MODELACIÓN DEL RÉGIMEN DEL CAUDAL MENSUAL EN LA CUENCA BAJA DEL RÍO DAGUA MEDIANTE SERIES DE TIEMPO ESTACIONALES

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1 49 MODELACIÓN DEL RÉGIMEN DEL CAUDAL MENSUAL EN LA CUENCA BAJA DEL RÍO DAGUA MEDIANTE SERIES DE TIEMPO ESTACIONALES Jefferson Valdés Baso Esudiane. Universidad del Valle, Escuela de Ingeniería Indusrial y Esadísica, Cali. jeffer.valdes@gmail.com Diego A. Casro Llanos Esudiane. Universidad del Valle, Escuela de Ingeniería Indusrial y Esadísica, Cali. dicasro05313@homail.com Wilmar A. Torres López Esudiane. Universidad del Valle, Escuela de Ingeniería Indusrial y Esadísica, Cali. alexanderor@gmail.com Vícor M. González Rojas Profesor Asisene. Universidad del Valle, Escuela de Ingeniería Indusrial y Esadísica, Cali. vimagor@gmail.com Resumen Ese rabajo planea la elaboración de un modelo de series de iempo Esacional para el régimen del caudal mensual en la cuenca baja del río Dagua para el periodo junio junio Donde se busca pronosicar valores fuuros de la serie en los res meses siguienes a parir de la fecha esablecida. Con el modelo propueso se obuvieron resulados similares con respeco a los valores reales para la modelación del régimen mensual. Palabras clave: Series de Tiempo, modelos SARIMA, Régimen caudal agua, Río Dagua, Pronósicos. Absrac This work raises he developmen of a Seasonal ime series model for he monhly flow regime in he lower basin of he Dagua River for he period June June Where is looking predic fuure values of he series wihin hree monhs from he dae esablished. Wih his proposed model were obained similar resuls wih regard o he acual values for modeling monhly regime. Keywords: Time Series, SARIMA Models, Dagua River, Forecasing

2 50 1. Inroducción En la modelación del régimen del caudal del agua se han empleado diversas meodologías y écnicas para la predicción. En muchas ocasiones se realizaron modelos de regresión lineal múliple, donde se evaluaba el comporamieno de esa serie a parir de oras variables físicoquímicas y biológicas innaas en el régimen del caudal; pero son pocos los rabajos en donde se hace uso de la misma serie univariada para la predicción. Para la obención de esa serie se uvo en cuena la información suminisrada por la CVC (Corporación Regional del Valle del Cauca) enidad que ha monioreado la calidad del agua superficial de la cuenca baja del río Dagua en la esación Bendiciones con regisros mensuales hisóricos que van desde Junio de 1982 hasa Mayo de 2004, para los períodos esacionales. Ese rabajo planea la elaboración de un modelo de series de iempo a parir del uso de herramienas esadísicas ales como los modelos SARIMA (Seasonal Auoregressive Inregred Moving Average) en donde se busca modelar la pare esacional con periocidad anual y los demás componenes de la serie. Los resulados de los pronósicos res periodos adelane fueron muy similares comparados con los valores reales de la serie del régimen del caudal del agua. 2. Descripción de la zona de esudio La cuenca del río Dagua limia con las cuencas del río Calima al nore y del río Anchicayá al sur y iene la forma de un riángulo alargado hacia el oese, con su puna cercana a Buenavenura. En esa cuenca se pueden disinguir res (3) zonas morfológicamene diferenes: La zona cosera (desde la desembocadura hasa Córdoba) con una exensión aproximada de 12 km. Tiene una pendiene mínima, lo cual permie que el cauce se separe en varios brazos ubicados en áreas inundables, someidos a la acción de la marea (zonas de manglares). Figura 1. Cuenca Dagua La zona inermedia es esrecha y muy encajonada, con un ancho de aproximadamene 17 km, el Valle se exiende aliudinalmene enre 150 y casi 2000 m; esa zona esá comprendida enre Córdoba y Loboguerrero. En esa zona el río Dagua corre paralelo a la carreera que comunica a Buenavenura y Saniago de Cali. En el rayeco de Loboguerrero y la quebrada Bendiciones con longiud de 19 km se presenan problemas durane los períodos de crecienes con las quebradas que desembocan en el río Dagua. La zona ala ubicada arriba de Loboguerrero. En esa zona la cuenca esá conformada por dos subcuencas: la del río Dagua y la del río Grande. 3. Meodología Para obener el modelo SARIMA se uvo en cuena la meodología propuesa por Box y Jenkins (1970), donde en la idenificación del modelo esacional hace uso de gráficos simulados de diferenes Funciones de Auocorrelación Teóricas (FAC) que son comparadas con la FAC muesral obenida por la serie de esudio. Para el desarrollo de ese modelo se realizaron los siguienes pasos: Idenificación del modelo SARIMA, esimación de parámeros, Validación de supuesos y pronósicos. En la figura 2 se presena el grafico de la serie mensual y la Función de Auocorrelación(FAC):

3 51 CMM en m3 /s Meses ( ) Auocorrelaciones modelo ARIMA convencional. Se grafico la Función de Auocorrelación FAC de la serie ransformada al y como se muesra en la figura FAC Serie Transformada y Diferenciada una vez rezagos Figura 3. Función de Auocorrelacion de la serie ransformada diferenciada una vez Figura 2. Grafico de la serie y Función de Auocorrelación del régimen del caudal de la Cuenca Baja del río Dagua En el grafico de la serie se observa una gran variabilidad en el periodo de esudio pero no se encuenra alguna endencia, además según la FAC la serie no es esacionaria en cuano a nivel, por lo cual se hace necesario aplicar una ransformación a la serie para volverla esacionaria Idenificación del modelo SARIMA Para la idenificación del modelo primero se ransformo la serie con logarimo naural para esabilizarla en varianza, luego se diferencio una vez para esabilizarla en media al igual que en un En el gráfico de la FAC se observa que la serie ransformada es esacionaria en nivel con la primera diferencia y con la ransformación se logra la esabilidad en varianza. No se podría pensar en posular un modelo de medias móviles (MA) de orden bajo debido a que varios rezagos se salen de las bandas de confianza, además de ello se presena una esacionalidad en la serie y razón por la cual se modelará mediane un ARIMA Esacional (SARIMA). Siguiendo a Guerrero (2003) el modelo eórico que mejor se aproxima a la Figura 2 viene dado por (1 φ E E+ 1 B ) W = (1 1B EB E+ 1B ) a (1) Donde W represena la serie ransformada y diferenciada una vez y E es el periodo donde se presena la esacionalidad. El anerior modelo viene dado de manera general por: ARIMA (1, d, E + 1) x(0, D, 0) E (2) con E 3

4 52 De esa forma se requieren d diferencias regulares y D diferencias esaciónales para volver esacionaria la serie del Caudal Medio Mensual ( CMM ). En la prácica el grado de diferenciación esacional es comúnmene D 1, aunque podría presenarse el caso, un ano infrecuene, en que ese valor sea igual a 2, el cual sucede cuando el parón esacional sea creciene. En primera insancia se hizo D = 0, luego D = 1 ya que se perderán solamene 12 observaciones que corresponde de Junio 1982 hasa Mayo de No se realizó D = 2, debido a que el parón esacional no es creciene. Con base en lo anerior se usó una diferenciación esacional, y a parir de esa nueva serie se graficara la FAC correspondiene para deerminar si la serie necesiaba ser diferenciada o no para volverla esacionaria en nivel. En la lieraura primero se deermina el grado de diferenciación esacional y luego el grado de diferenciación para que la serie sea esacionaria en media. En las figuras 4 y5 se presenará las FAC para la serie esacional sin diferenciar y diferenciada una vez. Se puede observar que en la FAC sin diferenciar las auocorrelaciones muésrales decaen lenamene por lo cual no se puede afirmar que la serie esacional es esacionaria en nivel, mienras que en la grafica de la FAC diferenciada una vez los rezagos decaen rápidamene a cero a excepción del rezago 12, sin embargo eso puede suceder por la aleaoriedad. Por lo ano se rabajará con una sola diferencia, considerando la serie esacional con periodo esacional igual a 12 ( E = 12 ). Un crierio para decidir los valores de D y d sin ener en cuena los gráficos de la FAC muesral, consise en calcular las desviaciones esándar S ( d, D) ; donde D corresponde al grado esacional y d el grado de esacionariedad de la serie. La serie esacionaria será aquella que saisfaga el siguiene crierio: { S( j, i); j = 0,1,2; 0,1 } S( d, D) = mín i = (3) Las desviaciones esándar de la serie ransformada para el Caudal Medio Mensual, eniendo en cuena lo anerior vienen dadas por: S(0,0) = 0, S(0,1) = 0, S(1,0) = 0, S(1,1) =0, S(2,0) = 0, S(2,1) =0, De las seis series consideradas, la que menor desviación esándar presena es S (1, 1), lo cual lleva a la misma conclusión usando las FAC muesrales, lo cual hace pensar que la serie es esacionaria en nivel usando d = D = 1. Con lo dicho aneriormene se iene un modelo de la forma: ARIMA ( 1,1, E + 1) x(0,1, 0) E Donde d = 1, E = 12, D = 1. Figura 4. FAC de la serie esacional Figura 5. FAC de la serie esacional diferenciada una vez.

5 Esimación de los parámeros del modelo SARIMA Las esimaciones de los parámeros para el modelo se obuvieron a parir del sofware esadísico Miniab 14.3: Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T Valor P AR MA MA MA Se puede observar que dos de los cuaro parámeros esimados son mayores a un nivel de significancia del 5%, en consecuencia no se rechaza la hipóesis nula de que los parámeros 1 y 13 son significaivamene iguales a cero, en consecuencia se debe reducir el número de parámeros, y por ende se debe volver a correr el modelo sin incluir el úlimo de ellos, además se debe ener en cuena que el modelo con el cual se realizaran los pronósicos debe ser el más apropiado en aras de la parsimonia. Se esiman nuevamene los parámeros del modelo considerado, sin ener en cuena el parámero 13, obeniendo: Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T Valor P AR MA MA Se puede observar que los 3 parámeros asociados al modelo propueso son significaivamene diferenes de cero, ya que el p-valor de cada uno es menor que un nivel de significancia del 5%, por lo cual se rechaza la hipóesis nula de que esos son iguales a cero, por ende ese es el modelo más adecuado para modelar la serie del Régimen del Caudal Medio Mensual De esa manera el modelo esimado viene dado por: ( B ) W = ( B B ) ; Donde W = T ( CMM ) 12 a 3.3. Validación de supuesos del modelo SARIMA Se verificaron odos los supuesos del modelo según la meodología propuesa por Guerrero (2003) observando que se cumplen odos los supuesos esadísicos requeridos para que ese modelo serie-emporal enga validez en los pronósicos Predicciones Las predicciones para los meses de Julio, Agoso y Sepiembre de 2006 se calcularon en el paquee esadísico Miniab 14.3, obeniendo las siguienes esimaciones: Los valores originales obenidos para el régimen de CMM en la esación bendiciones para Julio, Agoso y Sepiembre de 2006 son ; y respecivamene. Obsérvese que los errores e = y yˆ son -1.26, y respecivamene. 4. Conclusiones Se observa que los pronósicos punuales para los res periodos son muy parecidos con sus verdaderos valores (es decir, la discrepancia enre los valores reales y los pronósicos es pequeña), por lo ano el modelo generador de la serie ARIMA ( 1,1, E + 1) x(0,1, 0) E es adecuado para pronosicar el régimen de CMM. Los inervalos de confianza al 95% de confianza conienen el verdadero valor del pronósico, por lo cual los pronósicos no se

6 54 alejan ano de la realidad, además el ancho del inervalo de confianza es pequeño, aunque ese se incremene cada vez un poco para los pronósicos de agoso y sepiembre de En ese rabajo se enconró que se puede hacer uso de modelos de series de iempo esacionales para saber cómo será el comporamieno a fuuro del régimen del caudal de la cuenca baja del río Dagua, con aproximaciones muy parecidas a lo puede ser la realidad del comporamieno del caudal a diferencia de oros modelos donde en muchas ocasiones solo se pueden hacer predicciones denro del inervalo de iempo esudiado, cosa diferene ocurre con las series de iempo en los cuales se pueden hacer pronósicos a fuuro. 5. Referencias Bibliográficas 1. Conreras, J; Espínola R.; Nogales, F.J.; Conejo A. (2003). ARIMA models o predic nexday elecriciy prices, IEEE Trans. Power Sys., Vol. 18, pp Guerrero, V. M. (2003) Análisis Esadísico de Series de Tiempo Económicas. México, D.F. Ed. Thomson, Segunda Edición. 3. Uriel, E. (1992) Análisis de Series Temporales modelos ARIMA. España, Valencia. Ed. Paraninfo, Segunda Edición.