c. Raíce Compleja En lo ejemplo aneriore, la raíce del denominador de la función F() eran reale. Se pueden obener reulado imilare i D() iene raíce compleja. Sin embargo, en ee cao lo coeficiene correpondiene on complejo y f() coniene érmino exponenciale complejo. En el análii de iema fíico, la función F() iene coeficiene reale. Por ello, la raíce compleja iempre ocurren en pare conjugado y, como e demuera a coninuación, la componene correpondiene de f() on onda inuoidale amoriguada con coeficiene reale. Se comenzará con un ejemplo: F ( ) En ee cao, D() iene do polo complejo, + j3, j3, y un polo real, 3. La expanión direca de (5.34) da 5+ 3 c c c3 + + ( ) ( + j3) ( j3) donde c (+j)/, c (j)/ y c 3 (deerminado en la forma ya explicada). Por coniguiene, + j ( + j3) j ( j3) f e e +, > (5.4)

21 3 Ea expreión incluye canidade compleja. Sin embargo, e una función real. Efecivamene, ( ± j3) inerando la idenidad e e co3± jen 3 en (5.4), e obiene f e co3 en 3, > (5.4) la cual e una expreión real. Ahora e demorará que la Ec. (5.4) puede deerminare direcamene. El reulado eá en el hecho de que i F() e una función real con coeficiene reale y y on do número complejo * conjugado, enonce F( ) F( ) F*( ) (donde el aerico indica el conjugado complejo). Conidere una función racional F() con coeficiene reale. Como e abe, i α + jβ e un polo complejo de F(), enonce u conjugado, * α jβ, ambién e un polo. Por lo ano, la expanión (5.34) de F() coniene érmino como c c, j, j + α+ β α β Lo coeficiene c y c e exprearán en érmino de la función De la Ec. (5.35) e obiene que pueo que jβ. En forma imilar, F G jβ jβg( ) c F G( ) c G( ) La función G( ) e, en general, compleja con pare real G r y pare imaginaria G i, e decir, (5.43) (5.44) G( ) Gr + jgi (5.45) Como F( ) F*( ), de (5.44) e obiene que G( ) G*( ) G r jg i, y por lo ano, c G + jg c G jg, r i r i La ranformada invera de la uma en la Ec. (5.43) e enonce igual a α+ jβ ( αjβ) ce + ce Gr + jgi e + ( Gr jgi) e (5.46) Inerando la idenidad ( α± jβ ) α e e ( co jen ) β ± β en la Ec. (5.46), e obiene finalmene la ranformada invera f() de F() debida a lo polo complejo conjugado y, y la cual e igual a

22 3 ( co en ) α e Gr Gi β β (5.47) En reumen: Para hallar el érmino en f() reulane de lo polo complejo de F(), e forma la función G(), como en (5.44), y e calcula u valor G( ) para. El érmino correpondiene de f() lo da la Ec. (5.47), donde G r y G i on la pare real e imaginaria de G(). El reulado anerior e aplicará a la función ya coniderada. En ee cao, F ( 4 3) , + j 3, α, β 3 ( j ) F G ( ), G( ) jβ j3 j3( + j3) Por ano, G r, G i y la Ec. (5.47) da ( co3 + en 3 ) e Ee e el érmino de f() proveniene de lo polo complejo de F() y concuerda con el reulado (5.4). Ejemplo Obener la ranformada de Laplace invera de la función c c c3 F + + ( + 9) + j3 + j3 + ( ) El coeficiene c 3 correpondiene al polo real 3 e deermina direcamene a parir de la Ec. (5.35): c3 ( + ) F 3 Lo oro do polo j3 y j3 de F() on imaginario puro con α y β 3. Pueo que ( )( ) + 9 la función G() correpondiene en la Ec. (5.44) eá dada por Por lo ano, F G ( + 9) j3 j3 ( + )

23 33 G j3 3 j j3( j3+ ) 3 3 Agregando el érmino c 3 e debido al polo real 3, e obiene 3 f () co3+ en3 e Inverión de Funcione Impropia En la Sección 5.5. e deerminó la ranformada invera de funcione racionale propia. Ahora e coniderarán funcione impropia, limiando la dicuión a do cao epeciale. Se comenzará con un ejemplo. Suponga que Dividiendo e obiene y por ano, F Conidéree oro ejemplo. Sea la función F f () 3 δ () + e + 4e Enonce, procediendo en la mima forma que en el ejemplo previo, e obiene y por lo ano f () δ () δ () + + 3e 4 4 En general, para una función racional F N D donde el grado de N() e mayor o igual que el de D(), e procede a la diviión para obener

24 34 mn Q Q F cmn + L + c+ c + P + D D donde P() e el cociene y Q() e el reiduo; m e el grado del numerador y n el del denominador (m > n). Ahora el grado de Q() e menor que el de D(). La nueva función racional Q D( ) e propia y eá preparada para u expanión. Se coninúa enonce con la expanión en fraccione parciale de Q()/D() y luego e obiene la ranformada invera de F(). Obérvee que el polinomio P() producirá funcione ingulare. Éa no aparecen con frecuencia, pero on de mucha uilidad en la olución de alguno problema prácico que eán fuera del alcance de ee exo. 5.6 Lo Valore Inicial y Final de f() a Parir de F() A coninuación e demuera que lo valore de una función f() y u derivada en pueden expreare en érmino de lo valore de u ranformada para valore grande de. Ee reulado permie deerminar en una forma encilla la conduca de f() cerca del origen. También e deerminará el comporamieno de f() conforme iende a infinio uando u ranformada y bajo ciera condicione El Teorema del Valor Inicial La función e iende a cero conforme iende a infinio para > (la pare real de mayor que cero). A parir de eo e deduce que bajo ciera condicione generale f e d ε lím (5.48) para odo ε >. Si f() e coninua para, excepo poiblemene por un número finio de diconinuidade finia, y ambién de orden exponencial, enonce la inegral en (5.48) iende a F() cuando ε. Eo da como reulado que lím F (5.49) Lo anerior podría no er ciero i f() coniene impulo u ora ingularidade en el origen. Por ejemplo, i f() e a, enonce F() /( a) iende a cero cuando. Sin embargo, i f () δ (), enonce u ranformada F() no iende a cero. Aplicando (5.49) a la función f'() y uando la Ec. (5.7), e obiene lím f e d F f Aquí e oma a f'() como eccionalmene coninua y de orden exponencial.

25 35 Enonce e obiene que f lím F (5.5) ee reulado e conoce como el eorema del valor inicial. Se verificará con una iluración encilla. Si f() 3e, enonce 3 3 F, lím F lím lo cual concuerda con la Ec. (5.5) porque, en ee cao, f( + ) f() 3. Ejemplo Si enonce, y, po ano, f(). F lím F lím + 7+ El eorema del valor inicial ambién puede uare para deerminar lo valore iniciale de la derivada de f(). En efeco, como e obiene a parir de la Ec. (5.4), la función F f() f () e la ranformada de Laplace de f"(). Por lo ano [ver la Ec. (5.48)], debe ender a cero cuando ε [f"() debe cumplir con la condicione necearia]. Eo conduce a la concluión de que f F f (5.5) () lím () En una forma imilar e pueden deerminar lo valore iniciale de derivada de orden uperior. En odo eo cao e ha upueo que f() e coninua en el origen. Ejemplo 3 Si F enonce 3 F, F y F cuando. Por ano, f (), f (), f ()

26 El Teorema del Valor Final Ahora e demorará que i f() y u primera derivada on ranformable en el enido de Laplace, enonce Ya e ha demorado que lím f lím F (5.5) Cuando iende a cero, e obiene enonce que f () e d F f () (5.53) f () d lím f () d lím f f Igualando ee reulado con el de la Ec. (5.53), ecria para el límie cuando, e llega a la concluión de que lím f lím F (5.54) como e requería. La aplicación de ee reulado requiere que oda la raíce del denominador de F() engan pare reale negaiva, ya que de ora manera no exie el límie de f() cuando iende a infinio. Ejemplo 4 Para la función f () 5 3 e e evidene que u valor final e 5. La ranformada de f() e F + ( + ) y, egún la Ec. (5.54), el valor final de f() e + lím f lím F lím 5 +

27 Teorema Adicionale 5.7. El Teorema de Tralación Real o de Deplazamieno Una función f() raladada en el iempo e repreena como f( )u( ), donde f ( ), > f u( ), < (5.55) (véae la Fig. 5.8). Oberve que la función f( )u( ) e idénica a f()u() excepo que eá reardada o raladada en eg. Para enconrar la ranformada de ea función e aplica la Ec. (5.3) a la Ec. (5.55): + f ( ) u( ) e d f ( ) e d f e d f() f()u() f( )u( ) Figura 5.8 de donde e concluye que { f ( ) u( )} e { } L f L (5.56) Aplicando la propiedad (5.56) al par δ(), e obiene δ( ) e Ejemplo 5 De lo pare / y /, e obienen lo pare u( ) e, ( ) u( ) e Aplicando lo anerior al pulo p T u() u( T). Se obiene

28 38 T pt u() u( T) ( e ) (5.57) Ee úlimo reulado puede verificare aplicando la definición dada por la Ec. (5.3) de la ranformada. Pueo que pt ( ) para < < T y para oro valore de, u ranformada e igual a acorde con (5.57). T T pt () e d e d e Ejemplo 6 Si e da la función enonce, aplicando la Ec. (5.56), e obiene ( ) f e u e u 3 () 6 () + 4 ( ) 6 4 F + e Supóngae que F (), F (),, F m () on funcione con ranformada invera conocida f(), f(), K, fm (). De la Ec. y la propiedad de linealidad de la ranformada e obiene que la ranformada invera de la uma e la uma m F F e + F e + L + F e (5.58) f f ( ) u( ) + f ( ) u( ) + L + f ( ) u( ) (5.59) Eo e ilurará mediane un ejemplo. m m m m Ejemplo 7 Se deea deerminar la ranformada invera de la función T 3+ 3e + 6e F + 7+ T Solución: Ea función e una uma igual que en la Ec. (5.58), donde

29 F, F, F y, T y 3 T. Uando expanión en fraccione parciale, e obiene y aplicando la Ec. (5.59), e obiene f e e, f 5e e, f e e f () f () u() + f ( T) u( T) + f ( T) u( T) El Teorema de Ecala Ee eorema relaciona lo cambio de ecala en el dominio de con lo cambio correpondiene en el dominio de. El érmino cambio de ecala ignifica que o e muliplican por una conane poiiva. Dada una función f(), e cambia de ecala al formar una nueva función f (/ ). Su ranformada e encuenra como igue: a parir de la ecuación de definición e iene que f f e d L{ } ( ) f e d i ahora e hace / x, enonce la úlima ecuación e conviere en x f f xe dx L { } Obérvee que la inegral define a F( ), de al modo que e puede ecribir La ranformada invera correpondiene e { f } F ( ) L (5.6) { } f L F (5.6) Ejemplo 8 Para la ranformada F ( + )

30 3 el valor correpondiene de f() e El eorema de ecala indica que la nueva función f () e (5.6) { } () L (5.63) f F e eá relacionada con f() en la Ec. (5.6) por un imple cambio en la ecala del iempo Derivada de Tranformada Cuando la inegral de Laplace F f () e d (5.64) e diferenciada formalmene con repeco al parámero, e obiene la fórmula df [ f() ] e d d lo que implica que df f() (5.65) d e decir, la muliplicación de una función f() por en el dominio del iempo equivale a diferenciar la ranformada F() de f() con repeco a y luego cambiar de igno en el dominio de la frecuencia compleja.. Se debe eñalar que f()e - y u derivada parcial de cada orden con repeco a cumplen con la condicione necearia para que la diferenciación con repeco a e pueda ejecuar denro del igno de inegración; e obiene aí el iguiene eorema: Teorema 4. La diferenciación de la ranformada de una función correponde a la muliplicación por : { }, (,, ) F L f n K (5.66) ( n ) n Adicionalmene F (n) () conforme. Ea propiedade e cumplen iempre que f() ea eccionalmene coninua y del orden de e α, i > α en la fórmula (5.66).

31 3 Ejemplo 9 Ya e abe que y, por la Ec. (5.66), de donde e obiene la fórmula a L { en a} ( > ) + a d a a d + a ( + a ) L { en a} a L (5.67) { en a} ( + a ) Ejemplo a Deerminar la ranformada de Laplace de f e co5. Si e hace f () co5 y () f co5, e obiene F Uando el eorema de la muliplicación por, e obiene F + 5 d 5 d + 5 ( + 5) y finalmene, uando la propiedad de la ralación compleja, F ( + ) + 5 ( 4 9) La Tranformada de una Función Periódica Conidere la función periódica f() con un período T que aiface f( + nt) f(), donde n e un enero poiivo o negaivo. La ranformada de ea función e

32 3 F f () e d T T L f e d+ f e d + T (5.68) Traladando uceivamene cada érmino de la ranformada por e -T, en donde n e el número de ralado neceario para hacer que lo límie de la expreione inegrale ean odo de a T, e iene que ( L ) T T F + e + e + f e d y uilizando el eorema del binomio para la idenificación de la erie, e obiene T T F f () e d T e (5.69) La inegral en ea ecuación repreena la ranformada de la función f() como i ella euviee definida ólo de a T. Denoando ea ranformada por F (), e obiene F F (5.7) T Ea ecuación relaciona la ranformada de una función periódica con la ranformada de ea función obre el primer ciclo (o cualquier oro ciclo). e Ejemplo Se deea deerminar la ranformada de un ren de pulo con un período T, donde cada pulo iene una ampliud uniaria y una duración a < T. Solución: Aplicando la Ec. (5.7), e iene y por ano, T F f () e d a e d e a F e e a T

33 Aplicación de la Tranformada de Laplace a Ecuacione Diferenciale Ordinaria En ea ección e uan ranformada de Laplace para reolver ecuacione diferenciale lineale con coeficiene conane. Se upone iempre que oda la ecuacione on válida para y la olucione e deerminan para diferene forma de exciación. Una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficiene conane e una ecuación de la forma ( n) ( n ) a y () + a y () + L + a y () + a y() x() (5.7) n n donde x(), la exciación, e una función conocida y a, a,, a n on conane dada. Una olución de (5.7) e cualquier función y() que aifaga la ecuación. Como e verá, la Ec. (5.7) iene mucha olucione. Sin embargo, u olución e única i e epecifican lo valore iniciale de y() y u primera n derivada: Eo valore e denominan condicione iniciale. ( n) y() y, y () y, K, y () y n (5.7) Una olución paricular e una olución y() que aiface una condicione iniciale epecífica. Si no e epecifican lo valore iniciale, enonce y() e una olución general. Aí que una olución general e una familia de olucione que depende de lo n parámero y, y,, y n. A una ecuación diferencial e le puede dar una inerpreación de iema. En ea inerpreación, la Ec. (5.7) epecifica un iema con enrada (exciación) x() y alida (repuea) y(). La alida aí epecificada, y(), e la olución única de la Ec. (5.7) bajo la condicione iniciale epecificada. El eado inicial del iema e el conjuno (5.7) de condicione iniciale. La repuea de eado cero del iema e la olución, y() y α (), de (5.7) con cero condicione iniciale: ( n ) α α α y y L y (5.73) La repuea de enrada cero, y() y β (). E la olución de (5.7) cuando x(). E decir, la repuea de enrada cero y β () e la olución de la ecuación homogénea ( n) a y () + a y () + L + a y + a y() (5.74) n ( n) n La aplicación de la ranformada de Laplace para reolver la Ec. (5.7) comprende lo iguiene pao:. Se muliplican ambo lado de la ecuación por e y e inegra de cero a infinio. Pueo que la ecuación e válida para, reula la ecuación () + () n + L () n a y a y e d x e d (5.75) Se upone que oda la funcione on ranformable en el enido de Laplace. Ello implica que el lado derecho e igual a la ranformada X() de la función conocida x(), y el lado izquierdo puede expreare en érmino de la ranformada Y() de y() y de la condicione iniciale (5.73).. Se reuelve la ecuación en la ranformada Y() reulane.

34 34 3. Se deermina la ranformada invera y() de Y() uando fraccione parciale u oro méodo de inverión. A coninuación e ilura el méodo con vario ejemplo. Ejemplo Reolver la ecuación diferencial ay () + ay () x () ujea a la condición inicial y() y. Tomando ranformada en ambo lado e obiene Por ano, Aí que Y() Y α +Y β, donde e la repuea de eado cero y [ ] a Y y + a Y X X() ay Y() + a+ a a+ a Yα X a+ a Y β + a a e la repuea de enrada cero. Su invera e la exponencial y y β y e donde a /a. Si, por ejemplo, a, a, x() 8 y y() 5, enonce la ecuación e y u ecuación ranformada e y + y 8, y() 5, La olución complea e Y () 4 + 7, ( ) y e

35 35 Ejemplo 3 Reolver la ecuación diferencial ujea a la condicione d y dy y 5 u d d dy y, d La ranformación de Laplace de ea ecuación diferencial produce [ ] Y y() y () + 4 Y y() + 5 Y y al incluir la condicione iniciale, e obiene o 5 Y Y ( 4 5) + + Dearrollando ahora en fraccione parciale, j j Y j + + j y omando la ranformada invera da la olución y e + en, Ejemplo 4 Deermine la olución de la ecuación diferencial y () y () 6 y() ujea a la condicione y, y Aplicando la ranformación a ambo lado de la ecuación diferencial, e obiene la ecuación algebraica

36 36 Por ano, o Y Y + 6 Y + 6 Y + A B C Y + + ( 3)( + ) 3 + Evaluando lo coeficiene, e encuenra que 8 4 Y y la olución y() e 8 4 y + e + e , Ejemplo 5 Deermine la olución del iema de ecuacione diferenciale dy + y y u d dy + y y d ujeo a la condicione iniciale y () y y (). La ecuacione ranformada on ( + ) Y Y Reolviendo ee iema, e obiene Y + ( + ) Y

37 37 ( + ) 5 5 Y ( ) Y + ( ) y la olución e y 5 e e 3 3 y 5 e e , 3 5 +, 5.9 La Convolución La operación de convolución encuenra aplicacione en mucho campo, incluyendo la eoría de rede elécrica y conrole auomáico. Una aplicación obrealiene e la que permie evaluar la repuea de un iema lineal a una exciación arbiraria cuando e conoce la repuea al impulo [repuea cuando la exciación e un impulo uniario δ()]. Sean la do funcione f () y f () ranformable en el enido de Laplace y ean F () y F () u ranformada repeciva. El produco de F () y F () e la ranformada de Laplace de la convolución de f () y f (); e decir, { } L f F F F (5.76) f () f () f () f () τ f ( τ) dτ f ( τ) f ( τ) dτ (5.77) La inegrale en la Ec. (5.77) e conocen como inegrale de convolución y el aerico (*) indica la f f f e oberva que operación de convolución. De acuerdo con la relación, { } L{ } F L f () f () f () f () F F (5.78) Aí que la ranformada invera del produco de la ranformada F () y F () e deermina mediane la convolución de la funcione f () y f () uando cualquiera de la fórmula en la Ec. (5.77) (obérvee que la convolución e conmuaiva). Para deducir ea relacione, oberve que la ranformada F() F ()F () e puede exprear como un produco de la inegrale que definen u ranformada de Laplace en la forma la cual puede expreare como F f () e d f( τ) f() τ dτ e d

38 38 F f( τ) u( τ) f( τ) dτ e d pueo que u( τ) para τ >. Inercambiando el orden de inegración, e obiene Definiendo ahora e iene que F f( τ) f( τ) u( τ) e d dτ x τ ( x+τ) F f( τ) f( x) u( x) e dx dτ τ Pero u(x) hace cero el valor de la inegral enre corchee para x <, y por ano ( x+τ) F f( τ) f( x) e dx dτ la cual puede er expreada como el produco de do inegrale: o ambién τ x F f( τ) e dτ f( x) e dx F F F F () f ( τ) f ( τ) dτ (5.79) la que demuera la validez de una de la Ec. (5.77). Si e inercambian f () y f (), e puede uilizar un proceo imilar para derivar la ora ecuación en (5.77). A coninuación e morará mediane un ejemplo, que la convolución e puede inerprear de acuerdo con cuaro pao: () reflexión, () ralación, (3) muliplicación y (4) inegración. Ejemplo 6 En ee ejemplo, ean F () / y F ( ) deea deerminar la convolución de f () y f (); e decir, e deea hallar +, de manera que f () u() y f () e u τ f () f () f () u τ e dτ. Se Lo pao para aplicar la convolución a ea do funcione e iluran en la Fig. 5.9, en la cual f () y f () e mueran en la (a) y f (τ) y f (τ) en (b). En (c) e han reflejado la funcione repeco de la línea

39 39 y en (d) e ha raladado algún valor ípico de. En (e) e ha efecuado la muliplicación indicada denro de la inegral de la Ec. (5.77). La inegración del área ombreada da un puno de la curva f() para el valor eleccionado de. Al efecuar odo lo pao aneriore para diferene valore de, e obiene la repuea f(), al como e eñala en (f) de la mima figura. f () f () (a) f (τ) f (τ) f (τ) f ( τ) τ (b) τ f ( τ) τ (c) f ( τ) f ( τ) τ τ τ (d) f ( τ)f (τ) f (τ)f ( τ) τ (e) τ f() f ()* f () (f) Figura 5.9

40 3 Para ee ejemplo, la inegración de la Ec. (5.79) e encilla y da f () e τ dτ e que e, por upueo, la ranformada invera del produco F ()F (), f () L L ( + ) + e Ejemplo 7 Como oro ejemplo, conidere ahora la ranformada F ( + a ) En ee cao e puede omar de manera que y, por ano, a F F a + a f() f() ena a L en a en a ( a ) a + en aτen a( τ) dτ a a a a a ( en co )

41 3 5. Propiedade de la Inegral de Convolución Ahora e derivarán alguna propiedade de la inegral de convolución. Propiedad La operación de convolución e conmuaiva, diribuiva y aociaiva: f f f f ( a) [ L k ] [ ] [ ] f () f () + f () + + f () f () f () + f () f () + L+ f () f () () b f () f () f () 3 f f f ( c) 3 k (5.8) Solamene e verificará la relación (5.8) (c), dejando la ora do como ejercicio. Sean G y G ( ) la ranformada de Laplace de la funcione g() f() f3() y g() f() f(), repecivamene. Por el eorema de convolución abemo que G F F, G F F (5.8) 3 donde Fi ( ) (i,, 3) denoa la ranformada de Laplace de (). Eo da L { [ ]} L{ } f () f () f () f () g () F () G () 3 {[ f f ] f3 } f i L{ } F F F G F g f L Tomando la ranformada de Laplace invera de ambo lado produce la idenidad deeada (5.8) (c). (5.8) Propiedad Si la funcione f ( ) y f on diferenciable para > y coninua para, enonce u convolución e diferenciable para > : τ f( τ) dτ+ f f() d df ( τ) f τ dτ+ f f d > df () df ( ) d () (5.83) Para demorar eo, aplicamo la regla de Leibniz para diferenciar denro de una inegral, la cual dice que i b h () g (, τ) dτ (5.84) a donde a() y b() on funcione diferenciable de y g(, τ ) y g(, τ) on coninua en y τ, enonce

42 3 b( x) a( x) dh() g (, τ) db() da() dτ+ g(, b) g(, a) d d d (5.85) Aplicando (5.85) a la ecuación de definición de la inegral de convolución con h () f(), g(, τ ) f( τ) f( τ ) o f( τ) f( τ ), a y b +, e obiene la relación (5.83). Oberve que la Ec. (5.83) no neceia realmene la hipóei de que amba f () y f () ean diferenciable. De hecho, i cualquiera de la funcione e diferenciable y la ora coninua, enonce u convolución e diferenciable. Dede el puno de via de la operación de convolución, la Ec. (5.83) puede ecribire ambién como df () df() df() f() + f() f() f() + f() f() (5.86) d d d Propiedad 3 Sea () () () f () f() f() df f() df + f() f() df f() + f() f() d d d y ecriba g f ( T ) u( T ), T (5.87) g f ( T ) u( T ), T (5.88) donde u() denoa la función ecalón uniario. Enonce g f ( T T ) u( T T ) (5.89) g() g () g () (5.9) Ea propiedad exprea que i la funcione f () y f () on reraada por T y T egundo, repecivamene, enonce la convolución de la do funcione reraada e igual a la convolución de la funcione originale, reraada por T + T egundo. La demoración de ea propiedad e deja para el lecor. 5. Ecuacione Diferenciale e Inegrale Con la ayuda de la propiedad de convolución e pueden reolver alguno ipo de ecuacione inegrodiferenciale no homogénea, lineale y con coeficiene conane. Se darán alguno ejemplo. Ejemplo 8. Deermine la olución general de la ecuación diferencial () + () () (5.9) y k y f

43 33 en érmino de la conane k y la función f(). Suponiendo que oda la funcione en (5.9) on ranformable, la ecuación ranformada e Y y y + ky F () '() donde y() y y () on, por upueo, la condicione iniciale. De aquí e obiene k y () k Y F + y() + k + k + k k + k y por ano, y '() y ( en k) f + y()co k+ en k k k Ea olución general de la Ec. (5.9) puede enonce ecribire en la forma donde C y C on conane arbiraria. y () f ( τ)en k( τ) dτ+ Cco k+ C en k k Ejemplo 9. Reuelva la ecuación inegral Ea ecuación e puede ecribir en la forma y() a+ y( τ)en( τ) dτ y() a+ y() en y, ranformando ambo miembro, e obiene la ecuación algebraica cuya olución e y por ano, a Y + Y Y a + 4 y() a La ecuación inegral general del ipo de convolución iene la forma

44 34 () () y f + g τ y τ dτ (5.9) donde la funcione f() y g() on dada y y() debe deerminare. Pueo que la ecuación ranformada e Y F + G Y la ranformada de la función bucada e F Y (5.93) G Si la Ec. (5.9) e modificada reemplazando y() por combinacione lineale de y() y u derivada, la ranformada de la ecuación modificada igue iendo una ecuación algebraica en Y(). Ahora e procederá a reolver la ecuación de eado para iema LIT eudiada en el Capíulo, uilizando la ranformada de Laplace. dx() Aplicando la ranformación de Laplace a la ecuación Ax() + Bu (), con condición inicial d x(), e obiene X x() AX BU o X[ I A] x() + BU de donde X I A x BU [ ] [ () + ] Φ[ x() + BU] por lo que { } x() L [ I A] [ x() + BU()] (5.94) donde Φ() [I A] e la mariz reolvene. Se debe obervar que Φ() L {Φ()} e A. En la ección anerior ya vimo que la mariz Φ() e conoce como la mariz de ranición y má adelane e darán alguna de u propiedade. Ejemplo 3. Reolver el iema x 6 & + u, () 5 x x Tomando u() y ejecuando la operacione indicada en la Ec. (5.94), obenemo

45 35 de donde [ I A ] ( + )( + 3 ) (+)(+3) ( + )( + 3 ) (+)(+3) Φ [ I A ] y o y por ano, ( + )( + 3 ) ( + )( + ) X + ( + )( + 3) ( + )( + 3) ( + )( + 3) ( + )( + ) ( + )( + 3) X ( + )( + 3 ) ( + )( + 3 ) + ( + )( + 3) K K K3 X ( + )( + 3) X x + e e 3 K K ( + )( + 3) x 4 6 e + e 3 Ejemplo 3. Reolver el iema x 5 & () () +, () x 3 x Procediendo igual que en el Ejemplo 3, e obiene + + [ I A], [ ] + I A +