Gráficas de curvas trigonométricas

Transcripción

1 Capíulo 4 Gráficas de curvas rigonoméricas La definición de las razones rigonoméricas, como funciones del ángulo, lleva implicado el esudio de las funciones rigonoméricas desde el puno de visa de las funciones reales, a coninuación se presena una discución sobre el raamieno de las gráficas generadas por dichas funciones, sus propiedades sus aplicaciones, imporancia capial se presará al hecho de la periodicidad de las funciones rigonoméricas. Por lo general en el plano coordenado se represenan los ejes como e, sin embargo para el rabajo con las funciones rigonoméricas es conveniene cambiar esa noación a en el eje de abscisas, dado en múliplos de, para el eje de ordenadas, ése dado en valores reales. 4.. Líneas rigonoméricas Ya en el capíulo se había hecho mención a la implicación del radio r = en el círculo goniomérico para deerminar las razones rigonoméricas de un ángulo agudo, ahora se esudiará esa implicación desde el puno de visa geomérico. El círculo goniomérico se conviere en la principal herramiena para esudiar las funciones rigonoméricas desde el puno de visa geomérico, a coninuación se dealla cada una de las líneas rigonoméricas, su consrucción su uilidad. Líneas del Seno Coseno De acuerdo a la consrucción de un riángulo recángulo sobre el círculo goniomérico, como se muesra en la Fig. 4., las 5

2 5 CAPÍTULO 4. GRÁFICAS DE CURVAS TRIGONOMÉTRICAS Y P (,) ca co 0 X Figura 4.: Círculo goniomérico. líneas que represenan los valores de Seno Coseno corresponden, respecivamene al caeo opueso al caeo adacene. Es fácil ver como a medida que el ángulo crece el valor del caeo opueso (Seno) crece hasa alcanzar el mismo valor del radio (r = ) cuando =, mienras el caeo adacene (Coseno) disminue su longiud siendo cero cuando = ; de igual manera, a medida que el ángulo pasa de ser ángulo reco, a ángulo obuso, el valor del caeo opueso disminue hasa 0, mienras el caeo adacene crece hasa ser, cuando =, si se sigue el crecimieno del ángulo se encuenra que cuando =, cos = 0 sin =. Esa es la eplicación geomérica de los valores de las funciones rigonoméricas para ángulos cuadranales ambién la jusificación del por que sin cos ienen rango [, ]. sin cos (a) Línea del Seno (b) Línea del Coseno Figura 4.: Líneas de Seno Coseno Línea de la Tangene La línea que corresponde al valor de la angene, es la línea que se consrue, angene al círculo goniomérico, perpendicular al eje horizonal a ravés del puno (,0), la longiud queda deerminada por la inersección enre la angene la prolongación de la hipoenusa hasa dicha angene. Cabe anoar que la reca Tangene siempre debe omarse con

3 4.. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS 5 respeco a la perpendicular al eje horizonal que pasa por (,0), de al forma que cuando un ángulo se encuenra en el segundo cuadrane, por ejemplo, la lecura de la Tangene se hará por debajo del eje horizonal. an Figura 4.: Línea de la Tangene Línea de la Coangene Para consruir la línea que represena el valor de la coangene se raza una paralela al eje de abscisas () a raves del puno (0,); el segmeno de reca que va desde el eje de ordenadas () hasa la prolongación de la hipoenusa del riángulo recángulo es la línea de la Coangene. co Figura 4.4: Línea de la Coangene Líneas de Secane Cosecane Respecivamene la línea que represena el valor de la Secane corresponde a la prolongación de la hipoenusa del riángulo recángulo hasa la angene a la circunferencia por el puno (, 0), perpendicular a la línea que represena el valor de la Cosecane es la prolongación de la hipoenusa hasa la angene a la circunferencia por el puno (0,), paralela a.

4 54 CAPÍTULO 4. GRÁFICAS DE CURVAS TRIGONOMÉTRICAS sec csc (a) Línea de Secane (b) Línea de Cosecane Figura 4.5: Líneas de Secane Cosecane 4.. Algunas definiciones de funciones Aunque a se ha mencionado el por qué las razones rigonoméricas se denominan funciones, no se han esablecido las caracerísicas de dichas funciones desde el puno de visa de las funciones reales; sin enrar en un esudio del concepo de función como el que se aborda en un curso de precálculo o cálculo, eisen agunas definiciones básicas que deben enerse en cuena para coninuar con el esudio de las funciones rigonoméricas. DEFINICIÓN 4. Una función se define como una relación de correspondencia enre dos conjunos, uno llamado dominio (conjuno de parida o de preimágenes) oro llamado rango (conjuno de llegado o de imágenes), que cumple la condición de que a cada elemeno del dominio le corresponde un único elemeno relacionado en el rango. Una función puede represenarse a ravés de una ecuación, un conjuno de pares ordenados (gráfica) o un diagrama sagial. Crierio de la reca verical: Una gráfica es función si al razar una reca verical por cualquier puno del dominio, ésa inerseca a la gráfica únicamene en un puno. Figura 4.: Represenaciones de una función

5 4.. ALGUNAS DEFINICIONES DE FUNCIONES 55 DEFINICIÓN 4. El Dominio de una función f() se define como el conjuno de odos los posibles valores que puede omar la variable independiene para los cuales f() esa definida. A los elemenos del dominio gráficamene se les denomina preimágenes se ubican sobre el eje de abscisas del plano coordenado. DEFINICIÓN 4. Se define como Rango de una función, el conjuno de odos los posibles valores resulanes de f(), gráficamene el rango esa asociado con las iḿagenes que se ubican sobre el eje de ordenadas del plano coordenado. DEFINICIÓN 4.4 Una función f() se define simérica con respeco de un puno P si eisen un par de punos R S siméricos respeco de P que son punos de la función. DEFINICIÓN 4.5 Función Par: Una función f se define par si solamene si a Dom[f()], f( a) = f(a), lo que permie asegurar que una función par es simérica con respeco al eje de ordenas. Figura 4.7: Función Par DEFINICIÓN 4. Función Impar: Una función f se define impar si solamene si a Dom[f()], f( a) = f(a), con lo cual se asegura que al ser impar f es simérica con respeco al origen del plano coordenado. DEFINICIÓN 4.7 Función periodica: Una función f se define periodica si solamene si Dom[f()], p R (+p) Dom[f()] f() = f(+p) al valor más pequeño de p, se le denomina periodo de f. El diccionario de la Real Academia Española define Simería como la correspondencia eaca en forma, amaño posición de las pares de un odo.

6 5 CAPÍTULO 4. GRÁFICAS DE CURVAS TRIGONOMÉTRICAS Figura 4.8: Función Impar 4.. Gráficas de las funciones rigonoméricas Como a se mencionó se comprobó, las funciones rigonoméricas dependen de la magniud del ángulo, eso lleva a que puedan definirse como funciones por ano pueden represenarse como un conjuno de pares ordenados, a coninuación se esudiaran las principales propiedades de las gráficas de las funciones rigonoméricas. Para represenar las funciones rigonoméricas graficamene, se uilizará un plano coordenado cuo eje de abscisas esara denoado por omara valores del ángulo medido en radianes, el eje de ordenadas será denoado por su escala esará dada en valores reales. Para iniciar ener una buena aproimación de las gráficas, es bueno consruir una abla con algunos de los valores de las funciones rigonoméricas en los ángulos esandar cuadranales. rad sin cos an co sec csc 0 o Ind Ind 0 o o o o 0 Ind 0 Ind o Tabla 4.: Algunos valores de las funciones rigonoméricas enre 0 o 90 o

7 4.. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 57 0 o o o o 0-0 Ind - Ind 0 o o o o - 0 Ind 0 Ind - 00 o o o o 0 0 Ind Ind Tabla 4.: Algunos valores de las funciones rigonoméricas enre 0 o 0 o 4... Gráfica de la función Seno Caracerísicas de la gráfica de la función Seno Figura 4.9: Gráfica de la función Seno. Periodo: P =, luego sin = sin(+).. Dominio: El dominio de la función seno es R, sin embargo, dado que es un función periodica su dominio puede limiarse al inervalo [0, ].. Rango: El rango de la función seno queda dado por el inervalo [,]. 4. Paridad: La función seno es una función impar, es decir, su gráfica es simérica con respeco al origen lo que analíicamene significa que sin( ) = sin(). (4.)

8 58 CAPÍTULO 4. GRÁFICAS DE CURVAS TRIGONOMÉTRICAS 5. Crecimieno: ( ) ( La gráfica de la función seno es creciene en los inervalos 0,,) decreciene en el inervalo (, ).. Punos de infleión: La gráfica de la función seno, cambia de senido en = =, luego sus punos de infleión son (,) (, ) 7. Ceros: Los ceros de la gráfica de la función seno se encuenran en los punos (,0) con Z Gráfica de la función Coseno Figura 4.0: Gráfica de la función Coseno Caracerísicas de la gráfica de la función Coseno. Periodo: P =, es decir cos = cos(+).. Dominio: El dominio de la función coseno queda definido por el inervalo [0,] a que el análisis que pueda hacerse en R se refleja compleamene en ese inervalo por ser coseno una función periodica.. Rango: El rango de la función coseno es el inervalo [,]. 4. Paridad: La función coseno es una función par, es decir, su gráfica es simérica con respeco al eje de ordenadas lo que analíicamene significa cos( ) = cos. (4.) 5. Crecimieno: La curva generada por la función coseno es creciene en el inervalo (,) decreciene en el inervalo (0,).. Punos de infleión: La gráfica de la función coseno iene un único cambio de senido en el puno (, ). 7. Ceros: La curva de la función coseno iene dos raices en los punos (,0) (,0).

9 4.. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Curvas Sinusoidales: Las curvas generadas por ecuaciones de la forma = Asin[B( C)]+D (4.) = Acos[B( C)]+D (4.4) se denominan curvas senoidales cosenoidales, respecivamene. Es claro que esas ecuaciones ienen cuaro coeficienes (A, B, C, D), los cuales deerminan diferenes caracerísicas de las curvas generadas, el esudio de esas caracerísicas deermina el comporamieno general de las curvas lo que permie esablecer los parámeros analíicos geoméricos (gráficos) que deerminan el comporamieno de ecuaciones (funciones) de la forma (4.) (4.4). Coeficienes de las ecuaciones (4.) (4.4) sin() sin() sin() Figura 4.: Variación del coeficiene A en una curva Senoidal cos() cos() cos() Figura 4.: Variación del coeficiene A en una curva Cosenoidal

10 0 CAPÍTULO 4. GRÁFICAS DE CURVAS TRIGONOMÉTRICAS. Coeficiene A, Ampliud: El desplazamieno verical máimo que alcanza una onda (curva senoidal o cosenoidal) se denomina Ampliud, eso iene esrecha relación con el esudio que se hace de las ondas en la física, de hecho, el puno de desplazamieno verical hacia arriba, máimo, se denomina cresa, mienras que el puno de desplazamieno vericar hacia abajo, mínimo, se denomina valle. El valor del coeficiene A deermina la disancia máima que ha hasa un máimo o mínimo en la curva, por ser una disancia, la ampliud se lee como el valor absoluo del coeficiene A. A = A. Es imporane noar que la diferencia en la paridad de las funciones Seno Coseno, deerminan ambién diferencias gráficas con respeco a los coeficienes a que el signo respecivo de los coeficienes A B influe en el comporamieno inicial También es noable observar que el coeficiene A modifica el rango de esas funciones, quedando definido ése por: Ran[] = [ A, A ].. Coeficiene B, Periodo: El coeficiene B modifica la disancia enre cresa cresa (máimos) o enre valle valle (mínimos) de una curva senoidal o cosenoidal, por ano modifica el periodo de la curva, esa disancia ambién es conocida como longiud de onda se represena con λ, para el presene documeno, eniendo en cuena el convencionalismo en la bibliografía, uilizaremos P. sin() sin() Figura 4.: Variación del coeficiene B en una curva Senoidal Denominaremos puno inicial al primer cero de la gráfica de la curva; (0,0) o (0,A) cuando el desplazamieno horizonal de la curva sea cero C = 0. Se uilizael valorabsoluo para desesimarelsigno delcoeficiene Aen laecuación original.

11 4.. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS cos() cos() Figura 4.4: Variación del coeficiene B en una curva Cosenoidal El periodo de una curva rigonomérica esa definido por P = B. (4.5) Hasa ahora se ha esudiado el comporamieno de la gráfica a parir del valor de los coeficienes A B. Se sabe que el coeficiene A modifica la ampliud o alura de la curva, mienras que el coeficiene B modifica la disancia enre cresa cresa o valle valle, (periodo); de al forma que enre maor sea A mas ala será la curva enre maor sea B menor el periodo de la curva, sin embargo ha oro facor a ener en cuena en el anális de esos coeficienes, el signo, qué papel juegan los signos de esos coeficiene (A B) en el comporamieno de la curva?, para responder a esa preguna primero debemos recordar la paridad 4 de cada una de las funciones: Seno es una función impar mienras que Coseno es una función par, eniendo presene eso, se conviene definir como puno inicial de esas gráficas, el primer cero de la función para el caso senoidal el puno (0,A) para el caso cosenoidal. Así, a coninuación se verá como el signo de los coeficienes A B deermina el senido de crecimieno 5 inicial de la curva. Como puede verse en las Tablas 4., el senido inicial de crecimieno de una curva senoidal se ve afecado por los signos de los coeficienes A B, a que si el produco de esos signos es negaivo, la curva inicia decreciendo. Por oro lado, en el caso de una curva Cosenoidal, el senido inicial de crecimieno solamene depende del signo del coeficiene A dado que 4 Ver las ecuaciones (4.) (4.) 5 Recordar que el senido de crecimieno se lee siempre de izquierda a derecha en el eje horizonal; si de izquierda a derecha el valor de las ordenadas aumena, es creciene si disminue es decreciene.