Econometría II LADE/LADE-Derecho. Curso 2004/2005. Hoja de ejercicios 1. Soluciones sugeridas PARTE A

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1 Economería II LADE/LADE-Derecho Curso 004/005 Hoja de ejercicios 1 Soluciones sugeridas PARTE A Respuesas correcas en negria, cursiva y con A.1. Se ha modelizado la variable v de dos modos diferenes: (1) lnv = γ + δ + w1 () v = α + β + w con α, β, γ y δ > 0 (a) Ambas modelizaciones son equivalenes. (b) El modelo () indica que v crece endencialmene a un rimo del 100β% y el modelo (1) que lo hace al 100δ %. (c) El modelo (1) indica que v crece endencialmene a un rimo de δ unidades cada período y el modelo () que lo hace a un rimo de β unidades. (d) El modelo () indica que v crece exponencialmene. (e) El modelo (1) indica que v crece exponencialmene a un rimo del 100δ %. (f) En ambos modelos exisen endencias deerminisas. A.. Dado el modelo: ( L) log y1 = 003, , ε Donde ε es ruido blanco. En lo que sigue las asas de variación se definen como las correspondienes diferencias de los logarimos. (a) La asa media de crecimieno del proceso y 1 es del 3%. (b) El proceso y 1 no crece porque es esacionario. (c) Ni el proceso y 1 ni sus asas de crecimieno son esacionarias. (d) El proceso y 1 no es esacionario pero si sus asas de crecimieno. (e) La auocorrelación simple de orden dos de log y1 es cero. (f) Ninguna de las aneriores. 1

2 A.3. Se ha modelizado la variable v de dos modos diferenes: (1) lnv = γ + δ + w1 () lnv = + w α con α, γ y δ > 0 y w 1 y w son componenes esacionarios (a) El modelo () indica que v crece endencialmene a un rimo del 100α % y el modelo (1) que lo hace al 100δ %. (b) El modelo (1) indica que v crece endencialmene a un rimo de δ unidades cada período y el modelo () que lo hace a un rimo de α unidades. (c) El modelo (1) indica que v crece endencialmene a un rimo del 100γ %. (d) La variable v no es esacionaria. (e) La variable v es esacionaria. (f) Ambas modelizaciones son idénicas. A.4. Dado el modelo: ( ) log y = µ + θ L θ L ε 1 1 con µθ, 1, θ 0 y ε es ruido blanco. (a) La asa media de variación del proceso y es del 100µ%. (b) El proceso y es esacionario e inverible. (c) El proceso log y es esacionario. (d) Para log y las auocorrelaciones simple y parcial de orden son no nulas. (e) Para log y la auocorrelación parcial de orden 3 es nula. (f) El proceso log y puede no ser inverible.

3 PARTE B B.1. A parir de daos mensuales del IPI del Reino Unido, que cubren el período , se ha esimado el siguiene modelo: log IPI = 3,99 0,04δ 74,7 + 0,0049 0, 0034ξ 74, 7 + w, donde, δ 74, 7 es una variable ipo escalón que oma valor 0 si es anerior a julio de 1974 y 1 a parir de ese insane ξ 74, 7 es una variable rampa que oma valor 0 si es anerior a julio de 1974 y a parir de ese insane oma valores 1,, 3, Ambas variables se asocian a los efecos de la primera crisis del peróleo a) Inerpree los parámeros del modelo, y sobre la base de ales resulados, comene los efecos que la crisis del peróleo uvo sobre el crecimieno de la producción indusrial briánica. b) A la luz de sus conocimienos sobre las series emporales económicas Cree used que las desviaciones del LogIPI respeco a su endencia seguirán un proceso ruido blanco?. Jusifique su respuesa. Solución Aparado a) Si escribimos de forma genérica el modelo enemos: log IPI + w * * = α + α δ 74,7 + β + β ξ74, 7 Si nos cenramos en el período anes de la crisis energéica, enemos: y después de la crisis log IPI = α + β + w log IPI = α + α + β (1 ) + ( β + β ) + * * * * w siendo * el valor de la endencia para julio de Esá claro que se esá modelizando la endencia del IPI empleando una modelización deerminisa exponencial, eso sí conemplando la segmenación de la misma. De modo que: 1º) α mide el nivel de la endencia al inicio de la muesra 3

4 º)100β mide el crecimieno mensual endencial (en % ) el IPI anes de la crisis el peróleo. * * * 3º) α + β ( 1 ) mide el efeco de la crisis del peróleo sobre la consane de la endencia 4º) 100β * mide (en punos porcenuales) el efeco sobre el crecimieno endencial del IPI de la crisis del peróleo. Así pues, se esima con ese modelo que la primera crisis del peróleo supuso una caída en el crecimieno endencial mensual del IPI briánico de 0,34 punos porcenuales. Se pasó de un crecimieno endencial del 0,49% mensual a un crecimieno del 0,15% mensual. Aparado (b) Lo más normal es esperar que w no sea ruido blanco sino que presene algún ipo de esrucura de auocorrelación. Eso es debido a que el IPI es una variable que presena habiualmene esacionalidad y comporamieno cíclico, componenes no modelizados en el modelo presenado. 4

5 B.. Sea el modelo y = µ + ε θ3 ε 3 donde ε es un proceso ruido blanco. Se pide: (a) Es y un proceso esacionario? Por qué? (b) Derive la función de auocorrelación simple del proceso. (c) Cómo será la función de auocorrelación simple del proceso y = µ + ε θ ε con r = 13,,,...? r Solución: Aparado (a) El proceso es esacionario por consrucción dado que es un MA(3) sin embargo no es inverible por consrucción. La condición de inveribilidad será: θ 3 < 1. Aparado (b) La función de auocorrelación simple será: θ3 γ k k = + rk = = 3 1 θ3 γ 0 0 k 3 Pues, siendo E( y) = E( ε θ1ε 1 ) = µ y V ( ε ) = ~ y = y E( y) = ε θ 1 ε 1, enemos: Varianza del proceso: σ ε y definiendo γ = V( y ) = E( ~ y ) = E( ε θ ε ) = E( ε ) + θ E( ε ) θ E( ε ε ) = = σ + θ σ = σ ( 1 + θ ) ε 3 ε ε Función de auocovarianzas del proceso: γ = Cyy ( ) = Eyy ( ~~ ) = E( ε θ ε )( ε θ ε ) = = E( ε ε ) θe( ε ε ) θe( ε ε ) + θ E( ε ε ) = γ = Cyy ( ) = Eyy ( ~~ ) = E( ε θ ε )( ε θ ε ) = = E( ε ε ) θe( ε ε ) θe( ε ε ) + θ E( ε ε ) = γ = Cyy ( ) = Eyy ( ~~ ) = E( ε θ ε )( ε θ ε ) = ε ε θ ε ε θ ε θ = E( 3) 3E( 6) 3 E( 3) + 3 E( ε 3ε 6) = θ3σ ε γ = Cyy ( ) = Eyy ( ~~ ) = E( ε θ ε )( ε θ ε ) = γ = Cyy ( ) = Eyy ( ~~ ) = E( ε θ ε )( ε θ ε ) = En general: 5

6 γ k θ σ ε k = = k 3 Aparado (c) Es fácil observar que para el caso general y = µ + ε θ ε r con r = 13,,,... la función de auocorrelación simple será: r k γ k = = γ θ + θ k = r k r 6

7 B.3. Las asas de crecimieno mensuales (aproximadas por las primeras diferencias de las ransformaciones logarímicas de los daos originales) de las venas de una empresa en dos mercados diferenes vienen deerminadas por los siguienes modelos: v 1 ( L ) = + ε σ ε = 1 010, 1 05, 1 13, 1 ( ) 1 03, Lv = 007, + ε σ ε = 057, Donde ε 1 y ε son procesos ruido blanco independienes. Comene las diferencias y similiudes de comporamieno de dichas asas de crecimieno a parir de sus medias, varianzas y auocorrelaciones. Solución Medias Varianzas Auocorrelaciones Ev 1 = 010, Ev = 1, 3 ( 1 + 0, 5 ) = 1, 65 r 1 k = 05, = 04, k = , 5 0 k 1 007, Ev = = 010, Ev 1 03, = 057, 1 03, k = 0, 66 r k = 03, Comenarios Tano v 1 como v son procesos esacionarios e inveribles y sus realizaciones oscilan alrededor de la misma media (0,10). En ambos casos lo que ocurre es que exise un crecimieno sisemáico de las venas del 10%. No obsane, las oscilaciones de v 1 yv son mucho mayores en el primer mercado (la varianza es más del doble en el primer mercado que en el segundo), lo cual implica que en el primer mercado hay mucha más inceridumbre sobre la evolución fuura de las venas que en el segundo mercado. En ambos casos las oscilaciones alrededor del valor medio presenan esrucura de auocorrelación. Es decir exise una relación enre los valores presenes de v 1 yv y sus valores pasados. No obsane mienras que en el primer caso esa relación exise sólo enre los valores de los mismos meses de años diferenes, es decir la relación iene lugar en el ámbio esacional, en el segundo caso, la relación iene lugar en el ámbio de lo regular. 7

8 B.4. El gráfico adjuno recoge la evolución del consumo de energía elécrica mensual en España desde 1958 y hasa el año 000. Cree used que derás de dicha serie puede enconrarse una muesra aleaoria?. Jusifique adecuadamene su respuesa Consumo de energía elécrica Millones de KWh

9 Solución Recordemos que el muesreo aleaorio se caraceriza por la idénica disribución de las variables aleaorias que consiuyen la muesra y la independencia de ellas. Lo que implica que los daos obenidos mediane ese ipo de muesreo han de presenar una media y varianza homogéneas y no han de presenar ningún ipo de inerdependencia. Así pues, es fácil comprobar que derás de la serie presenada no puede enconrase un muesreo aleaorio. Resumamos los moivos por los que eso es así: 1. Se observa que no exise una media global como debería exisir si los daos procediesen de una muesra aleaoria. Hay múliples medias locales que además ienden a crecer sisemáicamene. Es decir, la serie emporal muesra una endencia con crecimieno sisemáico.. Denro de un mismo año los niveles oscilan sisemáicamene con menores valores en unos meses concreos y mayores en oros. Es decir, la serie emporal presena esacionalidad. Lo cual muesra que exisen medias diferenes dependiendo del mes en concreo del que se rae. En la muesra aleaoria al exisir una media global no puede ocurrir eso 3. Las oscilaciones de la serie aumenan con el nivel, con lo que la varianza muesral va creciendo al ampliarse la muesra. En las muesras aleaorias la varianza es consane. 4. Al margen de la endencia y la esacionalidad las observaciones muesran dependencia de modo que las posibles desviaciones sobre la endencia y esacionalidad no son independienes. Es decir, exise auocorrelación. Tal dependencia no se da en muesras aleaorias. 9

10 B.5. a) El gráfico adjuno recoge la evolución mensual del número de viajeros (en millares) que emplean el ranspore aéreo en España enre 1969 y 000. Cree used que dicha serie ha sido generada por un proceso esocásico esacionario?. Jusifique adecuadamene su respuesa Pasajeros en ranspore aéreo en España b) Considere ahora la ransformación logarímica de la serie anerior (ver el gráfico adjuno). Qué observa?. Por qué? Cree used que dicha serie ha sido generada por un proceso esocásico esacionario?. Jusifique adecuadamene su respuesa Logarimo del número de pasajeros

11 c) A la ransformación logarímica del número de pasajeros se le ha ajusado una endencia deerminisa. Inerpree los resulados presenados a coninuación. Dependen Variable: LOG(PASAJE) Mehod: Leas Squares Sample: 1969:01 000:08 Included observaions: 380 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Residual Acual Fied 11

12 d) Considere las asas mensuales de variación aproximadas por las diferencias de los logarimos (ver el gráfico adjuno). Qué observa? Por qué? Cree used que dicha serie ha sido generada por un proceso esocásico esacionario?. Jusifique adecuadamene su respuesa. 0.4 Tasas mensuales de variación del nº de pasajeros e) Considere las asas anuales de variación aproximadas por las diferencias de los logarimos (ver el gráfico adjuno). Qué observa? Por qué? Cree used que dicha serie ha sido generada por un proceso esocásico esacionario?. Jusifique adecuadamene su respuesa. 0.4 Tasas anuales de variación del nº de pasajeros Media

13 f) Considere la variable logarimo del número de pasajeros ransformada mediane la primera diferencia regular y esacional (ver gráfico adjuno) Qué observa? Por qué? Cree used que dicha serie ha sido generada por un proceso esocásico esacionario?. Jusifique adecuadamene su respuesa

14 Solución Aparado a) Recordemos que en un proceso esacionario (en senido débil) odas las variables aleaorias del proceso ienen la misma media y varianza y las auocovarianzas son independienes del iempo. Es fácil comprobar que la serie emporal presenada presena rasgos caracerísicos de no esacionariedad: 1º) La serie emporal muesra una endencia con crecimieno sisemáico, lo cual es incompaible con la exisencia de una misma media común a odas las variables aleaorias que consiuyen el proceso esocásico º) Denro de un mismo año los niveles oscilan sisemáicamene con menores valores en unos meses concreos y mayores en oros. Es decir, la serie emporal presena esacionalidad. Lo cual muesra que las variables aleaorias del proceso ienen medias diferenes dependiendo del mes en concreo del que se rae, lo cual es incompaible con la exisencia de una media común. 3º) Las oscilaciones de la serie aumenan con el nivel de la misma, lo cual es reflejo de que las variables del proceso esocásico no ienen la misma varianza. Exise evidencia de heerocedasicidad. Aparado b) Lo que se observa es que la ransformación logarímica (ransformación Box-Cox) ha inducido homocedasicidad. Las oscilaciones de la serie emporal son mucho más homogéneas (no varían con el aumeno de la media) que en el caso anerior. Sin embargo la serie sigue sin ser esacionaria pues presena una clara endencia creciene y esacionalidad. 14

15 Aparado c) Se ha ajusado a la serie número de pasajeros una endencia deerminisa exponencial pasaje = e µ + β+ w1 con la que dado que β > 0 modelizamos un crecimieno sisemáico en dicha serie. En concreo, a parir de las esimaciones obenidas se puede decir que el nº de pasajeros crece a un rimo endencial del 0,4% mensual. Debe desacarse de los resulados el carácer parcial de la modelización pues el componene residual presena claros indicios de esacionalidad con oscilaciones sisemáicas dependiendo del mes concreo del año en el que nos enconremos (menores valores en unos meses concreos y mayores en oros). Aparado d) Se observa que las asas mensuales de variación, a diferencia de lo que ocurría para el nivel de la serie, no presenan crecimieno sisemáico. Eso es así porque dicho crecimieno sisemáico queda modelizado mediane la diferencia regular. Sin embargo la serie sigue sin ser esacionaria pues presena una clara paua esacional, con oscilaciones sisemáicas dependiendo del mes concreo (menores valores en unos meses concreos y mayores en oros). Aparado e) Se observa que las asas anuales de variación, a diferencia de lo que ocurría para el nivel de la serie, no presenan comporamieno esacional. Eso es así porque la diferencia esacional recoge dicho comporamieno. Sin embargo la serie sigue sin ser esacionaria pues, a pesar de no presenar ni crecimieno ni decrecimieno sisemáico, se observa la exisencia de diferenes medias locales. Las rachas de valores por encima y por debajo de la media muesral se aprecian con claridad. Aparado f) 15

16 Esa ransformación de la serie original si que parece que ha inducido esacionariedad. Se observa una serie sin endencias, sin rachas de valores, sin comporamieno esacional y con oscilaciones homogéneas. 16

17 B.6. Los gráficos adjunos presenan respecivamene la evolución mensual del ipo de cambio $/euro y las asas mensuales de variación de dicho ipo de cambio para el período enero/1999 a noviembre de 004. Se presenan además las correspondienes funciones de auocorrelaciones simple y parcial de cada serie. Se pide: (a) Es la serie del ipo de cambio esacionaria? Por qué? (b) Son las asas mensuales de variación del ipo de cambio esacionarias? Por qué? Presenan auocorrelación? (c) Presenan esacionalidad esas series? 1.5 Tipo de cambio $/euro Media Muesral

18 0.10 Tasas mensuales de variación del ipo de cambio $/euro

19 Solución Aparados a) La serie del ipo de cambio euro/$ es claramene no esacionaria pues, a pesar de no presenar ni crecimieno ni decrecimieno sisemáico, se observa la exisencia de diferenes medias locales. Las rachas de valores por encima y por debajo de la media muesral se aprecian con claridad en el gráfico de la serie. Además la paua de la función de auocorrelación simple (leno decrecimieno a cero) confirma el carácer no esacionario de la serie. Aparados b) Las asas mensuales de variación del ipo de cambio euro/$ si que parece ser esacionario. Se observa una serie sin endencias, sin rachas de valores, sin comporamieno esacional y con oscilaciones homogéneas. Además la función de auocorrelación simple no muesra evidencia de no esacionariedad. Desacar que la función de auocorrelación simple y parcial así como el conrase Ljung- Box aporan evidencia en el senido de que las asas mensuales de variación del ipo de cambio euro/$ son ruido blanco, es decir no presenan esrucura de auocorrelación. Aparado c) Ninguna de las dos series presena esacionalidad: se puede apreciar en el gráfico de ambas que no exisen diferenes medias para diferenes meses del año. Además los reardos esacionales de la función de auocorrelación simple no presenan ampoco el caracerísico decrecimieno leno a cero de las series esacionales. 19