h + para cualquier m 1, 5.2. Modelo E-GARCH Introducción

Transcripción

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2 5.2. Modelo E-GARCH Inroducción Los modelos GARCH exponenciales nacen a parir de la publicación de Daniel Nelson (99) sobre heerocedasicidad condicional en los modelos de renabilidad de acivos. Dicho auor propone una nueva forma funcional a parir de la observación de las deficiencias de los ya ampliamene acualizados de los modelos ipo ARCH. En su arículo criica res elemenos de los procesos GARCH: - las resricciones de no negaividad de los parámeros son difíciles de lograr en muchas ocasiones. - Los modelos GARCH no permien esimar convenienemene el efeco de apalancamieno financiero que aparece en la realidad. - Los modelos IGARCH son difíciles de llevar a la prácica, siendo confuso el érmino de persisencia en varianza condicional acuñado por Engle y Bollerslev. En primer lugar, Nelson cia la imporancia de considerar diferenes efecos en la esimación de la varianza condicional según la innovación en el período anerior sea negaiva o posiiva. Es decir, es necesario hablar de efecos asiméricos en función del signo de la perurbación en el período anerior, respondiendo a lo empíricamene observado, por ejemplo, en los mercados financieros: se produce un aumeno de la volailidad mayor cuando la "innovación" del período previo fue negaiva que cuando la "innovación" en el período anerior fue posiiva. En segundo lugar, Nelson criica el efeco expansivo de los modelos ARCH radicionales. El hecho de que los parámeros deban ser necesariamene posiivos en las formulaciones de ARCH y GARCH, produce un efeco explosivo y siempre creciene en la esimación a fuuro. La realización de un valor de la varianza condicional posiiva en un período "" ( ) 2 produce una esimación siempre posiiva para la esimación de h + para cualquier m, m eliminando la posibilidad de un comporamieno aleaorio oscilaorio en el fuuro.

3 En ercer lugar, Nelson agrega que la necesidad de conar con parámeros posiivos produce dificulades para la esimación, como ya ponían de manifieso Engle, Lilien y Robins (987), imponiendo al sisema ARCH una esrucura de α j parámeros ponderados de forma decreciene de cara a realizar la esimación. Por úlimo, los modelos ARCH radicionales encuenran dificulades en la medición de la persisencia de un "shock" pasado en los valores de la varianza condicional. En diferenes esudios ciados por el mismo Nelson, se pone de manifieso que si el impaco en la volailidad de un deerminado "shock" persise indefinidamene, se ransformaría compleamene la esrucura emporal de la renabilidad, produciendo un fuere impaco sobre las inversiones en bienes de larga duración. (sobre ese paricular, desaca el esudio de Poerba y Summers (986)). Especificación del modelo GARCH exponencial (EGARCH) Fruo de las críicas anes comenadas a las deficiencias de los modelos ipo ARCH radicionales para recoger la realidad empírica suminisrada por las variables financieras, Nelson propone una nueva especificación más general sobre la varianza condicional heerocedásica que da nombre a los GARCH exponenciales o EGARCH (p,q). Al igual que los modelos ARCH radicionales aseguran la esimación de valores posiivos en la varianza condicional con una esrucura lineal de dependencia que incorpora parámeros posiivos sobre variables explicaivas aleaorias posiivas (ano los residuos al cuadrado como la propia varianza condicional desplazada lo son), Nelson propone la esimación del modelo en logarimos, con lo que ambién exise probabilidad uno de obener valores de la varianza posiivos, aún cuando algún o algunos parámeros no sean posiivos: y logh = α + βk g( ) β g( = h / 2 ) = θ k= + γ [ E( ) ]

4 Con esa formulación quedan corregidas las deficiencias que, sobre el modelo ipo ARCH radicional, señalaba el auor y que se comenaban en el epígrafe anerior: - Por un lado, ya ha quedado paene la coberura de la necesidad esadísica de obener valores de la varianza esimada siempre posiivos al realizar una formulación en logarimos, hecho que ya se había producido en los comenarios de Panula (986) y Geweke (986). - La respuesa asimérica al diferene signo de la innovación previa en el modelo viene perfecamene recogida por la especificación dada a la función g( ) anerior. Para valores negaivos de, la función g ) es lineal y con endencia ( θ + γ ) y, para ( valores posiivos, es ( θ γ ). El segundo sumando de la definición de la función g( ) es el deerminane de la asimería ya que marca la diferencia enre el valor realizado de la innovación y su valor esperado. Esa diferencia obviamene puede ser posiiva o negaiva, incorporando mayor o menor volailidad (mayor o menor varianza condicional) en función de su signo. - la objeción hecha a los modelos ARCH radicionales de no permiir comporamienos a fuuro oscilanes queda salvada en esa especificación logarímica, donde los parámeros no ienen porqué ser posiivos en odos los casos. - Respeco a la persisencia de los "shocks", la esrucura lineal del modelo planeado permie conrasar fácilmene la esacionariedad y la ergodicidad. El ln( h ) será esricamene ergódico y esacionario en la medida en que el efeco o "shock" de innovaciones pasadas se elimine lo suficienemene rápido. La condición de esacionariedad de ese proceso es la misma que para un ARMA de orden infinio (la especificación dada no es más que un modelo de medias móviles de orden infinio), con lo cual basa con comprobar que los valores de los parámeros obenidos sean, en suma, menor que uno. De cara a manener la misma signaura que en el reso de los modelos comenados, lo dicho aneriormene, escribiendo los valores esandarizados de las perurbaciones aleaorias, se puede rescribir del siguiene modo para lo que sería un EGARCH(,):

5 y log h = h / 2 = α 0 + β log( h ) + α + h γ h donde podremos disinguir claramene varios componenes: - el de la varianza heerocedásica: β log( h ) - el del valor auorregresivo de la perubación: γ h - el efeco asimérico: i, donde h i = 0 si si < 0 > 0 Con ello se pone de manifieso que la formulación de Nelson pare el valor del parámero que acompaña a la perurbación aleaoria en aquel debido al signo y aquel debido a su propia nauraleza. La segunda gran aporación del documeno seminal de los modelos EGARCH hace referencia a la función de disribución de la perurbación aleaoria. Con frecuencia, las series a las que se aplica el modelo ipo ARCH muesran una disribución con mayor apunamieno que el de una normal y con colas "más gruesas". Es por ello que se planea aquí una forma de la función de densidad del proceso que admia, como caso especial, una disribución normal; pero que, al iempo, permia oros ipos de funciones. Escrio el modelo EGARCH como un proceso ARMA obendríamos la siguiene expresión: q ( + ψl ψ ql ) ln( h ) = α + g( ) p ( L... L ) p donde se asume que ano i = i p i y como + i ψ... i = q i y no ienen raíces uniarias.... Con ello, la varianza esimada que se sigue de la expresión anerior ( exp( α ) h ) y

6 exp( α / 2) serán esricamene esacionarios y ergódicos siempre que odas sus raíces uniarias esén fuera del círculo uniario. La esacionariedad de los momenos condicionales no implica necesariamene lo mismo para los momenos marginales. Por ejemplo, una -suden con un número de grados de liberad deerminado, presena media y varianza infinias para los valores de exp( α y de exp( α / 2) ). Por esa razón, Nelson propone emplear una función de disribución del proceso del ipo de la definida por Harvey (98) - GED: Generalized Error Disribuion -, que para nuesro caso podría escribirse del siguiene modo: ) h f ( λ = v exp ) = λ2 [( / 2 / λ ' ] (+ / Γ(/ ( 2/ [ 2 Γ(/ / Γ3/ ] / 2 < < ; < v < donde Γ( ) es la función gamma y v es la densidad de la cola del parámero. Cuando v=2, se disribuye según una normal. Si v<2, la disribución es enonces más gruesa que la de la normal (por ejemplo, si v=, la disribución es una exponencial doble) y, para v>2, la disribución de es más delgada que la de la normal (por ejemplo, si una disribución uniforme en el inervalo (-3 /2 ;3 /2 ). v =, presena Conrase de especificación La función de disribución que se ha supueso exige los siguienes cumplimienos para comprobar las condiciones de orogonalidad: - La esperanza de debe ser nula - La varianza marginal debe ser igual a uno - La esperanza de la función g ( ) para ambién debe ser nula: E( g( )) = 0 - Por simería de la función GED, la E( ) = 0

7 Además, en el modelo supueso, es necesario que los valores de 2 y esén serialmene incorrelacionados. Nelson propone la cumplimenación de la siguiene abla, empleando como valores esimados las medias muesrales de cada uno de los valores que aparecen y la comprobación de su significaividad esadísica en función de una - suden o de una chi-cuadrado. ( ) = 0 2 ( 2 ) = 0 Condiciones de orogonalidad E 8 2 E[ ( )( ) ] 2 = 0 4 E 9 2 E[ ( )( ) ] 2 = 0 3 ( 2 / v E λ Γ(2/ Γ(/ = E[ ] 0 4 E( ( E( )) = 0 = E[ 2 ] = E[ ( )( ) ] 2 = 0 2 E[ ] 0 3 = 6 2 E[ ( )( ) ] 2 = 0 3 E[ ] = E[ ( )( ) ] = 0 4 E[ ] = Con las primeras nueve condiciones se preende conrasar la correca especificación del modelo y, con las cinco úlimas, la ausencia de correlación serial en la variable que se preende explicar. Para su validación esadísica (para deerminar si son o no significaivamene disinas de cero, valor requerido) se emplean sus funciones de disribución; es decir, los valores abulados de la χ 2 con el número de grados de liberad que corresponda a cada crierio (al número de condición en la abla anerior). Para esimar las condiciones es frecuene uilizar la media muesral.