MAESTRÍA EN ECONOMÍA INTERNACIONAL. Tesis

Transcripción

1 MAESTRÍA EN ECONOMÍA INTERNACIONAL Tesis Caracerización empírica del ciclo económico en Uruguay Alejandro Pena Sánchez 4

2 AGRADECIMIENTOS El suscrio agradece especialmene a su uora, Dra, Adriana Cassoni, por su disposición, sus valiosos comenarios y por la aena lecura de las versiones preliminares de ese rabajo. Demás esa decir que los errores y omisiones que evenualmene persisan en el mismo son de absolua responsabilidad del auor.

3 i INDICE CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN... CAPÍTULO II EL ESTUDIO Y CARACTERIZACION DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO... 5 II. Período II. Los desarrollos poseriores... II.3 Una sínesis de las dos visiones... 4 II.3. Fundamenación macroeconómica del modelo conjuno... 4 II.3. Formalización del modelo conjuno... 6 CAPÍTULO III TEORÍA DE LOS CAMBIOS DE REGIMEN Y DESARROLLO DEL MODELO ESTADÍSTICO III. Modelos en los que la variable que define los cambios de régimen es observable... III. Modelos en los que la variable que define el esado no es observable... 4 III.. El caso de cambios independienes del pasado... 5 III.. El caso de cambios gobernados por un proceso de Markov... 6 Inroducción a las cadenas de Markov... 6 Las cadenas de Markov como un vecor auo-regresivo... 7 Predicción a parir de una cadena de Markov... 8 Cadenas de Markov reducibles... 9 Cadenas de Markov irreducibles... 3

4 ii INDICE El caso paricular de una cadena de Markov de orden con dos esados... 3 III.3 Un modelo esadísico general con cambios de régimen gobernados por una cadena de Markov Planeo del modelo Esimación Predicción La duración de un esado en una cadena de Markov... 4 CAPÍTULO IV CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN URUGUAY IV. Discusión del modelo a esudiar Porqué se opa por un modelo de cambio de régimen La elección del número de esados La elección del número de rezagos y su relación con el número de esados IV. El modelo esadísico y el algorimo de resolución IV.3 Los resulados del modelo Esimación de los parámeros relevanes Las probabilidades condicionadas de esar en cada esado evolución IV.4 El ciclo económico uruguayo y los shocks regionales IV.5 El ciclo económico uruguayo y el ciclo económico mundial CAPÍTULO V CONCLUSIONES... 69

5 INDICE iii ANEXOS Anexo I : Programa uilizado para efecuar la esimación de los modelos para Uruguay y Argenina Anexo II: Series uilizadas para los modelos de Uruguay y Argenina... 8 Anexo III: Resulados de los modelos ARIMA usados para desesacionalizar las series del PIB para Uruguay y Argenina Anexo IV : El modelo de cambio de régimen para Esados Unidos y su programación Kim Nelson (999) Anexo V : Mariz de ransición asociada a la variable compuesa S BIBLIOGRAFÍA... 99

6 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN La lieraura económica ha reconocido desde sus inicios la exisencia de ciclos de acividad como una regularidad en el funcionamieno de las diferenes economías. Desde ese momeno, se han elaborado diferenes eorías para explicar los mismos. Dichas eorías se pueden agrupar cronológicamene en cuaro grandes grupos que se exponen brevemene a coninuación. Los clásicos confiaban en que los precios y salarios flexibles eran capaces de esabilizar la economía; de esa forma, el desempleo era ransiorio y se corregía auomáicamene. La revolución keynesiana inroduce dos críicas al enfoque anerior: i) desde el lado de la demanda, la denominada rampa de la liquidez, y ii) desde el lado de la ofera, la exisencia de salarios rígidos a la baja. Poseriormene, Friedman (968) presena una alernaiva a la eoría keynesiana. Si la ofera de rabajo depende del salario real esperado, la información imperfeca que pudieran ener los rabajadores acerca del nivel de precios fuuro podría generar los ciclos económicos. Por úlimo, Lucas (97) inroduce las expecaivas racionales en la curva de ofera global; de esa forma, los individuos producirán más solamene si el precio de su produco mejora con relación al nivel general de precios, del cual se asume que hay imperfeca información. Enonces, para cada variación del nivel de precios general, el producor deberá inferir si se raa de un shock de precios local o agregado. Las inferencias incorrecas podrían generar los ciclos económicos. Una caracerización del ciclo económico sería úil en dos aspecos: Para deerminar los punos en que se produce el cambio de fase del ciclo económico. Dependiendo de la eoría que se piense que mejor explica los ciclos económicos, surgirá la políica económica a aplicar en esos momenos; el objeivo usual de ese ipo de políicas desde la revolución keynesiana hasa nuesros días ha sido el de aenuar la duración del ciclo y/o suavizar las flucuaciones del mismo.

7 Capíulo I: INTRODUCCIÓN la posibilidad de que los parámeros que definen la reacción de las variables económicas relevanes a las medidas de políica económica sean diferenes en cada esado posible del ciclo económico. Conocer la magniud de esas asimerías revise gran imporancia para los que deben omar las medidas de políica económica. En paricular, se ha observado en Uruguay que es muy diferene la elasicidad de los ingresos fiscales ( recaudación de IVA, Imesi, ec) respeco a las variables macroeconómicas relevanes ( Consumo, PIB, ec) en las diferenes fases del ciclo. Exisen res méodos básicos para caracerizar el ciclo económico en forma paramérica: i) los méodos basados en la deerminación de los co-movimienos de cieras variables económicas relevanes que definirían el ciclo, ii) los méodos de cambios de régimen (Swiching Regimes) y iii) los méodos eclécicos que uilizan conjunamene los co-movimienos de las variables económicas y los cambios de régimen para caracerizar el ciclo económico. El presene rabajo iene como objeivo realizar una caracerización empírica del ciclo económico uruguayo. La meodología que se uilizará es la denominada Cambios de Régimen (Swiching Regimes). Ese ipo de caracerización paramérica es la primera vez que se ensaya para el Uruguay y consiuye, por ano, una primera aproximación al ema. Una de las razones para escoger la meodología de cambios de régimen es que los parámeros que se obienen a parir de la misma ienen una rica e inmediaa inerpreación económica: básicamene se esima la asa de crecimieno del produco en cada fase del ciclo, evenualmene con su correspondiene varianza, así como la mariz de ransición, que indica cual es la probabilidad de que la economía pase de un esado a oro, pudiendo ser esos esados básicamene auge y recesión, o evenualmene res, que son los que se definieron en úlimo érmino para la economía uruguaya. La definición de res esados se adecuó en mejor forma para modelar el caso uruguayo frene a los dos esados radicionales - auge y recesión; el modelo de res esados parece funcionar mejor para los países en desarrollo. Véase a esos efecos Johnson (), que aplica un modelo de res esados para la economía chilena.

8 Capíulo I : INTRODUCCIÓN 3 La caracerización paramérica escogida permie definir y evaluar: la duración promedio de cada fase del ciclo, con sus correspondienes medidas de error. la varianza condicional de la asa de crecimieno del PIB en el iempo. La consisencia enre las asas de crecimieno observadas en cada esado y los niveles de riesgo asociados medidos en función de la varianza anes definida. la probabilidad de esar en un deerminado momeno en cada uno de los esados definidos. Esas series pueden ser uilizadas como insumo para esimar como varían cieros parámeros económicos en cada una de las fases del ciclo. Por oro lado, la eoría económica, a ravés del modelo de un bien con mercados compleos, predice una ala correlación en la asa de crecimieno del consumo per cápia enre países; asimismo, los hechos esilizados muesran una alo grado de sincronización en las recesiones y los auges de los diferenes países. Por esos moivos, se decidió explorar la incidencia del ciclo económico regional e inernacional sobre el ciclo de la economía uruguaya. A esos efecos, se esimó un modelo de cambio de régimen para Argenina, en el enendido que los shocks al produco de ese país son los que más afecan a la economía uruguaya; para el reso del mundo, se uilizó el ciclo económico esimado para Esados Unidos, asumiendo que es el país que lidera el ciclo económico mundial. Con relación a los fundamenos eóricos para uilizar la meodología de los cambios de régimen, se remien a los modelos con efeco derramamieno ( spillover effec ) y los modelos que posulan complemenariedades esraégicas. Además, Diamond y Fudenberg (989), uilizando un modelo con expecaivas racionales, demuesran que si los agenes económicos creen en la exisencia de ciclos económicos, esos se convieren en una profecía auocumplida. Todos esos modelos dan lugar a múliples equilibrios, los cuales pueden ser aproximados por modelos esadísicos que involucran cambios de régimen. La esis se encuenra organizada de la siguiene manera: en el Capíulo II se expone brevemene el esado del are con relación a las meodologías que han sido uilizadas para caracerizar el ciclo económico, desde el rabajo seminal de Burns y Michell (946) hasa nuesros días. El Capíulo III coniene la eoría de los cambios de régimen y los

9 4 Capíulo I: INTRODUCCIÓN principales resulados asociados a un modelo esadísico con cambios de régimen gobernados por una cadena de Markov. En el capíulo IV se uilizan los resulados de la sección anerior para esimar un modelo de cambios de régimen para el PIB desesacionalizado en la economía uruguaya; además se esiman modelos similares para Argenina y Esados Unidos, a los efecos de relacionar el ciclo de la economía uruguaya con el ciclo regional y el ciclo económico global. Finalmene, el Capiulo V presena las conclusiones.

10 5 CAPÍTULO II EL ESTUDIO Y CARACTERIZACION DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO II. Período En la primera pare del siglo XX se realizaron muchas invesigaciones endienes a caracerizar en forma empírica el ciclo económico. El rabajo más famoso en ese orden fue el de Burns y Michell (946), quienes esablecieron que el ciclo económico consise en expansiones que se dan en la mayor pare de las acividades económicas seguidas por conracciones en esas mismas acividades, las que, a su vez, se ransforman en nuevas expansiones en el próximo ciclo. Hay dos concepos claves en esa definición: i) Los co-movimienos enre las variables económicas. Los auores esudiaron la concordancia de cienos de series que medían la producción de bienes y servicios, el ingreso, los precios, las asas de inerés, las ransacciones bancarias y los ranspores de servicios, enre oras. Luego, uilizando la écnica de los clusers, agruparon variables que uvieran aspecos en común; con base en ese conjuno de variables, deerminaron el movimieno en común que enían las mismas. ii) La separación del ciclo económico en diferenes fases o regímenes. Para ello esudiaron los punos de inflexión ó de cambio de endencia en cada serie. Junando ambos aspecos, eso es, el grupo de variables con un comporamieno o comovimieno conjuno y los punos de cambio de endencia de cada serie denro del grupo definido, los auores llegaron a deerminar la evolución del ciclo económico y las fechas de los cambios de fase de dicho ciclo.

11 6 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO El énfasis pueso en los co-movimienos propició la emprana aparición de índices que buscaron medir la evolución del ciclo económico, los cuales omaron fundamenalmene la forma de indicadores conemporáneos, indicadores de avance e indicadores que reflejaban el ciclo con un ciero rezago. No obsane lo anerior, la mayor pare de los rabajos empíricos en la posguerra esudiaron el ciclo en función de las propiedades de una serie o agregado económico en paricular, ignorando los co-movimienos esablecidos por Burns y Michell. Al esudiar las propiedades de una única serie, generalmene el produco, se corría el riesgo de inerprear como cambios de fase en el ciclo cieros shocks posiivos o negaivos que aleraran emporariamene el produco de un secor de acividad pero que no uvieran mayor incidencia en el reso de los secores de la acividad económica. A parir de fines de los 8 s, el esudio del ciclo a ravés de los co-movimienos de las variables vuelve a resurgir, fundamenalmene a ravés de los rabajos de Sock y Wason (989, 99, 993). En esos rabajos se pare del análisis de un conjuno de variables económicas relevanes y se raa de deerminar cuál es la evolución o facor común del movimieno de las mismas. El modelo básico propueso por esos auores se puede resumir de la siguiene forma: X = β + γ ( L) C + u () DLu ( ) = ε () φ( L) C = δ + η (3) en donde X es un vecor de n elemenos que coniene los logarimos de las variables macroeconómicas que se supone ienen co-movimienos en odas las fases del ciclo. La variable no observada C es la que define los comovimienos de las variables X. La ecuación () iene dos componenes esocásicos: el denominado facor común no observado C y un componene u que refleja los movimienos idiosincráicos y los errores de medida de cada variable conenida en X. Se asume que cada componene del vecor (u u u 3.. u n, C ) no iene auocorrelación y son además muuamene incorrelacionados enre si en cada momeno del iempo. Eso se obiene asumiendo que los érminos de error

12 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 7 ( ε, ε, ε... ε, η ) son muua y serialmene incorrelacionados y que la mariz D(L) 3 n es diagonal. A su vez, β es un vecor de n elemenos correspondienes a la consane del indicador X, que represena la asa de crecimieno de cada variable pereneciene a X que no es común a las oras variables, en ano que δ es un parámero que, en el caso que φ ( L)= L, se inerprear como la asa de crecimieno común del conjuno de indicadores X. El sisema es esimado por Sock y Wason (989) por máxima verosimiliud uilizando el filro de Kalman. Un ejemplo para poder visualizar mejor lo anerior se expone a coninuación: Supongamos que enemos dos variables esacionarias x i, las cuales ienen un componene común que llamaremos c. En esas condiciones, las ecuaciones (), () y (3) se escribirán como: x x = γ = γ c + u c + u (' ) u u = α = α u, u, + ε + ε (') c = φ c + η (3') En la formulación anerior se ha supueso que =δ =. Para los érminos de error se hacen los siguienes supuesos: β i η ε i N. i. i. d N. i. i. d [ ;] [ ; σ ] i =, i Tano el modelo ( ) ( ) (3 ), como el modelo () () (3) del cual se derivó el primero, son modelos de esado-espacio, que consan de dos sisemas de ecuaciones:

13 8 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO Un sisema de ecuaciones de medida, que describe la relación enre la variables observables y las variables de esado no observables ( x por un lado y c y los érminos de error por el oro lado). Un sisema de ecuaciones de ransición, que describen la dinámica de las variables de esado. Las ecuaciones de ransición oman la forma de ecuaciones en primeras diferencias respeco al vecor de las variables de esado. El modelo ( ) ( ) (3 ) en su represenación esado espacio, iene la siguiene forma: Transición de de ecuaciones Sisema V F ó u u c u u c Medida de Sisema de ecuaciones H X ó u u c x x + = + = = =,, ξ ξ ε ε η α α φ ξ γ γ Con base en ese modelo y uilizando el filro de Kalman, se esima la evolución del componene común c - que sería el índice perinene para caracerizar el ciclo económico-, los parámeros del modelo especificados en las marices H y F, así como las las varianzas de los érminos de error. Los rabajos de Sock y Wason (989,99,993) anes comenados ponen énfasis en uno de los aspecos que definían al ciclo económico según Burns y Michell (946), los co-movimienos de las variables. Poniendo énfasis en la segunda pare de la definición del ciclo económico dada por Burns y Michell, eso es, la exisencia de diferenes fases o regímenes, aunque descuidando la primera pare de la definición anes ciada, eso es, los co-movimienos de las variables al inerior del ciclo, se encuenra el rabajo de Hamilon (989). El ciado auor propone un modelo no lineal para esudiar el ciclo a parir de la serie del PBN de

14 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 9 Esados Unidos en el período , el cual incluye cambios discreos de régimen (expansión recesión). El modelo propueso es el siguiene: y µ = φ ( y µ ) + φ ( y µ ) + φ ( y µ ) + φ ( y µ ) + ε (4) ε * * * * * S 3 4 S S S 3 S 4 Niid N.... (, σ ) La variable y represena la asa de crecimieno del PBN y la variable no observada * S se modela como una cadena de Markov con esados (auge-recesión), con probabilidades de ransición p ij. El algorimo para maximizar la función de verosimiliud de forma de esimar los parámeros relevanes del modelo es una variane del desarrollado por Demser, Laird y Rubin en 977 y es conocido por las siglas EM. Fue desarrollado por Hamilon y consise en un procedimieno ieraivo que pare de asignar cieros valores iniciales a los parámeros a esimar, en base a los cuales se calcula la probabilidad de esar en cada uno de los esados de la nauraleza, para cada momeno. En base a esas probabilidades, se consruye la función de verosimiliud, que es una mixure o combinación de las funciones de densidad posibles según el esado que se presene, ponderadas cada una de ellas por la probabilidad de que se dé ese esado en paricular en cada momeno. La función de verosimiliud se maximiza, se esima el vecor de parámeros y se los compara con el vecor que coniene los valores de parida. Si la diferencia enre ambos vecores es mayor que un ciero valor preesablecido, los esimadores se uilizan para recalcular las probabilidades de esar en cada esado y se vuelve a maximizar la función de verosimiliud. El procedimieno ieraivo se deiene cuando una medida de la diferencia enre el vecor de parámeros inicial y el esimado es menor que el valor que se fija arbirariamene como crierio de convergencia. Si bien fue un rabajo seminal para la época 989-, a la luz de los desarrollos poseriores se le pueden hacer las siguienes observaciones: Hamilon pone énfasis en los cambios de régimen pero al rabajar con una única serie, la serie del PBN de Esados Unidos, omie oalmene el esudio de los comovimienos en la caracerización del ciclo económico.

15 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO Considera que puede variar la media de la serie en los diferenes esados, pero no permie que la varianza pueda ser ambién diferene en cada fase del ciclo. Las probabilidades de ransición son consideradas consanes en el iempo, con lo cual, las duraciones esperadas de cada fase del ciclo son ambién independienes del iempo. II. Los desarrollos poseriores A parir de las dos formas fundamenales de caracerizar el ciclo económico resumidas arriba, se desarrolló una abundane lieraura, relacionada con la búsqueda de la forma empírica más adecuada para caracerizar el ciclo económico. Por ejemplo, Wason (994) esudia la duración del ciclo económico raando de explicar por qué la duración de los auges se duplicó en el período de posguerra, en ano que la duración de los períodos de recesión fue solamene un 5% mayor. Es decir, el auor inena explicar los moivos por los cuales la economía americana de posguerra es más esable que en el período anerior. Es claro que para conesar esa preguna se necesia una definición precisa de auge y recesión. Para ello uiliza el algorimo de Bry-Boschan (97), que se raa básicamene de una serie de reglas y filros para deerminar los punos de cambio enre auge y recesión en una serie económica. Inspirado en el planeo de Burns y Michell sobre la exisencia de los comovimienos, el auor esudia una serie de variables y oma el promedio de ellas para medir las duraciones de cada una de las fases del ciclo. La conclusión del rabajo anerior es que la economía de posguerra es más esable por un problema de sesgo en la elección de la muesra; las series que uilizaron los invesigadores para caracerizar el ciclo económico en los Esados Unidos en el período de preguerra eran sisemáicamene más voláiles que los agregados económicos en el período analizado. Planean como solución la corrección de la caracerización realizada en el período de preguerra, uilizando series más acordes con el funcionamieno global de la economía.

16 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO Como observación puede esablecerse que la forma de deerminar los punos de inflexión es en base al algorimo de Bry-Boschan, que además de ener su grado de arbirariedad no iene la base eórica de los modelos que deerminan los cambios de esado basado en la eoría de los cambios de régimen, la cual se desarrolla en el capíulo res de esa esis. El problema de la esabilización de la economía americana en la posguerra es ambién analizado por Kim y Nelson (999) pero a ravés de un modelo de cambio de régimen, en donde se agrega la posibilidad de que los parámeros del modelo puedan cambiar esrucuralmene, pero sin conocer el momeno en que eso aconece. La complejidad de ese modelo hace que la esimación se realice por un méodo bayesiano basado en las muesras de Gibbs desarrollado por Shepard (994) y Carer y Kohn (994). Los auores llegan a la conclusión que la esabilización de la economía se debe a dos razones: i) una menor volailidad de los shocks ii) una menor diferencia enre la asa de crecimieno en cada momeno respeco a la asa de crecimieno de largo plazo, ano en los auges como en las recesiones. En referencia a los modelos de cambio de régimen, oro ejemplo es el rabajo de Filardo y Gordon (993), quienes levanan el supueso de que las probabilidades de ransición y por lo ano la duración esperada de cada fase del ciclo sean consanes en el iempo. Con probabilidades de ransición consanes, se puede demosrar que la duración esperada de un ciero esado ( auge o recesión, por ejemplo) puede esablecerse a parir de la siguiene fórmula: E[ duracion esado j] = p [ ] en donde p = Pr S = j/ S = j j j (5) Filardo y Gordon (993) enconraron poco aplicable el supueso anerior por resular conrario a la inuición. Inenan enonces probar la hipóesis de que la probabilidad de coninuar en un esado no es independiene del iempo sino que es decreciene con

17 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO relación a la duración que va eniendo dicho esado. Sin embargo, modelar la dinámica de las probabilidades de ransición iene complicaciones por lo cual los auores esiman los parámeros del modelo a ravés del procedimieno desarrollado por Shepard (994) y Carer y Kohn (994) ya oporunamene reseñado. Los auores prueban que, a medida que una recesión se profundiza, la duración esperada de una expansión iende a crecer mienras que la duración esperada de una recesión cae fueremene. Lo opueso ocurre cuando se prolonga un período de auge. Como observaciones a ese muy buen rabajo, pude esablecerse que: podría someerse a prueba la posibilidad de que no sólo la media, sino ambién la varianza cambie de acuerdo a la fase del ciclo. Se uiliza únicamene la serie correspondiene al índice de Producción Indusrial (base 987=); por ano, no esán presenes en esa caracerización los comovimienos de las variables. Ora posibilidad al esudiar una serie de iempo en el marco de los modelos de cambio de régimen, es esablecer la hipóesis de que no sólo la media de esa serie cambie con el esado, sino ambién la volailidad. Ese supueso puede ser muy conveniene en las series de asas de crecimieno de produco, donde la varianza de dicha variable puede ser diferene según la fase del ciclo en que se encuenre la economía. McConnel y Perez-Quiros () observaron ese comporamieno de la varianza cuando coejaron la hipóesis de una caída en la volailidad de la asa de crecimieno de los Esados Unidos a parir de los años 8. Su rabajo amplía la conribución inicial de Hamilon (989) en dos senidos: La media y la varianza siguen modelos de cambios de régimen independienes, considerando los dos esados habiuales: auge y recesión. Se permie que los dos niveles de media se combinen con los dos niveles de varianza. Una idea similar aplicada para Nueva Zelanda la presenan Bucle, Haugh y Thompson ().

18 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 3 De esa forma, al combinar los dos diferenes esados para la media y la varianza, los esados posibles de la economía serían cuaro. Se puede resumir el modelo de la siguiene manera: y = µ + φ y ε N [ ; σ ] V S V [ µ ] S V ε (6) + en donde µ S, V es la media del proceso, la cual depende del esado de la economía ano en relación a la media como a la varianza. Eso es, las cadenas de Markov que definen el comporamieno de y son independienes en ese caso. Esos auores explican la menor volailidad de la economía americana a parir de los años 8 básicamene por una caída en la volailidad en la producción de bienes durables. Concluyendo, los rabajos presenados hasa el momeno, si bien han ido levanando supuesos y enriqueciendo el análisis y caracerización del ciclo económico, se han desarrollado por dos líneas de rabajo claramene diferenciadas: Los rabajos que ponen énfasis en los co-movimienos de las variables a la hora de caracerizar el ciclo económico, y Los rabajos que ponen el énfasis en los cambios de régimen. No se ha presenado hasa ahora ningún rabajo que uniera ambas verienes, que son las que caracerizan a la definición del ciclo económico que dieran Burns y Michell en 946. En la próxima sección se exponen rabajos que raan de omar en cuena ambas ideas. Es de desacar que esos rabajos son muy recienes ya que se comienzan a planear a parir de 996.

19 4 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO II.3 Una sínesis de las dos visiones Diebold y Rudebusch (996) revisaron la lieraura que se había procesado hasa ese momeno y concluyeron que los dos aspecos claves que caracerizan al ciclo económico habían sido raados por separado, con lo cual los análisis resulaban incompleos o parciales. Por ano, proponen un modelo de facor dinámico común con cambio de régimen que permie combinar ambos aspecos. En una primera sección se expondrá la fundamenación eórica que da suseno a un modelo conjuno, siguiendo a Diebold y Rudebusch (996). Poseriormene, en la siguiene sección, se presenará una formalización del modelo en base a un rabajo de Kim y Nelson (998). II.3. Fundamenación macroeconómica del modelo conjuno Diebold y Rudebusch (996) presenan la eoría económica que da suseno al modelo de facor dinámico común con cambio de régimen. Con relación al facor dinámico común, presenan un modelo que se basa en un planeo de Hansen y Sargen (993), el cual se expone brevemene a coninuación. Ese modelo iene dos propiedades imporanes: El programa de opimización dinámica asociado al modelo puede ser resuelo en forma fácil y exaca. El equilibrio del modelo conduce a un vecor auoregresivo, lo cual logra dar suseno eórico a los modelos de facor dinámico común. El agene represenaivo debe decidir la canidad de consumo de servicios - s y la canidad de rabajo a realizar- l, en el siguiene problema de opimización:

20 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 5 E s b l sujeo a max β ( ) (7) + = α c + α g + α i = α k + α l + d k = β k + β i h = γ h + γ c s = δ h + δ c (9) () () (8) en donde c es el consumo en bienes finales, g represenan los bienes inermedios, β es la asa de descueno e i es la inversión. El capial físico k se acumula a ravés de la inversión ; el capial humano depende del capial del período anerior y del consumo. La úlima resricción () especifica que el consumo de servicios depende del capial humano del año anerior y del consumo acual. Las variables b y d represenan shocks en las preferencias y en la ecnología respecivamene. Esos shocks a su vez se modelan como: b d = U e b = U e d () (3) donde e mide la inceridumbre exógena. A su vez, ésa evoluciona de acuerdo a: e + = ρ e + w + con w Niid σ.... ; (4) El equilibrio de esa economía es un proceso lineal esocásico cuya represenación en la forma esado-espacio esa dada por: α+ = Aα + Cw+ (5) o = Gα (6) El vecor α es el vecor de las variables de esado que coniene a h, k y e. El vecor o coniene cualquier variable que pueda ser expresada como una función lineal de las variables de esado. Por oro lado, los modelos de cambio de régimen son consisenes con una variedad de modelos macroeconómicos. En paricular, los que conemplan fallas de coordinación y

21 6 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO dan lugar a múliples equilibrios. Esos pueden ser originados por el efeco derramamieno y las complemenariedades esraégicas, los cuales pueden ser adecuadamene aproximados por modelos esadísicos que involucran cambios de régimen. En paricular, Diamond and Fudenberg (989), en el marco de los modelos de expecaivas racionales, demuesran que si los agenes económicos creen en la exisencia de los ciclos económicos, ésos luego se convieren en una profecía auocumplida. II.3. Formalización del modelo conjuno A parir de la propuesa de Diebold y Rudebusch (996) se han realizado una serie de rabajos para raar de conciliar los dos enfoques. Kim y Nelson (998) proponen un modelo para consruir un facor dinámico común con cambio de régimen, el cual puede ser represenado de la siguiene manera Y = λ ( L) C + D + e i =,,3,4,,3,... T i i i i = (7) Y i represena la primer diferencia en logarimos de la serie i. En ese caso los auores oman cuaro series para consruir el facor dinámico común o índice compueso, de ahí el recorrido de la variable i. C es la asa de crecimieno del índice compueso, D i es una consane asociada a la serie i y e i represena un proceso auorregresivo de ciero orden que se puede expresar como: ψ ( L) e i i = ε i ε i N. i. i. d.(, σ ) (8) Cada una de las series iene un componene idiosincráico D + e ) y una combinación ( i i lineal de valores corrienes y pasados del indicador compueso C. A su vez, ese índice compueso se represena por un proceso auorregresivo del siguiene ipo:

22 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 7 [ C µ δ ] = v v N. i. i.. (, ) (9) φ ( L) d S v y ε son procesos independienes para odo,i, mienras que la varianza de v se i asume para lograr la idenificación del problema. La media del índice compueso iene un érmino consane δ en auge o recesión y un componene que varía según la economía se encuenre µ S. En érminos analíicos: µ S = µ µ + µ S >, S = {,} () La ransición enre los dos esados de la economía esá gobernada por un proceso de Markov: Pr Pr [ S = S = ] = p () [ S = S = ] = q () La modificación al modelo planeado por Sock y Wason(994) es que en esa propuesa se permie que el facor dinámico común enga una media disina según en qué fase del ciclo se encuenre la economía, con lo cual se esán considerando los dos aspecos que definen el ciclo económico de acuerdo a Burns y Michell(946): los co-movimienos de las variables y los cambios de esado. Las medias de las variables así definidas esán sobreidenificadas por lo cual es necesario imponer alguna resricción sobre la variable µ S, como ser que su media sea cero. Lo anerior implica que δ represena ahora la asa de crecimieno de largo plazo del índice compueso. El componene µ S le inroduce desvíos a la asa de crecimieno en el período respeco de la asa de largo plazo, el que a su vez depende de la fase del ciclo en que se encuenre la economía. El modelo descrio se puede represenar bajo la forma esado-espacio de la siguiene manera:

23 8 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO (4) (3) S u F M D H Y = + = ξ δ ξ ξ en donde: [ ] [ ] ) (6 (5) ' 4 3 ' 4 3 D D D D D Y Y Y Y Y = = y los oros érminos esán definidos a parir de las especificaciones de ) ( ) ( ), ( L y L l i ψ i λ φ. Asumiendo procesos auorregresivos de primer orden para el índice compueso y para cada uno de las series que componen el mismo, y suponiendo además que,,3,4, ) ( = = i L i i λ λ la represenación esado-espacio en érminos mariciales se muesra a coninuación: (7) = + = λ λ λ λ λ λ λ λ con H D D D D e e e e C Y Y Y Y (8) ) ( S v e e e e C L e e e e C = ε ε ε ε ξ ψ ψ ψ φ δ µ φ = = 4 3 ) ( ξ ψ ψ ψ φ µ φ F L con M S S

24 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO 9 Como los parámeros en D yδ sobredeerminan la media de los procesos, el modelo hasa ahora no esa idenificado. Sin embargo, si las variables se expresan como desvíos respeco a sus medias, o sea, definiendo: y i c = Y = C i Y δ i (9) (3) el modelo se puede represenar en la forma esado espacio de la siguiene forma: y = H ξ ξ * = M * * S + + F ξ + u (3) (3) en donde el érmino * ξ se define a parir de ξ susiuyendo C por c. De esa forma quedan fuera los érminos en D yδ a los efecos de la esimación de la función de verosimiliud. Si S fuera observable, se raaría de un modelo de Gauss lineal y se podría aplicar el procedimieno propueso por Sock y Wason (99), a saber: Esimar los parámeros de la represenación esado-espacio (ecuaciones 3-3) Obener D yδ a parir de las definiciones esablecidas en las ecuaciones (4) y (6) Calcular el índice compueso C Sin embargo, como no se puede observar el régimen en el cual se encuenra la economía, ese procedimieno no se puede aplicar. La explicación inuiiva se relaciona al hecho de que cada ieración en el filro de Kalman produce un crecimieno considerable

25 Capíulo II : EL ESTUDIO Y CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONÓMICO EN EL TIEMPO en el número de casos a considerar ( suponiendo que la variable S puede omar sólo dos valores en cada momeno del iempo, habría que considerar T posibles caminos a los efecos de esimar la función de verosimiliud), lo cual impone resricciones compuacionales insalvables. De allí que se enga que volver a emplear el méodo bayesiano de inferencia basado en las muesras de Gibbs ya expueso en la sección II..

26 CAPÍTULO III TEORÍA DE LOS CAMBIOS DE REGIMEN Y DESARROLLO DEL MODELO ESTADÍSTICO Si se eniende a la economería como una disciplina que, en el marco de ciero enfoque de eoría económica, busca reproducir el comporamieno de una ciera realidad emporal y espacial uilizando la información que de dicha realidad se desprende, puede resular muchas veces que una única ecuación no siempre modela adecuadamene el comporamieno de ciera economía en el iempo. Una de las razones por las cuales se da esa insuficiencia se asocia a la exisencia de cambios en los parámeros relevanes a lo largo del iempo. Exisen múliples formas de someer a prueba la esabilidad de los parámeros de un modelo. La prueba F propuesa por Chow (96) es una de ellas, pero requiere información sobre el momeno en que efecivamene se produce el cambio esrucural. No obsane, en muchos casos se iene escasa información acerca de cuándo esos cambios suceden. Algunos auores como Quand (958,96) y Farley y Hinich (97) consideran modelos en donde se permie hasa un cambio esrucural en un puno no conocido. Poseriormene, Quand (97) y Brown, Durbin y Evans (975), enre oros, consideran modelos que permien más de un cambio esrucural. Finalmene, algunos auores como Wecker (979) y Nefci (984) han propueso modelos en donde el momeno del cambio esrucural es endógeno, eso es, explicado por el propio modelo. Ese ipo de modelos es el que más se adapa a las caracerizaciones del ciclo económico, dado que se preende que el modelo indique en qué momenos se producen los punos de inflexión y ésos pueden ser muchos en el período de esudio. Lo que resa de ese capíulo se desina a exponer la eoría que se ha desarrollado con relación a ese ipo de modelos desde fines de los años 8 hasa nuesros días. Ese capíulo se basa principalmene en Hamilon (994), Capíulo y Chang-Yin Kim y Charles R.Nelson (999), Capíulo 4.

27 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY III. Modelos en los que la variable que define los cambios de régimen es observable Considérese el siguiene modelo, en donde se permie que odos o algunos de los parámeros omen un conjuno finio de valores; en ese caso, dos valores: y = x β + e =,,3,.... T. () S [, ] e Niid.... σ () β = + S (3) S β S ( ) β S σ = σ ( S ) + σ S (4) S =, (5) Cuando el esado de la nauraleza es, enonces los parámeros son ano, cuando el esado de la nauraleza es, los parámeros son β y σ, en β y σ. Si se conoce el valor de S en cada momeno del iempo, el modelo es del ipo dummy, es decir, asociado a una variable observable de esado que oma dos valores. En ese caso, la función de máxima verosimiliud viene dada por la expresión: T = [ f ( / ] ln L = ln y S (6) donde: f ( y / S ) = π exp ( y x β ) σ S S (7) La función de verosimiliud debe ser maximizada con relación a los cuaro parámeros:

28 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 3,,, σ β σ β y se obiene el vecor de esimadores: =,,, σ β σ β θ

29 4 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY III. Modelos en los que la variable que define el esado no es observable Considérese la disribución conjuna de la variable observable y y la variable no observable S. Esa disribución conjuna se puede expresar como el produco de una disribución marginal y una condicional de la siguiene manera: f [ y S ] f [ y / S, ψ ] f [ S ψ ] / ψ = / (8) donde ψ represena el conjuno de información disponible hasa el momeno -. La disribución marginal de y se obiene inegrando en odo el recorrido de la variable S. De esa forma: f / = = / S = S = [ y ] f [ y S / ψ ] f [ y / S ψ ] f [ S ψ ] ψ (9) Esa función de densidad puede inerprearse como una media ponderada de cada una de las dos disribuciones condicionales, dependiendo de la probabilidad con que la variable S ome un valor u oro. Luego, la función de verosimiliud puede escribirse como: T ln L = ln = h= f [ y / S, ] Pr[ S = h / ψ ] ψ () Sin realizar algún supueso acerca del comporamieno esocásico de S, no es posible esimar los parámeros del modelo. A coninuación se examinarán dos casos: a) cuando los valores conemporáneos de la variable S no dependen de sus valores pasados, y b) cuando dependen de sus valores pasados, en cuyo caso se dará especial énfasis al caso en que el cambio de régimen venga gobernado por un proceso de Markov.

30 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 5 III.. El caso de cambios independienes del pasado Si la variable S evoluciona en forma independiene de su pasado, una de las posibles formas de modelar el cambio de régimen es asumir una función de densidad ipo Bernoulli para la variable S, eso es: exp( p) Pr[ S ] = p = + exp( p ) = () exp( p ) Pr[ S ] = q = + exp( p ) = () El parámero relevane a esimar es p, cuyo recorrido no esá resringido a ningún inervalo en los números reales. Ora forma más compleja de modelar S es haciendo depender la probabilidad de ocurrencia de cada esado de un vecor de variables exógenas al modelo. En érminos analíicos: Pr exp( p + Z' p) = ψ = p = (3) + exp( p + Z' p ) [ S / ] Pr exp( p + Z' p) = ψ = p = (4) + exp( p + Z' p ) [ S / ] Con esa formulación, la función de verosimiliud de la ecuación () se maximiza respeco a los siguienes parámeros: β, β, σ, σ, p, p.

31 6 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY III.. El caso de cambios gobernados por un proceso de Markov Inroducción a las cadenas de Markov El valor que oma la variable aleaoria no observable S en el momeno puede depender del valor que omó en el pasado: {S - S - S -3.S -r }. En ese caso, se dice que exise una cadena de Markov de orden r. Esa variable aleaoria S, que indica cuál es el esado de la nauraleza, puede omar valores en el conjuno {,,3,..N}. Simplificando, se asume aquí que la cadena es de orden (r=). Eso implica que la probabilidad de que S ome algún valor j en el momeno, depende únicamene del valor que omó en el momeno anerior, -, o sea: Prob {S = j / S = i, S = k,..} = Prob{S = j / S = i} = p (5) ij Se denomina p ij., a la probabilidad de ransición, la cual indica la probabilidad de que el esado i sea seguido por el esado j. Dada la definición anerior, se verifica que: N j= p ij = i (6) Es conveniene ordenar odas las probabilidades de ransición enre n esados en una mariz P, denominada jusamene mariz de ransición. P p K pn = M O M p N p L NN (7)

32 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 7 Las cadenas de Markov como un vecor auo-regresivo Es usual represenar una cadena de Markov por un vecor aleaorio ξ de Nx, en el cual el j-ésimo elemeno es si S = j y cero en cualquier oro caso. El valor esperado de ese vecor aleaorio en +, dado que en el momeno se cumple que S = i, esá dado por: [ ξ ] ( ) ' E + / S = i = pi, pi,... pin = Pξ (8) De lo anerior, surge que es posible represenar una cadena de Markov de orden como un proceso AR() de la siguiene forma: ξ = Pξ + v (9) + + en donde v + es un proceso de innovación. 3 3 Un proceso de innovación es una maringala en diferencias con sus elemenos incorrelacionados en el iempo y con varianza finia.

33 8 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY Predicción a parir de una cadena de Markov Considerando (9), eso es: + + ξ = Pξ + v, y como a su vez: ξ = Pξ + v () Reemplazando () en (9) se iene que: ξ + = P ξ + Pv + v+ () Los reemplazos sucesivos permien obener la siguiene forma final para valor que oma ese vecor en el período : ξ + m a parir del ξ = v + Pv + P v +... P V + P ξ () m m + m + m + m + m + de donde surge que: E ξ / ξ ξ... ξ = P ξ (3) m + m,, j, De esa forma, la mariz de probabilidades de ransición de una cadena de Markov m períodos hacia adelane puede calcularse elevando la mariz de ransición original m veces. Si en el período el esado era i, enonces el valor esperado de las probabilidades de ransición esá dado por la columna i-ésima de P m, denoada por m P. i Eso es: E ξ / ξ ξ... ξ = P w (4) m + m,, j, i Donde E indica que es valor esperado con información hasa el momeno y w i es la columna i-ésima de la mariz idenidad I. De forma general, se iene que:

34 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 9 [ ] m Pr S+ m = j/ S = i = elemeno p ij dep (5) Ineresa disinguir denro de las cadenas de Markov las que son reducibles de las que no lo son. Esa Ipología es úil para represenar y disinguir procesos económicos que ienden a permanecer en uin esado paricular, una vez que llegan a él, de oros procesos económicos en donde ninguno de los esados es absorbene, en el senido esablecido aneriormene. Cadenas de Markov reducibles Si los posibles esados son dos ( N=) y considerando la condición esablecida en (6), P queda de la forma: P p p = p p (6) Exise un caso de especial inerés que es cuando P = ; en ese caso, la mariz P queda de la forma: P p = p (7) Es decir, P es una mariz riangular superior. Si el régimen llega al esado, permanece en él. Se dice que el esado es absorbene y que la cadena de Markov es reducible. En general, una cadena de Markov de N esados es reducible si la mariz de ransición se puede escribir de una forma riangular superior, agrupando adecuadamene a los esados. Eso es, P queda de la forma: B C P = D (8) B es una submariz de k x k, con k < N. Si se llega a un esado j k, ya no es posible volver a los esados k+,k+,.n.

35 3 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY Cadenas de Markov irreducibles Las cadenas de Markov irreducibles represenan procesos en los cuales no exisen esados absorbenes. En el curso del iempo, siempre es posible que se dé cualquier esado, aunque desde luego con diferenes probabilidad de que ello ocurra. Ineresan en paricular cieros ipos de cadenas de Markov en el conjuno de las cadenas irreducibles. Definición: Consideremos una cadena de N esados de Markov que sea irreducible. Si uno y sólo uno de los valores propios es y odos los demás esán denro del círculo unidad, enonces se dice que la cadena es ergódica. De acuerdo a (7), P en general oma la forma: P p K pn = M O M pn p L NN Teniendo en cuena la ecuación (6), se cumple que: ' P ι =ι (9) Donde ι es un vecor de unos de orden N. Por lo ano, P iene ambién un valor propio igual a la unidad, cuyo vecor propio asociado es ι. Como una conocida propiedad de álgebra maricial nos dice que P y P ienen los mismos valores propios, surge que P endrá siempre un valor propio igual a la unidad. El vecor propio de P asociado a ese valor propio uniario se denominará π. Por lo anerior, resula enonces que: Pπ = π (3)

36 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 3 Como π es un vecor de probabilidades, sus elemenos deben perenecer al inervalo [,] ; por lo ano, al vecor que surge de (3) hay que normalizarlo, en caso que fuera necesario. Proposición: Si P es la mariz de ransición de una cadena de Markov ergódica, enonces: 4 lim P m = π ι' (3) m Las columnas de P m en el límie son odas iguales enre sí e iguales a π. Tomando por ejemplo la fila, se iene la siguiene igualdad: p = p =... = p N (3) Lo anerior puede ser inerpreado como sigue: esando en cualquier esado j =,,3,..N, la probabilidad de pasar del esado j al esado es la misma para odo j. Por ano, ese valor puede ser inerpreado como la probabilidad incondicional de que se dé el esado. Eso es : [ S = ] = p con p ( π ι') (33) Pr, i 4 Cox y Miller (965), páginas -3.

37 3 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY El caso paricular de una cadena de Markov de orden con dos esados Ese caso es de inerés no sólo por su sencillez, sino porque la mayor pare de los procesos económicos que se modelan con cambios de régimen definen esados. Por ejemplo, Hamilon (989), Filardo y Gordon (993). La mariz de ransición queda de la forma: P p p = p p (34) Para obener los valores propios de P con los correspondienes vecores propios asociados, se planea la ecuación: P λi = (35) en donde I es la mariz idenidad y λ es la real genérico que represena las posibles raíces del polinomio caracerísico que surge de (35). Los valores propios con sus vecores propios asociados responden a: p p λ = = p p p p π ' ; (36) λ = p + p θ= (;) (37) Se demuesra fácilmene que la mariz de ransición m períodos hacia delane, P m,oma la siguiene forma:

38 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 33 P m m p + λ ( p) p λ ( p ) p p p p m = m m p λ ( p) p + λ ( p ) p p p p (38) De lo anerior surge que la probabilidad de esar en el esado en el momeno (+m) dado que en el momeno se esá en el esado es el elemeno (,) de P m : m p λ ( p) Prob[ S+ m = / S = ] = (39) p p Generalizando lo anerior, en una cadena ergódica de N esados, para calcular el vecor de probabilidades ergódicas π, se debe resolver el siguiene sisema de ecuaciones: Pπ = π ι ' π = ( π normalizado) (4) Expresado el sisema de ecuaciones anerior en forma maricial, queda: Aπ = w siendo N + IN P A= wnx = ι '... (4) Resolviendo el sisema anerior, el vecor de probabilidades ergódicas, π, se puede calcular como la columna (N+) de la mariz B= ( A A) ' ' A, o sea que: π = ' ( ) ' AA Aw N + ( ) (4)

39 34 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY A manera de conclusión Denro de los modelos en los cuales la variable que define el esado no es observable, que son los que se expusieron en la sección III., se le ha dado especial énfasis y desarrollo al caso paricular en que los cambios de régimen son gobernados por una cadena de Markov ( subsección III..). La ora forma posible de modelar los cambios de régimen es a parir de un vecor de variables exógenas, Z, al como se expuso en la subsección III... En esa forma de modelización, Z por lo general oma la forma de algún conjuno de variables que permian definir con anicipación un cambio en la fase del ciclo, como por ejemplo en Filardo y Gordon (993). Dado que en nuesro país ese ipo de indicadores se han desarrollado muy recienemene - Masoller ()-, no se cuena odavía con series lo suficienemene largas como para poder omar en consideración esa posibilidad. En la sección que sigue se presena el modelo esadísico general que servirá de base para la caracerización del ciclo económico en Uruguay que se expondrá en el Capíulo IV. Por las razones anes anoadas, el cambio de régimen en ese modelo viene gobernado por una cadena de Markov.

40 Capíulo IV: CARACTERIZACION DEL CICLO ECONOMICO EN URUGUAY 35 III.3 Un modelo esadísico general con cambios de régimen gobernados por una cadena de Markov Planeo del modelo Si se supone que ineresa analizar el comporamieno de h variables económicas a parir de oras k variables que se consideran exógenas, el problema se puede presenar como: y vecor de variables endógenas observables de h x. X vecor de variables exógenas de k x elemenos Y es el vecor que coniene oda la información hasa el momeno. Eso es: Y = { y, y', y',... y', X ', X ', X ',... X ' } (43) ' m m Si el régimen es gobernado por el esado S* = j en el momeno, enonces la densidad condicional de y viene dada por: f ( y / S j, X, Y ; α ) = (44) donde α es el vecor de parámeros relevanes. Si hay N esados, habrá N diferenes densidades condicionales para cada vecor y, que pueden ordenarse en un vecor η. En la ecuación (44) la función de densidad condicional depende del esado acual del régimen. Si dependiera ambién del esado del régimen en el momeno anerior, al como esaba planeado en las cadenas de Markov visas en la subsección III.., se puede hacer un cambio de variable adecuado para represenar la función de densidad al como esa descria en (44). Si, por ejemplo, y depende de S* y S* -, variable ésa que puede omar los valores ó,se puede definir una variable S de la siguiene manera:

41 36 Capíulo IV: CARACTERIZACIÓN DEL CICLO ECONOMICO ENURUGUAY S = si S = y S = * * S = si S = ys = * * S = 3 si S = ys = * * S = 4 si S = ys = (45) * * Si se define ransición: * * * pij = Pr ob S = j/ S = i, S iene enonces la siguiene mariz de * * p p * * p p P = * * p p * * p p (46) El modelo queda por ahora definido por la función de densidad en (44) y con los parámeros poblacionales de la siguiene forma: f( y / S = jx,, Y, α) θ = { α, pij} Esimación El algorimo propueso por Hamilon (989) es una variane del desarrollado por Dempser, Laird y Rubin (977) y es conocido por las siglas EM. Se puede demosrar que en cada ieración aumena la función de verosimiliud. Si en las ieraciones se llega a que θ = θ + ( m) ( m ) (47) enonces se ha obenido el esimador máximo-verosimil, θ.