x t, x t, x dx dt sustituyendo e integrando, obtenemos: 3

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1 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Grados E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Tema 5: Inegración de funciones de una variable. Ejercicios resuelos Inegración indefinida Resolver. d 6 Hacemos el cambio,, d d susiuyendo e inegrando, obenemos: /. d d ( ) a rcsen C arcsen ( ) C Resolver la inegral I log d. Inegrando por pares: log u,. d ddu ( ) d dv v ( ) I log d ( ) por oro lado ( ) ( ) ( ). d. d. d. d ( ) ( ) ( ) es decir =. arc g C

2 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable I log arcg C arc sen e. Deerminar el valor de la inegral I=. d. Inegramos por pares: e u e. du, d. dv v arc sen arc sen d arc sen arc sen I=. e e. d Inegrando ora vez por pares e u e. du d dv v arc sen arc sen d arc sen arc sen arc sen e arc sen arc sen I e e d e e. I podemos escribir luego I e arc sen, arc sen I e C 4 Resolver log d Inegramos por pares: Pág.

3 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable ( ) ( )( ) log u. d ddu ( ) d. dv v log. d log. d log d ( )( ) Para resolver d, descomponemos en fracciones simples: ( ) ( ) A B A( ) B( ) ( )( ) ( ) ( ) igualando numeradores A( ) B( ) para = -=A A=-/ para =- -=B B=-/ Luego d d d log log log ( )( ) quedando en definiiva: log d log log +C 5 Resolver la inegral I= sen. d. sen.cos MÉTODO : Podemos escribir Pág.

4 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable sen cos sen sen cos sen sen cos cos cos sen sen sen sen.cos sen.cos sen.cos sen.cos sen cos luego cos sen sen d d log sen log cos sen.cos sen cos +C. MÉTODO : Hacemos sen cos d d cos sen d ano sen d. d.. d sen.cos..( ) podemos escribir A B C A( )( ) B( ) C( ).( ) ( )( ) d, por dando valores a : para = =A para = =B B= para =- =-C C=- A( )( ) B( ) C( ) luego ( ) d d log log log C log log log log log sen sen sen C sen sen C MÉTODO : Hacemos g (hacer resolución del ejercicio) g, que es el caso general, complicaría la Pág.4

5 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable arcg d d, sen, cos por oro lado sencos ; sen luego I= sen d d d sen cos Podemos escribir. A B. C = =. A. B. C., es decir A B C idenificando érminos en : en =A+B, en =C, ind. =A, obeniéndose A=, B= y C= luego. A d d d log log K. sen log g log log log g K K cos cos log sen log cos log log cos K log sen log cos k 6 Calcular el valor de d. sen ( cos. sen ) El cambio adecuado es Pág.5

6 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable g,. arc g d d, sen g g, cos g sen. sen.cos cos cos sen. sen.( cos. sen ) d d ( ). d ( cos. ) sen sen ; Descomponemos en fracciones simples la función subinegral: ( ) ( ) A B C. 4.. para A.( ).( ) A, 5 para B.. B, 6 para C..( ) C. Por ano A( )( ) B( ) C( ) ( ). d / 5 /. d. 4 = = 5 log log log log 5 C g log g log g C. Pág.6

7 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable 7 Calcular I = sen..cos sen. d cos sen sencos, luego I = Hacemos cos send d sen cos sen 6. sen.cos. d cos.( 6.cos ). d Por ano I= d.( 6. ) 5 6 d 6 5arcg C 6cos 5 arcg(cos ) C 8 Resolver I= ( ).( ). d / ( ), / ( ) y ( ) ( ) / los eponenes de ( ) son, y ; el máimo común denominador de los denomiradores será m.c.m.(, )=6; el cambio será 6, d 6 5 d / 6 / ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) / 6 / 4 / 6 / ( ) ( ), Susiuyendo en la inegral I= 5 ( )6 d ( ) d. d 6 4 ( ) ( ).( ) 6.. d Pág.7

8 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable Podemos escribir I= 5 ( ).6.. d ( ). d d.( ) = / /6 /6 = log C ( ) ( ) log ( ) C. 9 Calcular. d Si en la epresión obiene muliplicamos numerador y denominador por se Podemos escribir. d. d. d. d, inegrando. d arc sen C. Resolver el valor de la inegral J=. d Recordando la relación Ch Sh hacemos Sh d Ch d, la inegral epresada en la nueva variable es Sh Ch Sh. d. Ch. d. d. d. d Sh Sh Sh Sh Cog h c Arg Sh Cog h( Arg Sh) C. Pág.8

9 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable Inegración definida Acoar la inegral. d uilizando el Teorema del Valor Medio para una inegral definida. La función es esricamene creciene en el inervalo [, ] y por ano el mínimo absoluo m lo alcanza en =, es decir, m análogamene el máimo absoluo M lo alcanza en =, por ano se puede escribir simplificando M d. d Acoar, mediane el eorema de la media para inegrales definidas, e. d. Deerminaremos los eremos absoluos de la función derivable. f e ; la función es Los posibles eremos relaivos serán los valores que anulen f ', ; haciendo f ' e f ' se obiene =/ f(/)= e 4 4 e. Pág.9

10 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable Comparamos con los valores en los eremos del inervalo f e y f e 4 En ese caso me y M e. 4 e. Recordando el eorema de la media para inegrales definidas, podemos escribir b mb a f( d ) Mba a 4 e e. d e. Deerminar el área limiada por las curvas f e, g e., e ); Punos de core e e e ; (Punos,, lim e, lim e lim e, lim e Eremos relaivos: f e ; condición necesaria horizonal en (, /e); g e ; g ' e f ' e, angene, luego angene horizonal en (, ) y en (, 4/e). Con esos daos ya podemos esbozar el dibujo de la curva. Pág.

11 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable 4 Deerminar el área de la región limiada por las curvas f e f, esbozando previamene un dibujo de la misma. f g - +-= - +-= = - -=( --)= de aquí salen las raíces =-, = y = abscisas de los punos de inersección de g, obenemos las ordenadas correspondienes: f y de para =- f g para = f g 5 para = f g Para deerminar la posición de las curvas, damos valores inermedios: para =-/ f / /4, g / 7/8 f esá por debajo de g en el inervalo (-, ) para = f, g f esá por encima de g en el inervalo (, ). Pág.

12 E.T.S.I. Indusriales y Telecomunicación Curso - Tema 5: Inegración de Funciones de una Variable Ver figura. El área vendrá epresada por A= g f d ( ). f g d d ( ). d = unidades de área Se consideran las funciones f y g. Se pide: Hallar el área de la región plana de dimensiones finias, limiada por las gráficas de las funciones g esbozando el dibujo de g. f y f y Deerminamos la inersección de las dos curvas: f ( ) g ( ), Los punos de core son, ) y (,). el área será: f g d=. d = A= ( ) ( ). ( ) ( ).( ) = u.d.s. = Pág.