CONCEPTOS BÁSICOS DE VIBRACIONES Y ONDAS. Gladys Patricia Abdel Rahim Garzón

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1 CONCEPTOS BÁSICOS DE VIBRACIONES Y ONDAS Glady Paricia Abdel Rahim Garzón

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3 CONCEPTOS BÁSICOS DE VIBRACIONES Y ONDAS Glady Paricia Abdel Rahim Garzón

4 Abdel Rahim Garzon, Glady Paricia Concepo báico de vibracione y onda / Glady Paricia Abdel Rahim Garzón. Bogoá : Univeridad Dirial Francico Joé de Calda, página : iluracione, foo ; 24 cm. ISBN: Fíica 2. Mecánica analíica 3. Vibracione 4. Onda - Movimieno 5. Elecromagneimo I. Tí cd 21 ed. A CEP-Banco de la República-Biblioeca Lui Ángel Arango c Univeridad Dirial Francico Joé de Calda c Faculad Tecnológica c Glady Paricia Abdel Rahim Garzón ISBN: Primera edición: Bogoá D.C., noviembre de 2014 Dirección Sección de Publicacione Rubén Eliécer Carvajalino C. Coordinación ediorial Miguel Fernando Niño Roa Corrección de eilo Paula Liliana Sano Diagramación en LATEX Daniel Conrera Niño Monaje de cubiera Marha Liliana Leal Ediorial UD Carrera 24 No Teléfono: ex Correo elecrónico: publicacione@udirial.edu.co Todo lo derecho reervado. Ea obra no puede er reproducida in el permio previo por ecrio de la Sección de Publicacione de la Univeridad Dirial Francico Joé de Calda Impreo y hecho en Colombia Prined and made in Colombia

5 Conenido Inroducción V Onda mecánica 1 Movimieno Armónico Simple M.A.S) Concepo báico Siema maa-reore Ecuacione de movimieno maa-reore Energía mecánica del iema maa-reore Siema maa-cuerda o péndulo imple Ecuacione de movimieno del péndulo imple Energía del péndulo imple Laboraorio: la ley de la elaicidad o ley de Hooke.. 37 Reore en erie y en paralelo Reore en erie Reore en paralelo Laboraorio: reore en erie y paralelo Laboraorio: péndulo imple Péndulo fíico, real o compueo Ocilacione amoriguada Ocilador ubcríico Ocilador críico i

6 Ocilador upercríico Ocilacione forzada Reonancia Laboraorio: movimieno armónico amoriguado Movimieno ondulaorio Perurbación en un medio Pulo de onda longiudinale y ranverale Reflexión y ranmiión de onda Velocidad de propagación de la onda en cuerda Onda enoidale Función de una onda enoidal Superpoición e inerferencia de onda Inerferencia conruciva y deruciva Laboraorio onda: cubea de agua Superpoición y onda eacionaria 99 Nodo y aninodo Nodo Aninodo Laboraorio: onda eacionaria Laboraorio: onda eacionaria Sonido 129 Caraceríica fíica Velocidad del onido Fenómeno fíico del onido Efeco Doppler Cinemáica del efeco Doppler Laboraorio: efeco Doppler Onda de Luz 149 La propagación de la luz Propiedade de la luz Reflexión de la luz Leye de la reflexión Laboraorio: reflexión de la luz Laboraorio: epejo plano Epejo curvo ii

7 Imágene que e forman por un epejo cóncavo Imágenen que e forma por un epejo convexo La ecuación del epejo Laboraorio: epejo eférico Refracción de la luz Ley de Snell Índice de refracción El Prima Guía de luz fibra ópica) Principio de Ferma Laboraorio: lene Laboraorio: índice de refracción Lene delgado Laboraorio: reflexión y refracción Laboraorio: ley de Snell y reflexión inerna oal Lene biconvexa o convergene delgado Lene bicóncava o divergene delgado El ojo humano Laboraorio: cámara ocura Onda elecromagnéica 215 Ecuacione de Maxwell Onda elecromagnéica de Heinrich Herz Onda elecromagnéica plana imple Energía ranporada por onda elecromagnéica Momeno y preión de radiación Radiación de una lámina de corriene infinia Wi-Fi para freír el cerebro? Laboraorio: longiud de onda Laboraorio: onda de radio Laboraorio: Onda producida por el celular Laboraorio: Experimeno de Michelon y Morley Laboraorio: efeco fooelécrico Laboraorio: efeco de gae Labororio: Microonda - difracción de Bragg iii

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9 Inroducción Ee libro ha ido elaborado con el fin de brindar a lo eudiane una herramiena pedagógica acceible que conribuya al mejoramieno de la eneñanza y el aprendizaje de la fíica. Eneñar fíica ha morado que, en mucho cao, exie una gran dificulad en la comprenión de lo concepo báico, de ahí que e haga neceario el uo de herramiena pedagógica que conribuyan y facilien dicho proceo de eneñanza-aprendizaje. Enre la divera herramiena que debe poeer oda iniución que impare ea área del conocimieno eán lo laboraorio, epacio donde el alumno aplica u conocimieno: oberva, manipula objeo, mide, elabora abla y gráfica, analiza, compara variable irviéndoe del cálculo, de la fíica eórica y obeniendo u propia concluione. Eo permie la comprenión de lo concepo fíico a ravé de la prácica. Ee exo preena divero concepo, ejercicio reuelo, allere y laboraorio de la fíica de onda, que conribuyen como herramiena pedagógica y aporan al dearrollo del proceo eneñanza-aprendizaje de la fíica. v

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11 Onda mecánica Movimieno Armónico Simple M.A.S) La imporancia de eudiar onda mecánica y elecromagnéica e debe a u relación con la fíica moderna. La onda de la fíica moderna iguen la mima regla que la onda mecánica y elecromagnéica. En la vida coidiana odo lo ere vivo enemo experiencia con la onda, por ejemplo: i colocamo un corcho en un eanque con agua y iramo una piedra, e forman una erie de onda que e propagan concénricamene dede el puno donde cayó la piedra, el corcho e limia a ubir y bajar in deplazare del lugar que ocupa. Ea onda coniuyen uno de ano ejemplo que preenan caraceríica análoga a la onda. El mundo eá lleno de onda: onda onora; mecánica ale como la onda que e propagan en una cuerda de guiarra; onda ímica que pueden ranformare en erremoo; onda de choque, que e producen cuando, por ejemplo, un avión upera la velocidad del onido, y ora má pariculare que no on an fácilmene capada con lo enido o no e an encillo inerprear u origen, como la onda elecromagnéica. De ea úlima podemo omar como ejemplo la onda emiida por la luz, la eleviión, el radar, la radioelefonía o la comunicación vía aélie. 1

12 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón El concepo de onda e abraco. La onda que viajan en un medio maerial la llamamo onda mecánica, un ejemplo on la onda de agua que requieren la preencia de agua como medio para exiir. Igualmene, i fijamo uno de lo exremo de una cuerda a una pared y movemo el oro exremo hacia arriba y hacia abajo, vemo que a lo largo de la cuerda e mueve una onda. Sin la preencia de la cuerda no exiiría onda. La onda onora viajan a ravé del aire y on el reulado de la variacione de preión en el aire puno a puno. En odo lo cao, lo que e deduce e que una onda correponde a la perurbación de un medio o de un cuerpo, en conecuencia, una onda puede coniderare como el movimieno de una perurbación. El movimieno de la perurbación el eado del medio o la onda en i mima) no debe confundire con el movimieno ocilaorio de la parícula que conforman el medio; luego, la onda mecánica requieren para u exiencia de una fuene de perurbación la piedra que e ira al mar) y un medio que puede er perurbado agua, aire). Con relación a la onda elecromagnéica, mucho fíico durane año e han planeado la preguna de que i la luz e compora como una onda debería propagare en algún medio, que depué llamaron éer. Se hablaba de éer como el medio de ranferencia de ea onda, al bucar u propiedade Alber Abraham Michelon Premio Nobel de Fíica, 1907) y Edward Morley hallaron la primera prueba conra la eoría del éer, hoy en día, e abe que la onda llamada elecromagnéica no neceian de ningún medio para propagare, e decir, e pueden propagar en el vacío. El eudio de la onda e facilia mucho debido a que odo e baa en u repreenación gráfica, que e la forma de la función enoidal o eno. Si bien no oda la onda iguen ea funcione, el eorema de Fourier demoró que cualquier onda puede er decompuea como una uma única de onda, componene enoidale. Ee eorema facilia el eudio profundo de la mecánica ondulaoria y permie repreenar gráficamene lo que e una onda, dado que la función eno o enoidal e la que e forma en una cuerda cuando movemo u exremo hacia arriba y hacia abajo muy rápidamene. 2

13 Concepo báico de vibracione y onda Concepo báico Figura 1 Ampliud, A La ampliud de un movimieno ocilaorio, ondulaorio o eñale elecromagnéica e una medida de la variación máxima del deplazamieno u ora magniud fíica que varía periódicamene o cuai periódicamene en el iempo. E la diancia máxima enre el puno má alejado de una onda y el puno en equilibrio o medio. La ampliud e noada como A. Elongación, x Correponde a la poición que iene en cada momeno la parícula vibrane repeco de la poición de equilibrio. Se uele repreenar mediane la lera x ó y. Unidade del Siema Inernacional de medida SI) en mero. El periodo, T Tiempo ) empleado en una ocilación complea n), iempre e poiivo, T =. La unidad en el SI e el egundo. n 3

14 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón La frecuencia, f Número de ocilacione en la unidad de iempo f = n ), iempre e poiiva. La unidad de frecuencia en el SI e el herz: 1 herz = 1 Hz o 1. Ea unidad e llama aí en honor del fíico alemán Heinrich Herz ), pionero en la inveigación de la onda elecromagnéica. La frecuencia angular o velocidad angular, w Repreena la razón de cambio enre una canidad angular y el iempo, no eá neceariamene relacionada con un movimieno de roación. Se mide en radiane obre egundo: w = θ ) rad A parir de la definicione de periodo T y frecuencia f, la velocidad angular e define como: w = 2πf = 2π T Velocidad de propagación de la onda, v La velocidad de propagación de la perurbación dependerá de la proximidad de la parícula del medio y de u fuerza de coheión. Aí, la velocidad de propagación erá mucho mayor en lo ólido que en lo líquido, y obre odo, en lo gae. Por ejemplo, a la preión normal de 1 am y 20 0 C, en un ambiene eco, la velocidad del onido e de 5600 m en el acero, 1460 m en el agua y 340 m en el aire. m ) v = λf Número de onda circular o número de onda angular, k E repreenado con la lera k que da el enido de avance de la perurbación, y e conidera de módulo 1. E pue, el número de λ repeicione por unidad de longiud. Donde, k e igual a 2π o la razón λ enre la frecuencia angular y la velocidad de propagación ) k = w v. 4

15 Concepo báico de vibracione y onda En fíica moderna el número de onda e proporcional a la frecuencia o la energía del foón, por ee moivo, el número de onda e uado en unidade de energía en epecrocopia. En el SI el número de onda eá dado en m 1. El número de onda angular e expreado en radiane por mero rad/m). Longiud de onda, λ La lera griega λ lambda) e uiliza para repreenar la longiud de onda en ecuacione. λ e define como la diancia enre 2 puno conecuivo que poeen la mima fae: 2 máximo, 2 mínimo, 2 cruce por cero. Por ejemplo, la diancia recorrida por la luz azul que viaja a una velocidad de c = 299,792,458 m ) durane el iempo rancurrido enre 2 máximo conecuivo de u campo elécrico o magnéico. Oro ejemplo podría er la longiud de onda de la onda de onido, en el inervalo que lo ere humano pueden ecuchar, ocila enre meno de 2 cm y aproximadamene 17 mero. La onda de radiación elecromagnéica que forman la luz viible ienen longiude de onda enre 400 nanómero luz violea) y 700 nanómero luz roja). En el SI la unidad de medida de la longiud de onda e el mero, como la de cualquier ora longiud. Según lo órdene de magniud de la longiude de onda con que e eé rabajando, e uele recurrir a ubmúliplo como el milímero mm), el micrómero µm) y el nanómero nm). Leye de Newon Primera ley: Conocida ambién como Ley de inercía, no dice que i obre un cuerpo no acúa ningún oro, ee permanecerá indefinidamene moviéndoe en línea reca con velocidad conane incluido el eado de repoo, que equivale a velocidad cero). Como abemo, el movimieno e relaivo, e decir, depende de cuál ea el obervador que decriba el movimieno. La primera ley de Newon irve para definir un ipo epecial de iema de referencia conocido como Siema de referencia inerciale, que on aquello 5

16 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón iema de referencia dede lo que e oberva que un cuerpo obre el que no acua ninguna fuerza nea. O que eé en repoo o e mueve con velocidad conane. En realidad, e impoible enconrar un iema de referencia inercial, pueo que iempre hay algún ipo de fuerza acuando obre lo cuerpo, pero iempre e poible enconrar un iema de referencia en e l que el problema que eemo eudiando e pueda raar como i euviéemo en un iema inercial. En mucho cao, uponer a un obervador fijo en la Tierra e una buena aproximación de iema inercial. Segunda ley: La Segunda ley de Newon e encarga de cuanificar el concepo de fuerza. No dice que la fuerza nea aplicada obre un cuerpo e proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La conane de proporcionalidad e la maa del cuerpo, de manera que podemo exprear la relación de la iguiene manera: F = m a La unidad de fuerza en el SI e el Newon y e repreena por N. Un Newon e la fuerza que hay que ejercer obre un cuerpo de un kilogramo de maa para que adquiera una aceleración de 1 m 2, o ea: 1N = 1kg 1 m 2 La expreión de la egunda ley de Newon que hemo dado e válida para cuerpo cuya maa e conane, i la maa varia, como en un cohee que va quemando combuible, no e válida la relación F = m a. Vamo a generalizar la egunda ley de Newon para que incluya el cao de iema en lo que pueda variar la maa. p = m v Si la canidad de movimieno que e repreena por la lera p, e define como el produco de la maa de un cuerpo por u velocidad, e decir: d v F = m d = d p d 6

17 Concepo báico de vibracione y onda Si la maa e conane: F = m d v d = m a Si la maa no e conane, enemo: d v F = m d + dm v d Ora conecuencia de exprear la egunda ley de Newon uando la canidad de movimieno e lo que e conoce como principio de conervación de la canidad de movimieno. Si la fuerza oal que acua obre un cuerpo e cero, la egunda ley de Newon no dice que: 0 = d p d E decir, que la derivada de la canidad de movimieno con repeco al iempo e cero. Eo ignifica que la canidad de movimieno debe er conane en el iempo la derivada de una conane e cero). Eo e el principio de conervación de la canidad de movimieno: i la fuerza oal que acua obre un cuerpo e nula, la canidad de movimieno del cuerpo permanece conane en el iempo. Tercera ley: La ercera ley, ambién conocida como principio de acción y reacción, no dice que i un cuerpo A ejerce una acción obre oro cuerpo B, ee realiza obre A ora acción igual y de enido conrario. Hay que deacar que, aunque lo pare de acción y reacción engan el mimo valor y enido conrario, no e anulan enre i, pueo que acúan obre cuerpo diino. Energía cinéica En fíica, la energía cinéica de un cuerpo e aquella energía que poee debido a u movimieno. Se define como el rabajo neceario para acelerar un cuerpo de una maa deerminada, dede el repoo haa la velocidad indicada. Una vez coneguida ea energía durane la 7

18 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón aceleración, el cuerpo maniene u energía cinéica alvo que cambie u velocidad. Para que el cuerpo regree a u eado de repoo e requiere un rabajo negaivo de la mima magniud que u energía cinéica. Suele noare como K y e define como: K 1 2 mv2 y u unidade pueden dare como: 1. 1Joule =1J= 1N 1m= 1kg 1 m2 2, 2. 1Ergio= 1Dina 1cm= 1g 1 cm eV= 1, J. Energía poencial En un iema fíico, la energía poencial e la energía que mide la capacidad que iene dicho iema para realizar un rabajo en función, excluivamene, de u poición o configuración. Puede penare como la energía almacenada en el iema, o como una medida del rabajo que un iema puede enregar. Se noa con la lera U y e mide en la mima unidade de la energia cinéica. La energía poencial puede preenare como energía poencial graviaoria, energía poencial elecroáica, y energía poencial eláica. Má riguroamene, la energía poencial e una magniud ecalar aociada a un campo de fuerza o como en elaicidad un campo enorial de enione). Cuando la energía poencial eá aociada a un campo de fuerza, la diferencia enre lo valore del campo en do puno A y B e igual al rabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido enre B y A. 1. La energia poencial graviacional e define como: U g mgh Donde U e la energía poencial, m la maa, g la aceleración de la gravedad, y h la alura. 8

19 Concepo báico de vibracione y onda 2. El Poencial armónico cao unidimenional), dada una parícula en un campo de fuerza que reponda a la ley de Hooke, como el cao de un muelle, e puede calcular eimando el rabajo neceario para mover la parícula una diancia x: W F d x i e un muelle ideal cumpliría la ley de Hooke F = kx El rabajo dearrollado y por ano la energía poencial) que endríamo ería: F W d x = kxdx = kx2 2 La unidade eán en julio. La k ería la conane eláica del muelle o del campo de fuerza. Ley de la conervación Si un iema no ineracciona con u enorno de ninguna manera, deerminada propiedade mecánica del iema no pueden cambiar. Alguna vece no referimo a ella como conane del movimieno. Ea canidade e dice que on conervada y la leye de conervación reulane e pueden coniderar como lo principio má fundamenale de la mecánica. En mecánica, ejemplo de canidade conervaiva on la energía, el momeno y el momeno angular. La leye de conervación on exaca para un iema ailado. Conervación del momeno El momeno de un iema ailado e una conane. La uma de vecore de momeno p = m v de odo lo objeo de un iema, no pueden er cambiado por ineraccione denro del propio iema. Eo upone una fuere rericción a lo ipo de movimieno que pueden ocurrir en un iema ailado. Si a una pare del iema e le 9

20 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón da un deerminado momeno en una dirección deerminada, enonce alguna ora pare del iema obendrá imuláneamene, exacamene el mimo momeno en dirección opuea. Haa donde podemo decir la conervación del momeno e una imería abolua de la nauraleza. O ea, no conocemo nada en la nauraleza que lo viole. Ley de la conervación de energía La ley de la conervación de la energía afirma que la canidad oal de energía en cualquier iema ailado in ineracción con ningún oro iema) permanece invariable con el iempo, aunque dicha energía puede ranformare en ora forma de energía. En reumen, la ley de la conervación de la energía afirma que la energía no puede creare ni deruire, ólo e puede cambiar de una forma a ora. Implica que la energía mecánica E M ) que e define como: E M = K + U e + U g Y la ley de la conervación de la energía mecánica definida como la igualdad enre la energía inicial y final E i = E f ), implica que: K i + U ei + U gi = K f + U ef + U gf iendo E ci energía cinéica inicial, U ei energía poencial eláica inicial y U gi energía poencial graviacional inicial. Siema maa-reore En la nauraleza exien mucho movimieno que e repien a inervalo iguale de iempo, eo on llamado movimieno periódico. En fíica e ha idealizado un ipo de movimieno ocilaorio, en el que e conidera que obre iema que decriben ee ipo de movimieno no exie la acción de la fuerza diipaiva o de rozamieno, e decir, la energía mecánica del iema e conerva y el movimieno e maniene invariable. Un M.A.S. e un movimieno vibraorio bajo la acción de una fuerza recuperadora que e oriena hacia la poición de equilibrio). Alguno ejemplo encillo on: el iema maa-reore y el iema cuerda-maa o péndulo imple. 10

21 Concepo báico de vibracione y onda El M.A.S. e un ipo de ocilación que ocurre debido a una fuerza reauradora, en ee cao correponde a la fuerza que ejerce el reore obre el bloque. Ea fuerza e linealmene proporcional al deplazamieno y iempre eá dirigida hacia el equilibrio, e opuea al deplazamieno Figura 2). Eo ignifica que cuando la maa e deplaza hacia la izquierda de x, enonce F e dirige hacia la derecha. La fuerza eláica e la fuerza nea que acúa obre el cuerpo, que e igual a: F nea = kx 1) Por la egunda ley de Newon, enemo que: F nea = m d2 x d 2 2) Igualando la ecuacione 1) y 2), obenemo que kx = m d2 x d 2. Que e puede ecribir como una ecuación diferencial de egundo orden: d 2 x d 2 + k m x = 0 3) La ecuación que oluciona la ecuación 3) e: x) = Aenw + ϕ) 4) Para comprobarlo aplicamo la 4) a la 3) Donde e deduce que: d 2 x d 2 + k m x = 0 Aw 2 enw + ϕ) + k Aenw + ϕ) = 0 m w 2 = k m 5) Para que e de la igualdad. Como la frecuencia angular e define como w 2 = 4π2 obenemo el periodo y frecuencia del iema maa-reore T 2 aí: m T = 2π k 6) f = 1 k 2π m 7) 11

22 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón Donde el periodo de ocilación y la frecuencia dependen de la conane eláica del reore y de la maa. Ecuacione de movimieno maa-reore Figura 2 Reomando la ecuación 4) uando la derivada obenemo la ecuacione de velocidad y aceleración inanánea. Luego, la ecuacione generale del M.A.S que correponden a la poición, velocidad y aceleración como funcione del iempo, on: x ) = Aen w + ϕ) v) = Aw co w + ϕ) 8) a) = Aw 2 en w + ϕ) 9) La Figura 2 muera la direccione que endría la velocidad y aceleración en cada inane de iempo. Oberve que en ea mima figura lo puno x = ±A, la aceleración e máxima a máx = ±Aw 2 ) y la velocidad e cero; mienra que en x = 0 la aceleración e cero y la velocidad e máxima v máx = ±Aw). 12

23 Concepo báico de vibracione y onda Energía mecánica del iema maa-reore La fuerza involucrada en un movimieno armónico imple on cenrale y, por ano, conervaiva. En conecuencia, e puede definir un campo ecalar llamado energía poencial eláica U e ) aociado a la fuerza eláica kx). Para hallar la expreión de la energía poencial eláica, baa con inegrar la expreión de la fuerza eláica eo e exenible a oda la fuerza conervaiva) y cambiarla de igno, donde la energía poencial eláica e igual al rabajo que hace la fuerza eláica para cambiar la poición de un objeo de maa m, aí obenemo que: U e = x 0 kx)dx = kx2 2 10) La energía cinéica viene dada por la iguiene expreión: K = mv2 2 11) Si la energía mecánica o oal del iema e la uma de la energía poencial eláica y la energía cinéica la uperficie en conaco no preenan fricción) enoce E o = ka2. Para demorarlo realizamo el 2 iguiene procedimieno: E o = U e + K E o = k [Aco w)]2 2 E o = k [A2 co 2 w)] 2 E o = ka2 2 + m [ Awen w)]2 2 + m [A2 w 2 en 2 w)] 2 [ co 2 w) + en 2 w) ] E o = ka2 2 12) donde e oberva que la energía mecánica del iema maa-reore e una conane. 13

24 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón La gráfica morada en la Figura 3 mueran la energía poencial y la energía cinéica en función iempo[20]. La Figura 4 muera la energía poencial en función de la poición en x = ±A y la correpondiene energía e la oal. Figura 3 Figura 4 14

25 Concepo báico de vibracione y onda Siema maa-cuerda o péndulo imple El péndulo imple e oro iema mecánico que e mueve en un movimieno ocilaorio. Se compone de una maa punual m, upendida por una cuerda ligera de longiud L, donde el exremo uperior de la cuerda eá fijo, como muera la Figura 5. Figura 5 El movimieno ocurre en un plano verical y iempre que el ángulo θ ea pequeño, no mayor a 15 0 eo con el fin de que el péndulo no decriba una rayecoria cónica), el movimieno erá ocilador armónico imple. La fuerza que acúan obre la maa m on: 1. La fuerza de enión T fuerza que ejerce la cuerda obre la maa) y 2. La fuerza graviacional mg fuerza que ejerce la ierra obre la maa). Oberve que la componene angencial de la fuerza graviacional F x = ±mgenθ) acúa hacia la poición de equilibrio y iempre eá dirigida en dirección opuea al deplazamieno S), ea ería la 15

26 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón fuerza nea que acúa obre la maa cuando e epara de la poición de equilibrio: F nea = mgenθ 1) Por la egunda ley de Newon, enemo que la fuerza nea e igual a la maa por la aceleración: F nea = ma máx = m d2 S d 2 2) Igualando la ecuacione 1) y 2), donde S e el deplazamieno arco decrio por iema cuerda-maa), donde S = Lθ, aí: mgenθ = m d2 θ d 2 L genθ = d2 θ d 2 L que e puede ecribir como: d 2 θ d 2 + g L enθ = 0 Para ángulo pequeño enemo que enθ θ, luego reomando la ecuación anerior, enemo: d 2 θ d 2 + g L θ = 0 3) La ecuación que oluciona ea ecuación diferencial de egundo orden ería igual a: θ) = Aen w + ϕ) 4) donde e deduce que: w 2 = g L 5) y w 2 = 4π2, aí, el periodo y la frecuencia del péndulo on repecivamene: T 2 T = 2π w = 2π L f = 1 g 2π L 7) g 6) De ea manera, e muera que el periodo y la frecuencia no dependen del iema cuerda-maa, lo que fue decubiero por Galileo. 16

27 Concepo báico de vibracione y onda Ecuacione de movimieno del péndulo imple Reomando la ecuación, uamo la derivada para hallar la velocidad y la aceleración angular inanánea para el péndulo imple, repecivamene: θ) = Aen w + ϕ) v) = Aw co w + ϕ) 8) a) = Aw 2 en w + ϕ) 9) La velocidad y aceleración máxima del iema erían: Energía del péndulo imple v máx = ±Aw y a máx = ±Aw 2 Como el deplazamieno del péndulo imple e define como S = Lθ, enonce la velocidad inanánea e: v) = ds d = d θl) d = L dθ d = Lw por lo ano, la energía cinéica aociada al péndulo e: K = 1 2 mv2 = 1 2 m Lw)2 10) Debido a que el peo e la única fuerza aociada al movimieno del péndulo, exie una función de energía poencial aociada U g ), que reula de: U g F = du g dy mg = du g dy du g = mgdy y du g = mg dy 0 U g = mgy 0 17

28 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón pero, como y = L 1 co θ): U g = mgl 1 co θ) 11) Para ángulo pequeño e iene que coθ = 1 θ2, enonce: 2 ) U g = mgl θ2 = mglθ2 La energía mecánica o oal e: Acepamo que w 2 = g L, por lo que: E o = U g + E c = 1 2 mglθ m Lw)2 θ) = A co w) w) = dθ = waen w) d g w) = Aen w) L E o = 1 2 mgl [A co w)] ml2 [ g L Aen w) ] 2 E o = 1 2 mgla2 co 2 w) ml2 g L ) A 2 en 2 w) Luego: E o = 1 2 mgla2 [ co 2 w + ϕ) + en 2 w) ] E o = 1 2 mgla2 12) Eo correponde a la energía poencial graviaoria en el momeno de deplazamieno angular máximo. Ejemplo: M.A.S. 1. Una maa unida a un reore horizonal vibra en un M.A.S. La condición inicial e que en i = 0 el bloque eá en x i = A. Halle la ecuacione de movimieno. 18

29 Concepo báico de vibracione y onda Repuea De acuerdo a la condicione iniciale la ecuacione de poición, velocidad y aceleración como funcione del iempo on repecivamene: x) = A co w v) = Awenw a) = Aw 2 co w adviera que el valor máximo o mínimo de la velocidad y aceleración on: v máx = ±Aw a máx = ±Aw 2 2. Hallar la ecuacione de movimieno de una maa unida a un reore, ubicada obre una uperficie horizonal in fricción, donde la maa e uela dede el repoo en x0) = 0. Repuea De acuerdo a la condicione iniciale x0) = 0, la velocidad del iema e máxima y la aceleración e cero en ee puno. Luego la ecuacione de poición, velocidad y aceleración como funcione del iempo on repecivamene: x) = A co w π/2) v) = Awen w π/2) a) = Aw 2 co w π/2) Ora ecuacione que aifacen ea condición inicial on repecivamene: x) = Aen w) v) = Awco w) a) = Aw 2 en w) 19

30 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón 3. Una maa de 1 kg eá unida a un reore de 39, 44 N que ocila m obre una pia horizonal in fricción. En i = 0 la maa e uela dede el repoo en x0) = 3 m. Calcule la ecuacione de movimieno que cumplan con ea condicione y grafique cada una de ella. Repuea De acuerdo con la condicione iniciale la ecuacione de movimieno on repecivamene: x) = 3m) co 2π) v) = 6π m ) [ en 2π rad ) a) = 12π 2 m ) [ co 2π rad 2 ] ) Para gráficar x) = 3 m) co [ ) ] 2π rad, realizamo lo iguiene pao: Calculamo lo iempo para lo cuale x) = 3 m. [ x) = 3 m) co 2π rad ) ] 3 m = 3 m) co [ ) ] 2π rad 1 = co ) 2π rad co 1 1) = 2π rad 0 = 2π rad ) = 0 Ee valor correponde al primer iempo en el que x) = 3 m. Incremenando π rad en la ecuación: 0 = 2π, obenemo lo oro valore de lo iempo 1π rad = 2π rad ) = = 0, 5 2π rad = 2π rad 20 ) = = 1, 0 ]

31 Concepo báico de vibracione y onda Ahora, calculamo lo iempo para x) = 0 m. [ x) = 3 m) co 2π rad ) ] 0 = 3 m) co [ ) ] 2π rad 0 = co [ ) ] 2π rad co 1 0 = ) 2π rad π 2 rad = 2π rad ) = 0, 25 Ee valor de iempo correponde al primer valor para el cual x) = 0 m. Incremenando π rad en la ecuación: π rad rad = 2π, obenemo 2 lo oro valore para la cual x) = 0 m. 3 2 π rad = 5 2 π rad = 2π rad ) = = 0, 75 2π rad ) = = 1, 25 Finalmene, conruimo la abla 1 y u correpondiene Figura 6. Tabla 1 ) 0 0, 25 0, 50 0, 75 1, 00 1, 25 1, 50 1, 75 2, 00 xm) Para graficar la velocidad en función del iempo, primero deerminamo lo iempo para la cual v) = 0 m v) = 18, 84 m ) [ en 2π rad ) 21 ]

32 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón 4 3 Poición en función del iempo 2 Poición m) ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Tiempo ) Figura 6 0 = ) [ ) ] 18, 84 m en 2π rad 0 = en [ ) ] 2π rad en 1 0 = [ ) ] 2π rad 0 = 2π rad ) = 0 Ee correponde al primer iempo para el que v) = 0 m. Ahora, incremenamo π rad, en la ecuación: 0 = 2π y obenemo lo oro valore del iempo para lo que v) = 0 m. 1π rad = 2π rad ) = = 0, 50 2π rad = 2π rad ) = = 1, 0 Ahora, calculamo lo iempo para lo que v = 18, 84 m. v) = 18, 84 m ) [ en 2π rad ) ] 22

33 Concepo báico de vibracione y onda 18, 84 m = 18, 84 m 1 = en [ ) ] 2π rad en 1 1 = ) 2π rad ) [ ) ] en 2π rad π 2 rad = 2π rad ) = 0, 25 Ee correponde al primer iempo en el cual v = 18, 84 m. Incremenamo π rad, en la ecuación: π rad= ) 2π rad 2 obenemo lo oro valore del iempo para lo que v = 18, 84 m. 3 2 π rad = 5 2 π rad = 2π rad ) = = 0, 75 2π rad ) = = 1, 25 Finalmene obenemo la abla 2 juno con la gráfica de la Figura 7. Tabla 2 ) 0 0, 25 0, 5 0, , 25 1, 5 1, 75 2 v m ) 0 18, , , , 84 0 Para graficar la aceleración en función del iempo. Calculemo lo iempo para la cual la aceleración e a = 118,32 m. 2 a) = 118, 32 m ) [ co 2π rad ) ] 2 118,32 m = ) [ ) ] 118, 32 m 2 co 2π rad ) ] 2 1 = co [ 2π rad co 1 1 = 2π rad ) 0 = 2π rad ) = 0 23

34 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón Velocidad m/) Velocidad en función del iempo 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Tiempo ) Figura 7 Ee correponde al primer iempo en el cual la aceleración e a = 118,32 m 2 Incremenamo π rad, en la ecuación: 0 = ) 2π rad obenemo lo oro valore del iempo para la cual a = 118, 32 m. 2 1π rad = 2π rad ) = = 0, 5 2π rad = 2π rad ) = = 1, 0 Ahora calculemo lo iempo para la cual a = 0 m 2 a) = 118, 32 m ) [ co 2π rad ) ] 2 0 = ) [ ) ] 118, 32 m co 2π rad 2 co 1 0 = ) 2π rad π 2 rad = = π rad )

35 Concepo báico de vibracione y onda Ee correponde al primer iempo en el cual a = 0 cm. 2 Incremenamo π rad, en la ecuación: π rad = ) 2π rad 2 obenemo lo oro valore del iempo para la cual a = 0 m π rad = 2π rad ) = = 0, 75 Finalmene obenemo la Tabla 3 y con u correpondiene Figura 8. Tabla 3 ) 0 0, 25 0, 5 0, , 25 a ) m 118, , , Aceleración en función del iempo 100 Aceleración m/ 2 ) ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Tiempo ) Figura 8 4. Una parícula pare de u poición de equilibrio en i = 0. Si la ampliud de u movimieno e de 2 cm y la frecuencia angular e de 2π rad. Deermine: a) La ecuacione de movimieno con ϕ = 0. b) La gráfica de: x v., v v. y a v.. c) La magniud de la velocidad y aceleración máxima. 25

36 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón Repuea a) La ecuacione de movimieno on: [ x) = 2 cm) en 2π rad v) = 4π cm ) co a) = 8π 2 cm ) 2 ) [ 2π rad en ] ) ] [ 2π rad ) ] b) Obervamo en la Figura 9 que al comparar x v., v v. y a v., vemo que lo iempo on lo mimo para la re variable, mienra que la ampliud cambia a v poición, velocidad y aceleración x v v v 80 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Tiempo ) Figura 9 c) Lo valore de la velocidad y la aceleración máxima on repecivamene: v = ±6π cm y a = ±18π 2 cm Converir 4 radiane a grado. 26

37 Concepo báico de vibracione y onda Repuea Si = πrad, e calcula cuáno grado on 4 rad uando la regla de re imple, luego: x = rad 3,14 rad = 229, 3 0, aí: 4 rad = 229, El deplazamieno de un objeo eá definido por la función: [ x) = 8 cm) en 2 rad ) + π8 ] rad Repuea Donde x eá en cenímero y en egundo, calcule: a) La velocidad y la aceleración en = π 2. b) La velocidad máxima y el iempo anerior mayor que cero en el cual la parícula iene ea velocidad. c) La aceleración máxima y el iempo anerior mayor que cero en el cual la parícula iene ea aceleración. a) La velocidad en = π 2 e: v) = 16 cm ) ) 9π co 8 rad v) = 14, 78 cm La aceleración en = π, e: 2 a) = 64 cm ) ) 9π en 2 8 rad a) = 24, 49 cm 2 b) La velocidad máxima: v máx = ±16 cm 27

38 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón Y el iempo en el cual la parícula iene ea velocidad e de = 0, 43. c) La aceleración máxima: a máx = ±64 cm 2 y el iempo en el cual la parícula iene ea aceleración e de = 0, Una maa e une al exremo de una cuerda para formar un péndulo imple. El periodo de u movimieno armónico e mide para deplazamieno angulare pequeño y re longiude, midiendo el iempo del movimieno en cada cao con un cronómero, durane 50 ocilacione. Para, la longiud de 1 m, 0, 75 m y 0, 5 m e miden iempo oale de 99, 8, 86, 6 y 71, 1. Repuea a) Deermine el periodo del movimieno para cada longiud. b) Deermine el valor medio de g obenido a parir de la re medicione independiene y compárelo con el valor acepado. a) Dao: n = 50 ocilacione L m) ) T ) T 2 2 ) 1 99, 8 1, 996 3, 98 0, 75 86, 6 1, 772 3, 14 0, 5 71, 1 1, 422 2, 02 b) Si la gravedad e define como: g = 4π2 L T 2 28

39 Concepo báico de vibracione y onda enemo que: L m) T 2 2 ) g ) m 2 1 3, 98 9, 97 0, 75 3, 14 9, 42 0, 5 2, 02 9, 78 El valor promedio de la gravedad e de 9, 7 m 2 ; al compararlo con el valor acepado, la diferencia e de 0, 1 %. 8. Una maa de 1 kg unida a un reore de conane de fuerza igual a 25 N m, ocila obre una pia horizonal in fricción. En i = 0 el iema maa-reore e halla a 3 cm de la poición de equilibrio. Encuenre: Repuea a) El periodo de u movimieno. b) Lo valore máximo de la velocidad y aceleración. c) La ecuacione de movimieno del iema. a) Si la frecuencia angular w = 5 rad, donde T = 2π = 1, 25. w b) La velocidad y la aceleración máxima on repecivamene: v máx = ±15 cm y a máx = ±75 cm 2. c) De acuerdo a la condicione iniciale i = 0) el iema eá en x0) = 3 cm; luego, la ecuacione de movimieno que cumplen ea condicione iniciale on repecivamene: x) = 3cm) co v) = 15 cm [ 5 rad [ ) en a) = 75 cm ) co 2 29 ) ] 5 rad ) ] ] [ 5 rad )

40 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón 9. Una maa de 0, 5 kg unida a un reore de conane eláica de 8 N, de conane eláica, vibra con un M.A.S. a una ampliud de m 10 cm. Si comenzamo a conar la ocilacione cuando el bloque e encuenra a 10 cm de la poición de equilibrio. Calcule: Repuea a) La frecuencia angular, el periodo de u movimieno, el valor máximo de la velocidad y de la aceleración. b) La ecuacione de movimieno del iema. c) Grafique x v., v v. y a v.. d) La velocidad y la aceleración cuando la maa eá a 6 cm de la poición de equilibrio. e) El iempo que arda la maa en movere de x = 0 a x = 8 cm. a) La frecuencia angular, el periodo, la velocidad y la aceleración máxima on repecivamene: w 2 = k m = 8 0,5 = w = 4 rad, T = π 2, v máx = ±40 cm, a máx = ±160cm 2. b) Como la ocilacione e empiezan a conar en el momeno en que el bloque e encuenra en x = 10 cm, la ecuacione de movimieno on repecivamene: [ ) ] π rad x) = 10 cm) co v) = 40 cm a) = 160 cm ) 2 45 ) [ ) π rad en 45 [ π rad co 45 ] ) ] 30

41 Concepo báico de vibracione y onda c) La gráfica de: x v, v v y a v correponde a la Figura 10: poición, velocidad y aceleración x v a v v v Tiempo ) Figura 10 d) Si la frecuencia angular e w = 4 grado, reomando la ecuación de poición en función del iempo, del puno anerior, no queda: [ π 6 cm = 10 cm) co 45 [ ) ] π rad 0, 6 = co 45 [ ) ] π co 1 rad 0, 6 = 45 ) π rad 0, 29π = 45 = 13, 2 31 ) ] rad

42 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón e) Cuando = 13, 2 = x = 6 cm de la poición de equilibrio, aí: v) = 40 cm ) [ ) ] π rad en 45 v) = 31, 86 cm a) = 160 cm ) 2 [ π co 45 ) ] rad a) = 96, 74 cm 2 f) Para calcular el iempo en el cual el bloque e encuenra a 8 cm de la poición de equilibrio e realiza el iguiene procedimieno. De acuerdo con: enemo que: x) = 10 cm) co [ π 45 rad [ π 8 cm = 10 cm) co 45 [ ) ] π rad 0, 8 = co 45 [ ) ] π co 1 rad 0, 8) = 45 ) π 36, 86 0 rad = 45 = 9, 22 ) ] ) ] rad Del mimo modo, para x = 0 el iempo e: = 22, Una maa de 50 g conecada a un reore de 35 N de conane fuerza ocila obre una uperficie horizonal in fricción con m ampliud de 4 cm. Encuenre: a) La energía oal del iema cuando la maa e halla enre el puno de equilibrio y el puno x0) = 4 cm. b) La velocidad de la maa cuando el deplazamieno e 1 cm. Suponga que la maa e uela en x0) = 4 cm. c) La energía cinéica y poencial del puno b. 32

43 Concepo báico de vibracione y onda Repuea a) La energía oal del iema en x0) = 4 cm: E = ka2 2 = 35 N 4 m 10 2 m) 2 2 E = 0, 028 J b) Para hallar la velocidad de la maa cuando el deplazamieno e de 1 cm, primero deerminamo el iempo en ea poición: x = A cow) 1 cm = 4 cm) co 35 kg m 2 m 0, 05 kg 0, 25 = co 35 kg m 2 m 0, 05 kg 0, 25 = co26, 5 rad ) = 2, 84 por lo ano, la velocidad en ee puno e: 35 kg m v = 0, 04 m) kg m m en 2 2 m 2, 84 0, 05 kg 0, 05 kg v = 1, 06 m en 75,14 rad) = 0, 27 m c) La energía cinéica: Y la energía poencial: K mv2 = 0,05kg 0,27 m 2 2 K = 1, J U e 35 N m m) 2 2 U e = J 33 ) 2

44 Glady Paricia Abdel Rahim Garzón 11. Un péndulo imple iene un periodo de 2, 5 obre la Tierra. Cuando ée ocila obre la uperficie de oro planea, el periodo e de 0, 75, cuál e la aceleración de la gravedad en ee planea? Repuea El periodo del péndulo en cualquiera de lo planea e: L T = 2π g donde: T 1 = g 2 T 2 g 1 T g 2 = g 2 = 9, 8 2) T = 39, 2 4) m Se neceia deerminar la ecuacione de movimieno de péndulo imple, la condición e que en i = 0 la poición ea en θ = A. Repuea De acuerdo a la condicione inicale enemo que en θ = A la velocidad y la aceleración máxima on repecivamene: v0) = 0 y a0) = ±Aw 2. La ecuacione de movimeno on: Taller: M.A.S. θ ) = A co w) v ) = Awen w) a ) = Aw 2 co w) 1. Una maa unida a un reore eá obre una uperficie horizonal in fricción y ocila con una frecuencia de 2π Hz, la maa e uela en i = 0 a una diancia de 4 cm de la poición de equilibrio. Deermine la ecuacione de movimieno. 34

45 Concepo báico de vibracione y onda 2. Se cuelga una maa de 500 gramo de un reore cuya conane eláica e k = 2300 N. Si e deplaza 5 cm debajo de u poición de m equilibrio y e deja en liberad para que pueda ocilar libremene. Deermine: a) Ampliud, periodo del movimieno, frecuencia y frecuencia angular. b) La ecuacione de movimieno x v, v v y a v ). c) Grafique y v para ϕ = 0 y ϕ = π Un bloque de 1 kg e cuelga de un reore de conane eláica k = 2500 N. Si deplazamo dicho bloque 10 cm hacia abajo y luego m e uela. Con qué velocidad paa por la poición de equilibrio? y Cuál e el periodo de la ocilacione que realiza? Encuenre la ecuacione de movimieno. 4. La poición en función del iempo de un móvil que decribe un M.A.S viene dada por la expreión: [ x) = 2 m) co 2π rad ) ] + ϕ Deermine: a) Ampliud, frecuencia angular y periodo del movimieno. b) Encuenre la ecuacione de movimieno. c) Grafique x v para ϕ = 0 y ϕ = π Grafique la poición x de un objeo que experimena M.A.S. como una función del iempo, i: a) La ampliud e de 2 m, la frecuencia angular de 5 rad y la fae inicial de ϕ = 0. b) Sobre la mima gráfica dibuje la función para: ϕ = π 4, π 2 y π rad. Explique lo que e oberva cuando e pinan ea gráfica en un olo plano careiano. 35