MODELO ARIMA(p, d, q) (P, D, Q) s

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1 SERIES TEMPORALES: MODELO ARIMA Faculad Ciencias Económicas y Empresariales Deparameno de Economía Aplicada Profesor: Saniago de la Fuene Fernández MODELO ARIMA(p, d, q) (P, D, Q) s Se han analizado las series emporales desde un puno de visa deerminisa o clásico. A parir de ahora se esudian desde un puno de visa esocásico o moderno, que uiliza méodos más complejos y su aplicación requiere series más largas. Box y Jenkins han desarrollado modelos esadísicos para series emporales que ienen en cuena la dependencia exisene enre los daos, eso es, cada observación en un momeno dado es modelada en función de los valores aneriores. Los análisis se basan en un modelo explício. Los modelos se conocen con el nombre genérico de ARIMA (AuoRegresive Inegraed Moving Average), que deriva de sus res componenes AR (Auoregresivo), I(Inegrado) y MA (Medias Móviles). El modelo ARIMA permie describir un valor como una función lineal de daos aneriores y errores debidos al azar, además, puede incluir un componene cíclico o esacional. Es decir, debe conener odos los elemenos necesarios para describir el fenómeno. Box y Jenkins recomiendan como mínimo 50 observaciones en la serie emporal. La meodología de Box y Jenkins se resume en cuaro fases: La primera fase consise en idenificar el posible modelo ARIMA que sigue la serie, lo que requiere: Decidir qué ransformaciones aplicar para converir la serie observada en una serie esacionaria. Deerminar un modelo ARMA para la serie esacionaria, es decir, los órdenes p y q de su esrucura auorregresiva y de media móvil. La segunda fase: Seleccionado provisionalmene un modelo para la serie esacionaria, se pasa a la segunda eapa de esimación, donde los parámeros AR y MA del modelo se esiman por máxima verosimiliud y se obienen sus errores esándar y los residuos del modelo. La ercera fase es el diagnosico, donde se comprueba que los residuos no ienen esrucura de dependencia y siguen un proceso de ruido blanco. Si los residuos muesran esrucura se modifica el modelo para incorporarla y se repien las eapas aneriores hasa obener un modelo adecuado. La cuara fase es la predicción, una vez que se ha obenido un modelo adecuado se realizan predicciones con el mismo. PASOS A SEGUIR PARA EL ANÁLISIS DE DATOS. Recogida de daos: Es conveniene disponer de 50 o más daos, y en el caso de series mensuales, rabajar enre seis y diez años compleos.

2 . Represenación gráfica: Es de gran uilidad disponer de un gráfico de la serie para decidir sobre la esacionariedad. En ocasiones, se uilizan medias y desviaciones ípicas por subperiodo para juzgar sobre la esacionariedad de la serie. 3. Transformación previa de la serie: Cuando la serie no es esacionaria en varianza se requiere una ransformación logarímica. No obsane, la ransformación logarímica es muy frecuene incluso en series con dispersión relaivamene consane en el iempo. Una prácica habiual es ensayar con la serie original y en logarimos y comprobar resulados. 4. Eliminación de la endencia: La observación del gráfico de la serie indica la exisencia o no de endencia. Una endencia lineal será corregida omando primeras diferencias, que será el caso más frecuene. Una endencia no lineal suele llevar en la prácica al uso de dos diferencias como mucho. 5. Idenificación del modelo: Consise en deerminar el ipo de modelo más adecuado, eso es, el orden de los procesos auorregresivos y de medias móviles de las componenes regular y esacional. Técnicamene esa decisión se oma en base a las funciones de auocorrelación (FAC) y auocorrelación parcial (FAC parcial), ano en la pare regular como esacional. Es habiual erminar eligiendo enre los procesos más simples AR(), AR(), MA(), MA() y ARMA(,), ano en la pare regular como esacional. En caso de duda pueden seleccionarse varios modelos alernaivos que serán esimados y conrasados poseriormene, para definir finalmene el modelo adopado. 6. Esimación de los coeficienes del modelo: Decidido el modelo, se procede a la esimación de sus parámeros, dado que se raa de un procedimieno ieraivo de cálculo, pueden sugerirse valores iniciales. 7. Conrase de validez del modelo: Se uilizan disinos procedimienos para valorar el modelo o modelos inicialmene seleccionados: conrase de significación de parámeros, covarianzas enre esimadores, coeficiene de correlación, suma de cuadrados de errores, ec. 8. Análisis deallado de los errores: Se endrán en cuena las diferencias hisóricas enre valores reales y esimados por el modelo para su valoración final. Hay que verificar un comporamieno no sisemáico de los mismos, así como analizar la posible exisencia de errores especialmene significaivos. 9. Selección del modelo: En base a los resulados de pasos aneriores, se decide sobre el modelo adopado. 0. Predicción: El modelo seleccionado se uilizará como fórmula inicial de predicción.

3 IDENTIFICACIÓN PRÁCTICA DEL MODELO Idenificar un modelo significa uilizar los daos recogidos, así como cualquier información de cómo se general la serie emporal objeo de esudio, para sugerir un conjuno reducido de posibles modelos, que engan muchas posibilidades de ajusarse a los daos. Ane una serie emporal empírica, se deben enconrar los valores (p, d, q) más apropiados. Si la serie emporal presena una endencia, lo primero que debe de hacerse es converirla en esacionaria mediane una diferenciación de orden d. Una vez diferenciada la serie, una buena esraegia consise en comparar los correlogramas de la función de auocorrelación (ACF) y la función de auocorrelación parcial (ACFP), proceso que suele ofrecer una orienación para la formulación del modelo orienaivo. Los procesos auorregresivos presenan función de auocorrelación parcial (ACFP) con un número finio de valores disino de cero. Un proceso AR(p) iene los primeros p érminos de la función de auocorrelación parcial disinos de cero y los demás son nulos. Esa afirmación es muy fuere, y en la prácica se considera que una muesra dada proviene de un proceso auorregresivo de orden p si los érminos de la función de auocorrelación parcial son casi cero a parir del que ocupa el lugar p. Un valor se considera casi cero cuando su módulo es inferior a / T. Los programas de ordenador consiuyen la franja ( / T, / T ) y deecan los valores de la ACFP que caen fuera de ella. Los procesos de medias móviles presenan función de auocorrelación con un número finio de valores disinos de cero. Un proceso MA(q) iene los primeros q érminos de la función de auocorrelación disinos de cero y los demás son nulos. Las dos propiedades descrias son muy imporanes con visas a la idenificación de un proceso mediane el análisis de las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial. El resumen de los pasos de idenificación de un modelo de series emporales: ) Decidir si X necesia ser ransformada para eliminar la no esacionariedad en media p en la no esacionariedad en varianza (heeroscedasicidad). Puede ser conveniene uilizar logarimos de la serie o aplicar la ransformación de Box Cox. ) Deerminación del grado d de diferenciación adecuado. En general, la fala de esacionariedad se manifiesa en que los coeficienes de la función de auocorrelación esimada ienden a decrecer muy lenamene. La preguna es, cuán lenamene ha de ser el decrecimieno de los coeficienes de la función de auocorrelación parcial (ACFP) para que el proceso sea esacionario?. En general, solo ocasionalmene los daos económicos del correlograma dejarán de decrecer ras las primeras diferencias, y en ese caso serían necesarias segundas diferencias. Una diferenciación superflua solo sirve para alerar el esquema de auocorrelación evidene en una serie esacionaria y complicarlo innecesariamene. 3) Decidir los valores de (p, q), y si exise una componene esacional, decidir los órdenes de los operadores esacionales (P, Q). Para ese aparado se uilizan las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial (ACFP) según el siguiene cuadro: 3

4 Proceso Función de auocorrelación (ACF) Función de auocorrelación parcial (ACFP) Solo los q primeros coeficienes son Decrecimieno rápido exponencial MA(q) significaivos. El reso se anulan aenuado u ondas sinusoidales. bruscamene (coef. 0 para reardo >q) AR(p) ARIMA(p, d, q) Decrecimieno rápido exponencial aenuado u ondas sinusoidales. Comporamieno irregular en los reardos (,..., q) con q picos. Decrecimieno para reardos poseriores a q. Solo los p primeros coeficienes son significaivos. El reso se anulan bruscamene (coef. 0 para reardo >q) Decrece (aproximadamene con exponenciales aenuados y ondas sinusoidales). No cero prono. DETENCIÓN PRÁCTICA DE LA ESTACIONARIEDAD Para deecar rápidamene la esacionariedad (Analizar/Esadísicos descripivos/ Explorar) se pueden calcular la sucesión de medias y varianzas por años, si se obienen variaciones significaivas crecienes y decrecienes a lo largo de los años, indica que no hay esacionariedad. Ese resulado conduce a omar logarimos y diferenciar la serie original con el objeivo de aenuar la fala de esacionariedad en media y varianza. Oro méodo (Analizar/Series emporales/auocorrelaciones), si los coeficienes de la ACF no decaen rápidamene hay un indicio claro de fala de esacionariedad en media, lo que llevaría a omar primeras diferencias en la serie original. Si hay duda sobre diferenciar o no, o sobre cuánas veces hay que diferenciar, se calcula la varianza de la serie original y de la serie someida a diferenes diferenciaciones, omando como diferenciación adecuada aquella para la que la varianza es mínima. El méodo es ano más adecuado cuano mayor se la diferencia enre las varianzas aneriores. La sobrediferenciación suele eviarse observando si en la pare de medias móviles alguna raíz es próxima a la unidad. DETENCIÓN PRÁCTICA DE LA ESTACIONALIDAD: PERIODOGRAMA Para deecar rápidamene la esacionalidad se puede uilizar direcamene el gráfico de la serie (Analizar/Series emporales/análisis especral), así se obiene el PERIODOGRAMA, que es una figura que ransforma la serie emporal de su dominio naural (el iempo) al dominio de las frecuencias (a los valores de la serie se les aplican ransformaciones de Fourier), en el eje X se presenan frecuencias y en el eje Y las ampliudes. Respeco al PERIODOGRAMA hay que esablecer las siguienes consideraciones: No hay esacionalidad si no hay picos desacables. Cada pico desacable idenifica un período que incluso puede ser un ciclo. A cada ampliud desacable le corresponde una frecuencia cuya inversa es el período esacional o el ciclo, con lo que el periodograma idenifica la longiud del período esacional y en su caso el ciclo. 4

5 Las ampliudes más fueres (correspondienes a valores más bajos de las frecuencias) suelen corresponder a ciclos y las menos fueres (correspondienes a valores no an bajos de las frecuencias) suelen corresponder a esaciones. En caso de duda enre ciclos y esaciones se puede recurrir a las funciones de auocorrelación para discriminar. PERIODOGRAMA ACUMULATIVO, represena en el eje de abscisas las frecuencias y en el eje de ordenadas las ampliudes acumuladas. En esa línea, hay que hacer las consideraciones: Para una serie aleaoria coincide con la diagonal del primer cuadrane. Desvíos bruscos de la diagonal provocan presencia de ciclos o esaciones para las respecivas frecuencias, que serán ciclos cuando las frecuencias sean bajas. La esacionalidad, así como la esacionariedad, ambién puede deecarse a ravés de las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial esimadas (ACFP) Analizar/Series emporales/auocorrelaciones (en Opciones para represenar ACF con un ramo significaivo se eligen 36 reardos) METODOLOGÍA BOX JENKINS 5

6 MODELOS AUTORREGRESIVOS AR(p) Un modelo auorregresivo AR describe una clase paricular de proceso en que las observaciones en un momeno dado son predecibles a parir de las observaciones previas del proceso más un érmino de error. El caso más simple es el ARIMA(,0,0) o AR() o de primer orden, cuya expresión maemáica es: AR () X = φ X + a El proceso auorregresivo de orden p, represenado por ARIMA(p,0,0) o simplemene por AR(p): AR (p) X = φ X + φ X + + φp Xp + a que puede ponerse, mediane el operador de cambio reroacivo B, en la forma: p B φ B φp B ) X a ( φ = B (X) = Xk k Un proceso auorregresivo AR(p) es esacionario si las raíces del polinomio en B dado por: p ( φ B φ B B ) caen fuera del círculo unidad. Esa condición es equivalene a que las φp p p p raíces de la ecuación: x φ x φ x φ x φ = 0 sean odas inferiores a uno en módulo. Un proceso auorregresivo siempre es inverible. p p MODELO DE MEDIAS MÓVILES Ma(q) Un modelo de medias móviles MA describe una serie emporal esacionaria. En ese modelo el valor acual puede predecirse a parir de la componene aleaoria de ese momeno y, en menor medida, de los impulsos aleaorias aneriores. El modelo ARIMA(0,0,), ambién denoado por MA(), viene dado por la expresión: X = a v a El proceso de medias móviles de orden q, represenado por ARIMA(0,0,q) o ambién por Ma(q), viene dado por la expresión: X = a v a v a v q a q que puede ponerse, mediane el operador de cambio reroacivo B, en la forma: X = ( v B v B v q q B ) a Un proceso de medias móviles es siempre esacionario. Un proceso de medias móviles Ma(q) es inverible si las raíces del polinomio en B definido por q ( v B v B v B ) caen fuera del círculo unidad. Esa condición es equivalene a que las q q q q raíces de la ecuación x φ x φ x φ x φ = 0 sean odas inferiores a uno en módulo. q q 6

7 7 MODELOS ARMA (p, q) Una exensión naural de los modelos AR(p) y MA(q) es un ipo de modelos que incluyen ano érminos auorregresivos como de medias móviles y se definen como ARIMA(p, 0, q). Se represenan por la ecuación: q q p p a a a a X X X X ν ν ν + φ + + φ + φ = que puede ponerse de la forma: q q p p a a a a X X X X ν ν ν = φ + + φ + φ es decir, ) B B B ( a ) B B B ( X q q p p ν ν ν = φ φ φ El proceso ARMA(p, q) es esacionario si lo es su componene auorregresiva, y es inverible si lo es su componene de medias móviles. Un modelo ARMA(p, q) es esacionario si las raíces del polinomio definido por ) B B B ( p p φ φ φ caen fuera del circulo unidad. Esa condición es equivalene a que las raíces de la ecuación: 0 x x x x p p p p p = φ φ φ φ sean odas inferiores a uno en módulo. Un modelo ARMA(p, q) es inverible si las raíces del polinomio en B definido mediane ) B B B ( q q ν ν ν caen fuera del circulo unidad. Esa condición es equivalene a que las raíces de la ecuación: 0 x x x x q q q q q = φ φ φ φ sean odas inferiores a uno en módulo. MODELOS ARIMA (p, d, q) Un modelo ARIMA(0, d, 0) es una serie emporal que se conviere en ruido blanco (proceso puramene aleaorio) después de ser diferenciada d veces. El modelo (0, d, 0) se expresa mediane: d a X B) ( = El modelo general ARIMA(p, d, q) denominado proceso auorregresivo inegrado de medias móviles de orden p, d, q, oma la expresión: q q d p p a ) B B B ( X B) )( B B B ( ν ν ν = φ φ φ Un modelo ARIMA(p, d, q) permie describir una serie de observaciones después de que hayan sido diferenciadas d veces, a fin de exraer las posibles fuenes de no esacionariedad. Esa fórmula se puede

8 aplicar a cualquier modelo. Si hay alguna componene p, d, q, igual a cero, se elimina el érmino correspondiene de la fórmula general. Los modelos cíclicos o esacionales son aquellos que se caracerizan por oscilaciones cíclicas, ambién denominadas variaciones esacionales. Las variaciones cíclicas a veces se superponen a una endencia secular. Las series con endencia secular y variaciones cíclicas pueden represenarse mediane los modelos ARIMA(p, d, q)(p, D, Q). El primer parénesis (p, d, q) se refiere a la endencia secular o pare regular de la serie y el segundo parénesis (P, D, Q) se refiere a las variaciones esacionales, o pare cíclica de la serie emporal. En ese senido, se adjunan algunas expresiones del modelo: ARIMA(0,, )(0,0,) : ( B) X = ( ν B )( δ B ) ARIMA(0,, )(0,,) : ( B) ( B ) X = ( ν B )( δ B ) ARIMA(,, 0)(,0,0) : ( φ B φ B ) ( Ω B ) ( B) X = a ARIMA(,, )(,,) : ( φ B) ( ΩB Ω B ) ( B ) ( B) X = ( ν B)( δ B ) a 4 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS ARIMA(p, d, q) Un proceso esocásico ( X ) =,, 3,... se define como una colección de variables aleaorias X ordenadas de acuerdo con el parámero iempo. Los modelos esocásicos de series emporales conemplan una serie emporal X como una colección de observaciones muésrales, cada una correspondiene a una variable del proceso. Las leyes de probabilidad que rigen cualquier proceso esocásico se describen exhausivamene mediane las funciones de disribución de probabilidad conjuna de odos y cada uno de los vecores de variables aleaorias que se pueden formar con las variables que consiuyen el proceso. No obsane, con finalidad prácica, los procesos esocásicos se suelen describir mediane sus momenos. La media del proceso esocásico se define por u = E(X ) y generalmene es una función del iempo. La función de auocovarianza se define como: g(, ([ X E(X )][ X E(X )]) + k) = Cov(X, X+ k) = E + k + k = 3,,, 0,,, 3, A parir de la función de auocovarianza se obienen dos resulados úiles: Función de varianza del proceso: g (, ) = VarX Función de auocorrelación: h(, + k) = g(, ) g(, + k) g( + k, + k) 8

9 ESTACIONARIEDAD Un proceso esocásico es esacionario en senido esrico si los vecores [, X,, Xn] [, X,, X ] X y X + s + s n+ s ienen la misma función de disribución de probabilidad, independienemene de s, para cualquier n dado. Esa definición de esacionariedad implica que las caracerísicas del proceso esocásico no sufren aleración en iempos hisóricamene diferenes, condición quizá demasiado fuere para imponer en la prácica. Un proceso es esacionario en senido amplio (o esacionario de segundo orden, o de covarianza esacionaria, o débilmene esacionario) cuando se verifica que u = u < y g (, + k) = gk <, es decir, la media del proceso es consane (no depende del iempo) y la auocovarianza es solo función del lapso emporal considerado, y no del iempo hisórico. Los momenos de orden superior pueden variar con el iempo. En el caso de procesos con función de disribución de probabilidad normal, la esacionariedad en senido amplio implica la esacionariedad en senido esrico. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN En procesos esacionarios, la función de auocorrelación es: h k gk Cov(X, X+ k) = = k =,,, 0,,, g Var(X ) 0 Para procesos reales se verifica además que g 0 > 0, gk = gk, hk = hk, h 0 = y h k Se denomina correlograma del proceso a la represenación gráfica con h k en ordenadas y k en abscisas. La función de auocorrelación de las series esacionarias disminuye sensiblemene a medida que aumena el desfase emporal k. Esa caracerísica no suele suceder en las series no esacionarias. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN ESTIMADA En aplicaciones prácicas, en las que se dispone de cieras observaciones, ( X ) =,,3,..., T, relaivas a un proceso esocásico que se supone esacionario, la media del proceso se esima mediane: Análogamene, la función de auocorrelación h k se esima mediane la función de auocorrelación muesral, que se define por r T (X = k = T = X)(X (X k X) X) X = T = X T 9

10 Se denomina correlograma muesral a la represenación gráfica de r, k insrumeno de gran inerés prácico del análisis de series emporales. Para obener correlogramas debe parirse en la prácica de muesras de amaño suficienemene grande (al menos 50 observaciones). La función de auocorrelación muesral no se puede calcular cuando ( k > T + ), y en la prácica no debe calcularse para ( T > T /4) RUIDO BLANCO Es un proceso puramene aleaorio, se define por las condiciones: u = E(X ) = 0, g0 = var(x ), g k = cov(x, X + k ) = 0 k =,,, 0,,, En ese ipo de procesos puramene aleaorios el correlograma se reduce a un segmeno de longiud uniaria sobre el eje de ordenadas. ESTACIONARIEDAD Y ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA Muy pocas series emporales reales del mundo económico son esacionarias. La mayoría presenan endencia, varianza no consane y variaciones esacionales. La presencia de variaciones esacionales se raduce en una variabilidad de la media del proceso, lo que es conrario a la hipóesis de esacionariedad. Normalmene, es posible ransformar muchas series económicas reales no esacionarias en oras aproximadamene esacionarias, someiéndolas a operaciones algebraicas adecuadas. A las series no esacionarias que presenan una endencia lineal se les somee a la ransformación Z = X X para converirlas en esacionarias. Si X muesra una endencia lineal, la primera diferencia de la serie Z ya no endrá esa endencia. En ese caso se dice que X es una serie emporal homogénea de primer orden o inegrada de primer orden y se denoa por I(). La eliminación de una endencia cuadráica puede conseguirse mediane una doble diferenciación. Esa operación se realiza en dos eapas, primero se obiene W = X X y, si sigue exisiendo endencia, se obiene Z = W W. Si Z ya no incorpora endencia (es esacionaria) se dice que X es una serie emporal homogénea de segundo orden I(). Análogamene, una endencia de orden p puede eliminarse llevando a cabo una diferenciación de orden p dando lugar a una serie homogénea o inegrada I(p) de orden p. 0

11 TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA En general, se denomina proceso homogéneo de orden h, o inegrado de orden h, denoado por I(h), a un proceso no esacionario que se conviere en esacionario después de h operaciones de diferencias y no anes. Si X muesra una endencia exponencial, puede eliminarse la endencia hallando primero el logarimo de la serie, y luego la diferencia primera de la nueva serie así calculada. La serie Z = Ln X Ln X puede ener la endencia eliminada. TRANSFORMACIÓN DE Box Cox Permie esabilizar la varianza de una serie emporal (serie esacionaria en varianza) y aproximar su disribución a una normal. Si X es la serie emporal inicial, la ransformación viene dada por: l (X + l ) Z = l l g Z = g Ln(X + l ) si l si l 0 = 0 y y X l > l < 0 donde g es la media geomérica simple de X + l, el primer parámero l gobierna la fuerza de la ransformación. Para l = se iene la serie original X y l se elige de forma que X + l sea siempre posiiva. En consecuencia, l será cero si se rabaja con daos posiivos e igual en valor absoluo al valor más negaivo observado, en oro caso. La ransformación de Box Cox es una familia de ransformaciones dependiene del parámero l, que incluye como casos pariculares la ransformación logarímica, la raíz cuadrada y la inversa. La eliminación de las variaciones esacionales, para inducir la esacionariedad, suele hacerse casi siempre, mediane la diferenciación esacional. Si los daos son mensuales, la diferenciación esacional de la serie emporal X consise en calcular Z = X X. Con daos rimesrales se calcula Z = X X4. Si después de efecuar esa ransformación la serie sigue presenando evidencias de variaciones esacionales, es posible aplicar de nuevo el procedimieno, es decir, calcular las diferencias de segundo orden, y así sucesivamene. FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN PARCIAL ESTIMADA Un concepo muy úil en el análisis de series emporales es la función de auocorrelación parcial. El primer érmino de la función de auocorrelación parcial se denoa por φ, puede esimarse ransformando la serie X en desviaciones respeco a su media muesral Y = X X y a coninuación esimando una regresión de Y sobre Y. El modelo de regresión: Y + φ. = φ Y u, la pendiene esimada de esa regresión es

12 Además, el primer valor de la función de auocorrelación parcial φ es igual al primer valor de la función de auocorrelación, propiedad de las funciones de auocorrelación de odo proceso esocásico esacionario. El segundo valor de la función de auocorrelación parcial φ se esima mediane una regresión de Y sobre Y e Y. El modelo de regresión: Y = φ Y + φ Y + u. El ercer valor de la función de auocorrelación parcial φ 33 se esima mediane una regresión de Y sobre Y, Y e Y 3. El modelo de regresión: Y = φ3 Y + φ3 Y + φ33 Y 3 + u. La función de auocorrelación parcial puede esimarse mediane una serie de regresiones, cada una de las cuales coniene como variable explicaiva un reardo más que la anerior, y en cada caso se eligen los coeficienes esimados en los reardos más alos ( φ, φ, φ33, ), que son así los valores esimados de la función de auocorrelación parcial. Ora manera de obener la función de auocorrelación parcial esimada es mediane fórmulas recursivas, uilizando la función de auocorrelación previamene esimada y uilizando las ecuaciones de Yule Walker. A veces se suele denominar correlograma a la represenación gráfica de las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial. IDENTIFICACIÓN DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE Para ajusar la serie emporal a veces conviene inroducir un érmino independiene en el modelo ARIMA. Para conrasar la hipóesis nula de que el modelo se ajusa con una consane, se uiliza el esadísico: Si X es ruido blanco (proceso aleaorio), el esadísico: X N = ( Suden) S /(N ) X Si X esá auocorrelacionada, siendo significaivos los primeros k coeficienes de auocorrelación X ( r,r,,rk ), el esadísico a uilizar es: N = S ( + r + r + + r )/N X k ESTIMACIÓN DE MODELOS ARIMA(p, d, q) Los parámeros se suelen obener de manera que la suma cuadráica de los errores sea la menor posible. Represenando el proceso ARIMA(p, d, q) de la forma φ ( B) X = ν(b) a, los errores del modelo pueden expresarse de la forma a = φ (B) φ(b) a. El objeivo es enconrar el vecor de parámeros φ = φ ( φ,, φp) y ν = ( ν,, νp) que minimice la suma de cuadrados de los errores a = S( φ, ν).

13 La esimación es complicada ya que la ecuación es no lineal en los parámeros. Se debe recurrir a un méodo ieraivo de esimación no lineal (Marquard). Para comenzar el algorimo se necesian esimaciones preliminares de los parámeros, que se obienen mediane el méodo de los momenos. DIAGNÓSTICO, VALIDACIÓN O CONTRSTE DE MODELOS ARIMA(p, d, q) Box y Jenkins sugirieron un número considerable de ess para verificar si el modelo elegido se ajusa correcamene al conjuno de daos dado. Uno de ellos, conocido como sobreparamerización, consise en ajusar un modelo de orden superior al elegido y comprobar si los parámeros son significaivamene disinos de cero. De oro lado, si el modelo se aproxima saisfacoriamene a la serie observada, los residuos deben ender a comporarse como ruido blanco, lo que se comprobaría mediane las funciones de auocorrelación de los residuos (ACF, ACFP). Dichas funciones de auocorrelación deben de ser nulas en odo su recorrido, excepo en el cero. Si el modelo no se aproxima saisfacoriamene a la serie observada, los residuos se comporarían como un ruido auocorrelado. Por ello, deben emplearse conrases como el de Durbin Wason (para la auocorrelación de primer orden) o el de Wallis (para la de cuaro orden). Oros ess aplicados a los residuos van encaminados a comprobar si los residuos obenidos son consisenes con el supueso de ruido blanco (aleaorios): a m ak = k+ Box y Pierce proponen el esadísico Q = r k donde r k =, siendo a n residuos k= a esimados y n el número de observaciones. Bajo el supueso de que m es suficienemene grande, Box y Pierce demuesran que el esadísico Q se disribuye como una Chi cuadrado con ( m p q) grados de liberad. Rechazándose la hipóesis de que los residuos son un ruido blanco para valores de Q muy alos. Más concreamene, se halla la región críica para un nivel de significación α, calculando un valor I que cumpla P (Q > I) = α. Cuando el valor de Q cae denro de la región críica se rechaza la hipóesis nula de que los residuos son un ruido blanco. Si cae fuera de la región críica se acepa la hipóesis nula. El valor de m es arbirario, aunque conviene omarlo lo más elevado posible. Para valores de m no muy grandes, Ljung y Box proponen un esadísico alernaivo: Q' n(n + ) = (n k) m rk k= χmpq Se halla la región críica para un nivel de significación α, calculando un valor I que cumpla P (Q' > I) = α. Cuando el valor de Q' cae denro de la región críica se rechaza la hipóesis nula de que los residuos son un ruido blanco. Si cae fuera de la región críica se acepa la hipóesis nula. n = 3

14 Un diagnósico compleo surge de la inspección del gráfico de los residuos. Si los residuos provienen de un proceso de ruido blanco, deben de ser incorrelacionados enre sí, lo que les hará alernar en signo, sin ningún crierio obvio. Por el conrario, rachas de residuos consecuivos de un mismo signo son, en general, un indicaivo de mala especificación del modelo, bien por ser una indicación de auocorrelación de los residuos o por indicar no esacionariedad en los mismos. Si el gráfico (, a) iene una endencia conocida, puede haber heeroscedasicidad de los residuos. PREDICCIÓN EN MODELOS ARIMA Los modelos ARIMA proporcionan, además de una predicción punual, la disribución de probabilidad complea para los fuuros valores de la serie. Considerando como predicción ópima la que iene un error cuadráico medio de predicción mínimo, se raa de elegir una predicción a horizone l, Z (l), al que E[ e (I) ] = E[ X Z (l ] + fuese mínimo. ) En general, se demuesra que dicha predicción viene dada por la esperanza condicionada de X + : Z (l) = E [ X /X, X,, X ] + El cálculo real de la predicción Z (l) puede hacerse de forma recursiva uilizando el modelo ARIMA esimado, de forma que si el modelo se expresa como: d = φ d + φ d + + φ d + a ν a ν a ν p p q a q donde d diferencia de orden d de X (supueso X no esacionaria y converible en esacionaria mediane un proceso de d diferenciaciones consecuivas). Para calcular la predicción Z (l) se comienza calculando la esimación de d () como la esperanza condicionada de calcular la esimación de (l) de X sumando d +, y poseriormene se calcula la esimación de (), y así sucesivamene hasa d. Una vez que la serie d ha sido predicha, se pude obener una predicción Z (l se uiliza la fórmula: d d veces. Para calcular la predicción ) Z (l) = φl d + φl+ d + φl+ d + = Z+ l d 4

15 IDENTIFICACIÓN DE MODELOS ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s El archivo raios.sav muesra una serie de raios mensuales de enero de 993 a febrero de 0. La fase de idenificación comienza realizando una represenación gráfica de la variable [Analizar/Series emporales/gráficos de secuencia] con objeo de observar la esacionalidad. 5

16 La serie muesra muchos picos, muchos de los cuales parecen esar espaciados uniformemene, sugiriendo la presencia de un componene periódico en la serie. Para observar mejor la esacionalidad, se represena el PERIODOGRAMA por frecuencia de la serie mediane [Analizar/Series emporales/análisis especral]. 6

17 El pico señalado corresponde a la frecuencia 0,08, es decir, la esación es /0,08 = meses. La esacionalidad, así como la esacionariedad, pueden deecarse ambién mediane las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial esimadas (ACF y ACFP respecivamene). Para ello se elige Analizar/Series emporales/auocorrelaciones. En el boón Opciones se escribe 36, número máximo de reardos para represenar a la función de auocorrelación ACF con un ramo significaivo. 7

18 Se observa que las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial (ACFP) esimadas ambién validan los periodos esacionales porque los coeficienes de la ACF para reardos múliplos del período esacional de la serie son significaivamene disinos de cero. Además, para una canidad grande de reardos la ACF se configura en forma de abanico que complea su ciclo girando sobre el eje de abscisas para una canidad de reardos igual al período esacional. Por oro lado, la ACFP presena esrucura de coeficienes significaivos para reardos periódicos largos. La ACF y ACFP deben considerarse a la vez, pueso que a veces inercambian sus papeles en el comporamieno esacional. Los coeficienes de la ACF no decaen rápidamene, indicando fala de esacionariedad en media. Para cerificar la fala de esacionariedad en varianza se recurre a Analizar/Informes/Informes esadísicos en columnas 8

19 Años Media Varianza 993,3 0,0 994,4 0,0 995,9 0,0 996,33 0,0 997,39 0,0 998,43 0,0 999,3 0,0 000,9 0,0 00,3 0 00,3 0,0 003,9 0,0 004,4 0,0 005, 0,0 006,6 0,0 007,9 0,0 008,8 0,0 009,5 0,0 00,5 0,0 0, 0,0 Se obiene una sucesión de medias y varianzas por años con variaciones significaivas crecienes y decrecienes a lo largo de los años, indicando que no hay esacionariedad ni en media ni en varianza en la serie original. Para aenuar la fala de esacionariedad en media y en varianza se oman logarimos y se diferencia la serie original. Para ello, Analizar/Series emporales/auocorrelaciones 9

20 Aplicando logarimos, como la serie es esacional, el problema consise en idenificar si se diferencia la pare regular o la pare esacional de la serie. Para ello se represenan las funciones de auocorrelación esimada y auocorrelación parcial esimada bajo los supuesos de diferenciación en la pare regular o en la pare esacional (Diferenciar ciclo: ). 0

21 DIFERENCIACIÓN PARTE REGULAR Al diferenciar solo la pare regular, las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial esimadas (ACFP) no superan el problema de la fala de esacionariedad, pues la ACF no decae rápidamene.

22 Al diferenciar solo una vez la pare esacional, las funciones de auocorrelación (ACF)) y auocorrelación parcial esimadas (ACFP) superan el problema de la no esacionariedad. PARTE ESTACIONAL

23 Las dos funciones (ACF, ACFP) cumplen las condiciones para que exisa esacionalidad, dado que los coeficienes de las ACF para reardos múliplos del período esacional (, 4, 36) de la serie son significaivamene disinos de cero. Además, para una canidad de reardos igual al periodo esacional, la ACF se configura en forma de abanico que complea su ciclo girando sobre el eje de abscisas. El problema de esacionalidad y esacionariedad en media y en varianza se resuelve omando logarimos, diferenciando una vez la pare esacional y no diferenciando la pare regular. En consecuencia, la pare regular de la serie en logarimos es inegrada de orden cero I(0) y la pare esacional es inegrada de orden uno I(). Para idenificar la pare auorregresiva AR y la pare de medias móviles MA se uiliza la ACF y ACFP con lo que se ha obenido la esacionariedad y la esacionalidad. Observando esas dos funciones se disingue como sus coeficienes no se anulan bruscamene con periodicidades y que sus esrucuras se ajusan a un modelo ARMA(,)(0,) La pare AR() de la pare regular proviene del decrecimieno rápido inicial y las ondas sinusoidales de la ACF añadido a que la ACFP presena solo un coeficiene significaivo en la mayoría de los periodos (salvo en el primero), anulándose bruscamene el reso de los coeficienes. La pare MA() de la pare regular proviene de que la ACF presena un solo reardo significaivo en la mayoría de los periodos (salvo en el primero). La única duda posible sería considerar ambién AR() la pare esacional. Idenificada la serie inicial como un modelo ARIMA(,0,)(0,,) queda realizado el rabajo más imporane en la modelización de la serie emporal mediane la meodología de Box Jenkins.. Para esimar el modelo se ejecua: Analizar/Series emporales/arima 3

24 Desacivar <Incluir consane en el modelo> si no se desea Incluir consane. Se elige Guardar para crear nuevas variables que conengan valores pronosicados (FIT_), residuos (ERR_), inervalos de confianza (LCL_, UCL_), errores esándar para las predicciones (SEP_). Todas las variables se añaden al Edior de daos como nuevas columnas. En Opciones se seleccionan los crierios de convergencia, esablecer valores iniciales para el modelo y elegir cómo mosrar los parámeros en los resulados. 4

25 Al pulsar Acepar se obiene el ajuse a un modelo de Box Jenkins ARIMA(,0,)(0,,) : 5

26 Mariz covarianzas: AR MA SMA AR 0,0 0,0 0 MA 0,0 0,07 0 SMA 0 0 0,05 Mariz correlaciones: AR MA SMA AR 0,693 0,8 MA 0,693 0,09 SMA 0,8 0,09 Excepo la consane, el reso de los parámeros son significaivos, lo que conduce a esimar el modelo sin consane. 6

27 El nuevo ajuse sin conrase: El nuevo ajuse es bueno con una significación muy ala de sus parámeros (p valor nulos para sus parámeros). 7

28 En el Edior de daos: La variable FIT_ he generado las predicciones hasa febrero de 04, la variable ERR_ ha generado las esimaciones del érmino de error del modelo, las variables LCL_, UCL_ han generado limies inferiores y superiores de los inervalos de confianza al 95% de fiabilidad, la variable SEP_ coniene los errores esándar para las predicciones. Para obener la represenación de la serie original y la serie de predicciones FIT_ se recurre a Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia 8

29 Análogamene, con la insrucción Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia se obiene la represenación de los errores del modelo esimado, que presena una esrucura aleaoria, hecho favorable como verificación del diagnósico de la modelización ARIMA realizada. 9

30 30

31 Fichero: raios.sav Enero,46,46,4,5,44,54,5 Febrero,34,33,4,45,4,5,43 Marzo,3,6,47,7,4,46,4 Abril,7,34,3,6,38,44,35 Mayo,9,,,4,34,5,3 Junio,09,7,4,5,8, Julio,7,,,34,3,34,7 Agoso,,4,,9,6,33,8 Sepiembre,5,6,4,33,43,43,3 Ocubre,9,7,9,35,4,35,3 Noviembre,3,,48,3,47,47,5 Diciembre,9,4,48,47,6,54, Enero,3,37,45,4,,7, Febrero,6,36,37,5,6,6,3 Marzo,5,4,45,,3,3,3 Abril,8,35,4,6,,,3 Mayo,,34,8,4,,8,5 Junio,07,5,3,,08,07,08 Julio,,3,,7,,3,8 Agoso,,6,3,3,4,,8 Sepiembre,5,35,36,36,4,36,55 Ocubre,4,34,4,3,3,,33 Noviembre,3,8,7,,5,, Diciembre,36,36,36,9,36,6, Enero,39,34,3,,0 Febrero,34,35,9,8,8 Marzo,5,38,8,34 Abril,3,3,9,0 Mayo,8,3,5,8 Junio,06,0,03,04 Julio,,,6,8 Agoso,6,3,, Sepiembre,49,56,53,55 Ocubre,3,8,4,37 Noviembre,8,,5,6 Diciembre,34,33,37,34 3

32 EJERCICIO. El archivo rafico ariama.sav muesra los daos relaivos al ráfico mensual en el puene Golden Gae de enero de 980 a diciembre de 993. La fase de idenificación comienza realizando una represenación gráfica de la variable [Analizar/Series emporales/gráficos de secuencia] con objeo de observar la esacionalidad. 3

33 Para observar mejor la esacionalidad, se represena el PERIODOGRAMA por frecuencia de la serie mediane [Analizar/Series emporales/análisis especral]. El pico señalado corresponde a la frecuencia 0,08, es decir, la esación es /0,08 = meses. 33

34 La esacionalidad, así como la esacionariedad, pueden deecarse ambién mediane las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial esimadas (ACF y ACFP respecivamene). Para ello se elige Analizar/Series emporales/auocorrelaciones. En el boón Opciones se escribe 36, número máximo de reardos para represenar a la función de auocorrelación ACF con un ramo significaivo. Se observa que las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial (ACFP) esimadas ambién validan los periodos esacionales porque los coeficienes de la ACF para reardos múliplos del período esacional de la serie son significaivamene disinos de cero. Además, para una canidad grande de reardos la ACF se configura en forma de abanico que complea su ciclo girando sobre el eje de abscisas para una canidad de reardos igual al período 34

35 esacional. Por oro lado, la ACFP presena esrucura de coeficienes significaivos para reardos periódicos largos. La ACF y ACFP deben considerarse a la vez, pueso que a veces inercambian sus papeles en el comporamieno esacional. Los coeficienes de la ACF no decaen rápidamene, indicando fala de esacionariedad en media. Para cerificar la fala de esacionariedad en varianza se recurre a Analizar/Informes/Informes esadísicos en columnas Con la finalidad de calcular varianzas por esaciones (años), obeniendo variaciones significaivas crecienes y decrecienes a lo largo de los años, lo que indica que no hay esacionariedad ni en media ni en varianza en la serie original. Con el objeivo de aenuar la fala de esacionariedad en media y en varianza se oman logarimos y se diferencia la serie original. Para ello, Analizar/Series emporales/auocorrelaciones 35

36 Aplicados los logarimos, como la serie es esacional, el problema es idenificar si se diferencia la pare regular de la serie o en la pare esacional. Bajo los supuesos de diferenciación en la pare regular o en la pare esacional (Diferenciar ciclo: ). DIFERENCIACIÓN PARTE REGULAR Al diferenciar solo la pare regular, las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial esimadas (ACFP) no superan el problema de la fala de esacionariedad, pues la ACF no decae rápidamene. 36

37 Al diferenciar solo una vez la pare esacional,, las funciones de auocorrelación (ACF) y auocorrelación parcial esimadas (ACFP) no superan el problema de la fala de esacionariedad, pues la ACF no decae rápidamene. DIFERENCIANDO PARTE ESTACIONAL 37

38 Dado que no se cumplen las condiciones de esacionariedad en media, se aplican logarimos diferenciando una vez la pare esacional y la pare regular. En Opciones se indica que el número máximo de reardos es

39 DIFERENCIANDO PARTE REGULAR Y PARTE ESTACIONAL Se observa que la ACF no presena claramene reardos significaivos a lo largo de los períodos y la ACFP presena como mucho un reardo significaivo a lo largo de la ACF y ambas funciones ienen esrucura sinusoidal, lo que conduce a pensar en una esrucura ARIMA(,,0) para la pare regular y la misma esrucura para la para la pare esacional. La esrucura final para la serie será ARIMA(,, 0)(,, 0) El problema de la esacionalidad y la esacionariedad en media y en varianza se resuelve aplicando logarimos, diferenciando una vez la pare esacional y la pare regular. Con lo cual, la pare regular de la serie en logarimos es inegrada de orden uno I() y la pare esacional es inegrada de orden uno I(). El orden de la pare auorregresiva AR y la pare de medias móviles MA se realiza observando que los coeficienes de las úlimas ACF y ACFP no se anulan bruscamene con periodicidades y que sus esrucuras se ajusan claramene a un modelo ARMA(,0)(,0). La pare MA(0) de la pare regular proviene de que la ACF no presena un solo reardo significaivo, mienras que la pare AR() de la ACF proviene de las ondas sinusoidales. 39

40 Para esimar el modelo se ejecua: Analizar/Series emporales/arima 40

41 Se elige Guardar para crear nuevas variables que conengan valores pronosicados (FIT_), residuos (ERR_), inervalos de confianza (LCL_, UCL_), errores esándar para las predicciones (SEP_). Todas las variables se añaden al Edior de daos como nuevas columnas: Se obiene el ajuse a un modelo de Box Jenkins ARIMA(,,0): 4

42 Mariz covarianzas: AR SAR AR 0,06 0 SAR 0 0,05 Mariz correlaciones: AR SAR AR 0,0 SAR 0,0 El ajuse ha resulado muy bueno con una significaividad del parámero MA alísima (p valor nulo), el diagnósico del modelo es correco. Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia para obener la represenación de la serie original X y la serie de las predicciones FIT_ 4

43 Análogamene, con la insrucción Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia se obiene la represenación de los errores del modelo esimado, que presena una esrucura aleaoria, hecho favorable como verificación del diagnósico de la modelización ARIMA realizada. 43

44 DATOS (en miles) rafico ariama.sav Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre

45 Ejercicio 3. El archivo farma.sav recoge cien daos relaivos a la demanda mensual de conenedores de plásico que uilizan las compañías farmacéuicas desde enero de 00. El objeivo es predecir el número de conenedores que serán demandados en los próximos diez primeros meses con visas a la producción. Uilizando la meodología de Box Jenkins La fase de idenificación comienza realizando una represenación gráfica de la variable [Analizar/Series emporales/gráficos de secuencia] con objeo de observar la esacionalidad. 45

46 La esrucura de la serie emporal es no esacional. Para observar mejor la esacionalidad, se represena el PERIODOGRAMA por frecuencia de la serie mediane [Analizar/Series emporales/análisis especral]. Tiene punos máximos para valores de la frecuencia muy pequeños, cuyos inversos producen unos posibles períodos esacionales más elevados incluso que la longiud de la serie. Circunsancia que indica que no hay esacionalidad, hecho que se exraía de la represenación gráfica anerior. La esacionalidad, así como la esacionariedad, pueden deecarse ambién mediane las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial esimadas (ACF y ACFP respecivamene). Para ello se elige Analizar/Series emporales/auocorrelaciones. En el boón Opciones se deja 6, valor por defeco para represenar la función de auocorrelación ACF con un ramo significaivo. 46

47 Se observa que los coeficienes de la función de auocorrelación ACF no decaen rápidamene, indicando fala de esacionariedad en media. En consecuencia, se diferencia la serie original. 47

48 Los reardos de la función de auocorrelación ACF decaen an rápidamene que sólo el primero es significaivo, con lo que no exisen problemas de esacionariedad en la serie diferenciada. En concreo, la serie diferenciada es I(0) y la serie original es I(). Respeco a la idenificación de la pare de la media móvil de la serie, solo el primer reardo de la ACF es significaivo y el decrecimieno de los reardos de la ACFP es muy rápido. En consecuencia, la pare de media móvil se modeliza como un proceso MA(). Para la idenificación de la pare auorregresiva se observa que aunque hay res reardos de la ACF esimada ninguno de ellos es claramene significaivo, decreciendo rápido los coeficienes significaivos de la ACF. La pare auorregresiva se modeliza como un proceso AR(0). Considerando las dos funciones de auocorrelación en conjuno, se observa que sus reardos no se anulan demasiado bruscamene. Por ano, es una esrucura ARMA(0, ) para la serie diferenciada, concluyendo que la serie original se ajusa a un modelo ARIMA(0,, ). 48

49 Para esimar el modelo ARIMA(0,, ) se ejecua el procedimieno ARIMA (Modelo Auorregresivo Inegrado de Media Móvil) mediane la insrucción Analizar/Series emporales/arima Para esimar el modelo se ejecua: Analizar/Series emporales/arima En el campo Pronosicar hasa se incluyen 0 observaciones como se deseaba. Se elige Guardar para crear nuevas variables que conengan valores pronosicados (FIT_), residuos (ERR_), inervalos de confianza (LCL_, UCL_), errores esándar para las predicciones (SEP_). Todas las variables se añaden al Edior de daos como nuevas columnas. Al pulsar Acepar se obiene el ajuse a un modelo de Box Jenkins ARIMA(0,,): 49

50 El parámero MA iene una significación muy ala (p valor asociado aproximadamene de cero), en consecuencia la diagnosis del modelo es correco. La ecuación del modelo ARIMA(0,, ) esimada será: ( B)Y = ( + 0,77) a Y Y = a + 0,77 B a 50

51 En el Edior de daos: La variable FIT_ he generado las predicciones hasa febrero de 0. La variable ERR_ ha generado las esimaciones del érmino de error del modelo, las variables LCL_, UCL_ han generado limies inferiores y superiores de los inervalos de confianza al 95% de fiabilidad, la variable SEP_ coniene los errores esándar para las predicciones. Para obener la represenación de la serie original y la serie de predicciones FIT_ se recurre a Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia 5

52 Análogamene, con la insrucción Analizar/Series emporales/gráfico de secuencia se obiene la represenación de los errores del modelo esimado, que presena una esrucura aleaoria, hecho favorable como verificación del diagnósico de la modelización ARIMA realizada. 5

53 Fichero: farma.sav Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agoso Sepiembre Ocubre Noviembre Diciembre