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2 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ: UNA DESCOMPOSICIÓN DEL BREAK-EVEN INFLATION PARA LOS BONOS DEL GOBIERNO COLOMBIANO JUAN ANDRÉS ESPINOSA-TORRES jespinosa@javeriana.edu.co LUIS FERNANDO MELO-VELANDÍA lmelovel@banrep.gov.co JOSÉ FERNANDO MORENO-GUTIÉRREZ jmorengu@banrep.gov.co BANCO DE LA REPÚBLICA RESUMEN. Se esima la descomposición del break-even inflaion a parir de un modelo afín de 6 facores de la esrucura a érminos, nominal y real, de los bonos soberanos de Colombia, denro de los cuales se incluye un facor asociado a la liquidez. Esa medida se descompone en expecaivas de inflación, prima de riesgo inflacionario y prima de liquidez para el periodo comprendido enre junio de 2004 y abril de Los resulados obenidos indican que el break-even inflaion es una medida apropiada de las expecaivas de inflación en el coro plazo (2 años. Adicionalmene, se encuenra que la prima de riesgo inflacionario disminuye en el iempo, lo que se puede deber al aumeno de la confianza en la políica monearia por pare de los agenes. Por úlimo, la prima de liquidez oma valores muy pequeños para la mayoría de los períodos de iempo y sólo iene efecos considerables durane cieros episodios a lo largo de la curva de rendimienos, como el ocurrido durane el primer semesre de Palabras claves. Esrucura a érminos de las asas de inerés, modelo afín, breakeven inflaion, expecaivas de inflación,prima de riesgo inflacionario, prima de liquidez. Códigos de clasificación: JEL G12 C51 C30 1. INTRODUCCIÓN Bajo esquemas de inflación objeivo las expecaivas de inflación adquieren un rol imporane en el seguimieno e implemenación de la políica monearia. Más aún, al y como señalan Hueras e al. (2015, es de vial imporancia que los bancos cenrales anclen las expecaivas, de al manera que se puedan disminuir los cosos asociados a la area de conrolar y reducir la inflación, y así faciliar la conducción de la políica monearia. Debido a lo anerior, gran pare de los modelos eóricos y prácicos desarrollados por académicos y hacedores de políica incorporan esa variable (González e al., A su vez, los agenes paricipanes del mercado financiero han incremenado el monioreo de las expecaivas de inflación para omar sus decisiones de inversión. Por al moivo, es relevane conar con medidas que reflejen adecuadamene el comporamieno de las expecaivas de inflación. En érminos generales, las medidas con las que se cuenan son las encuesas de Fecha: Julio Los resulados y opiniones son responsabilidad exclusiva de los auores y su conenido no compromee al Banco de la República ni a su juna direciva. 1

3 2 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno inflación (expecaivas direcas o las expecaivas que se pueden deducir a parir de los íulos nominales y reales emiidos por los gobiernos (expecaivas indirecas. No obsane, dichas medidas presenan cieras limiaciones. Por una pare, las encuesas se realizan a un conjuno limiado de agenes y para cieros horizones de iempo (p. ej. inflación esperada a 1 año, son menos oporunas, y pueden presenar alos cosos relacionados con el diseño, recolección, procesamieno y análisis. Por oro lado, las inflaciones implícias en los bonos reales y nominales (Break-Even Inflaion, BEI 1 pueden incluir múliples componenes como las expecaivas de inflación, la prima de riesgo inflacionario, la prima de liquidez, enre oros; por lo cual, el BEI no puede inerprearse exclusivamene en érminos de su primer componene. A pesar de sus limiaciones, el BEI es ampliamene uilizado por los agenes y hacedores de políica, dada la disponibilidad de información y la posibilidad de calcularlo para un conjuno amplio de periodos de maduración (Melo-Velandia y Granados-Casro, Es por eso que la descomposición del BEI ha venido cobrando imporancia, por lo que han sido desarrollados diferenes méodos para su esimación. Tal como señalan Abrahams e al. (2015, la lieraura referene a la esimación de expecaivas de inflación a parir del bonos reales y nominales de los gobiernos ha crecido rápidamene. Por ejemplo, Chrisensen e al. (2010, García y Werner (2010, Adrian y Wu (2010, Chen e al. (2010, Hördahl y Trisani (2010, y Grishchenko y Huang (2013, enre oros. Respeco a documenos de rabajo de diferenes bancos cenrales, es posible enconrar lieraura en esa línea para el Banco de Japón (Imakubo y Nakajima, 2015, la Reserva Federal (Abrahams e al., 2015, el Banco Cenral Europeo (Ejsing e al., 2007, el Bundesbank (Kajuha y Wazkab, 2011, el Banco de Canadá (Chrisensen e al., 2004, el Banco Cenral de México (Banco de México, 2013, el Banco Cenral de Chile (Chumacero y Opazo, 2008 y el Banco de la República (Arias e al. (2006, Melo-Velandia y Granados-Casro (2012 y Melo-Velandia y Moreno-Guiérrez (2011, enre oros. En érminos generales, la lieraura señalada descompone el BEI mediane modelos afines gaussianos esimados por máxima verosimiliud, uilizando filro de Kalman. Generalmene, esa descomposición se realiza en dos facores: expecaivas de inflación y prima de riesgo inflacionario. Si bien esa es la norma, algunos auores han señalado algunas debilidades de esos modelos. Denro de las principales desvenajas se iene que la esimación es cososa en érminos compuacionales, por lo que dichos modelos ienden a uilizar res componenes o facores laenes para la represenación de la esrucura a érmino, no ienen en cuena la heerogeneidad de la liquidez de los íulos y suponen no correlación sobre los errores de los precios de los rendimienos. Por al razón, Abrahams e al. (2015 planearon un modelo afín para la descomposición del BEI de los bonos del Gobierno de EE.UU., que se esima mediane una meodología que uiliza regresiones lineales, basados en Adrian e al. (2013. Dicha meodología permie dejar de lado supuesos mencionados previamene, reduce los cosos compuacionales, y además permie ajusar por la liquidez de los bonos reales relaiva a los nominales. Respeco a ese úlimo puno, la lieraura ha señalado consanemene la menor liquidez de los bonos aados a la inflación (Sack (2000 y Dudley e al. (2009 y la necesidad de ener en cuena la liquidez relaiva de los dos ipos de bonos para los análisis referenes al BEI (Pflueger y Viceira, 2013, lo que llevó a que el rabajo de Abrahams e al. (2015 adquiriera mayor relevancia en la lieraura 2. En Colombia, al como lo señalan Gómez e al. (2002, el seguimieno de las expecaivas de inflación ha jugado un papel imporane en el monioreo de la políica monearia y en la implemenación del esquema 1 El BEI se eniende como el diferencial enre las asas de inerés de los íulos nominales y los reales (ver sección 2.4. Para una definición más profunda de esa variable véase Melo-Velandia y Granados-Casro ( Oro rabajo que iene en cuena un facor de liquidez es el de D Amico e al. (2008. No obsane, en dicho rabajo el facor es laene mienras que en el rabajo de Abrahams e al. (2015 dicho facor es observable.

4 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 3 de inflación objeivo adopado por el Banco de la República. Trabajos como el de Arango e al. (2005, Vargas e al. (2010 y Hueras e al. (2015, enre oros, uilizan medidas de expecaivas de inflación para el análisis de políica monearia, el desarrollo de modelos macroeconómicos y la evaluación de pronósicos de inflación. Lo anerior señala la imporancia de conar con mejores indicadores de expecaivas de esa variable. Por su pare, son varias las encuesas de inflación con las que se cuena desde que se adopó el esquema moneario acual. En su mayoría presenan una periodicidad mensual y consideran en general las expecaivas para el siguiene mes, fin de año y doce meses adelane 3. En ese senido, no se cuena con encuesas que permian ener una medida de expecaivas de inflación para plazos superiores a los previamene señalados 4. Ane eso, el BEI se ha converido en una medida de expecaivas de inflación ampliamene uilizada denro del análisis de la políica monearia y en las decisiones de los inversionisas en Colombia. A pesar de esa creciene relevancia, en Colombia la lieraura respeco a la descomposición del BEI no es muy exensa. En el límie de nuesro conocimieno, Arias e al. (2006, Melo-Velandia y Granados-Casro (2012, Melo-Velandia y Moreno-Guiérrez (2011 y Ríos y Girón (2013 han realizado rabajos asociados a la descomposición o corrección del BEI de los bonos del Gobierno colombiano. Específicamene, Arias e al. (2006 uilizan un modelo de valoración con el fin de esimar una medida de compensación de inflación, mienras que Melo-Velandia y Granados-Casro (2012, Melo-Velandia y Moreno-Guiérrez (2011 y Ríos y Girón (2013 esiman modelos afines, con cieras diferencias, para descomponer el BEI en prima de riesgo inflacionario y expecaivas de inflación. Un puno en común que ienen los documenos es el hecho de señalar el problema en la descomposición o esimación referene a la menor liquidez relaiva de los íulos denominados en UVR; y si bien los auores lo señalan, ninguno incorpora alguna medida para corregir dicho problema. Frene a ese úlimo puno, como se puede observar en el Apéndice A, los bonos de deuda pública del Gobierno colombiano denominados en UVR, en general, son significaivamene menos líquidos que los bonos denominados en pesos. Adicionalmene, debido al esquema de colocación que hisóricamene se ha realizado para los íulos UVR, desde 2004 se pueden enconrar que por momenos y para cieros vencimienos (por ejemplo, 1, 2 y 10 años no hay íulos disponibles en el mercado. Por lo ano, con el fin de mejorar las medidas relacionadas con expecaivas de inflación, paricularmene aquellas asociadas al BEI de los bonos del Gobierno colombiano, el presene documeno esima y descompone el BEI en expecaivas de inflación, prima de riesgo y prima de liquidez, uilizando la meodología desarrollada por Abrahams e al. (2015. Como se mencionó previamene, dicha meodología es menos cososa en érminos compuacionales y iene en cuena la prima de liquidez de los bonos, lo cual no ha sido conemplado previamene para el caso colombiano. Al considerar esa prima, se debería obener una mejor esimación de las expecaivas de inflación basadas en el BEI. El documeno se divide en cuaro secciones, siendo esa inroducción la primera, la sección dos describe la meodología empleada para la descomposición del BEI, mienras que en la sección res se presenan los resulados. Por úlimo, se realizan algunos comenarios finales. 3 A parir de enero de 2015 el Banco de la República implemenó una encuesa de inflación esperada a 2 años. 4 Por ejemplo, en Esados Unidos la Reserva Federal de Filadelfia realiza una encuesa a agenes profesionales en pronósico para la inflación a 10 años.

5 4 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno 2. METODOLOGÍA En esa sección se presena el modelo economérico uilizado, el méodo de esimación y la consrucción de la esrucura a érminos de los bonos nominales e indexados por inflación siguiendo la meodología de Abrahams e al. (2015, de ahora en adelane denominada AACM Variables de Esado y Facor de Descueno Esocásico. Siguiendo a AACM, el vecor de variables de esado X, de dimensión K 1, que en la prácica corresponden a componenes principales de los rendimienos nominales o reales, variables macroeconómicas o indicadores de liquidez, enre oros, puede ser modelado por el siguiene proceso VAR(1: X +1 µ X = φ (X µ X + υ +1 (1 Donde las innovaciones υ +1 X siguen una disribución normal, N (0,Σ. Se asume que para los precios de un bono con vencimieno n en el período, P (n, exise un facor de descueno esocásico exponencialmene afín que valora esos acivos bajo la siguiene ecuación: ( M +1 = exp r 1 2 λ λ λ Σ 1/2 υ +1 (2 Adicionalmene, se define r como la asa libre de riesgo; por oro lado, siguiendo a Duffee (2002 se asume que los precios de riesgo del mercado siguen la forma: λ = Σ 1/2 (λ 0 + λ 1 X (3 El érmino λ es de gran imporancia esadísica y económica, ya que caraceriza el riesgo asociado a cada variable de esado. Ese se puede desagregar en una consane (λ 0, relacionada con el nivel de esos precios, y en un vecor (λ 1 asociado a la relación enre el precio y esas variables. Por úlimo, se definen los parámeros que caracerizan la dinámica de los acivos bajo la medida de valoración (Q: µ = (I K φ µ X λ 0 (4 φ = φ λ 1 (5 Esos son imporanes para calcular las recursiones uilizadas para desagregar los bonos nominales, indexados por inflación y BEI en res componenes: medidas de riesgo neural, primas de riesgo y primas de liquidez. Esas son presenadas en las siguienes secciones Bonos Nominales. En los modelos afines, el logarimo de los precios para un bono desconado por una asa libre de riesgo con vencimieno n en el período, es lineal en las variables de esado siguiendo la forma:

6 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 5 lnp (n = A n + B nx (6 Lo anerior implica que la asa libre de riesgo es afín en las variables de esado: r = δ 0 + δ 1X (7 Imponiendo condiciones de no arbiraje, es posible reescribir esa relación de forma ieraiva a ravés del siguiene sisema de ecuaciones: A n = A n 1 + B n 1 µ B n 1ΣB n 1 δ 0 (8 B n = B n 1 φ δ 1 (9 B 0 = 0 K 1, A 0 = 0 (10 Por úlimo, se denoa el exceso de reorno (en logarimos para un bono como rx (n 1 +1, definido de la siguiene manera: rx (n 1 +1 = lnp (n 1 +1 lnp (n r (11 Reemplazando (6 y (7 en (11, e imponiendo las ecuaciones recurrenes se obiene la siguiene expresión rx (n 1 +1 = (A n 1 A n δ 0 ( B n + δ 1 X + B n 1X +1 = α n 1 B n 1 φx + B n 1X +1 (12 donde α n 1 = ( B n 1 µ B n 1 ΣB n 1. Es de noar que esa represenación facilia el procedimieno de esimación de los parámeros que caracerizan los excesos de reorno nominales presenado en la sección Bonos Indexados por Inflación (Reales. A coninuación, se exiende el marco eórico de manera que puedan enerse en cuena acivos indexados por inflación. Siguiendo a AACM, sea Q un índice de precios en el iempo, y sea P (n,r el precio en el período de un acivo indexado por inflación con valor facial 1, el cual paga la canidad Q +n Q en el período + n; enonces, el precio de ese acivo saisface la siguiene ecuación de valoración: P (n,r = EQ { exp( r... r +n 1 Q } +n Q (13

7 6 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno Donde E Q el valor esperado bajo la medida de valoración. Sea π = ln( Q un período. Por lo ano, se cumple lo siguiene: Q 1 la inflación obenida para Q +n n = exp( π +i Q i=1 (14 Adicionalmene, se asume de forma similar al caso de los nominales que el logarimo de esos precios es afín en las variables de esado: lnp (n,r = A n,r + B n,rx (15 Eso implica a su vez que la inflación para un período es una función lineal de las variables de esado: π = π 0 + π 1X (16 donde π 0 es un escalar y π 1 es un vecor de amaño K 1. Es de noar que la ecuación (13 puede reescribirse en érminos de un bono indexado que se compra un período más adelane: P (n,r = EQ { } exp( r + π +1 P (n 1 +1,R (17 Esa represenación permie derivar un sisema de ecuaciones ieraivo para la ecuación (15 similar al de los bonos nominales, el cual iene la siguiene forma: A n,r = A n 1,R + (B n 1,R + π 1 µ (B n 1,R + π 1 Σ(B n 1,R + π 1 δ 0,R (18 B n,r = (B n 1,R + π 1 φ δ 1 (19 B 0,R = 0 K 1, A 0,R = 0 (20 donde el parámero asociado a la asa de coro plazo real se define como δ 0,R = δ 0 π 0. Eso implica que los excesos de reorno para esos acivos vienen dados por: rx (n 1 +1,R = lnp(n 1 +1,R lnp(n,r r (21 Sumando la inflación para un período en ambos lados de la ecuación (21, y combinando esa expresión con las ecuaciones (16, (18 y (19, se obiene la siguiene expresión: rx (n 1 +1,R + π +1 = α n 1,R (B n 1,R + π 1 φx + (B n 1,R + π 1 X +1 (22

8 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 7 donde α n 1,R = ( (B n 1,R + π 1 µ (B n 1,R + π 1 Σ(B n 1,R + π 1 Finalmene, se agrupan los excesos de reorno nominales de la ecuación (12 juno con los indexados por inflación de la ecuación (22 en el vecor R 5, obeniendo el siguiene sisema de ecuaciones de forma compaca: R +1 = α B φx + BX +1 (23 donde α = ( B µ γ, B = (B 1,...,B NN,B 1,R + π 1,...,B NR,R + π 1, γ = (B 1 ΣB 1,...,B N N ΣB NN, (B 1,R + π 1 Σ(B 1,R + π 1,...,(B NR,R + π 1 Σ(B NR,R + π 1, y N N, N R corresponden al número oal de vencimienos para los acivos nominales e indexados por inflación, respecivamene Expecaivas de Inflación. Dado el modelo afín presenado en la secciones 2.2 y 2.3, es posible esimar el BEI y las expecaivas de inflación bajo la medida de valoración ( y de riesgo neural, respecivamene, para cualquier horizone de iempo. En ese conexo, el BEI π (n ( ( se calcula como la diferencia enre los rendimienos nominales y (n e indexados por inflación y (n,r para un horizone de iempo n, cuya expresión es la siguiene: π (n = y (n y (n,r = 1 [ An + B n nx ( A n,r + B n,r] (24 Bajo la medida de riesgo neural, se cumple que Λ = [λ 0 λ 1 ] = 0 y por lo ano, los rendimienos nominales e indexados por inflación de riesgo neural, así como las expecaivas de inflación, se obienen reemplazando los parámeros µ y φ por sus versiones ajusadas por riesgo (I K φ µ X y φ en las ecuaciones (8, (9, (18 y (19. La expresión que rige esas expecaivas de riesgo neural es la siguiene: π (n,rn = y (n,rn y (n,rn,r = 1 n [ A RN n + B n RN X ( A RN n,r + B n,r RN ] (25 Por lo ano, la prima de riesgo inflacionario en el período para el horizone de iempo n, definida como la compensación que reciben los inversionisas por asumir un riesgo inflacionario, puede calcularse como la diferencia enre el BEI y las expecaivas de inflación, lo cual es equivalene a resar la prima por érmino de los acivos nominales de la prima por érmino de los acivos indexados por inflación, es decir: ϕ (n = π (n π (n,rn [ ] [ = y (n y (n,r y (n,rn ] y (n,rn,r Agrupando por ipo de acivo, se obiene la siguiene expresión: 5 Es de noar que las marices se denoan en negrilla a lo largo del documeno.

9 8 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno [ ϕ (n = ϕ (n y (n ] [ ] y (n,rn y (n,r y(n,rn,r = ψ (n ψ (n,r (26 donde ψ (n y ψ (n,r denoan la prima por érmino de los acivos nominales e indexados por inflación para el período con vencimieno n, respecivamene. Hasa el momeno, fue presenada la descomposición del BEI en sus dos componenes radicionales: expecaivas y prima de riesgo inflacionario. Ese marco eórico se amplía en la siguiene sección realizando la inclusión de facores de liquidez, los cuales permien realizar la descomposición incluyendo una prima de liquidez asociada a esos acivos Efecos de Liquidez. La manera de modelar efecos de liquidez para los bonos en ese marco eórico se presena a coninuación. Sea L una variable de esado que capura la liquidez de los acivos, la cual se asume como observada; enonces, al expandir el conjuno de variables de esado X a X L = [X L ], se manienen las relaciones esablecidas en las ecuaciones (8, (9, (18 y (19. Esa expansión permie obener la prima de liquidez para esos acivos, así como las medidas ajusadas por liquidez en odos los casos. Lo anerior se logra resringiendo a 0 la ponderación asociada al facor de liquidez en cada caso (B n,l = 0, B RN n,l = 0, B n,l,r = 0 y B RN n,l,r = 0, respecivamene6. Poseriormene, es posible calcular los componenes de liquidez en el período con vencimieno n bajo cada medida como B n,l L, B RN n,l L para los bonos nominales, y B n,l,r L, B RN n,l,r L para los bonos indexados por inflación. Por lo ano, la prima de liquidez nominal y real puede calcularse como se muesra a coninuación: y ξ (n = 1 n [ Bn,L L B RN n,ll ] ξ (n,r = 1 [ Bn,L,R L B RN ] n n,l,rl (27 (28 Por oro lado, el componene del BEI asociado a la prima de liquidez puede puede obenerse de forma similar a la prima de riesgo inflacionario, resando las respecivas primas de liquidez de bonos nominales e indexados por inflación, es decir: ϑ (n = ξ (n ξ (n,r (29 Los resulados de esas descomposiciones se presenan en la sección En el Apéndice B se presenan esas ecuaciones en dealle.

10 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ Esimación. En esa sección se muesra el procedimieno uilizado para esimar los parámeros del modelo que describe los excesos de reorno dados en la ecuación (23. Poseriormene se discue la esimación de los parámeros (δ 0,δ 1 y (π 0,π 1 que caracerizan la asa libre de riesgo y la inflación, respecivamene Esimación de los parámeros. La meodología uilizada para esimar los parámeros del modelo corresponde al siguiene procedimieno propueso por AACM, el cual es similar al esimador en res eapas de Adrian e al. (2013 y es presenado a coninuación. Primero, a parir de la ecuación (23 se agrupan los daos de la siguiene manera: R = αι T B φx_ + BX + E (30 donde R es de orden N T, X_ y X son marices de amaño K T de los daos agrupados de X 1 y X, respecivamene, y ι T es un vecor de orden T 1 de unos. La mariz E corresponde a los errores de medición de los reornos agrupados, donde la n-ésima columna, e n, saisface E n 1 {e n } = 0 y E n 1 {e n e n } = Σ e. Dada esa represenación, se realiza el siguiene procedimieno: 0. Se exraen los primeros K N componenes principales sobre los rendimienos de la curva cero cupón nominal a ravés del méodo de descomposición en valores singulares. 7 Una vez obenidos, esos facores son esandarizados. Poseriormene, se obienen los primeros K R componenes principales uilizando la misma meodología sobre los residuales de regresiones para rendimienos de la curva cero cupón de bonos indexados por inflación sobre los componenes principales nominales y el facor de liquidez. Esos K N + K R + 1 variables corresponden al vecor de variables X L uilizados en la esimación. 1. Poseriormene, se esima la regresión descria en (1 usando Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO para las variables cenradas en media, uilizando los promedios muesrales obenidos aneriormene como esimadores de µ X. De esa esimación se obienen los residuales, υ +1, y su mariz de Varianza-Covarianza, definida como ˆΣ = ˆV ˆV /(T 1, donde ˆV de dimensión K T se obiene agrupando las innovaciones esimadas. Es de noar que Sock y Wason (2002 (en adelane SW muesran que los esimadores de modelos lineales provenienes de esos componenes son consisenes cuando el amaño de la muesra y el número de series iende a infinio bajo el supueso de esacionariedad en el sisema. La esimación de esa primera eapa es similar a la del modelo dinámico presenado por SW en su segunda eapa, ya que los facores nominales y reales son variables laenes obenidas mediane el méodo de análisis de componenes principales, los cuales se uilizan para esimar un modelo VAR. ( 2. Se esima la ecuación (30 a ravés de una regresión SUR, obeniendo los esimadores α α α ols, B φ ols, B ols. Uilizando los residuales esimados de esa regresión, Ê ols, se obiene Σ Σ e = T 1 Ê ols Ê ols. Enonces, el esimador de φ es: φ gls = ( B ols Σ 1 1 e B ols B ols Σ 1 e B φ ols 7 Para idenificar correcamene esos parámeros, un facor se roa cuando el promedio de sus ponderaciones sea negaivo. Eso asegura que las medias de las ponderaciones no puedan resular negaivas.

11 10 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno Después, se esima la regresión SUR: R = αι T ( φ + B gls X_ + X, de la cual se obienen esimadores más eficienes de α y B, los cuales se denominan como α gls y B gls. Por úlimo, se esima µ a ravés de la siguiene expresión: 1 ( µ gls = B gls B gls Σ 1 e α gls γ gls ( B gls Σ 1 e donde γ gls definida en la sección 2.3 se consruye uilizando B gls y Σ. 3. Dadas las relaciones descrias en las ecuaciones (4 y los esimadores µ X y φ, los precios del riesgo del mercado se obienen a ravés de las siguienes expresiones: λ0 = ( I K φ µ X µ gls (31 λ1 = φ φ gls (32 AACM muesran que los errores esándar asinóicos de los esimadores (31 y (32 se pueden obener del siguiene resulado: ( T vec (( λ0 λ 0 ( d 0 νλ0 C N,[ vec λ1 λ 1 0 ] λ 0,λ 1 (33 C λ0,λ 1 ν λ1 Las expresiones para ν λ0,c λ0,λ 1 y ν λ1 se presenan en el Apéndice C Descomposición del BEI y esimación de los parámeros asociados a la asa libre de riesgo y la inflación. Anes de calcular el proceso ieraivo para los bonos nominales, es necesario esimar (δ 0,δ 1 asociados a la asa libre de riesgo. Dado que esa asa es observada y afín en las variables de esado, esos parámeros se obienen al esimar una regresión de los rendimienos nominales correspondienes al primer mes (n = 1 en unidades porcenuales, conra una consane y los facores obenidos X, es decir: Y (1 12 = δ 0 +δ 1 X +u (1, donde u (1 denoa el error de valoración del rendimieno nominal con vencimieno a un mes. Por ora pare, para resolver las recursiones presenadas en (18 y (19, es necesario conocer los parámeros π 0 y π 1 que caracerizan la evolución de la inflación en érminos de las variables de esado. En el Apéndice D se muesra que π 0 represena la inflación de largo plazo del modelo, así como el procedimieno realizado para esimar π 0 y π 1. Una vez se iene esimados esos parámeros, se realiza el proceso recurrene para los bonos nominales descrio en (36 y (37, y de forma similar para los bonos reales; en esa eapa se obienen los rendimienos esimados nominales y reales, ajusados por liquidez, ŷ (n,la y ŷ (n,la,r. Ese procedimieno se repie suponiendo que los precios del riesgo son cero (Λ = 0; de esa forma, se obienen los rendimienos esimados bajo la medida de riesgo neural, ŷ (n,rn,la y ŷ (n,rn,la,r. 8 ( Las aneriores medidas permien calcular las primas por érmino ψ (n,la, ψ (n,la,r y de riesgo inflacionario de acuerdo la ecuación (26. Como paso siguiene, se calcula el BEI esimado por ( el ϕ (n,la 8 Ese procedimieno es descrio en dealle en el Apéndice B.

12 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 11 ( ( modelo π (n,la y las expecaivas de inflación π (n,rn,la siguiendo las ecuaciones (24 y (25. 9 De (n (n forma seguida, la esimación de la prima de liquidez de los bonos nominales ( ξ y reales ( ξ,r se realiza ( a parir de las ecuaciones (27 y (28; por úlimo, el componene del BEI asociado a la liquidez (n ϑ se esima a parir de la ecuación (29, de forma que π (n π (n,rn,la + ϕ (n,la (n + ϑ RESULTADOS. Esa sección se divide de la siguiene manera: descripción de los daos uilizados, resulados de las esimaciones del modelo y análisis de bondad de ajuse para el mismo; por úlimo, se presenan las descomposiciones de los rendimienos nominales, reales obenidas en el proceso recurrene esimado en las ecuaciones (8, (9, (18 y (19. Esas incluyen la descomposición del BEI en expecaivas de inflación, prima de riesgo inflacionario y componene de liquidez Descripción de los Daos Uilizados. Los rendimienos, y (n y y (n,r, asociados a la curva cero cupón nominal y real, respecivamene, son calculados a parir de los parámeros de la meodología propuesa por Nelson y Siegel (1987 para los íulos de esorería (TES en pesos y en UVR ransados en el Sisema Elecrónico de Negociación (SEN y Mercado Elecrónico de Colombia (MEC, con vencimienos (n enre 1 y 96 meses. 11 Como asa libre de riesgo se uiliza la Tasa Inerbancaria (TIB obenida en la página web del Banco de la República, y como medida Q se oma el índice de precios al consumidor (IPC en frecuencia mensual, el cual se encuenra disponible en la página web del Deparameno Adminisraivo Nacional de Esadísica (DANE. La muesra uilizada incluye los periodos de frecuencia mensual comprendidos enre junio de 2004 y abril de Por ora pare, siguiendo la meodología de AACM, el facor de liquidez L se consruye de la siguiene manera: Primero, se obienen los residuales de la esimación de la curva de rendimieno cero cupón para los TES en UVR por la meodología de Diebold y Li ( Auores como Fleming (2000 y Hu e al. (2013 uilizan ese ipo de residuales como una una medida de liquidez, pueso que "grandes desajuses en los rendimienos pueden implicar esrés en el mercado o la inhabilidad de los inversionisas para aprovechar errores de valoración percibidos por el mercado"(aacm. Segundo, se oma el promedio móvil de 13 semanas 13 de la razón de monos ransados de TES en pesos respeco a UVR, el cual capura la liquidez de los íulos nominales relaiva a los reales. Poseriormene, esas series son esandarizadas y se calcula L en frecuencia diaria como el promedio simple enre esas dos medidas. Por úlimo, con el objeivo de garanizar que esa medida sea posiiva, a ese promedio se le suma el mínimo de esa serie diaria y se lleva a frecuencia mensual omando el úlimo dao de cada mes. Teniendo en cuena a Scheinkman y Lierman (1991, se calculan los primeros K N = 3 componenes principales sobre los rendimienos de los TES en pesos con vencimienos n = 3,4,5,...,96 meses. Con 9 Es imporane anoar que ano las esimaciones de las primas por érmino y de riesgo inflacionario así como las esimaciones del BEI y de las expecaivas de inflación se realizan usando el modelo expandido por liquidez. 10 Adicionalmene, en la Figura 6 del Apéndice F se puede apreciar que el BEI esimado por el modelo sin ajusar por liquidez, π (n, es muy similar al BEI observado, π (n. 11 Los parámeros de la meodología de Nelson y Siegel se obuvieron de la esimación realizada por la Bolsa de Valores de Colombia (BVC, y se encuenran en frecuencia diaria; como dao mensual se seleccionó el dao correspondiene al úlimo día de cada mes. 12 Esos residuales son calculados con base en la información del mercado proveniene del SEN y MEC. 13 También se realizaron ejercicios con 12, 15 y 16 semanas. En esos casos, los resulados obenidos son similares.

13 12 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno el objeivo de reducir la posible mulicolinealidad enre los componenes principales de las curvas nominales y reales, se obienen los K R = 2 primeros componenes principales de los residuales obenidos a parir de regresiones de los rendimienos de los TES en UVR sobre los res componenes nominales y el facor de liquidez, con vencimienos n = 24,25,26,...,96 meses 14. En ese procedimieno se encuenra que aproximadamene el de la variabilidad de esos residuales se explica por esos dos facores. Por lo ano, el modelo esimado incluye K N = 3 facores nominales, K R = 2 facores reales, y 1 facor de liquidez, los cuales corresponden al conjuno de K N + K R + 1 = 6 variables esado X L uilizadas para esimar la ecuación (1. Poseriormene, se calculan los precios asociados a esos rendimienos y los excesos de reorno, a parir de la ecuación (11 para los vencimienos n = 6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, y 96 meses para los íulos nominales, mienras que para los reales se uiliza la ecuación (21 para los vencimienos n = 24, 36, 48, 60, 72, 84, y 96 meses; por lo ano, el número de vencimienos para realizar la esimación previamene descria es N N = 9 y N R = 7, lo cual da un oal de N = Esimación del Modelo de 6 facores y bondad de ajuse. En esa sección se presenan las esimaciones de los parámeros asociados a los precios de riesgo del mercado (λ 0 y λ 1 del modelo, a parir de los 6 facores previamene descrios y del procedimieno de esimación en res eapas mosrado en la sección Adicionalmene, se presenan las medidas de bondad de ajuse calculadas para el proceso recurrene descrio en las secciones 2.2 y 2.3. En primer lugar, se presenan las medidas diagnósicas uilizadas para comprobar una adecuada especificación y ajuse del modelo esimado para realizar las respecivas descomposiciones del BEI y de las asas de inerés nominales y reales. Una manera de validar si se cuena con una bondad de ajuse apropiada enre los rendimienos y su aproximación afín descria en las ecuaciones (6 y (15, así como verificar una esimación adecuada de las descomposiciones descrias en la sección 2.4 consise en realizar un análisis descripivo sobre los residuales obenidos por las recursiones, el cálculo del BEI y las regresiones de los excesos de reorno; en el Apéndice E se presenan esas esadísicas 15. Por ora pare, en la Figura 5 se presena el rendimieno promedio para cada vencimieno de los bonos nominales y reales observados y esimados. Esos muesran el ajuse de la curva de rendimieno en ambos casos a lo largo de la esrucura a érmino 16. Al igual que los resulados de las ablas aneriormene descrias se observa que no exisen indicios de un mal ajuse del modelo; no obsane, en los úlimos vencimienos se observa una leve endencia desmejorar el ajuse en los rendimienos reales. Para verificar si el proceso ieraivo uilizado para descomponer esas asas es adecuado, en el Apéndice G se muesran las gráficas comparaivas enre B gls,n = (B 1,...,B NN y B para los bonos nominales, donde B se obiene a ravés de las recursiones presenadas en las ecuaciones (8 y (9. En el caso de los bonos indexados por inflación, esa comparación se realiza enre B gls,r = (B 1,R + π 1,...,B NR,R + π 1 y B R + π 1 obenido en las recursiones (18 y (19. Adicionalmene, es de noar que B gls,n y B gls,r se esiman en la segunda eapa del procedimieno de esimación presenado en la sección Los resulados de esas gráficas muesran que esos érminos son similares para ambos acivos. 14 Esa elección se realiza debido a la poca profundidad del mercado para íulos ransados con vencimienos menores a 2 y mayores a 8 años. 15 Por ora pare, buscando comprobar una adecuada esimación del modelo VAR en el ejercicio empírico, se realizaron pruebas de raíz uniaria sobre las innovaciones del VAR con el fin de verificar el supueso de esacionariedad. Adicionalmene, según la prueba de Godfrey (1979 se concluye que esas innovaciones no esán auocorrelacionadas para menos de T 4 rezagos. 16 Adicionalmene, en el Apéndice F se presena la gráfica de los rendimienos en ambos casos y el BEI observado y ajusado para el modelo de 6 facores.

14 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 13 Por úlimo, al realizar el procedimieno de esimación descrio en el Apéndice D se encuenra una inflación de largo plazo, π 0, de 3,2 anual, con un error esándar de 0,301, la cual se encuenra denro del rango mea del Banco de la República (2-4 y es cercana a la mea punual del 3. Dados los resulados de esas medidas, es posible concluir que el proceso ieraivo uilizado es una aproximación adecuada de la esrucura a plazo de las asas de inerés nominales, reales y el BEI. Por lo ano, se presenan a coninuación los resulados de la esimación de los coeficienes asociados a los precios del riesgo del mercado (λ 0 y λ 1, así como algunas pruebas de hipóesis que permien evaluar la adecuada especificación del modelo. La evaluación de la significancia conjuna e individual de los parámeros asociados a los precios de riesgo de mercado se realiza mediane un es de Wald propueso por AACM 17 uilizando los errores esándar obenidos en el Apéndice C. Los valores p de las pruebas de significancia conjuna se reporan en las dos úlimas columnas del Cuadro 1. Esos resulados muesran que los precios de riesgo del mercado son significaivos para el nivel, pendiene y curvaura asociado al caso del cupón nominal. También lo son para ambos facores provenienes de los rendimienos de los TES en UVR, lo cual implica que ambas esrucuras a érmino responden significaivamene de forma conjuna ane cambios en el precio del riesgo asociado a esos facores. En línea con lo anerior, se espera que cambios en el nivel, pendiene y curvaura de la curva cero cupón nominal impliquen movimienos sobre las esrucuras a érmino nominales y reales, al como es sugerido por AACM. CUADRO 1. Esimación de los parámeros Λ para el modelo de 6 facores. Facores H λ 0 λ 1,1 λ 1,2 λ 1,3 λ 1,4 λ 1,5 λ 0 : λ j = 0 H 0 : λ 1 j = 0 ( j 1,6 Valor P Valor P X 1 (0.434 (0.015 (0.241 (0.107 (0.844 (0.000 ( X 2 (0.688 (0.352 (0.656 (0.617 (0.090 (0.000 ( X 3 (0.981 (0.525 (0.964 (0.043 (0.672 (0.000 ( X 4 (0.867 (0.912 (0.247 (0.191 (0.003 (0.183 ( X 5 (0.889 (0.907 (0.906 (0.699 (0.420 (0.034 ( X 6 (0.868 (0.935 (0.962 (0.948 (0.680 (0.912 ( Noa: Λ = [λ 0, λ 1 ] = [ λ 0, λ 1,1,λ 1,2,λ 1,3,λ 1,4,λ 1,5,λ 1,6 ]. Los valores P se encuenran enre parénesis y corresponden a los de una prueba para cada coeficiene. En negrilla se presenan los coeficienes significaivos al 10. X 1, X 2 y X 3 represenan el nivel, pendiene y curvaura de la curva de rendimieno cero cupón nominal, respecivamene; X 4 y X 5 represenan los 2 primeros componenes principales obenidos de los residuales de los rendimienos de los TES en UVR sobre X 1, X 2, X 3 y el facor de liquidez, respecivamene. Por úlimo, X 6 represena el facor de liquidez. De forma similar, para el caso nominal Espinosa-Torres e al. (2014 encuenran que la esrucura a érmino de los TES en pesos responde de forma significaiva ane movimienos en los precios del riesgo 17 Espinosa-Torres e al. (2014 presenan esas pruebas en dealle.

15 14 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno asociados a los facores de la esrucura a érmino nominal, resulado que por lo general se encuenra en la lieraura (Scheinkman y Lierman (1991, Cochrane y Piazzesi (2005, Cochrane y Piazzesi (2008, Adrian e al. (2013. Adicionalmene, en el Cuadro 1 se evalúa la significancia individual para deerminar la manera como cada uno de los facores afecan a los precios del riesgo. Para el precio del riesgo asociado al primer facor (X 1 se encuenra que los coeficienes del facor uno, cinco y seis (λ 1,1, λ 1,5, y λ 1,6 son significaivos, lo cual indica que los facores relacionados con nivel de la curva cero cupón nominal, el primer facor real y la liquidez afecan al precio del riesgo asociado a X 1. En el caso de los parámeros del segundo facor (X 2, ese se ve afecado únicamene por movimienos en los precios del riesgo reales y el facor de liquidez, eso sugiere que los rendimienos de los TES en pesos se ven afecados ane cambios en el mercado de UVR. Para la curvaura de los bonos nominales (X 3 se encuenra que ano el coeficiene asociado a su propio facor (λ 1,3 como el del segundo componene de los rendimienos reales y el facor de liquidez son significaivos. Finalmene, se observa que de forma individual los precios del riesgo asociados a los facores reales solo responden ane cambios en sus propios facores y la liquidez de los mismos. Poseriormene, se esiman las recursiones descrias en las ecuaciones (8, (9, (18 y (19 con el objeivo de desagregar las asas de rendimieno nominal, real y BEI en sus res componenes: asas de riesgo neural, prima por érmino o de riesgo y prima de liquidez, los cuales son presenados y analizados en la siguiene sección Descomposiciones de las asas. En la Figura 1 se presena la descomposición de los rendimienos nominales y reales: prima por vencimieno, rendimieno de riesgo neural y componene de liquidez 18. En general los resulados son los esperados. En línea con los hallazgos de Espinosa-Torres e al. (2014, en la descomposición de los bonos nominales y reales se pueden observar res hechos relevanes: En primer lugar, se iene que al aumenar el plazo, la prima por érmino es mayor y más voláil. En segundo lugar, se encuenra que a medida que el plazo es menor, el rendimieno de riesgo neural explica la mayor pare del movimieno de las asas de inerés de los íulos nominales y reales, lo cual puede asociarse a la ransmisión de políica monearia (Cochrane y Piazzesi, 2008, Becerra y Melo, En ercer lugar, se observa que la prima por vencimieno es decreciene para los dos ipos de íulos, eso puede ser explicado por la mayor profundización del mercado de íulos del Gobierno, las mejores condiciones macroeconómicas, el oorgamieno del grado de inversión por pare de las calificadoras de riesgo y las amplias condiciones de liquidez a nivel inernacional. Además, se puede observar que las primas por vencimieno y en algunos casos los componenes de liquidez incorporan evenos de esrés financiero. El caso más evidene es aquel eveno en el que se regisró una fuere susiución de íulos de deuda del Gobierno por carera por pare de bancos locales enre febrero y julio de 2006, momeno en el cual se observan movimienos imporanes ano en la prima por vencimieno como del componene de liquidez. Oros evenos relevanes que paricularmene se observan en la prima por vencimieno (Espinosa-Torres e al., 2014, son la crisis financiera inernacional (sepiembre-ocubre de 2008 y su ransmisión a economías emergenes (enero-agoso de 2009, y el anuncio por pare de la Fed de un posible inicio del "Tapering"(mayo-julio de Es imporane noar que se realizaron varios ejercicios de robusez. Primero, se esimó el modelo con daos mensuales promedio (y no fin de. Segundo, se esimó el modelo con k = [4 2] y k = [4 1] facores nominales y reales, respecivamene. Las descomposiciones obenidas en esos ejercicios son aproximadamene similares a las presenadas en las Figuras 1 y 2. Esos resulados no se presenan en ese documeno; sin embargo, se encuenran a disposición de los ineresados.

16 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 15 FIGURA 1. Descomposiciones de los TES en pesos y UVR para vencimienos a 2 (superior, 5 (medio y 8 (inferior años. Rend. Nominal 2 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq Rend. Real 2 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq Rend. Nominal 5 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq Rend. Real 5 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq Rend. Nominal 8 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq Rend. Real 8 años Rend. Neural Prima por Término Comp. Liq En la Figura 2 se puede observar la descomposición del BEI en expecaivas de inflación, prima de riesgo inflacionario y componene de liquidez. En cuano las expecaivas de inflación, se observa que a medida que aumena el plazo esá es menos voláil y en érminos generales ha venido disminuyendo en el iempo, lo que hace evidene la exisencia

17 16 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno de credibilidad en el Banco de la República y su mea de inflación. En línea con eso, se aprecia que poserior a la crisis las expecaivas se han manenido denro del rango mea del Banco de la República para los diferenes plazos. Ese hecho ambién es soporado por el valor esimado, mediane el modelo, de la inflación de largo plazo (3,2. Por ora pare, los resulados obenidos indican que a medida que aumena el plazo la prima de riesgo inflacionario es mayor, lo cual es acorde con la lieraura perinene. En línea con lo anerior se puede observar que la prima de riesgo inflacionario para 2 años es baja, lo que permie inferir que el BEI para ese plazo es una medida relaivamene apropiada de las expecaivas de inflación. Adicionalmene, se encuenra que para plazos superiores, la prima de riesgo inflacionario ha disminuido en el iempo, lo que en pare puede obedecer al aumeno de la confianza en la políica monearia por pare de los agenes, en paricular, con la fijación de la mea de inflación en 3 a parir de ocubre de También se puede apreciar que a parir de junio de 2011 esa prima ha sido negaiva y acualmene es cercana a cero para vencimienos a 5 y 8 años. Ese úlimo puno puede obedecer a un mayor apeio y menor riesgo asociado los TES en pesos debido a la imporane caída de la prima por vencimieno de esos íulos ane las mejores condiciones de mercado mencionadas previamene (por ejemplo, la mayor enrada de exranjeros se regisró en el mercado de TES en pesos. FIGURA 2. Descomposiciones del Break-Even Inflaion (BEI para vencimienos a 2 (izquierda, 5 (derecha y 8 (inferior años. BEI 2 años E{Inflación} Prima Riesgo Inflacionario Comp. Liq. BEI 5 años E{Inflación} Prima Riesgo Inflacionario Comp. Liq BEI 8 años E{Inflación} Prima Riesgo Inflacionario Comp. Liq

18 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 17 Por úlimo, denro de los resulados se enconró que el componene de liquidez es muy pequeño en la mayoría de los periodos analizados. Sin embargo, es posible observar que oma valores mayores para cieros evenos como el asociado a la susiución de los íulos del mercado de deuda pública en 2006 por pare de los bancos, lo que generó fueres presiones de liquidez sobre el mercado, paricularmene el de UVR. 4. COMENTARIOS FINALES. En el presene documeno se esima y descompone el BEI asociado a las bonos del Gobierno colombiano. Lo anerior se realiza mediane la meodología propuesa por Abrahams e al. (2015, la cual permie conrolar por un componene de liquidez relaivo enre los bonos nominales y reales. En érminos generales, se puede observar que los resulados para Colombia son acordes a lo esperado. Para el caso de las asas nominales se encuenran rendimienos de riesgo neural y prima por érmino similares a las halladas por Espinosa-Torres e al. (2014. En general, se encuenra que la aproximación afín valora de forma precisa ambos ipos de rendimienos, lo cual sugiere que la descomposición del BEI es adecuada. Los resulados de esa descomposición muesran evidencia para concluir que los agenes del mercado han incremenado la credibilidad en el Banco de la República y su mea de inflación a lo largo de los años. Por oro lado, los resulados sugieren que el BEI es una medida relaivamene apropiada de las expecaivas de inflación en el coro plazo (2 años. Además, esos sugieren que los efecos de liquidez son cercanos a cero para casi odo el período muesral analizado (independiene del vencimieno, salvo por algunos evenos como el del primer semesre de 2006, en el cual se observa una prima de liquidez mayor. Finalmene, es de noar que la esimación y descomposición del BEI puede ser un insumo imporane para el seguimieno y análisis de las expecaivas de inflación por pare del banco cenral y los analisas financieros. Por al moivo, cobra relevancia desarrollar esudios fuuros referenes a la ransmisión de la políica monearia, la relación de los componenes del BEI con variables macroeconómicas y el pronósico de la inflación. REFERENCIAS ABRAHAMS, M., T. ADRIAN, R. CRUMP, Y E. MOENCH (2015: Decomposing Real and Nominal Yield Curves, Federal Reserve Bank of New York Saff Repors, 570. ADRIAN, T., R. CRUMP, Y E. MOENCH (2013: Pricing he Term Srucure wih Linear Regressions, Journal of Financial Economics, 110(01, ADRIAN, T., Y H. WU (2010: The Term Srucure of Inflaion Expecaions, Saff Repors 362, Federal Reserve Bank of New York. ARANGO, L. E., L. A. FLÓREZ, Y A. M. AROSEMENA (2005: El Tramo Coro de la Esrucura a Plazo como Predicor de Expecaivas de la Acividad Económica en Colombia, Cuadernos de economía, 42, ARIAS, M., C. HERNÁNDEZ, Y C. ZEA (2006: Expecaivas de Inflación en el Mercado de Deuda Pública colombiano, Borradores de Economía 390, Banco de la República de Colombia. BANCO DE MÉXICO (2013: Quarerly Repor, Quarerly repors, Banco de México. BECERRA, O., Y L. F. MELO (2009: Transmisión de Tasas de Inerés bajo el Esquema de Meas de Inflación: Evidencia para Colombia, Lain American Journal of Economics-formerly Cuadernos de Economía, 46(133,

19 18 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno CHEN, R.-R., B. LIU, Y X. CHENG (2010: Pricing he erm srucure of inflaion risk premia: Theory and evidence from TIPS, Journal of Empirical Finance, 17(04, CHRISTENSEN, I., F. DION, Y C. REID (2004: Real Reurn Bonds, Inflaion Expecaions, and he Break-Even Inflaion Rae, Working Papers 04-43, Bank of Canada. CHRISTENSEN, J. H. E., J. A. LOPEZ, Y G. D. RUDEBUSCH (2010: Inflaion Expecaions and Risk Premiums in an Arbirage-Free Model of Nominal and Real Bond Yields, Journal of Money, Credi and Banking, 42, CHUMACERO, R., Y L. OPAZO (2008: Compensación Inflacionaria en Chile, Working Papers Cenral Bank of Chile 468, Cenral Bank of Chile. COCHRANE, J. H., Y M. PIAZZESI (2005: Bond Risk Premia, American Economic Review, 95(01, (2008: Decomposing he Yield Curve, Documeno no publicado, Universiy of Chicago. D AMICO, S., D. H. KIM, Y M. WEI (2008: Tips from TIPS: he informaional conen of Treasury Inflaion-Proeced Securiy prices, BIS Working Papers 248, Bank for Inernaional Selemens. DIEBOLD, F., Y C. LI (2006: Forecasing he Term Srucure of governmen Bond Yields, Journal of Economerics, 130, DUDLEY, W. C., J. ROUSH, Y M. S. EZER (2009: The case for TIPS: an examinaion of he coss and benefis, Economic Policy Review, (Jul, DUFFEE, G. (2002: Term Premia and Ineres Rae Forecass in Affine Models, The Journal of Finance, 57(1, EJSING, J., J. A. GARCÍA, Y T. WERNER (2007: The erm srucure of euro area break-even inflaion raes: he impac of seasonaliy, Working Paper Series 0830, European Cenral Bank. ESPINOSA-TORRES, J. A., L. F. MELO-VELANDIA, Y J. F. MORENO-GUTÍERREZ (2014: Esimación de la prima por vencimieno de los TES en pesos del gobierno colombiano, Borradores de Economía 854, Banco de la República de Colombia. FLEMING, M. J. (2000: The benchmark U.S. Treasury marke: recen performance and possible alernaives, Economic Policy Review, (Apr, GARCÍA, J. A., Y T. WERNER (2010: Inflaion risks and inflaion risk premia, Working Paper Series 1162, European Cenral Bank. GÓMEZ, J., J. D. URIBE, Y H. VARGAS (2002: The Implemenaion of Inflaion Targeing in Colombia, Borradores de Economía 202, Banco de la República de Colombia. GODFREY, L. G. (1979: Tesing he Adequacy of a Time Series Model, Biomerika, 66(1, pp GONZÁLEZ, E., M. JALIL, Y J. V. ROMERO (2010: Inflación y expecaivas de inflación en Colombia, Borradores de Economía 618, Banco de la República de Colombia. GRISHCHENKO, O. V., Y J.-Z. HUANG (2013: The Inflaion Risk Premium: Evidence from he TIPS Marke, The Journal of Fixed Income, 22(04, HÖRDAHL, P., Y O. TRISTANI (2010: Inflaion risk premia in he US and he euro area, BIS Working Papers 325, Bank for Inernaional Selemens. HU, G. X., J. PAN, Y J. WANG (2013: Why Do Emerging Economies Borrow Shor Term?, The Journal Of Finance, 68(06, HUERTAS, C., E. GONZALEZ, Y C. RUIZ (2015: La formación de expecaivas de inflación en Colombia, Borradores de Economía 880, Banco de la República de Colombia. IMAKUBO, K., Y J. NAKAJIMA (2015: Esimaing inflaion risk premia from nominal and real yield curves using a shadow-rae model, Bank of Japan Working Paper Series 15-E-1, Bank of Japan. KAJUTHA, F., Y S. WATZKAB (2011: Inflaion expecaions from index-linked bonds: Correcing for liquidiy and inflaion risk premia, The Quarerly Review of Economics and Finance, 51(01, MELO-VELANDIA, L. F., Y J. C. GRANADOS-CASTRO (2012: Expecaivas y prima por riesgo inflacionario con una medida de compensación a la inflación, El Trimesre Económico, 79(4,

20 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 19 MELO-VELANDIA, L. F., Y J. F. MORENO-GUTIÉRREZ (2011: Acualización de la descomposición del BEI cuando se dispone de nueva información, Borradores de Economía 620, Banco de la República de Colombia. NELSON, C., Y A. SIEGEL (1987: Parsimonious Modeling of Yield Curve, The Journal of Business, 60(04, PFLUEGER, C. E., Y L. M. VICEIRA (2013: Reurn Predicabiliy in he Treasury Marke: Real Raes, Inflaion, and Liquidiy, NBER Working Papers 16892, Naional Bureau of Economic Research, Inc. RÍOS, O. A., Y L. E. GIRÓN (2013: Prima de riesgo por inflación calculada con el Break-Even Inflaion y el modelo dinámico Nelson-Siegel, Cuadernos de Adminisración, 29(49, SACK, B. (2000: Deriving inflaion expecaions from nominal and inflaion-indexed Treasury yields, Finance and Economics Discussion Series , Board of Governors of he Federal Reserve Sysem (U.S.. SCHEINKMAN, J. A., Y R. LITTERMAN (1991: Common facors affecing bond reurns, Journal of Fixed Income, 1(1, STOCK, J., Y M. WATSON (2002: Macroeconomic Forecasing Using Diffusion Indexes, Journal of Business and Economic Saisics, 20(02, VARGAS, H., A. GONZÁLEZ, E. GONZÁLEZ, J. V. ROMERO, Y L. E. ROJAS (2010: Assessing inflaionary pressures in Colombia, en Moneary policy and he measuremen of inflaion: prices, wages and expecaions, ed. por Bank for Inernaional Selemens, vol. 49 of BIS Papers chapers, pp Bank for Inernaional Selemens.

21 20 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno APÉNDICE A. LIQUIDEZ RELATIVA DE LOS BONOS DEL GOBIERNO COLOMBIANO DENOMINADOS EN PESOS Y EN UVR En el Figura 3 es posible observar varios indicadores que permien obener una noción de la liquidez de los TES UVR relaiva a la de los TES en pesos. FIGURA 3. Liquidez relaiva de los TES en pesos y UVR Rango de plazos TES UVR (eje izq Número de íulos UVR (eje izq Mono UVR/ pesos (eje der Número de íulos pesos (eje izq 15 Años y números de íulos Fuene: SEN y MEC. Cálculos: auores. En primer lugar, las barras negras muesran el mono promedio mensual de negociaciones de TES UVR respeco al de los TES en pesos. Enre junio de 2004 y junio de 2015, en promedio los monos negociados de UVR han represenado el 3,7 de los monos negociados de TES en pesos 19 lo cual muesra que en érminos relaivos los monos de negociación en el mercado de UVR son bajos y no son represenaivos respeco al oal del mercado de bonos del Gobierno colombiano. En segundo lugar las líneas puneada (UVR y de rayas (pesos represenan el número de íulos que en promedio se negociaron diariamene durane cada mes. Como se puede observar la canidad de íulos negociados de TES en pesos es considerablemene mayor a la de los íulos denominados en UVR. En promedio el número de bonos UVR negociados a lo largo de la muesra fue de 4,3 íulos mienras que el de pesos se ubica en 11,83 20 Finalmene, el área gris represena los plazos de los TES UVR con los que en promedio cuena el mercado por mes. Como se puede observar durane periodos considerables de iempo no se ha conado con plazos superiores a 8 años (incluso 6 años ni con plazos inferiores a uno (incluso 2 años. Lo anerior refleja la fala de ofera de íulos para cieros vencimienos. 19 Esa relación ha alcanzado un máximo mensual durane el periodo analizado de 17,1 y un mínimo de 0,4. 20 Máximo número de íulos UVR negociados (pesos: 9,25(14,9, mínimo número de íulos UVR negociados (pesos: 1,9(8,26.

22 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 21 APÉNDICE B. ECUACIONES BAJO LA EXISTENCIA DE EFECTOS DE LIQUIDEZ A coninuación se presenan las ecuaciones del modelo para los bonos nominales incluyendo el facor de liquidez L. Es de noar que el procedimieno es el mismo para los bonos indexados por inflación. La relación afín del sisema expandido para los bonos nominales viene dada por la siguiene expresión: lnp (n = A n + B nx + B n,l L (34 Reescribiendo esa relación de forma compaca se obiene: lnp (n = A n + B n X L (35 donde B n = [ B n,1,..., B n,kn +K R, B n,l ], X L = [X L ]. Imponiendo condiciones de no arbiraje, es posible reescribir esa relación de forma ieraiva a ravés del sisema de ecuaciones (8 y (9 expandido por liquidez: A n = A n 1 + B n 1 µ B n 1ΣB n 1 δ 0 (36 B n = B n 1 φ δ 1 (37 B 0 = 0 K 1, A 0 = 0 (38 En paricular, el rendimieno nominal y (n esimado puede escribirse de la siguiene forma: ŷ (n = 1 n ] [Ân + B n X L (39 Por lo ano, para descomponer ese rendimieno esimado se imponen las resricciones B n,l = 0 y B ( ( RN n,l = 0, lo cual permie calcular el rendimieno nominal esimado y de riesgo neural ŷ (n,la ŷ (n,rn,la ajusados por liquidez. Enonces, la prima por érmino ajusada por liquidez se calcula como la diferencia enre esas dos variables. Por úlimo, la prima de liquidez, ξ (n, se calcula como se indicó en la sección 2.5. Enonces, el rendimieno nominal observado se compone de la siguiene manera: ŷ (n = ŷ (n,rn,la + ψ (n,la + ξ (n (40 donde ψ (n,la = ŷ (n,la ŷ (n,rn,la denoa la prima por érmino nominal ajusada por liquidez.

23 22 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno En el caso de los bonos indexados por inflación el procedimieno abordado es similar, de forma que las medidas del BEI se obienen de igual manera a lo explicado en la sección 2.4 eniendo en cuena esa modificación. APÉNDICE C. DERIVACIÓN DE LAS MATRICES DE VARIANZA COVARIANZA En ese apéndice se resume la derivación realizada por AACM para las marices de varianza-covarianza ν λ0,c λ0,λ 1 y ν λ1, especificadas en la ecuación (33. Sean α ols, ÂA 0,ols = B φ ols y B ols los esimadores de ] una regresión MCO paricionada de la ecuación (30. Adicionalmene, definiendo Âols = [Â0,ols B ols, y realizando la parición de la mariz de varianza covarianza bajo la siguiene expresión: ( να,ols C ν α,a,ols = α,a,ols C α,a,ols ν A,ols Los auores demuesran que ( d T vec( φ gls φ N 0,ν φ, donde ν φ = H φ ν A,ols H φ y: ( [IK H φ = φ ] ( 1 1 B Σ B B Σ 1 e e Dado que X sigue un proceso VAR, bajo los supuesos convencionales se cumple que: donde T [ ( µ µ vec( φ φ ] d N ( 0,ν µ,φ,ols ( νµ,ols C µ,φ,ols ν µ,φ,ols = C µ,φ,ols ν φ,ols ( ( 1 ι = plim X 1 _/T T X_ι /T X_X Σ _ι /T lo cual implica que T vec( λ1 λ 1 d N ( 0,νλ1 con νλ1 = ν φ + ν φ,ols. Mediane un procedimieno similar se encuenra la mariz de varianza para λ 0. Se define X = [X X _], κ m,n como la mariz de conmuación de orden mn mn al que para una mariz A m n se cumple que vec(a = κ m,n vec(a, A B como la mariz paricionada diagonal NK N con B i como la iésima enrada de la diagonal, C B = (vec(b 1 B 1,...,vec(B NB N, ρ 1 como un vecor (K cuyo primer elemeno es igual 1 y el reso son iguales a 0, y las siguienes expresiones: Ω = plim T T 1 X M ι X Ω 1 = plim T T 1 X M ι X _ Ω 2 = plim T T 1 X ι T Ω 3 = plim T T 1 X_ι T (41

24 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 23 donde M ι = I T X (X X 1 X ; enonces, se cumple que T vec( µ gls µ d N ( 0,ν µ con ν µ = H µ,α ν α,ols H µ,α + H µ,a ν A,ols H µ,a + ( H µ,α C α,a,ols H µ,a ( + H µ,α C α,a,ols H µ,a + H µ,σ ((I K 2 + κ K,K (Σ ΣH µ,σ donde: ( 1 1 H µ,α = B Σ e B B Σ 1 e ( ( 1 1 ( H µ,a = µ B Σ e B B Σ 1 ( 1 1 e H B + ρ 1 B Σ e B B Σ 1 e A B (I N Σ ( B Σ e B B Σ 1 e H α H µ,σ = 1 ( ( 1 1 ρ 1 B Σ e B B Σ 1 e C B 2 Ω 2 ( (T H α = 1 ( (T Ω 2 1 IN [ ] φ I K Ω2 Ω 2 IN H B + ( Ω 3 B H φ ( [[ ] H B = φ I [ ] ] 1 [ ] K Ω φ I K φ I K Ω IN ( [[ ] φ I [ ] ] 1 [ ] [ K Ω φ I K φ I K Ω1 Ω 1 IK φ ] ( 1 1 B B Σ B B Σ 1 Ω 2 Ω 3 e e H B Enonces, T vec( λ0 λ 0 d N ( 0,νλ0 con νλ0 = ν µ + ν µ,ols. Por úlimo, la covarianza asinóica enre T λ 0 y T λ 1 viene dada por la expresión: C λ0,λ 1 = H µ,α C α,a,ols H φ + H µ,aν A,ols H φ + C µ,φ,ols. APÉNDICE D. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS π 0 Y π 1 En ese apéndice se muesra en dealle la función g(π 0,π 1 ;n i, uilizada para esimar los parámeros π 0 y π 1. Esa describe los rendimienos indexados por inflación como funciones cuasi-cuadráicas de π 0 y π 1 y permie enconrar sus esimadores mediane la minimización de una suma cuadráica de residuales. Pariendo de la definición de los rendimienos indexados por inflación, se iene que y (n,r = 1 ( n An,R + B n,r X. Reemplazando (18 y (19 en la anerior expresión se puede mosrar que y (n,r puede escribirse de la siguiene manera:

25 24 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno [ { y (n,r = g(π 1 0,π 1 ;n i, = π 0 + δ n 1ψ n X + δ 1 [ { + π 1 1 (ψ n+1 I K X n [ ] π n n ψ i Σψ i π 1 i=1 ( n i=1ψ i 1 ( n i=1ψ i µ 1 2 δ 1 µ + ( n ψ i 1 Σψ i 1 i=1 ( n ψ i Σψ i 1 i=1 δ 1 }] δ 1 } + δ 0 ] Nóese que π 1 aparece asociado a un érmino lineal y uno cuadráico, mienras que π 0 se encuenra asociado de forma lineal con y (n,r sin depender del vencimieno, lo cual permie inerprearla como la inflación de largo plazo del modelo. Por lo ano, es posible esimar π 0 y π 1 resolviendo el siguiene problema de opimización: [ π0 π 1 ] = argmin π 0,π 1 N R T i=1 =1 ( y (n 2 g(π 0,π 1 ;n i, ( 2, Ese problema es equivalene a minimizar la suma de residuales al cuadrado N R i=1 =1 T u,r (n con respeco a π 0 y π 1, donde u (n,r = y(n,r ŷ(n,r, = 1,2,...,T, n = 1,2,...,N R. Ese cálculo es obenido a parir del proceso ieraivo para los rendimienos indexados por inflación descrio en las ecuaciones (18 y (19. Por simplicidad se esiman los parámeros a ravés de la segunda represenación, omando como valor inicial los esimadores de una regresión MCO de la inflación sobre una consane y X L, siguiendo la forma afín presenada en la ecuación (16. APÉNDICE E. ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS DE LOS RESIDUALES PARA LAS RECURSIONES Y LOS EXCESOS DE RETORNO En ese apéndice se ( presenan algunas esadísicas ( descripivas de los errores de valoración ( para los rendimienos nominales û (n = y (n ŷ (n, reales û (n,r = y(n,r ŷ(n,r y para el BEI û (n,π = BEI (n BEI (n, así como( los errores de valoración de los excesos de reorno para ambos ipos de rendimieno, respecivamene ê (n 1 +1 = rx (n 1 +1 rx (n 1 +1, e (n 1 +1,R = rx(n 1 +1,,R rx(n 1 +1,R.

26 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 25 CUADRO 2. Esadísicas descripivas de û (n y ê (n para los TES en pesos. n = 24 n = 36 n = 48 n = 60 n = 72 n = 84 n = 96 Errores del Rendimieno Media Desviación Esándar Asimería Curosis Errores del Reorno Media Desviación Esándar Asimería Curosis û (n represena la diferencia enre rendimienos nominales observados y esimados en la recursión. Por ora pare, ê (n represena el residual enre los excesos de reorno nominales observados y esimados. CUADRO 3. Esadísicas descripivas de û (n,r y ê(n,r para los TES en UVR. n = 24 n = 36 n = 48 n = 60 n = 72 n = 84 n = 96 Errores del Rendimieno Media Desviación Esándar Asimería Curosis Errores del Reorno Media Desviación Esándar Asimería Curosis û (n,r represena la diferencia enre rendimienos reales observados y esimados en la recursión. Por ora pare, ê(n,r represena el residual enre los excesos de reorno reales observados y esimados. CUADRO 4. Esadísicas descripivas de û (n,π para el BEI. n = 24 n = 36 n = 48 n = 60 n = 72 n = 84 n = 96 Errores del BEI Media Desviación Esándar Asimería Curosis û (n,π represena la diferencia enre el BEI observado y esimado a parir de las aneriores medidas.

27 26 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno APÉNDICE F. AJUSTE DE LOS RENDIMIENTOS Y EL BREAK-EVEN INFLATION F.1. Rendimienos de los TES en pesos y UVR. A coninuación se presenan las gráficas correspondienes a los rendimienos nominales e indexados por inflación observados y esimados, con vencimienos de 2, 5 y 8 años. FIGURA 4. Rendimienos observados y esimados de los TES en pesos y UVR para vencimienos a 2 (superior, 5 (medio y 8 (inferior años. Rendimieno Nominal Esimado Rendimieno Nominal 2 años Rendimieno Real Esimado Rendimieno Real 2 años Rendimieno Nominal Esimado Rendimieno Nominal 5 años Rendimieno Real Esimado Rendimieno Real 5 años Rendimieno Nominal Esimado Rendimieno Nominal 8 años Rendimieno Real Esimado Rendimieno Real 8 años

28 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 27 Por úlimo, se ilusra el promedio de los rendimienos de los TES en pesos y en UVR observados y esimados por vencimieno en la siguiene figura: FIGURA 5. Curva de Rendimieno promedio para los TES en pesos (superior y UVR (inferior Observado Esimado Vencimieno (meses Observado Esimado Vencimieno (meses

29 28 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno F.2. Break-Even Inflaion. A coninuación se muesran las gráficas correspondienes al BEI observado y esimado por el modelo, con vencimienos de 2, 5 y 8 años. FIGURA 6. Break-Even Inflaion observado y esimado para vencimienos a 2 (superior, 5 (medio y 8 (inferior años. 6 BEI Esimado BEI 2 años BEI Esimado BEI 5 años BEI Esimado BEI 8 años

30 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 29 APÉNDICE G. COMPARACIÓN ENTRE B gls Y B n OBTENIDO DE FORMA ITERATIVA. En las siguienes gráficas se presenan la comparación enre los parámeros B n y B n,r + π 1 del modelo (ecuación (23 con respeco a los parámeros B n y B n,r + π 1 uilizados en la recursión para calcular las descomposiciones de los bonos en ambos casos (ecuación (9 y (19 respecivamene. Esos resulados se muesran para cada uno de los 6 facores. FIGURA 7. Comparación enre B gls y B n a lo largo de la esrucura a plazos para los TES en pesos. B gls versus B n para el facor 1. B gls versus B n para el facor _ B gls B n _ B gls B n vencimieno (meses vencimieno (meses B gls versus B n para el facor _ B gls B n vencimieno (meses

31 30 Juan A. Espinosa, Luis F. Melo y José F. Moreno FIGURA 8. Comparación enre B gls y B n a lo largo de la esrucura a plazos para los TES en UVR. B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor 1. B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor _ B gls,r B n + π _ B gls,r B n + π 1 vencimieno (meses vencimieno (meses B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor 3. B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor _ B gls,r B n + π _ B gls,r B n + π vencimieno (meses vencimieno (meses B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor 5. B gls,r versus B n,r +π 1 para el facor _ B gls,r B n + π _ B gls,r B n + π vencimieno (meses vencimieno (meses

32 EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN, PRIMA DE RIESGO INFLACIONARIO Y PRIMA DE LIQUIDEZ 31 APÉNDICE H. GRÁFICAS DE LAS VARIABLES DE ESTADO. En ese apéndice se presenan las 6 variables de esado obenidas mediane el méodo propueso en la sección 2. FIGURA 9. Variables de Esado X jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov 14 jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov 14 jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov 14 Nivel, pendiene y curvaura de la curva cero cupón de los TES en pesos (panel superior izquierdo, superior derecho y cenral izquierdo respecivamene, primer y segundo componene principal de los residuales de los rendimienos para los TES en UVR (panel cenral derecho e inferior izquierdo, y facor de liquidez (panel inferior derecho. jun 04 dic 04 jun 05 dic 05 jun 06 dic 06 jun 07 dic 07 jun 08 dic 08 jun 09 dic 09 jun 10 dic 10 jun 11 dic 11 jun 12 dic 12 jun 13 dic 13 jun 14 nov 14

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