LA TASA NATURAL DE INTERES: Estimación para la economía uruguaya. 1

Transcripción

1 LA TASA NATURAL DE INTERES: Esimación para la economía uruguaya. 1 Resumen Versión: Abril 2008 Verónica España Arias 2 Ese documeno aborda el ema de la asa naural de inerés (TNI) y presena una esimación de la misma para la economía uruguaya en el período comprendido enre 1992.I y 2007.II. La meodología uilizada es la desarrollada por Laubach y Williams (2001), que fuera adapada por Mésonnier y Renne (2004). Aplicando el filro de Kalman a un modelo semiesrucural pequeño de core neokeynesiano, que inena recoger las caracerísicas propias de la economía uruguaya, se esiman conjunamene la asa de inerés de equilibrio y la brecha produco. Como diferencia enre la asa de inerés real y la TNI, surge la brecha de la asa de inerés, que se consiuye en un indicador para evaluar las insancias de políica monearia durane el período de esudio. Cuando la referida brecha es posiiva, se concluye que la insancia monearia es conraciva; de ora manera, cuando la brecha es negaiva el sesgo de la políica se considera expansivo. De esa forma, el indicador sugiere que la insancia monearia en los úlimos res años de análisis ha sido sisemáicamene expansiva. Para el mismo período, se esima que la brecha produco fue posiiva, lo que esá en línea con lo esimado por oros rabajos realizados en la maeria. En lo que respeca a la uilización de ese ipo de esimaciones para la oma de decisiones de políica monearia en iempo real, se considera que debe ser realizada con cauela, eniendo presenes las relaivizaciones que le caben a las mismas, las cuales son desarrolladas en el presene documeno. Finalmene, los resulados alcanzados en la presene invesigación no parecen diferir en gran forma de lo hallado para oros países de América Laina. Códigos de clasificación JEL: C32, E43, E52 Palabras claves: Tasa naural de inerés, asa de inerés de equilibrio, filro de Kalman, brecha produco, produco poencial, modelo semiesrucural, represenación esadoespacio, variables no observables, insancia de políica monearia. 1 Documeno elaborado en base al rabajo de esis realizado para la obención del íulo de Maser en Economía de la Universidad de la República, dirigido por Elizabeh Bucacos. El mismo esá a disposición de quienes deseen profundizar en el ema. Los concepos involucrados en ese documeno son de esrica responsabilidad de la auora, no compromeiendo por ano, la opinión insiucional del Banco Cenral del Uruguay. Quisiera expresar mi agradecimieno a Elizabeh Bucacos por su excelene labor como uora. También agradecer los valiosos apores y comenarios que realizaran Daniel Dominioni, Adriana Induni, Elena Ganon, Gerardo Licandro, Alejandro Pena y Leonardo Vicene. Por úlimo, quisiera agradecer a quienes de una u ora forma me brindaron elemenos para conformar la base de daos necesaria para ese esudio: Jorge Basal, Andrés Bialososky, Luis Cáceres, Rosanna Fernandez, Kariné Hagopian, Gabriela Pacheco y Alvaro Pérez. 2 de conaco: vespana@bcu.gub.uy 1

2 Tabla de conenido I. INTRODUCCION...3 II. LA TASA NATURAL DE INTERES...5 III. METODOS DE ESTIMACION...10 III.1 Media de las asas reales de inerés efecivas de coro plazo...10 III.2 Modelos esrucurales...11 III.3 Indicadores de los mercados financieros...11 III.4 Modelos de componenes inobservables...12 IV. TRABAJO EMPIRICO:...14 IV.1 Esraegia economérica:...14 IV.2 El modelo:...14 IV.3 El filro de Kalman:...18 IV.4 Relaivizaciones a la esimación:...23 IV.5 Variables que inervienen en el análisis:...26 IV.6 Esimación del modelo: filro de Kalman...27 IV.7 Resulados obenidos:...33 V. CONCLUSIONES:...39 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

3 I. INTRODUCCION Desde julio de 2007 el Banco Cenral del Uruguay (BCU) uiliza como insrumeno de políica monearia la asa de inerés inerbancaria 3. En ese nuevo marco, resula fundamenal que la auoridad monearia (y los analisas económicos en general) cuene con indicadores que le permian moniorear si la insancia de políica que esá llevando adelane resula acorde con el objeivo buscado, la esabilidad de precios 4. La asa de inerés real que cumple con el objeivo planeado, es la asa de inerés naural (TNI). Esa asa fue definida originalmene por el economisa sueco Knu Wicksell a fines del siglo XIX 5, como aquella asa de inerés que era neural para los precios, en el senido de que no provocaba presiones ni al alza ni a la baja de los mismos. En función de dicha propiedad, la brecha enre la asa de inerés de políica y la naural se consiuye en un indicador de la insancia de políica. Cuando dicha brecha es posiiva, esaremos ane una insancia resriciva que busca la disminución de los precios, y si la brecha es negaiva, la insancia será expansiva generando de esa forma presiones inflacionarias. Sin embargo, la consrucción del mencionado indicador no es sencilla, pueso que la TNI es una variable no observable y exisen disinas formas de aproximarse empíricamene a la misma. Luego de analizar críicamene las diferenes meodologías de esimación que surgen de la bibliografía consulada, se opa por la meodología originaria de Labauch y Williams (2001), modificada por Mésonnier y Rénne (2004) y en ese caso adapada para recoger las paricularidades propias de la economía uruguaya, en paricular sus caracerísicas de economía pequeña y abiera. 3 Según consa en el comunicado de prensa del Comié de Políica Monearia (COPOM) del 4/9/2007. En los hechos y a modo de ensayo venía uilizándose la asa de inerés como insrumeno de políica monearia desde abril del mismo año. En el COPOM de febrero de 2008 se decide uilizar como asa de referencia la asa media de mercado, incluyendo en la misma, además de la mencionada a las asas de los insrumenos a un día del BCU. 4 Dicho objeivo es esablecido por la cara orgánica del BCU en su arículo ercero. 5 En ese puno parece haber consenso académico, sin embargo, Winr y oros (2005) mencionan como excepción la Escuela de Pensamieno Económico de Esocolmo, que señala que Wicksell se inspiró en los rabajos de Gunnar Myrdal. 3

4 La esimación, surge de la uilización del filro de Kalman y de un algorimo de maximización aplicado a un modelo semiesrucural para una economía pequeña y abiera. El modelo uilizado es de core neokeynesiano, uilizando para capurar el comporamieno de la inflación la curva de Phillips (curva de ofera agregada) y una curva de demanda agregada represenada por la curva IS. La regla de políica monearia, aparece implíciamene en la información uilizada, como es habiual en los países en los cuales no ha habido reglas explícias en el período muesral analizado. La dinámica del sisema es impuesa por las variaciones de baja frecuencia de la producividad de la economía, variable que explica las flucuaciones comunes de la TNI y del produco poencial, por lo cual, la esimación de dichas variables surge de manera conjuna. A pesar de la simplicidad del modelo empleado y el relaivamene coro periodo de iempo analizado (1992:I a 2007:II) se considera que es una buena aproximación al problema en cuesión y se consiuye en el primer anecedene para la economía uruguaya sobre el cual hay campo para coninuar avanzando. En cuano al rol de la TNI en el marco de la políica monearia aciva, cabe mencionar, que si bien su esimación se consiuye en un indicador de la posición de políica, dadas las dificulades que presena la evaluación de la misma por su carácer no observable, debe ser considerada como una herramiena más denro del conjuno de información a ser evaluado por las auoridades monearias al conducir su políica. Por ora pare, a la hora de analizar la políica monearia desde una perspeciva hisórica, ese indicador no encuenra críicas, permiiendo evaluar las insancias monearias pasadas y sus efecos sobre el produco y la inflación. Ese rabajo se esrucura en cinco capíulos incluyendo esa inroducción. En el siguiene capíulo se define la TNI. Luego de abordar el ema desde un puno de visa eórico, en el capíulo dos se realiza la aproximación empírica al mismo, presenando las diferenes esraegias meodológicas de esimación. En el capíulo cuaro, se presena el rabajo empírico. Ese capíulo coniene en primer lugar la meodología economérica uilizada, definiendo para ello el modelo semiesrucural empleado y el filro de Kalman. Denro de ese capíulo, además, se deallan los pasos seguidos para la esimación de los disinos parámeros necesarios para la aplicación del mencionado filro y se analizan los resulados obenidos. En el quino y úlimo capíulo, se realizan comenarios finales. 4

5 II. LA TASA NATURAL DE INTERES El origen del concepo de la asa naural de inerés se remona a En dicha fecha, Wicksell define a la TNI en érminos del rendimieno del capial. Según ese auor, dicha asa es equivalene al rendimieno obenido por la inversión física en una economía sin fricciones. Eso es, en ausencia de rigideces nominales, la asa de rendimieno del capial se corresponde con su producividad marginal nea de depreciación, y a dicho nivel de rendimieno, se logra el equilibrio de largo plazo enre ofera y demanda de facores producivos, de forma al, que no exisen presiones sobre los precios y el produco se encuenra en su nivel poencial. La definición Wickselliana de la TNI esá relacionada con facores esrucurales y es la asa que prevalecerá bajo precios flexibles. Sin embargo, bajo la exisencia de rigideces nominales (de precios y/o salarios) se generan brechas enre la asa de inerés real observada en la economía y su asa naural. En función de dicha definición, Wicksell esablece una relación enre la brecha de la asa de inerés real respeco a la TNI y la evolución de los precios. La asa naural es la única asa de inerés a la que se puede pedir presado que es neural a los precios, en el senido de que no iende a incremenarlos ni a disminuirlos. Si la asa de inerés real se encuenra por debajo de su valor de equilibrio (brecha negaiva), los precios se incremenaran y si por el conrario la brecha es posiiva los precios disminuirán. Taylor a comienzos de los novena, desarrolla una regla simple para deerminar la asa de inerés nominal de coro plazo, e incorpora en la misma a la TNI. En la regla de Taylor, la asa de inerés nominal de coro plazo es una función lineal que se basa en un valor de equilibrio de la asa de inerés (TNI) y en dos brechas, la de la inflación respeco a su valor mea y la del produco respeco a su nivel poencial, como se observa en la siguiene ecuación:

6 Ecuación 1 N ( p+ 1 p+ 1) ( ) r = r +β E + E y y N + v Siendo, r la asa de inerés real π inflación mea Επ + 1inflación esperada 1 períodos en adelane y Produco en v choque de políica moneario exógeno variables en "N" equilibrio (TNI y poencial) Si bien en la regla de Taylor la asa de equilibrio es considerada consane, siendo la ordenada en el origen de la ecuación 1, en la definición descripa por Wicksell, la asa de equilibrio es variable en el iempo, varía en función de los fundamenos de la economía. En ése senido, la evolución de la asa de equilibrio esa sujea a shocks reales y varía en la medida de que ésos afecan el nivel del produco poencial, cambian sus deerminanes fundamenales, las preferencias de los consumidores, se suscian cambios ecnológicos o se producen cambios esrucurales produco de la políica fiscal o del grado de aperura de la economía, cambia la producividad, la asa de crecimieno de la población, o el sock del capial. A modo de ejemplo, si los consumidores anicipan un incremeno en la producividad, desearán consumir más en el presene como consecuencia del incremeno esperado en su ingreso, por lo cual, para manener el equilibrio, la asa naural de inerés deberá incremenarse, incenivando el ahorro de forma de eviar presiones de demanda que incremenen la brecha produco. A comienzos del siglo XXI Woodford reoma el concepo de TNI planeado por Wicksell, en el senido de que considera a dicha asa variable en el iempo, al exremo de definirla como aquella asa real que asegura en odo momeno la esabilidad de precios. Woodford define la TNI como la asa de inerés real en un modelo de equilibrio general con precios flexibles, y en ese esquema, aunque depende solo de variables reales, la asa real observada es afecada por shocks nominales, por lo que puede diferir de su valor de equilibrio. Sin embargo, la políica monearia no afeca la TNI, porque no iene efecos sobre el equilibrio real de la economía, ni a coro, ni a largo plazo 6. 6 Al respeco ver Woodford (2003, pag ). 6

7 De la mano de Woodford, surge una numerosa bibliografía en el marco del análisis de la políica monearia que Mésonnier y Renne (2004) denominan Neo- Wickselliana. Denro de esa corriene, pueden disinguirse disinos subgrupos, en función de la meodología de esimación que uilizan para aproximarse al concepo de la asa de equilibrio. Laubach y Williams (2001) esablecen que la caracerísica de variabilidad en el iempo de la TNI es lo que dificula su esimación. Dichos auores señalan que de no verificarse dicha caracerísica, para esimar la mencionada asa, basaría con calcular la media simple de la asa de inerés real de coro plazo para un periodo relaivamene largo de iempo y sin grandes flucuaciones de la inflación endencial. Esos auores, para ejemplificar la relación enre la asa naural de inerés y sus fundamenos uilizan el conexo esándar de los modelos de crecimieno neoclásico, según el cual, la asa de inerés de equilibrio esa en función de la asa de crecimieno endencial del produco. Echevarría y oros (2006), consideran al respeco el modelo de Ramsey (1928), obeniendo una relación posiiva enre la asa de inerés neural y el crecimieno de la producividad mulifacorial. Ecuación 2 N * r = f '( k ) δ=ρ+ qa Siendo, a crecimieno porcenual de la producividad mulifacorial δ asa de depreciación del capial * k relación capial rabajo en el esado esacionario N r TNI ρ asa de preferencia ineremporal por el consumo q coeficiene de aversión al riesgo en la función de uilidad Desde el puno de visa empírico, la aproximación al concepo de inerés encuenra dos enfoques, dependiendo de la frecuencia emporal en que se basen sus esimaciones, uno basado en el coro plazo y oro que se cenra más en el mediano y largo plazo. Laubach y Williams (2001) descomponen los movimienos del produco en flucuaciones de baja y ala frecuencia, el primero de esos enfoques raa de esimar el componene de ala frecuencia y el segundo se cenra en el de baja. 7

8 Desde la perspeciva de coro plazo, la TNI se define como aquel rendimieno que garaniza la esabilidad de precios período a período. Eso es posible en un equilibrio que se logra en ausencia de rigideces de precios. Esa aproximación, se idenifica con la meodología de modelos esrucurales descripa en el próximo capíulo, puno III.2. Los rabajos que se basan en esa perspeciva, explican la mayor pare de las flucuaciones de las asas reales observadas por flucuaciones en la TNI. Como fue mencionado, oro grupo de auores, se basan en una perspeciva de más baja frecuencia. Bajo ese puno de visa, la TNI se absrae de las flucuaciones de los precios y del produco de coro plazo. Asimilándose ese concepo de asa de equilibrio al del produco poencial en el senido de variable laene y de largo plazo. La asa de inerés real puede enonces, en el coro plazo diferir de la asa neural, pero en períodos largos se supone que las variables observables coincidirán en promedio con las inobservables. La TNI desde esa perspeciva, es aquella asa consisene con una inflación esable y un produco en su nivel poencial, es decir, es la asa de inerés real de coro plazo que prevalece cuando los efecos de los shocks sobre la demanda y sobre la ofera han desaparecido. La meodología que se guía por esa definición es la desarrollada originalmene por Laubach y Williams (2001), se clasifica en el capíulo siguiene denro del puno III.4 y es la elegida para la aproximación empírica del fenómeno en cuesión en el presene rabajo, por las razones que se exponen poseriormene en el puno IV.1. 8

9 Ilusración II-1 APROXIMACION TEORICA AL CONCEPTO DE TNI El concepo de TNI es originario de Wicksell (1898) y reomado un siglo después por la lieraura Neo-Wickselliana, en el marco del análisis de la políica monearia. Se define a la TNI como aquella asa de inerés real de coro plazo que reúne las siguienes caracerísicas: 1. Es igual a la producividad marginal del capial nea de depreciación 2. Es consisene con el produco en su nivel poencial 3. Se asocia a una relación de equilibrio, consisene con la esabilidad de precios 4. Evoluciona en el iempo asociada a facores esrucurales de la economía (producividad, preferencias de los consumidores, asa de crecimieno de la población, sock de capial, políica fiscal, ec.) La exisencia de rigideces nominales en la economía puede hacer que exisan brechas enre el valor de equilibrio de las variables y su valor observado en el coro plazo. Basado en ese hecho, a ravés de los modelos neo-keynesianos, se relacionan la brecha produco, la brecha de la asa de inerés real de coro plazo y la asa de inflación. Dichas relaciones pueden resumirse en los siguienes encadenamienos: N d o i = i i% = 0 y = y y% = 0 p = 0 N d o i > i i% > 0 s y < y y% < 0 p < 0 N d o i < i i% < 0 s y > y y% > 0 p > 0 Basado en dichas relaciones la TNI se consiuye en un indicador de la insancia de políica monearia. Si la brecha es posiiva, se considerara la insancia como conraciva y si es negaiva, como expansiva. La asa de equilibrio, como oda variable laene presena dificulades para su esimación y para la evaluación de la misma. En el siguiene capíulo, se presenan las disinas esraegias economéricas que se encuenran en la lieraura para esimar dicha asa y según las cuales se puede enconrar maices en la definición uilizada. 9

10 III. METODOS DE ESTIMACION Siguiendo la clasificación que realizan Winr y oros (2005) podemos agrupar en cuaro clases las aproximaciones empíricas de la TNI que se encuenran en la bibliografía. A coninuación, se analizan críicamene los cuaro méodos y se señalan los auores que se han inclinado por cada uno de ellos. III.1 Media de las asas reales de inerés efecivas de coro plazo El modo más sencillo de esimar la asa de inerés de equilibrio es realizando un simple promedio de las asas reales de inerés de coro plazo efecivas. Ese es un méodo que uiliza un enfoque univariado de series de iempo. En ese caso, la TNI surge de aplicar algún filro de suavizamieno como el Hodrick-Presco (HP) sobre las asas de inerés reales observadas. Los filros así aplicados sobre las series de iempo, separan el componene cíclico de la endencia secular, uilizando dicha endencia como proxy del nivel naural de la serie. Si bien ese méodo posee la venaja de ser relaivamene sencillo de aplicar y requiere solamene modelar la esrucura de la serie, posee desvenajas asociadas ambién a su sencillez. Según Williams (2001) ese méodo brinda buenas esimaciones en períodos de inflación esable y crecimieno del produco, pero es un mal esimador cuando la inflación cambia susancialmene. Tiende a subesimar la TNI cuando la inflación se incremena y a sobreesimarla cuando se verifican períodos de deflación. Orphanides y Williams (2001) uilizan ese méodo como una de las formas de aproximarse al concepo. Por ora pare, Casillo y oros (2006), lo uilizan como referene para evaluar su esimación de la TNI para Perú basada en la aplicación del filro de Kalman a un modelo semiesrucural. 10

11 III.2 Modelos esrucurales Una forma de obener una esimación de la asa de equilibrio variable en el iempo y a su vez conar con una inerpreación económica de dicha evolución, es consruir un modelo de equilibrio general dinámico esocásico (DSGE, por su sigla en inglés). La TNI, es la asa de rendimieno real que iguala la demanda agregada con el produco poencial en odo momeno, dado que en esos modelos neo-keynesianos generalmene se represena una economía con precios oalmene flexibles. Ese ipo de meodología se cenra en esimar una asa de inerés real que se obiene en un equilibrio donde el enfoque es de coro plazo. Ese enfoque de DSGE posee la venaja de brindar una inerpreación esrucural de la brecha de la asa de inerés y de sus flucuaciones, cosa que los enfoques puramene esadísicos como los presenados en el puno anerior no permien. Sin embargo, ese ipo de esimación recibe la críica de ser muy voláil y sensible a los supuesos que se consideren para elaborar el modelo, respeco a la esrucura de la economía y a la esrucura de los shocks. En algunos casos incluso, la TNI esimada puede resular mas voláil que la asa de inerés real efecivamene observada (Giammarioli y Valla; 2003). III.3 Indicadores de los mercados financieros Ora meodología uilizada es inferir la asa real de equilibrio de la opinión de los inversores en bonos indexados a la inflación. Los rendimienos reales de los íulos indexados a la inflación son omados como proxy de la TNI. Esa meodología considera que las expecaivas de los paricipanes del mercado acerca de las asas de inerés de 5 a 10 años en adelane, son la mejor predicción de la asa de inerés de equilibrio de largo plazo. Las venajas que se le reconocen a ese enfoque ienen que ver con su simplicidad, el hecho de ser forward-looking y que esá disponible en iempo real. Sin embargo, encuenra la críica de no ser aplicable en gran pare de las economías, dado que no se cuena con una serie lo suficienemene exensa, pueso que en la mayoría de los países los insrumenos indexados a la inflación son relaivamene recienes. Ora críica, es que generalmene los bonos indexados a la inflación esán 11

12 disorsionados por el premio por la liquidez, por el plazo y pueden esarlo, coyunuralmene, por ruidos en los mercados. Bomfim (1997) es señalado en la lieraura consulada como el precursor de ese méodo, aplicándolo para Esados Unidos. III.4 Modelos de componenes inobservables Ora esraegia de esimación, es esimar una serie de iempo para la asa naural de inerés, a ravés de los modelos de componenes inobservables. Se comienza especificando un modelo macroeconómico simple, compueso por una forma reducida de la curva de Phillips represenando la ofera, una curva de demanda simplificada en la IS, y oras ecuaciones que explican la dinámica del sisema. A dicho modelo semiesrucural se le aplica el filro de Kalman (cuyo desarrollo eórico se presena en el puno IV.3) y se esima simuláneamene la TNI variable en función del iempo y el produco poencial u oros componenes inobservables como la asa naural de desempleo. Mediane ese méodo, la TNI se enfoca en el mediano plazo, cuando los efecos de shocks ransiorios en la brecha del produco y la inflación han desaparecido. En ese senido, ésa esraegia respea la definición de Wicksell. La venaja de ese enfoque semiesrucural, es su robusez frene a los supuesos esrucurales que se impongan. Si bien es menos preciso en su forma que los modelos DSGE, es una definición más raable desde el puno de visa prácico y es el méodo que obiene más adepos en la lieraura. Sin embargo, es necesario relaivizar el uso que se puede dar a la esimación de la TNI que surge de esa meodología. Esas limiaciones ienen que ver con el hecho de realizar esimaciones en iempo real y con el sesgo hacia el cero en la disribución de probabilidad de algunos parámeros a esimar por máxima verosimiliud ( pile-up ). Problemas que son reomados y profundizados en el puno IV Considerando que como se dealla más adelane en el documeno, es la meodología elegida para ese rabajo, se prefirió profundizar en esas relaivizaciones en dicho puno para que a la hora de la lecura de los resulados obenidos se engan bien presenes sus aplicaciones y limiaciones. 12

13 Dichas relaivizaciones sugieren que ese ipo de esimaciones debe ser omado con cauela a la hora de realizar recomendaciones de políica económica. Sin embargo, esa meodología inermedia enre la complejidad de los DSGE y las esimaciones puramene esadísicas comúnmene uilizadas aplicando el filro de HP brinda una esimación que se consiuye en una herramiena úil para analizar, expos, la insancia de políica monearia. Para concluir ese capíulo, en la siguiene ilusración se resumen los méodos de esimación analizados: Ilusración III-1 Méodo Procedimieno Venajas Limiaciones Medias de asas de inerés reales efecivas Filros esadísicos que asocian la TNI al componene endencial de la serie. Ej. HP Méodo de aplicación relaivamene sencilla Ese enfoque univariado se encuenra muy influenciado por la esrucura de la serie, lo cual puede conducir a sesgos en la esimación. Modelos esrucurales Indicadores de los mercados financieros Se esima la TNI como la asa de rendimieno real que iguala la demanda agregada con el produco poencial en odo momeno a ravés de un modelo de equilibrio general dinámico esocásico. Los rendimienos reales de los íulos indexados a la inflación son omados como proxy de la TNI. Permie una visión esrucural acerca de la brecha de la asa de inerés y de sus flucuaciones. Enfoque simple, forward-looking y disponible en iempo real. La esimación es muy sensible a los supuesos acerca de la esrucura de la economía y de sus shocks, en ese enfoque de coro plazo. Disponibilidad de series de emisiones indexadas a disinos plazos. Disorsiones relacionadas con el premio por la liquidez, plazo y ruidos coyunurales de los mercados. Modelos de componenes inobservables La TNI surge de la aplicación del filro de Kalman sobre un modelo semiesrucural pequeño que represena la economía. Enfoque de mediano plazo, más sencillo que el basado en modelos esrucurales y robuso en lo que iene que ver con sus supuesos. Las limiaciones refieren a: la especificación del modelo, la esimación en iempo real y al problema pile-up. 13

14 IV. TRABAJO EMPIRICO IV.1 Esraegia economérica En función del análisis críico realizado acerca de los disinos méodos que exisen para esimar la TNI, se opa por la meodología originaria de Laubauch y Williams (2001), basada en la esimación de la misma a ravés del filro de Kalman aplicado a un modelo semiesrucural de componenes inobservables. El fundameno de la elección, además de basarse en los pros y conras de cada méodo, se basa en las limiaciones que encuenran la aplicación de los mismos en el marco de la economía uruguaya. Al respeco, cabe mencionar que aún no se disponen esimaciones de un modelo DSGE 8, exise un esfuerzo muy reciene de consruir una curva de rendimienos por lo cual aún no es posible inferir la TNI del puno de visa de los inversores y ampoco se cuena con una serie exensa de insrumenos indexados 9. En el enfoque adopado, la TNI es la asa de inerés real de coro plazo consisene con el produco en su nivel poencial y la inflación igual a la mea de mediano plazo, es decir, cuando los shocks nominales han desaparecido. IV.2 El modelo Como fuera mencionado aneriormene, el modelo es del esilo del propueso por Laubach y Williams (2001) modificado por Mésonnier y Renne (2004) y Echevarría y oros (2006), y adapado para recoger las caracerísicas propias de la economía uruguaya. Tal como se presena en la ecuación 5, el modelo general esá compueso por una curva IS, que represena la curva de demanda agregada, una curva de Phillips para simbolizar la curva de ofera y res ecuaciones más que describen la dinámica del modelo, la cual esá en línea con el modelo de crecimieno de Ramsey para el esado esacionario, planeado aneriormene en la ecuación 2. 8 Sin embargo, Bucacos, BCU, esá rabajando en un modelo DSGE y espera que próximamene esé funcionando. 9 Los mismos comenzaron a emiirse poco después del 12 de junio de 2002, fecha en que el Poder Ejecuivo dispuso la creación de la unidad indexada, y exisieron períodos de iempo en los cuales dichas emisiones se disconinuaron. 14

15 La regla de políica esá implícia en el modelo, como es común en la lieraura para el caso de aquellos países que no poseen una regla explícia de políica denro del período muesral analizado. De forma simplificadora, se supone que la políica monearia solo afeca la asa de inflación indirecamene, a ravés de su efeco sobre la brecha produco, por lo cual los hacedores de políica influirán sobre la inflación por lo menos con un rezago de dos períodos 10. Ecuación 3 j k l m 1. y% = α y% + α r% + α q + α TI + j κ l m j=1 j k=1 j+ 1 l=0 j++ 1 l m=0 j+++ 1 l m n p q B A US y C n p y q n=0 j+++ 1 l m+ n p=0 j+++ 1 l m+ n+ p q=0 j+++ 1 l m+ n+ p+ q + α + α + α + ε r s u m r s % u r=1 r s=0 r+ s u=1 r+ s+ u N = µ r + θra N y y = y + ya + a = Ψa 1 + ε N = + % N N N = + % = + p+ 1/ 2. π = βπ + β π + β y r µ θ ε a y y y 7. r r r r ( i -r ) + ε Para recoger caracerísicas propias de la economía uruguaya, se incorporan en la ecuación de demanda, puno número 1 en la ecuación 5: el produco brasileño ( B y ), el de Esados Unidos ( π US y ) el consumo argenino 11 ( C A y% ), los érminos de inercambio ( TI ) y el ipo de cambio real mulilaeral ( q ). Si no exisen variaciones en dichas variables que represenan la demanda exerna y si la brecha de la TNI (r% ) y% es nula, en ausencia de oros shocks de demanda ( ε ), se cierra la brecha produco ( y% ). 10 Al respeco, cabe mencionar que exise evidencia empírica para Uruguay que encuenra una vinculación enre la brecha de produco e inflación, pero esa vinculación desaparece cuando se incorporan los salarios. En ese caso, la políica monearia endría influencia direca en la inflación y a ravés de la políica cambiaria. 11 También fue eseado el produco argenino, pero como se expone en el anexo del documeno de esis, el modelo que mosró mejor ajuse fue el que enia el consumo como explicaivo. 15

16 En la ecuación de ofera, segunda ecuación planeada en el modelo que se especifica en la ecuación 5, como deerminane parcial de la inflación se incorpora la m evolución de los precios de los bienes imporados ( π ) y del ipo de cambio a ravés de la evolución de dichos precios expresados en pesos. Las ecuaciones res y cuaro del modelo definen a la TNI y a la asa de crecimieno del produco poencial. La TNI es definida como un proceso auorregresivo, y su dinámica es regida en conjuno con la del produco poencial, por la evolución de a 12, que represena la asa de crecimieno de la producividad 13. Siguiendo Mésonnier y Renne (2004), se considera que dicha asa de crecimieno sigue un proceso auorregresivo esacionario 14 y su persisencia esá deerminada por el parámero Ψ. La asa de inerés nominal i, refiere a la asa call inerbancaria. La selección de dicha asa se realizó en función de que bajo el régimen acual de políica monearia la misma es omada como asa de referencia. Además, aunque algunos rabajos consideran la asa implícia en algunos íulos emiidos por el banco cenral, en el caso de Uruguay no exise una serie coninua exensa homogénea de íulos emiidos a ningún plazo en especial. Por su pare, Laubauch y Williams (2001) señalan que uilizar asas de inerés de coro plazo iene res ipos de venajas frene a las de largo plazo. La primera iene que ver con que permie una mejor esimación de las expecaivas de inflación, la segunda con que el premio asociado a la preferencia por la liquidez incluido en las asas de largo es variane en el iempo y la ercera es que las asas de largo son afecadas generalmene por las flucuaciones de oras variables que no afecan a las de coro. Los choques definidos en cada ecuación, ε, se disribuyen normalmene y de manera independiene, con la siguiene mariz de varianzas y covarianzas: 12 A diferencia de Laubach y Williams (2001) se supone que las flucuaciones de la TNI solo esán regidas por la producividad, de ora forma se agrega complejidad al análisis, en el senido de que se debe inferir de una variable no observable dos componenes inobservables en su comporamieno. 13 Que las flucuaciones de baja frecuencia del produco y de la TNI sean comunes, es consisene con la definición planeada de la TNI. Además, aunque en algunos rabajos consulados no se impone dicha resricción, en ese caso se aplica el comenario de Manrique y Márquez (2004) acerca de que incorporar más variables que expliquen la evolución de dichas variables en forma separada, agregan parámeros que en una muesra reducida complican a la hora de exraer conclusiones. 14 Dichos auores rabajan con ese supueso en el enendido de que de no ser así, el produco poencial podría ser inegrado de orden 2. 16

17 Ecuación 4 e = 2 σ y % σp σ y σ 2 a Los rezagos que se incluyen de cada variable en las ecuaciones son deerminados a ravés de la esimación uniecuacional por MCO, ano de la IS como de la curva de Phillips (para un mayor dealle de esa esimación remiirse al documeno de esis). A ravés de la ilusración IV.1 se clarifican los efecos (de primera vuela) de variaciones en la brecha de la asa de inerés consisenes con la esrucura del modelo a esimar. Ilusración IV-1 r Variaciones en a (producividad) TNI Brecha TNI Brecha Produco +1 Produco poencial Brecha Produco Inflación +1 Inflación +2 17

18 IV.3 El filro de Kalman En visa de que la TNI es una variable no observable, para su esimación se recurre a la uilización de un algorimo recursivo de suavizamieno. A parir de la aplicación del filro desarrollado por Kalman 15, se obiene una esimación de dicha variable como una proyección lineal sobre oda la información muesral y la esrucura de la economía. El filro pare de una represenación del esado-espacio del modelo que debe conemplar la realidad siendo simuláneamene parsimonioso. La esimación de la variable no observada se realiza a ravés de un procedimieno recursivo de predicción y corrección, de forma de obener un esimador lineal, insesgado y ópimo al momeno con la información disponible hasa -1. El algorimo adiciona a cada nueva predicción un érmino proporcional al error de predicción comeido al proyecar a ravés del modelo las variables observables, de forma de minimizar esadísicamene el error de proyección. Para eso necesia servirse de valores iniciales para la media y la varianza del vecor de esado (de variables no observables), los cuales como se menciona poseriormene no resulan riviales. De manera general, la forma del modelo en su represenación esado-espacio consise en dos grupos de ecuaciones. La primera, denominada ecuación de medida o M de observaciones (ecuación 7), expresa el vecor de variables observadas ( w 1) S como una función lineal del vecor de variables de esado ( v 1 ), más oro vecor de W variables exógenas, más un ruido ( w 1 error de medida). 15 Rudolf Kalman en 1960 basándose en el méodo de mínimos cuadrados recursivos encuenra una solución para el filrado de daos en modelos de esado-espacio. 18

19 Ecuación 5 M = GS + GY + W 1 2 ' R s= { Ww 1} : WN( 0, { R } ) el vecor W iene media 0 y E( W,W s ) = 0 s G 1w ves la mariz de parámeros relacionados con las variables de esado Y es el vecor de z variables exógenas z 1 G es la mariz de parameros relacionados con las variables exógenas 2w z La segunda ecuación, esá dada por la ecuación de esado o ransición (ecuación 8), que relaciona el vecor de variables no observadas con su valor anerior (proceso auorregresivo de orden uno), con variables exógenas, más un ruido (comporamieno esocásico del modelo que cambia en el iempo). Ecuación 6 S = FS + FZ + V ' Q s= Vw 1 WN ( Q ) el vecor V iene media 0 y E ( Vs,V ) = 0 s F1 w ves la mariz de parámeros relacionados con las variables de esado del período previo Z es el vecor de z variables exógenas { } : 0, { } z 1 F 2w z es la mariz de parámeros relacionados con las variables exógenas Además, el procedimieno se basa en el supueso de que los errores del sisema, así como la información adicional que se incorpore al mismo presenan una disribución normal 16 de media cero y varianza deerminada, los errores no esán correlacionados enre sí, ni lo esán con el esado inicial (ecuación 9). 16 Ese supueso garaniza que la esimación del vecor de esado sea insesgada. 19

20 Ecuación 7 ' ( s ) E W,V = 0 s y S 1 esa incorrelacionado con odos los érminos de los ruidos V { } yw { } Como fuera mencionado, el filro de Kalman aplica un procedimieno recursivo en el cual se esima la variable de esado en función de valores iniciales y luego se reroalimena por medio de daos observados. A las ecuaciones mediane las que se proyeca el esado en el momeno, omando en cuena la información del mismo en el momeno -1 y la mariz de covarianzas del esado, se les denomina ecuaciones de predicción, ecuación 10. Mienras que el grupo de ecuaciones responsables de la reroalimenación del filro se les denomina de acualización o corrección, ecuación 11. Las ecuaciones de acualización incorporan nueva información para llegar a una esimación mejorada del vecor de esado. Ecuación 8 Predicción del vecor de esado: ˆ ˆ ˆ S = FS + FZ * Predicción de la covarianza del error de predicción: P = FP F + Q * T

21 Ecuación 9 Ganancia de Kalman: T ( ) K = PG GPG + R * T * Acualización de S uilizando la medida: ˆ ˆ ˆ * * T S = S + K M GS 1 FP 1 1F1 + Q Acualización de la covarianza del error: * ( ) P P = I KG 1 Para deerminar los parámeros iniciales S 0 se define como un parámero deermínisico desconocido µ, al que modelo son ( Q,R) verosimiliud, para un Q dado 17. ˆ S = µ, de forma que los parámeros del 0 µ, = q, que son hallados maximizando su función de Los pasos requeridos para hallar los parámeros que maximizan la función de verosimiliud son los siguienes: 1. Para un Q dado, de predicción ˆ ˆ 2 S = µ y σ = 0 ω ϖ, obener a ravés de la ecuación S, y la predicción de la covarianza del error (P). 2. La segunda eapa corresponde a la corrección de la predicción y comienza con el cálculo de la ganancia de Kalman, facor de ponderación que minimiza la covarianza del error de la nueva predicción 17 Dado que los errores se suponen que se disribuyen normalmene, ambién lo hará S 21

22 del vecor de esado. La nueva predicción se genera adicionando a la predicción anerior dicha ganancia por el error comeido al proyecar el vecor de esado uilizando la ecuación de medida. Por úlimo se vuelve a calcular la covarianza del error de predicción. esimaciones: Como resulado de la aplicación del filro pueden obenerse las siguienes Predicción, la esimación para el vecor de esado en k+1, se obiene omando en cuena las medidas de M(0),.M(k). Filrado, refiere a la esimación del vecor de esado en k, considerando la información de las medidas hasa k. Suavizado, con la información de las medidas hasa k esima el vecor de esado hasa k-1. A coninuación se presena, en la ilusración IV.2, un gráfico clarificador respeco a los disinos ipos de esimaciones, y en la IV.3, un esquema que sineiza el procedimieno de opimización, exraídos de noas docenes del Deparameno de Elecrónica de la Universidad de Alcalá y del rabajo de Echevarría y oros (2005) respecivamene. Ilusración IV-2 S(k+1) S(k) S(k-1) M(k) M(k) M(k) Predicción Filrado Suavizado 22

23 Ilusración IV-3 Valores iniciales: ( µ, Q,R) = q Filro de Kalman =1,..N Esimación de los errores de predicción No Cálculo del valor de la función de verosimiliud, es máximo respeco a la esimación anerior? Si FIN IV.4 Relaivizaciones a la esimación A la hora de uilizar la esimación con fines de políica económica, debe enerse en cuena una serie de limiaciones que presena la misma, fundamenalmene debido al alo grado de inceridumbre relacionado con la especificación del modelo y con el problema de filrado en iempo real. Problemas relacionados con la especificación del modelo En lo que iene que ver con la especificación del modelo que sirve de base para las esimaciones, una de las limiaciones que enfrena es el hecho de no poseer un referene. Los parámeros son calibrados uilizando la esimación por MCO de las curvas de Phillips e IS, que se comporan de acuerdo a la eoría y replican bien los hechos esilizados. En la bibliografía consulada se uilizan los parámeros de los modelos semiesrucurales de proyecciones rimesrales de los bancos cenrales como 23

24 referencia. Se considera que en la medida que ese ipo de modelos sean desarrollados para Uruguay se conaría con un puno de avance para la presene esimación. Además, D Amao (2005) realiza una serie de críicas a la especificación de modelos neokeynesianos para esimar la TNI. Señala que las imperfecciones del mercado financiero hacen que exisan diferencias enre la asa naural de largo plazo y la suma desconada de las asas de coro plazo esperadas. Una de esas imperfecciones es el premio por el riesgo, en ese senido se considera que los hacedores de políica deberían ener una idea de cómo ése riesgo es afecado por variaciones que se realicen en la asa de políica o en la asa naural. Esimación en iempo real Oro inconveniene que encuenran los hacedores de políica en la uilización de ese ipo de esimaciones es que no se conocen los valores de la asa naural en iempo real, eso es, cuando se ienen que omar las decisiones de políica. Orphanides y Williams (2002) esiman ese ipo de error, comparando las esimaciones realizadas en iempo real ( one-sided ) de aquellas suavizadas por el hecho de ser esimadas con rerospeciva ( wo-sided ). En la lieraura de los rabajos economéricos surge una serie esimada de la TNI variable en el iempo que puede ser wo-sided, pero los hacedores de políica cuenan con la desvenaja de que deben de omar su decisión basándose en esimaciones de la TNI realizadas con información disponible al momeno, one-sided. Sin embargo, ese ipo de problema es mayor en las esimaciones basadas en filros univariados, alamene sensibles a la observación final. Esos filros, como el HP, presenan el inconveniene de no ser buenos para disinguir enre las flucuaciones seculares o las cíclicas, hasa que se cuena con la información del dao siguiene, problema menos evidene en filros mulivariados. La meodología que se sigue comúnmene al aplicar los filros univariados es proyecar la serie hacia delane y aplicar luego el filro. 24

25 Al presenar los resulados, se ejemplifica gráficamene (gráfica 1 sección IV.7) las diferencias que se pueden susciar enre las esimaciones, según sea la información que consideren de base. Además, el hacedor de políica para la uilización en iempo y forma de ese ipo de esimaciones se enfrena a problemas de medición de las propias variables observables (que son sujeas a revisiones) y el hecho de que los valores esimados de los parámeros son afecados por oda la muesra. Problema de pile-up El problema denominado pile-up iene que ver con el sesgo en las funciones de disribución de probabilidades de las variables no observables. Al inenar inferir desde series con varianzas mayores a las varianzas de las variables poenciales, se sesga la varianza de ésas úlimas a cero. Una de las formas de lidiar con ese problema es imponer resricciones que ienen que ver con las relaciones enre la señal y el ruido. Como se desarrolla en la sección V.6, siguiendo a Mésonnier y Renne (2004), se fijaron dos raios, γ =σ σ, y γ 2 = qr qy. 1 y y% Si γ 1 es muy grande, implica que la asa de crecimieno del produco poencial es más voláil que la brecha produco, por lo cual en general se eligen valores menores que uno para ese raio. Por ora pare, si ese raio es cero, implica que la varianza del produco es nula. Como se puede observar en la ecuación 5, eso es equivalene a suponer que la asa de inerés naural y el produco poencial ienen las mismas flucuaciones, dado que si variables es el que les ransmie y menores o iguales a 1. y ε es cero, el único shock que reciben ambas a. Por lo anedicho se esean valores mayores a 0 Por su pare, γ 2 represena cuáno de las flucuaciones de baja frecuencia de la producividad son rasladadas a la asa de inerés naural en relación al produco poencial. El coeficiene valores enre 1 y 20 para esa relación. q r represena el grado de aversión al riesgo. Se esearon 25

26 IV.5 Variables que inervienen en el análisis Anes de presenar la esimación del modelo, en el presene aparado se describen las variables incluidas en el modelo esimado, ver ilusración IV II 19. Los daos son rimesrales y refieren al período comprendido enre I y Ilusración IV-4 NOMENCLATURA SERIE y p m p q Logarimo del produco inerno bruo uruguayo (PIB, IVF base 85, fuene BCU) desesacionalizado (uilizando X-12-ARIMA). Tasa de inflación anual, aproximada anualizando la diferencia del logarimo del IPC base 85 core (sin considerar fruas, verduras, precios adminisrados, ni servicio domesico) promedio rimesral y muliplicando por 100. Tasa de inflación anual de los bienes imporados, aproximada anualizando la diferencia del logarimo rimesral de la serie rimesral de precios de los bienes imporados y muliplicando por 100. Variación rimesral del ipo de cambio real mulilaeral. US y Variación rimesral del PIB de EEUU desesacionalizado publicado por el Bureau of Economic Análisis A c Variación rimesral del consumo argenino, fuene INDEC, i TI_bsyss desesacionalizado por medio del X-12-ARIMA Promedio rimesral de asa de inerés call inerbancaria nominal diaria hábil Variación rimesral érminos de inercambio de bienes y servicios, fuene BCU base 83, desesacionalizado por medio del X-12-ARIMA 18 El análisis del comporamieno de cada una de las series involucradas, así como las ransformaciones que fue necesario realizar para su uilización, se presenan en el anexo economérico número 1 del documeno de esis. 19 La variable que acoa el período de análisis es la asa call inerbancaria, para comenzar en 1992, se digiaron los daos diarios hábiles aneriores al año 1994 que no exisían en medios magnéicos, ampliando de esa forma la muesra hasa donde fue posible conseguir la información. Las series originales (que se ransformaran en variaciones para inroducirse en el modelo) se consideraron desde 1991.IV, para que la serie ransformada pudiera parir de I. 26

27 IV.6 Esimación del modelo: filro de Kalman De la esimación uniecuacional, por medio del méodo de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), de las curvas que represenan la ofera y la demanda agregada de la economía 20, surge la siguiene especificación del modelo presenado en la ecuación 5: Ecuación y% = α y% + α y% + α (1 + Lr )% + α C + α y + α TI + α q +ε A US m β1 1 β3 3 β4 4 β5 β6% 1 π ε N = µ r + θra N y y = y + ya + a = Ψa 1+ ε = N + % = N N N + % = + p + 1/ -r ) 2. π = π + π + π + π + y + 3. r a µ θ ε 6. y y y 7. r r r r ( i y% Siendo, L el operador de rezagos N N Variables no observables: a, r, y, y %, r% Variables observables: y, r, π A US Variables exógenas: C, y, TI, q, π m Seguidamene se presenan los pasos seguidos para ransformar el modelo presenado en la ecuación 12 en la represenación esado-espacio. La misma permiirá, para un conjuno inicial de parámeros, obener los errores de predicción del modelo, que surgen de la aplicación del filro de Kalman (ver ilusración IV.4), y que serán uilizados recursivamene en la función de verosimiliud hasa maximizarla. 20 Al respeco, ver documeno de anexo 2 de documeno de esis. 27

28 La primera ecuación de medida surge de las ecuaciones 4 y 6 del modelo: Ecuación 11 N y N N 4. y = µ + θ a + ε 0= y + y 1 { +µ + θ a + ε yn N y 1 y y y y y Sumando a ambos lados y y y -1 N N y y y 1 = y + y 1+µ y+ θya + ε + y y y Por 6. y = y + y% N = y+ y y + % % 1+ y µ θ a y y ε De la ecuación 2 planeada en el modelo de la ecuación 12 surge la segunda ecuación de medida 21. Ecuación 12 π = β π + β π + β π + β π + β y% + ε m π Las ecuaciones de esado o ransición surgen de la ecuación 5 del modelo de la ecuación 12: a = Ψ + a 1 ecuación asociada a la brecha produco: a ε y de las siguienes operaciones para la despejar la 21 Las variables dummy no se incorporan en la ecuación para simplificar la presenación, además como se señala poseriormene, las mismas fueron modificándose en el proceso de calibración del modelo. Al incorporar una esimación de la brecha produco obenida a ravés del filro de Kalman, algunos de los shock fueron explicados por ése. 28

29 Ecuación y% = α y% + α y% + α (1 + Lr )% + α C + α y + α TI + α q + ε A US y% de la ecuación 7. r = r + r% = r + ( i p -r ) susiuyendo : N N N + 1/ N N ( r 1-r 1) ( r 1-r 2) y% = α y% + α y% + α + α + α C + α y + α TI + + α q + ε 7 A US y% N de la ecuación 3. r = µ r + θra susiuyendo : y% = α y% + α y% + α r α µ + θ a + α α µ + θ a + ( ) r ( ) r r r r 2 A US y% + α 4 C + α 5 y + α 6 TI + α 7 q + ε Operando y% = α y% + α y% + α r 2α µ α θ a + α r α θ a r 3 r 1 3 A US y% 4 C + 5 y + 6 TI + 7 q α α α α +ε 2 3 r + La expresión de las ecuaciones de medida en su forma maricial es la que se presena en la ecuación 16, donde se presena la composición de las marices presenadas de forma genérica en la ecuación 7: Ecuación 14 y ε + p { ε G1 a π % π µ y y π 4 6 β1 β 3 β4 β5 % m π y G2 1 Dy qy = π 0β M W a 1 % Y y S Por su pare, la ecuación 17 presena las ecuaciones de esado en su forma maricial, composición de las marices presenadas de forma genérica en la ecuación 8: 29

30 Ecuación 15 a a 1 a ψ a % y 0 = α θ α θ α α % 3 r 3 r 1 2 y 1 % % y y % F % y y S S r -1 r A C α r y US α α α α α 2α µ TI q F Z a ε 0 y ε V Luego de calibrado el modelo a ravés de su esimación mediane equilibrios parciales se procedió a esimar los coeficienes que involucran a las variables laenes 30

31 aplicando el filro de Kalman, programado en Eviews5, y Maquard como algorimo de opimización. Como fuera señalado al presenar las relaivizaciones a la esimación, la misma requiere fijar las relaciones enre la señal y el ruido para eviar el problema pile-up. Los valores para y y% 1 crierios de Mésonnier y Renne (2004), a saber: γ =σ σ, y γ = qr qy fueron fijados siguiendo los 2 En primer lugar se aplicó el es de Wald para valores de los raios en los inervalos { } ( ( 1 2 1,20 ) γ,γ 0,1 seleccionando aquellas combinaciones que enían un p-value mayor a 25%. En segundo lugar, se omó en cuena la relevancia económica de los componenes inobservables y la significación de los parámeros más imporanes del modelo El nivel alcanzado por la función de verosimiliud. En función de ésos crierios fueron seleccionados γ 1 = y γ 2 = 1, valores que sirven de base para los resulados que se analizan a coninuación. Poseriormene, en la gráfica 5 se presena la sensibilidad de los resulados a variaciones en ésos raios. Los valores medios de las variables aproximadas por HP fueron los valores de inicio uilizados para el vecor de esado 22, la mariz de varianzas y covarianzas es inicializada en I 5 X La varianza de a es fijada en Se procedió de forma ieraiva re-esimando por MCO las curvas IS y de Phillips, uilizando la esimación obenida por Kalman, para re-calibrar los parámeros. Los coeficienes hallados y sus correspondienes probabilidades asociadas a la prueba z 24 se muesran en la abla de la ilusración IV Fueron eseados oros valores de inicio, pero no se enconró una imporane sensibilidad de los resulados en ese senido y dado que ésos maximizaban la función de verosimiliud, fueron elegidos. 23 Luego fue susiuida por ora que incremenaba la función de verosimiliud y que en la diagonal cuena con las varianzas aproximadas de las variables uilizadas como proxy. 31