La tasa de interés natural en Colombia

Transcripción

1 La asa de inerés naural en Colombia Juan José Echavarría Soo, Enrique Lópe Enciso; Marha Misas Arango, Juana Télle Corredor y Juan Carlos Parra Álvare *. INTRODUCCIÓN En los úlimos años ha revivido el inerés eórico y empírico por el concepo de la asa de inerés naural (TIN). La mayoría de los bancos cenrales del mundo uilian la asa de inerés de coro plao como insrumeno de políica, y el rabajo pionero de Taylor (993) desperó nuevamene el apeio por reglas simples sobre el comporamieno deseado de la asa de inerés. En la función de reacción propuesa por Taylor, las decisiones de las auoridades incorporan la asa de inerés neural o naural, así como las brechas del produco y de la inflación. El concepo de asa de inerés neural ambién es imporane en el esquema de inflación objeivo, adopado por más de 50 países (incluido Colombia) ya que, como se muesra en varios rabajos recienes, el diferencial enre la asa de inerés y la asa naural predice cercanamene la inflación fuura. Ese ipo de indicadores de demanda faciliaría enormemene la oma de decisiones por pare de un grupo colegiado como la juna del banco cenral (un insumo más en la discusión) y haría más ransparene la comunicación con el público. Según Woodford (003), la TIN varía en el iempo en respuesa a diferenes choques reales y su seguimieno consiuye un reo permanene para los equipos écnicos de los bancos cenrales. Por ano, no es * J. J. Echavarría Soo, E. Lópe Enciso, M. Misas Arango, J. Télle Corredor y J. C. Parra Álvare, Codirecor del Banco de la República, Invesigadores de la Unidad de Invesigación de la Gerencia Técnica del Banco de la República, y pasane de la Universidad EAFIT. Los auores agradecen a Andrés Gonále, Fran Hamman, Munir Jalil y Hernando Vargas por sus invaluables comenarios durane varias eapas de esa invesigación. Correos elecrónicos: jechavso@banrep.gov.co, elopeen@banrep.gov.co, mmisasar@banrep.gov.co, jelleco@banrep. gov.co y jparraal@banrep.gov.co. 64

2 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. casualidad que la mayoría de rabajos que raan de medir la evolución de la TIN en los disinos países provengan, precisamene, de los equipos écnicos de los bancos cenrales. En ese arículo se esima la evolución de la TIN de mediano plao para Colombia en el período , usando un modelo semiesrucural en el conexo de las meodologías desarrolladas recienemene por Laubach y Williams (00) para los Esados Unidos y Mésonnier y Renne (004) para Europa. En ésas se uilia el filro de Kalman para esimar variables no observadas como la TIN y el produco poencial. Algunas de las ecuaciones se han modificado para capurar más adecuadamene las caracerísicas de una economía pequeña y semiabiera al comercio como Colombia. Aún cuando no es el objeivo cenral del rabajo, la esimación permie calcular la brecha del produco, ora variable no observada, relevane en algunos de los modelos de pronósico uiliados por el Banco Cenral en Colombia. En érminos generales, nuesros resulados respeco a la brecha del produco son relaivamene cercanos a los de oros rabajos en ese campo, basados por ejemplo, en indicadores líderes. El arículo esá divido en seis pares que incluyen esa inroducción. En la segunda se presena un recueno de las definiciones de la TIN y de los méodos de esimación de la misma. La ercera discue el modelo base de la esimación. En la cuara se esima la TIN para Colombia: se explican las caracerísicas de la base de daos uiliada, la meodología y los resulados de la esimación. La sección final, anes de las conclusiones, presena algunas reflexiones sobre las limiaciones del ejercicio para la políica monearia en iempo real.. LA TASA NATURAL DE INTERÉS: DEFINICIÓN Y MÉTODOS DE ESTIMACIÓN El concepo de la asa de inerés naural iene sus orígenes en el economisa sueco Knu Wicksell (898), quien la definió como aquella asa neural a los precios. Según el auor, la diferencia enre la asa de inerés observada y la naural afeca la demanda por recursos producivos e indirecamene deermina el movimieno de los precios. El concepo ha resurgido, en pare, De hecho, Wicksell pensó en la asa naural de inerés en érminos de la inversión física. La asa naural es aquella consisene con inflación esable y que lleva al equilibrio enre la ofera y la demanda de capial (coincidiendo por ano con la producividad marginal del capial nea de depreciación de largo plao). Según el auor, el dueño de un bosque debe escoger enre dos opciones. Puede corar los árboles y presar el dinero obenido en la vena, o puede dejar que los árboles crecan oro año. El inerés que obiene por el présamo es la asa 65

3 La asa de inerés naural en Colombia debido a que la mayoría de los bancos cenrales del mundo uilian la asa de inerés como insrumeno de políica y a los nuevos desarrollos eóricos en el área. Para Svensson (00): Puede el banco cenral de un país manener indefinidamene la asa de inerés baja y la asa de cambio depreciada con el fin de esimular la economía? La respuesa es, definiivamene no. En el largo plao, el banco cenral debe colocar su asa promedio cercana a la asa naural, aquella consisene con un nivel de produco cercano al produco poencial, y deerminada por facores no monearios. Si el banco cenral raa de manener la asa de inerés real por debajo de la naural un iempo excesivo, la demanda agregada desbordará el produco poencial, y la economía se recalenará. La inflación crecerá primero a niveles de un dígio, luego a dos dígios, y evenualmene se converirá en hiperinflación (nuesra raducción). En una economía cerrada, sujea a choques reales, el PIB poencial corresponde al de un modelo de equilibrio general con precios flexibles, 3 del cual se puede exraer la asa naural. 4 Las variaciones en el produco poencial inducen, a su ve, cambios en la TIN. En ese esquema, el produco poencial y la asa de inerés naural sólo dependen de variables reales. 5 En ese esquema, la TIN es una asa de coro plao, definida período a período, con una endencia cenral que puede variar (suavemene) en el iempo, donde las auoridades monearias deben permiir (validar) los ajuses naurales de la economía sin que ello afece negaivamene las meas de inflación; deben ajusar la asa de inerés real de mercado cuando se presenan cambios en su componene naural. Obviamene, la asa de inerés de mercado puede diferir de la asa naural ane rigideces en precios y en salarios. 6 En ese caso Woodford (003, pp. 46, 77) encuenra que un sisema de ecuaciones compueso por una curva de ofera agregada (o curva de Phillips), una curva IS y una ecuación de comporamieno de las auoridades monearias, es suficiene para deerminar las variables de mercado. Mienras la TIN solo depende de facores reales, de inerés de mercado, mienras que el inerés que deriva de dejar crecer los árboles es la asa naural de inerés. Ver Bannock e al. (998, p. ), agradecemos a Juan Mario Laserna por ese comenario. Keynes consideró la eoría sobre la asa naural de inerés como de simple inerés hisórico (Financial Times, de julio de 004). 3 En compeencia perfeca como en los llamados modelos de ciclos reales (real business cycles, RBC, Kydland & Presco, 98) o en compeencia imperfeca como en Roemberg & Woodford (997). 4 A parir de las ecuaciones de Euler para el consumo o la inversión ópimas; ambas coinciden en equilibrio. 5 Se raa de una siuación en que no hay acumulación de capial. Woodford (003, cap. 5) muesra que las conclusiones son muy similares cuando hay inversión produciva. 6 Ver, por ejemplo, Lam y Tkca (004), Giammarioli y Valla (003). 66

4 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. la asa real de mercado ambién se ve afecada por choques nominales y por la políica monearia. Concreamene, el auor presena las siguienes ecuaciones derivadas de microfundamenos para agenes con expecaivas racionales: Curva de Phillips: π = k + βeπ+ IS : n = E + σ( i Eπ+ r ) Regla de Políica: i = i + φ ( π π) + φ ( ) / 4 π x Donde: E es el valor esperado en ; i, la asa nominal de inerés;, la brecha del produco (y y n ); π, la inflación; π, la mea de inflación de las auoridades; y φπ, φ, los ponderadores de las brechas de inflación y del produco en la función de reacción de las auoridades. La ecuación para la IS indica que exise una relación direca enre la brecha de asas de inerés y la brecha del produco. Más específicamene, Woodford (003, pp ) muesra que en ese modelo la inflación, la brecha del produco, y la asa nominal de inerés dependen solo de la brecha de la asa de inerés (hoy y en el fuuro). No es necesario considerar la evolución de los agregados monearios como insumo de la políica monearia. Los modelos de equilibrio general anes ciados poseen un enorme poencial en el campo de la políica aplicada permiiendo, por ejemplo, derivar semana a semana la TIN consisene con la esabilidad de precios en cada momeno del iempo. Pero esos modelos aún se encuenran en esado exploraorio, su aplicación requiere un sinnúmero de supuesos relaivamene arbirarios (con resulados muy sensibles a esos mismos), y frecuenemene producen resulados exraños. Así, por ejemplo, en varios de ellos la TIN resula más voláil que la asa de inerés real observada día a día en el mercado (Smes y Wouers, 00). La definición de TIN empleada en ese documeno es menos ambiciosa. Siguiendo a Laubach y Williams, (00, p. ) nuesro objeivo es suminisrar un méodo robuso para idenificar movimienos de baja frecuencia en la TIN, con resulados que puedan ser incorporados en reglas simples de políica que se comporen exiosamene en una variedad amplia de modelos. Las leyes que gobiernan su movimieno son derivadas del esado esacionario del modelo de Ramsey (98). Se raa de un concepo de asa naural relaivamene cercano a las definiciones de Wicksell (898) para la asa de inerés o de Friedman (968) para el produco; ambién corresponde cercanamene a la asa de inerés de largo plao uiliada en la llamada regla de Taylor (aún cuando r n es variable en nuesro caso). Como en el caso de los modelos de equilibrio general con precios rígidos, nuesro modelo caraceria el comporamieno de la inflación y la brecha del produco a ravés de las 67

5 La asa de inerés naural en Colombia curvas IS y de Phillips. La regla de políica aparece en forma implícia en la misma información uiliada. 7 Ese rabajo esá inspirado en buena medida en la conribución seminal de Laubach y Williams (00), quienes presenan un modelo eórico para esimar por medio de un filro de Kalman la asa naural de inerés y el crecimieno del produco poencial (de los cuales derivan la brecha del produco). Se combina la referencia de modelos macro simples y semiesrucurales con el filro de Kalman, y de esa forma se esima la TIN. En ese enfoque, la TIN es la asa real de inerés consisene con el produco en su poencial y la inflación igual a la mea de mediano plao. Eso ocurre cuando los choques de demanda sobre la brecha de produco y los de ofera sobre la inflación se han desvanecido. Si bien se raa de una definición menos complea que la de los modelos de equilibrio general descrios anes, es más raable (Mésonnier y Renne, 004). Se adopan algunos cambios sugeridos por Mésonnier y Renne (004) en lo que iene que ver con las ecuaciones de ransición, los comovimienos de la TIN, el crecimieno del produco poencial y el cálculo de la asa de inerés real. 8 Así mismo, el arículo modifica el modelo propueso para hacerlo más compaible con la esrucura de una economía pequeña, afecada por la dinámica de la economía mundial, y por los érminos de inercambio, con niveles de inflación parcialmene deerminados por el precio de los producos imporados y por la asa de cambio (es decir, por el precio en pesos de los bienes imporados). Como se mencionó aneriormene, el comporamieno en el iempo de la TIN corresponde cercanamene en ese documeno al modelo de largo plao desarrollado por Ramsey (98). Para una función de uilidad CRRA (consan 7 Como se mencionó anes, Woodford (003) sugiere rabajar con las ecuaciones para la IS, para la curva de Phillips y para la regla de políica. No obsane, ni Laubach y Williams (00) ni Mésonnier y Renne (004) incorporan dicha regla en su rabajo empírico pues la regla esá implícia en los mismos daos. Además, no ha exisido regla explícia en los Esados Unidos, y las meas de políica apenas comenaron a uiliarse en Europa en la década de los años novena. Algo similar sucede para Colombia. Los anuncios de meas explícias de inflación apenas comenaron en 990; además, solo se cumplió con las meas del Banco Cenral a parir de El rabajo de Mésonnier y Renne (004) para la ona del euro, incluye algunas diferencias con respeco al rabajo seminal de Laubach y Williams (00). En ese caso, en las ecuaciones de ransición se especifica que el proceso no observado que rige las flucuaciones comunes de baja frecuencia enre la TIN y el crecimieno del produco poencial es auorregresivo esacionario, en lugar de no esacionario como en el rabajo original. La TIN es esimada suponiendo comovimienos enre ella y el crecimieno del produco poencial. Se mide la asa de inerés real como una asa real ex ane calculada con expecaivas de inflación consisenes con el modelo. 68

6 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. relaive risk aversion), dicho modelo produce los siguienes resulados, donde se relaciona de manera posiiva la asa de inerés neural con el crecimieno de la producividad mulifacorial: n * r = f ( k ) δ = ρ + θa donde: a es el crecimieno porcenual (exógeno) de la producividad mulifacorial; δ, la asa de depreciación del capial; k, la relación capial-rabajo (k * corresponde a k en el esado esacionario); r n, la TIN, coincide con la producividad marginal del capial en el esado esacionario f (k * ); ρ la asa de preferencia ineremporal de los consumidores (mayor asa de descueno es asimilable a menores niveles de ahorro); y θ el coeficiene de aversión al riesgo en la función de uilidad.. Hacia un programa de invesigación sobre la TIN Nuesro rabajo corresponde a un esfuero inicial en el área, pero exise un sinnúmero de campos a explorar, enre los cuales podemos enumerar los siguienes, ninguno de ellos exeno de problemas: En primer lugar, y derivado de la discusión anerior, es imporane desarrollar esudios fuuros que paran de modelos de equilibrio general, con una esrucura más cercana a la que se desprende de microfundamenos para las curvas IS y de Phillips. Como se mencionó anes, esos modelos aún se encuenran en esado exploraorio, su aplicación requiere de cieros supuesos relaivamene arbirarios, y los resulados son muy sensibles a ellos. Además, exise amplia evidencia de que un modelo que incorpora la inflación inercial explica mejor la dinámica de la inflación que los modelos que simplemene asumen expecaivas racionales. Se presenan reagos en el impaco de la políica económica, y la persisencia en los hábios parece jugar un papel imporane en los resulados (Woodford, 003, pp. 84, 39). En segundo lugar, podría argumenarse que ese modelo de economía cerrada es poco relevane para una economía pequeña, abiera a flujos de capial como Colombia, proponiendo en su lugar la definición de la asa de inerés real de largo plao que resula de la paridad no cubiera n * en para la asa de inerés real. Formalmene, r = r + q ˆ + τ, (donde r n es la TIN domésica, r * la asa de inerés real inernacional, q ˆen la devaluación esperada para la asa de cambio real naural o de equilibrio, y τ el riesgo país). 9 9 También sería ineresane inroducir varianes de economía abiera al modelo empleado 69

7 La asa de inerés naural en Colombia Esa visión no esá exena de problemas, sin embargo, pues pocos de los supuesos requeridos resulan válidos en la prácica (aún en el mediano plao). 0 Es por ello que Obsfeld y Rogoff (000a) han argumenado recienemene en favor de una visión de economía semiabiera para explicar algunos de los acerijos empíricos no resuelos en la lieraura. En cieros períodos las conclusiones de ese enfoque podrían diferir radicalmene de las de nuesro rabajo. Así por ejemplo, durane la recesión de nuesra TIN cae fueremene (ver sección 4.3), sugiriendo que las auoridades deberían bajar las asas de inerés para eviar la recesión económica, pero la TIN de economía abiera a flujos de capial podría incluso subir ane el incremeno del riesgo país revelado por los mercados financieros. En ercer lugar, un grupo de rabajos recienes (es decir, Bandesvan e al., 004) raa de exraer información sobre la asa de inerés de largo plao a parir de indicadores financieros derivados de la curva de rendimienos. Los problemas en ese campo son ambién evidenes. La lieraura muesra que la asa de inerés de largo plao en la curva de rendimienos esá excesivamene influenciada por las noicias recienes. Por ello, para Blinder (006) esa eoría de las expecaivas (relacionada con las causas de los diferenciales a lo largo de la curva de rendimienos) falla miserablemene en cada prueba empírica. Las asas acuales de largo plao predicen pobremene las asas de inerés fuuras. En cuaro y úlimo lugar, valdría la pena invesigar cómo cambian nuesros resulados en el conexo de un programa endiene a reducir la inflación, como el que uvo lugar en Colombia desde comienos de la década de los años novena. Los resulados de ese rabajo suponen que los niveles de inflación acuales coinciden con los deseables en el largo plao MODELO Se adopa la esraegia propuesa por Laubach y Williams (00) y por en ese rabajo. Qué pasa, por ejemplo, cuando se inroduce explíciamene la brecha de asa de cambio real, el diferencial enre la asa real observada y la de equilibrio? 0 Es necesario suponer que simuláneamene se cumple con el efeco fischer y con la paridad descubiera de las asas nominales de inerés. La economía colombiana es relaivamene cerrada en el secor real. Algunos rabajos inernos del Banco Cenral de Colombia uilian para el análisis una canasa de consumo donde el peso relaivo de los bienes no ransables se encuenra cercano a 65%.

8 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. Mésonnier y Renne (004) para esimar la TIN. Se supone que las leyes de movimieno de la economía corresponden a aquellas planeadas por Ramsey (98) para el esado esacionario. La curva IS sigue la propuesa de Rudebusch y Svensson (998), mienras que la curva de Phillips es la uiliada en la lieraura sobre asa naural de desempleo. Se raa de ecuaciones backward looking (ampliamene uiliadas en la lieraura y que parecen comporarse en forma robusa en érminos empíricos), 3 aún cuando sus caracerísicas no coinciden exacamene con aquellas derivadas de microfundamenos con agenes con expecaivas racionales planeadas en la primera pare de la sección. La regla de políica de las auoridades esá implícia en nuesras ecuaciones (Mésonnier y Renne, 004). Como se verá en la sección siguiene, el modelo eórico planeado por los auores es modificado para hacerlo compaible con una economía pequeña, afecada por la dinámica de la economía mundial y por los érminos de inercambio, cuya inflación depende parcialmene de los precios inernacionales de los bienes imporados y de la asa de cambio. Formalmene, el modelo general esá conformado por las siguienes seis ecuaciones: π π+ = A( L) π + B( L) + ε+ * =Φ L +Λ L i π r + ε ( ) ( )( + ) + + * r = μr + θra * y Δ y = μy + θya + ε a a+ = ψ a + ε+ * y = y + π y a En el modelo se supone que los cuaro choques { ε, ε, ε, ε } son independienes y normalmene disribuidos con la mari de variana-covariana: σ Σ ε = π σ σ y σ a El puno de parida para la consrucción del modelo es la definición de la TIN como una variable no observada. Para idenificar economéricamene los deerminanes de esa variable no observada se especifica un sisema de Ver por ejemplo Gordon (998), Brayon e al. (999); Laubach (00). 3 Ver Rudebusch y Svensson (998, 00), Laubach y Williams (00), Mésonnier y Renne (004) y los rabajos allí ciados. 7

9 La asa de inerés naural en Colombia dos formas reducidas: una curva de Phillips (ecuación ) y una curva IS (ecuación ). En paricular, para el caso colombiano, se pare de una ecuación de ofera agregada o curva de Phillips donde la dinámica de la inflación núcleo (sin alimenos), π, 4 esá deerminada por los excesos de demanda, capurados a ravés del reago de orden uno de la brecha del produco ( ), una inercia inflacionaria considerada a ravés de los res primeros reagos 5 de la inflación sin alimenos, como ambién, un efeco de pass-hrough medido a ravés de la inflación de bienes imporados (π m ) y un error no correlacionado serialmene ( ε π ). 6 La ecuación () corresponde a la curva de Phillips aneriormene explicada: π = απ + απ + απ + β + απ + ε () m π La ecuación () represena una forma reducida de la curva IS, en la cual la brecha del produco,, esá deerminada por un proceso auorregresivo de orden dos, por los dos primeros reagos de la brecha de la asa de inerés * real, (+L)( i π r ), por el crecimieno del grupo de países del G7 7 ( Δy G ), 7 el primer reago del crecimieno de los érminos de inercambio ( Δi ) de Colombia 8 y un error no correlacionado serialmene ( ε ). La auoridad monearia alcana el conrol de la inflación con un reago de res períodos en la IS especificada en la ecuación (): ( )( ) = φ + φ + λ + L i π r + δ Δ y + δ Δ i + ε () * G7 La TIN se idenifica a parir de la brecha de la asa de inerés. A diferencia de la especificación radicional de Laubach y Williams (00) (caminaa aleaoria), 9 la asa de inerés naural sigue un proceso auorregresivo en la ecuación (3). La ecuación (4) presena la dinámica del crecimieno del 4 El Banco de la República uilia la inflación sin alimenos como uno de los indicadores de inflación básica. También uilia la inflación sin alimenos primarios, sin combusibles, y sin servicios públicos. 5 Selección a parir de la esimación uniecuacional de la curva de Phillips, llevada a cabo mediane mínimos cuadrados ordinarios. 6 Esa especificación es uiliada en oro conexo para el cálculo de la asa naural de desempleo (Laubach y Williams, 00). 7 Incluye a Canadá, Francia, Alemania, Japón, Ialia, Reino Unido y Esados Unidos. Trabajos poseriores podrían evaluar el impaco del crecimieno de Veneuela. 8 Calvo y Végh (999) uilian el crecimieno de los países de la OCDE y los érminos de inercambio como proxies de demanda inernacional. 9 Un puno muy imporane que señalan Mésonnier y Renne (004) es que una especificación no esacionaria de la asa naural de inerés y, por consiguiene, del crecimieno del produco poencial podría llevar a que el produco poencial fuese inegrado de orden dos. Condición que no es plausible para el caso colombiano. 7

10 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. produco poencial. Como se observa, se supone que la asa de inerés naural compare flucuaciones con el crecimieno del produco poencial, expresadas en ese caso por a. r = μ + θ a (3) * r r * Δ = μ + θ + ε y y y y a (4) donde: a = ψ a + ε (5) a Es posible, de acuerdo con Mésonnier y Renne (004), dividir el crecimieno del produco poencial, Δy *, en movimienos de ala y baja frecuencia (solo ésos úlimos esán relacionados con la TIN). El proceso auoregresivo a en la ecuación (5) capura las variaciones de baja frecuencia del crecimieno del produco poencial. Como se mencionó anes, una explicación del comporamieno conjuno de la asa de inerés naural y del produco poencial se encuenra en el modelo esándar de crecimieno de Ramsey. A lo largo de la senda de crecimieno balanceada se obiene que r * = ρ + θa, siendo a la asa de crecimieno de la producividad (coincidene ambién con la asa de crecimieno del produco per cápia). La ecuación (6) cierra el modelo a ravés de la definición de la brecha del produco como la diferencia enre el produco observado y su poencial. y = y + (6) * 4. ESTIMACIÓN DE LA TASA NATURAL DE INTERÉS PARA COLOMBIA 4. Los daos Para la esimación de la TIN se requieren seis variables observadas: el produco inerno bruo real, la inflación núcleo (sin alimenos), la inflación de bienes imporados, el produco real del grupo de países del G7, los érminos de inercambio de la economía colombiana y la asa de inerés nominal. La base de daos cubre un oal de 96 observaciones rimesrales a parir del primer rimesre de 98 hasa el cuaro rimesre de 005. Las series de iempo empleadas en la esimación fueron obenidas del Deparameno Adminisraivo Nacional de Esadísicas (DANE), del Banco de la República y de la OCDE. 73

11 La asa de inerés naural en Colombia Para el crecimieno del produco real se uilió la primera diferencia de ése consruida a parir del logarimo naural de la serie desesacionaliada por medio de Census X-. La inflación oal sin alimenos se define como la variación rimesral anualiada del logarimo naural del índice de precios al consumidor sin alimenos desesacionaliado por Census X-. La gráfica I presena la evolución de la inflación rimesral anualiada en Colombia en el período comprendido enre el segundo rimesre de 98 y el cuaro rimesre de 005. Sus valores fueron relaivamene alos y cercanos al 0% durane la década de los años ochena, alcanaron valores pico en el segundo rimesre de 985 (5.5%) y de 988 (7.6%), y en el ercer rimesre de 990 (9.%), con una caída imporane en el segundo rimesre de 986 (7.0%). La inflación ha venido descendiendo durane oda la década de los años novena hasa alcanar valores cercanos al 4% en la acualidad. Es de recordar que, la inflación sin alimenos es menos voláil que la inflación oal. La inflación de bienes imporados se consruyó a parir de la variación rimesral anualiada del logarimo naural del índice de precios de imporados calculado por el Banco de la República. Para el produco de los países desarrollados se uilió el crecimieno rimesral del grupo de países del G7. Los érminos de inercambio, obenidos con base en la información del índice de precios al producor (Banco de la República), se definen como la relación de precios de bienes exporados sobre precios de bienes imporados y se considera su cambio rimesral. Por su pare, para el cálculo de la asa de inerés real se deflaca la asa nominal de los cerificados de depósio a 90 días (CDT) por las expecaivas 74

12 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. de inflación derivadas de la curva de Phillips. Ello significa que la asa de inerés real ex ane resula del mismo proceso de esimación del modelo (ver Anexo 3). La asa CDT a 90 días es paricularmene relevane para la ransmisión de la políica monearia ya que su comporamieno a ravés del iempo es similar al de la asa DTF (promedio ponderado de las asas de inerés de los CDT a 90 días). Trabajos previos han mosrado que para el 50% de la carera comercial y para el 40% de la carera oal, las asas de inerés se fijan como un margen sobre la DTF. Además, exise una relación cercana enre la DTF y las asas de inervención del Banco Cenral El proceso de esimación El proceso de esimación se lleva a cabo a ravés del rabajo conjuno de un algorimo de opimiación y el filro de Kalman sobre una represenación esado-espacio, lo cual posibilia esimar variables no observadas. En paricular, como se muesra en el Anexo 3, el sisema de ecuaciones (A.)-(A.6) se lleva a una represenación esado-espacio que hace posible la esimación de la brecha del produco ( ), y las flucuaciones comparidas por la asa de inerés naural y el crecimieno del produco poencial (a ), que permien deerminar la TIN. Dicha represenación se muesra en las siguienes ecuaciones: La ecuación (7) o ecuación de medida se define como señalamos a coninuación: π a π y y θ 0 y a Δ μ y ε π 3 π π = β + α α α3 α4 0 + m ε π (7) S = H L + G D + ε La ecuación (8) o ecuación de ransición es: 0 Hueras e al. (005) analia la relación enre las asas de inervención del Banco Cenral (REPOS), la asa inerbancaria a día (TIB) y la CDT a 90 días. Según los auores, un incremeno de 00 punos en la asa REPO se raslada 93% a la TIB y 6% a la DTF en una semana. Y en el mediano plao se raslada un 7% a la TIB y un 50% (adicional) a la DTF. Los auores ambién concluyen que el incremeno de 00 punos en la DTF se raslada en 4% a las asas de consumo acivas. Amaya (005) esudia la relación de la TIB con las asas acivas y pasivas de los bancos. Concluye que buena pare del cambio en la TIB se raslada a las demás asas en un período que oscila enre 4 y 6 meses. 75

13 a ψ a a a λθr λθr φ βλ φ βλ L T L- = + = + La asa de inerés naural en Colombia i i π a π ε π λ λ λα λ( α + α) λ( α3 + α) λα3 δ δ λα4 λμ π r 4 ε G y Δ 0 Δi m m ( π + π ) K C + η Por su pare, la mari de variana-covariana del sisema es: σ y σ R π = σ Q a σ Siendo R y Q las marices de variana-covariana asociadas a la ecuaciones de medida y ransición, respecivamene. La correspondiene represenación esado-espacio en forma maricial compaca esá conformada por la ecuación de medida (0) y la de ransición (): (8) (9) S = HL + d + ε (0) donde, la mari d es el resulado del produco de dos marices G y D, d = Gx D. L = TL + c + η () donde la mari c es el resulado del produco de dos marices K y C, ' R = τ ' Q = τ ' c = Kx C, y E( εε τ ) =, E( ηη τ ) = y E( εη τ ) = 0 para odo 0 τ 0 τ do y τ. Adicionalmene, la especificación esado-espacio supone un vecor de esado inicial L 0 con: 76

14 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. EL [ 0] = 0 y Cov[ L ] = P 0 0 E η L 0 ; E ε L 0,, N ' ' 0 = 0 = = En ese caso, las marices de coeficienes ( HTG,,, K) y de covariana ( R) y ( Q ) son no cambianes a ravés del iempo, es decir, se iene una represenación invariane en el iempo. Una ve esablecida la represenación esado-espacio y sus supuesos fundamenales, el rabajo economérico se concenra en la esimación de: i) el vecor de esado, que de acuerdo con Harvey (994) exisen diferenes algorimos, siendo el filro de Kalman el principal, y ii) los parámeros e hiperparámeros, los cuales son el resulado de un algorimo de opimiación sobre una función de verosimiliud, explicada poseriormene. Es de señalar que, la esimación se debe llevar a cabo de manera conjuna, véase Anexo. El filro de Kalman se define como un procedimieno recursivo que permie calcular, para un conjuno de ecuaciones, un esimador lineal, insesgado y ópimo, del vecor de esado en cada momeno del iempo. Esa recursión se lleva a cabo a parir de la selección de unos valores iniciales para el vecor de esado y su mari de variana-covariana y la aplicación de las ecuaciones de predicción en (-) y acualiación en (), al y como se ilusra en la figura. donde es el esimador ópimo de L basado en la información disponible que incluye S, y P la mari MSE del error de esimación del Véase Welch y Bishop (00). Trabajos recienes que han aplicado el filro de Kalman en el análisis macroeconómico colombiano son Misas y Vásque (00), Nieo y Melo (00) y Melo e al. (00) y Misas e al. (00). 77

15 vecor de esado, es decir, P = E ( L )( L ) La asa de inerés naural en Colombia '. La eoría clásica de esimación por máxima verosimiliud es aplicada para obener esimaciones de los parámeros en H, T, R y Q y en las marices asociadas a d y c, G y K. Si cada uno de los vecores conformados por las perurbaciones { ε } y { η } sigue una disribución normal implica que S, condicional a su conjuno de información relevane en (-), sigue ambién la disribución normal. Así: ' I ~ Disribución Normal (( H a d ),( HP Z R) ) ( S ) + + I { S,, S} con función de verosimiliud en forma maricial compaca dada por: N N N ' Log I= logπ log F vf v = = donde: v = S Sˆ =,, N Como lo presenan Clar e al. (998), la forma de la función de verosimiliud es usualmene demasiado compleja para obener de sus expresiones analíicas los valores de los parámeros que la hacen máxima. Esa dificulad puede ser superada mediane procedimienos de opimiación numérica, véase Anexo. 4.3 Resulados El procedimieno numérico de opimiación no lineal uiliado para alcanar la maximiación de la función de verosimiliud es Double-dogleg, el cual combina las ideas de los méodos Quasi-Newon y Trus-Region de acuerdo con el de Broyden, Flecher, Goldfarb y Shanno. Los valores iniciales requeridos para la esimación recursiva del filro de Kalman se obienen a parir de la consrucción de la brecha del produco mediane el filro Hodrick-Presco. La mari de variana-covariana del vecor de esado es inicialiada en 0.5xI 4. Como lo sugieren Winr e al. (005), lo valores iniciales de los parámeros e hiperparámeros se obienen mediane MCO sobre regresiones uniecuacionales que consideran los componenes no observados obenidos a ravés del filro Hodrick-Presco. Al igual que en Méssonier y Renne (004), para esabiliar el filro es necesario fijar la variana de a. En nuesro caso, dicha variana se deermina en 0.5. Véanse Judge e al. (985) y Hendry (995). 78

16 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. En la esimación se presena el problema de pile-up que lleva a que algunos parámeros no puedan ser esimados eficienemene por maximiación direca de la verosimiliud. En el presene ejercicio, dicho problema implica que las varianas de las innovaciones que afecan la dinámica de las variables no observadas esán sesgadas hacia cero debido a que una gran canidad de masa de probabilidad en sus disribuciones se agluina alrededor de dicho valor. Para solucionar ese problema de pile-up se sigue la meodología propuesa por Mésonnier y Renne (004), quienes definen y esablecen las rao- σ y θr nes: γ = y γ = ( γ ambién coincide con el coeficiene de aversión al σ θ y riesgo en el modelo de Ramsey). Esa úlima jusificada por el hecho de que la asa naural de inerés y el crecimieno del produco poencial comparen las mismas flucuaciones. Es decir, γ corresponde a la raón enre los parámeros asociados a las flucuaciones de baja frecuencia del produco poencial en la esimación de la asa de inerés naural y del crecimieno del produco poencial. Por lo ano, los diferenes valores de γ recogen la relación enre la variación de la asa de inerés naural, como resulado de las flucuaciones de baja frecuencia del produco poencial ( θ r ), con los cambios de la asa de crecimieno poencial cuando varia esa misma variable ( θ y ). Tales raones se imponen como resricciones denro de la esimación del modelo compleo. 3 Así, la esimación de los parámeros se lleva a cabo considerando un conjuno de valores diferenes para cada una de las raones. En paricular, se rabaja con γ ( 0,.0] y γ [, 0]. La selección de los parámeros finales se lleva a cabo considerando gradienes, función objeivo, significancia y coherencia de los resulados de la brecha del produco y de la asa de inerés naural con la hisoria económica del país y con rabajos previos en el campo. Es de señalar, que el vecor de parámeros seleccionado corresponde al obenido al considerar γ = y γ = Tales resricciones resulan ser significaivas bajo una prueba de raón de verosimiliud, LR = ~ χ ( ). Se llevaron a cabo ejercicios de simulación similares al descrio considerando σ a = 0.5, 0.65 y 0.75, véase Anexo. En paricular, la selección considerada σa = 0.50, γ = 0.005, γ = 6.5 corresponde a un máximo, como se observa en la gráfica II. 3 Exise ora forma de solucionar el problema de pile-up a ravés del esimador medio insesgado propueso por Sock y Wason (998), la cual consise en esimar en un primer paso la raón señal-ruido e imponerla en una segunda esimación. Esa solución la uilian Laubach y Williams (00) en su esimación para los Esados Unidos pero cálculos iniciales para Colombia no permien obener resulados coherenes en lo referene a la brecha del produco. 4 Como se menciona anes, γ corresponde al coeficiene de aversión al riesgo en el modelo de Ramsey. Pére (006) uilia para Colombia un valor de 5 para dicho parámero. 79

17 La asa de inerés naural en Colombia En el cuadro se muesran los resulados. 5 En la segunda columna se presenan los valores de los parámeros del modelo. La ercera y cuara columna presenan los perceniles 5 y 95 de cada parámero, obenidos a ravés de la esimación de densidad de Kernel sobre los resulados de un procedimieno de boosrapping considerando,500 replicaciones. Todos los parámeros obenidos ienen el signo esperado. Los parámeros direcamene asociados a la ransmisión de la políica monearia son el β (0.33), la pendiene de la curva de Phillips, y el λ (- 0.07), la semielasicidad de la brecha de la asa de inerés a la brecha del produco. Los parámeros que acompañan a la brecha de produco en la ecuación IS ( y ) φ φ cumplen la resricción proveniene de la eoría de sumar menos que, con lo cual las desviaciones respeco a la media esán asociadas principalmene a cambios en la brecha de la asa de inerés real. La magniud esimada del parámero ψ (0.905) muesra la ala persisencia de la variable esocásica a. Como se observa, solo el segundo reago de la inflación ( α ) y el inercepo en la ley de evolución de r * ( μ r, la asa de descueno ineremporal) aparecen no significaivos, aún cuando el valor medio de μ r (4.5%) se encuenra relaivamene cercano al que informan oros rabajos para Colombia. 6 El parámero δ asociado al cambio de los érminos de inercambio resula significaivo al 0.6%. De acuerdo con Harvey (994), la condición necesaria y suficiene para 5 Dicha esimación se lleva a cabo en Proc IML, SAS versión 8. 6 La asa de descueno social que uilia el Modelo de Mecanismos de Transmisión del Banco de la República es 4%. Ver ambién Suescún (00). 80

18 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. esabilidad del filro de Kalman es que las raíces caracerísicas de la mari T deben ener módulo menor que uno, ξ i ( T) <, i=,, m donde m es el número de componenes del vecor de esado. Es de señalar que los valores propios asociados a la mari T, bajo la esimación seleccionada, presena sus raíces denro del círculo uniario, 7 hecho que sopora la esabilidad del filro. CUADRO. RESULTADOS Esimación de densidad de Kernel Perceniles Parámero Función objeivo = θ y β α α α α μ y λ θ r φ θ μ r ψ σ π σ δ δ a a σ = 0.5, γ = 0.005, γ = 6.5 a NOTA: Basado en resulados provenienes de boosrapping (el procedimieno boosrapping, Horowi (00), se lleva a cabo generando m muesras aleaorias con reemplaamieno de los errores de la ecuación de medida, considerando el vecor de esado seleccionado, i i { ε } i=,, m. Cada una de dichas muesras permie generar un nuevo vecor { S } i =,, m. Con cada uno de esos vecores se procede bajo el esquema presenado en la figura del Anexo, considerando como Θ inicial el ˆΘ asociado a la brecha del produco y la asa de inerés naural obenidos. El ejercicio se lleva a cabo con m =,500. a Al 0.6%. 7 Las raíces caracerísicas de la ecuación ξ I4 T = 0, son { 0.879, , 0, }. 8

19 La asa de inerés naural en Colombia La gráfica III presena la evolución de la TIN enre 98 y 005 para diferenes valores de γ (4, 6.5 y 8), en línea con el rabajo de Mésonnier y Renne, (004). 8 El comporamieno de las series es relaivamene similar para los valores de γ, con un valor promedio de 3.3%, 4.6% y 5.3%, respecivamene. En adelane se indican los resulados para γ = 6.5 : el valor de la TIN es inermedio enre las series del gráfico, y el valor promedio (4.6%) se encuenra por debajo del valor promedio de la producividad marginal del capial en Colombia (6.65% nea de depreciación, GRECO [00, capíulo 6, p. 85]). 9 Nuesros resulados ambién parecen ser relaivamene consisenes con la evidencia inernacional para oros países (el acervo de capial es relaivamene menor en Colombia, por lo que resula mayor la producividad de ese facor): enre.0% y.75% para los Esados Unidos, % para Ausralia y 4.5% para Nueva Zelandia (Archibald y Huner, 00). Para Europa, Garnier y Wilhelmsen (005) esiman que la TIN ha descendido desde 4% en la década de los años sesena a % en 004. El comporamieno de la TIN (con γ = 6.5 ) podría descomponerse en 7 períodos: i) una fase ascendene enre 98 (4.3%) y comienos de 986 (6.6%); 8 Nóese que un valor de γ = 4 corresponde a un comporamieno neuro en maeria de aversión al riesgo. Acá se supone un coeficiene de relaiva aversión al riesgo, y por lo ano, valores mayores a 4 en γ. 9 Para el período , con base en la meodología sugerida por Harberger (969), Tribín (006) encuenra asas de producividad del capial neas de depreciación aún mayores, enre 7.% y 7.7%; esas son las asas más bajas frene a oros escenarios aleraivos consruidos por el auor. 30 Laubach y Williams (00) encuenran una asa naural que flucúa enre % en la primera pare de los años novena, y 5% a finales de los años sesena. Pero la TIN que ha sido calibrada en el modelo básico de la Reserva Federal es de 4.5% (Archibald y Huner, 00). 8

20 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. ii) una caída enre 986 y finales de 990 (4.3% en el ercer rimesre de 990); iii) un fuere incremeno hasa el primer rimesre de 995 (9.%, el mayor valor hisórico de la serie); iv) una caída muy pronunciada en la segunda pare de la década del novena (-0.0% en el cuaro rimesre de 998); v) valores muy cercanos a cero enre 999 y 00; vi) fuere recuperación hasa comienos de 005; y vii) fuere caída durane 995. El valor acual no es muy diferene al de comienos de 98 o al de finales de 990. El valor medio observado en los años poseriores a 994 (3.8%) es de odas formas inferior al de los años aneriores (5.67%). 3 Oros rabajos informan un descenso en la TIN en diferenes países, aún cuando las causas no son eneramene claras. 3 La esimación realiada por medio del filro de Kalman permie el cálculo simuláneo de ora variable no observada, la brecha del produco, sobre la cual exise amplia discusión en Colombia. El grupo écnico del Banco ha sosenido, por ejemplo, que la brecha del produco se ha ido cerrando paulainamene, desde valores negaivos y grandes en la recesión de 999, hasa valores cercanos a cero en la acualidad. La gráfica IV presena la evolución hisórica de la brecha del produco para diferenes valores de γ, maneniendo fijo γ. Los resulados son relaivamene similares para los disinos valores de γ, con diferencias mínimas a parir de 998. Nuevamene, como en el caso de la TIN, se oorga preferencia a los valores (inermedios) que resulan para γ = 6.5. Para ese γ se observa un parón de la brecha del produco similar al que informan oros rabajos sobre el ema (ver más adelane). Como se menciona en la sección 5, es probable que el modelo produca valores de la brecha más bajos (es decir, más negaivos o menos posiivos, dependiendo del período) a la brecha correca, en la medida en que no oma en cuena el comporamieno favorable de las expecaivas deecado en la mayoría de encuesas. Ello, posiblemene, como resulado de que la inflación se ha reducido paulainamene en Colombia, y que las meas del Banco Cenral han esado cerca de cumplirse en odos los años desde Debe 3 Parece exraño obener asas de inerés naural cercanas a cero en los años No obsane, ese resulado es relaivamene común en la lieraura. Garnier y Wilhelmsen (005) y Mésonnier y Renne (004) obienen valores de la TIN para ona del euro en los que el valor cero se encuenra en el inervalo de confiana en muchos de los años. Para Luxemburgo, Winr e al. (005) encuenra valores que oscilan enre 0.5% y 3%. Para los Esados Unidos, Laubach y Williams (00) informan valores cercanos a % en 994, con un rango que se encuenra enre % y 7%. 3 Bernhardsen (005). Nuesro modelo no incluye relación alguna enre la TIN inernacional y la TIN en Colombia, un área para invesigaciones fuuras. 33 Las meas del Banco Cenral se incumplieron sisemáicamene anes de la recesión de 83

21 La asa de inerés naural en Colombia recordarse que la ecuación () backward looking del modelo consideraba que la inflación solo dependía de sus reagos y de los de la brecha del produco. La gráfica V presena la evolución de la brecha del produco para 3 ejercicios diferenes: para nuesra meodología (con γ = 6.5 ); para el filro de Hodrick-Presco (HP); y para el ejercicio realiado por Rodrígue e al. (006) con base en componenes principales de 6 indicadores líderes. Nuesros resulados para la década de los años ochena difieren de los resulados obenidos mediane el filro de Hodrick-Presco: no se encuenra la brecha posiiva que sugiere HP para 98 o para algunos rimesres en 987 y 988; por ello, la brecha promedio obenida para la década de los años ochena en nuesro rabajo es más negaiva que la obenida mediane el filro de Hodrick-Presco. Los resulados acá obenidos son mucho más cercanos a los de Rodrígue e al. luego de 994 que a los de HP (y más cercanos a los resulados de HP que a los de Rodrígue e al. en 99-94). El pico observado en nuesra serie en junio de 005 no aparece en los resulados de Rodrígue e al., pero si en los resulados de HP. El valor posiivo observado en diciembre de 005 es.% para la serie de Rodrígue e al., 0.7% en nuesro rabajo, y solo 0.% en los de HP. 34 Nuesros resulados sugieren que el desempeño de la economía colombiana no fue el mejor en la década de los años ochena: la brecha negaiva se 999, se cumplieron en y en , y esuvieron muy cerca de cumplirse en 00 y 003. La encuesa de expecaivas realiada por el Banco Cenral en abril de 006 revela que el 90.% de los agenes encuesados cree que el Banco cumplirá con su mea de inflación para el año. Los porcenajes respecivos fueron 79.0% en abril de 005 y 70.4% en abril de La brecha correca hoy día podría ser incluso negaiva, debido el sesgo de nuesro modelo, al no incluír explíciamene las expecaivas de inflación (ver sección 4.3). 84

22 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. amplió en forma relaivamene paulaina enre 98 y el ercer rimesre de 985 (-4.8% del PIB), se cerró luego progresivamene, y alcanó un valor ligeramene posiivo a finales de la década (0.5% en el primer rimesre de 990). La brecha fue negaiva en debido, posiblemene, a los efecos iniciales de la aperura comercial, pero la economía se sobrecalenó en 994 y 995. Desde ese enonces comenó una fuere caída, llegando al mayor valor negaivo de la serie en el segundo rimesre de 999 (-6.5%). La gráfica indica una recuperación paulaina desde enonces. La brecha ha sido fueremene posiiva en el 004 y 005. El lado iquierdo de la gráfica VI presena las variaciones rimesrales en el PIB real, y el lado derecho compara esa variable con el crecimieno del produco poencial obenido al uiliar el filro de Kalman (K) y el filro 85

23 La asa de inerés naural en Colombia Hodrick-Presco (HP). El crecimieno del PIB observado es alamene flucuane, con caídas imporanes en el ercer rimesre de 99, en el segundo semesre de 998 y en el primer rimesre de 999. La serie presena los mayores valores, superiores a 4%, en el cuaro rimesre de 99 y en el segundo rimesre de 997. Para el lado derecho del gráfico se observa que el crecimieno de la serie K es generalmene menor al de la serie HP, excepo en el período Así, el crecimieno promedio anual de la serie K en , y es.00%, 0.97%, y 0.49%, mienras que en el caso donde se usa el filro HP es de.06%, 0.67% y 0.56%, respecivamene. El comporamieno de la brecha del produco depende de la diferencia enre el produco observado y el poencial. La gráfica VII muesra el comporamieno de las res variables (cuando γ = 6.5 ). 35 Se pueden disinguir los siguienes subperíodos en la gráfica: la brecha es negaiva y relaivamene esable en (lo que significa que el PIB y el PIB poencial crecen a asas similares en el período), se cierra paulainamene enre 986 y 994 (con un breve deerioro en 990-9) cuando alcana un valor alo y posiivo. Se presena un coninuo deerioro enre 994 y 999 (nivel mínimo) y una recuperación en los años poseriores. El valor promedio de 004 y 005 es relaivamene similar al pico de mediados de la década de los años novena. En la gráfica VIII se relaciona la asa de inerés observada, con la TIN obenida en el rabajo y con su promedio móvil de 7 años que suavia el ciclo. Como es de esperar, la TIN flucúa mucho menos que la asa de inerés 35 Con la información para el ercer rimesre de 993=00 ano para el PIB como para el PIB poencial 86

24 J. J. Echavarría S., E. Lópe E., M. Misas A., J. Télle C., J. C. Parra A. real observada y, lejos de ser consane, cambia considerablemene durane los 3 años analiados. Por consrucción, sus movimienos esán cercanamene asociados a los del crecimieno del PIB poencial. Quiá más relevane para nuesro análisis es el comporamieno del promedio móvil de 7 años: el indicador bajó desde niveles superiores a 5% en el período , a menos de.0% en los años recienes. De hecho, las asas acuales no difieren significaivamene de dicho promedio. Por ora pare, el comporamieno de la brecha de asas de inerés (gráfica IX) sugiere que la políica monearia fue conraciva en la primera pare de los años ochena y en , expansiva en y en , y relaivamene neura en los demás años. Una concepción diferene de la TIN (i.e aquella relevane para una economía abiera a los flujos de capial) podría llevar a conclusiones diferenes. 36 Finalmene, las gráficas IX y X muesran la relación negaiva (ese es el signo esperado) que exise enre la brecha de las asas de inerés con la inflación y con la brecha del produco, un resulado relaivamene esándar en la lieraura reciene sobre el ema. 37 Ello confirma que la brecha de asas de inerés puede conener información úil sobre la dinámica de la inflación y sobre la posura de la políica monearia. La capacidad de la brecha del produco como indicador único de la inflación se ha deeriorado desde 999, pero Rodrígue e al. (006) muesran que la variable sigue siendo 36 Como se mencionó en la sección, si el riesgo país se incremenó en , la TIN derivada de la paridad descubiera de largo plao podría elevarse en ve de disminuir. 37 Ver, enre oros, Garnier y Wilhelmsen (005), Basdevan e al. (004), Borio, English, y Filardo (006) y los rabajos ciados en el Anexo a ese úlimo documeno. 87