UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 UNIDD 5: MTRICES Y DETERMINNTES ÍNDICE DE L UNIDD - INTRODUCCIÓN - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES 3- OPERCIONES CON MTRICES 4 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ6 5- MTRIZ INVERS 7 6- RNGO DE UN MTRIZ 8 7- ECUCIONES Y SISTEMS MTRICILES 9 8- PLICCIONES DEL CÁLCULO MTRICIL 0 9- DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD 0- DETERMINNTES DE ORDEN Y 3 - PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES - DETERMINNTES DE ORDEN SUPERIOR3 3- CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS5 4- RNGO DE UN MTRIZ MEDINTE DETERMINNTES6 5- CTIVIDDES 8 6- SOLUCIONES LS CTIVIDDES34 - INTRODUCCIÓN La palabra álgebra proviene del libro l-jabr wa l muqabalah, del maemáico árabe l-jowarizmi (siglo IX) Con dicho nombre se designó en occidene en poseriores siglos a la ciencia que aprendieron del ciado libro El principal objeivo del álgebra clásico fue la resolución de ecuaciones hasa prácicamene la Edad Media con la aparición del libro de l-jowarizmi El Álgebra se exendió hacia Europa a ravés de España se consagró durane los siglos XVI y XVII Maemáicos como Diofano (siglo III), Cardano y Taraglia (siglo XVI), Viea y Descares (siglo XVII), Gauss, Galois, Hamilon, Sylveser y Cauchy (siglo XIX) son los principales impulsores del desarrollo y formalización del Álgebra durane la hisoria Con la unidad que comenzamos comienza un nuevo bloque del curso: Álgebra Lineal, que esá basane relacionado con el úlimo que veremos a final de curso, el bloque de Geomería del espacio diferencia del bloque anerior, ese es mucho más Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

2 mecánico en cuano a sus aplicaciones prácicas y consiuye una poene herramiena de base para esudios poseriores En la siguiene unidad nos enfrenamos a un nuevo concepo que va más allá del campo de los números reales Se raa de las marices, con numerosas aplicaciones en muchos campos de las ciencias - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES Definición : Se llama mariz de dimensión m x n a odo conjuno de m n números a a a n a a a n reales ordenados en filas y columnas de la forma: = a m a m a mn Se designa por al elemeno que ocupa la fila i y columna j Para abreviar, diremos que ( ) M mxn aij Ejemplo : 0 = es una mariz de dimensión x 3 Definición : Dos marices son iguales si ienen la misma dimensión y coinciden elemeno a elemeno Definición 3: Una mariz se llama cuadrada de orden n si iene dimensión n x n, es decir si iene igual número de filas que de columnas En ese caso, al conjuno de elemenos de la forma a se le llama diagonal principal y a los de la forma a ij con i + j = n + se le llama diagonal secundaria ii Ejemplo : B = es una mariz cuadrada de orden siendo su diagonal principal 3 4 ( 4) y su diagonal secundaria ( 3) 0 5 C = 4 7 es una mariz cuadrada de orden 3, su diagonal principal es (- 9) y 4 9 su diagonal secundaria es (5 ) Definición 4: Dada una mariz, se llama mariz opuesa de a la mariz elemenos son los opuesos de los de cuyos Ejemplo 3: La mariz opuesa de la C del ejemplo es 0 5 C = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

3 Definición 5: Dada una mariz, de dimensión m x n, se llama mariz raspuesa de, a la mariz de dimensión n x m que resula de inercambiar filas por columnas en Ejemplo 4: Si = 0 5, enonces, = 5 4 Noa : Es evidene que ( ) Definición 6: Una mariz se llama: = para cualquier mariz a) Mariz fila si iene una sola fila Por ejemplo: = ( 5 8 3) Mariz columna si iene una sola columna Por ejemplo: B = 0 c) Mariz riangular superior si es cuadrada y odos los elemenos siuados por debajo 3 de la diagonal principal son nulos Por ejemplo: C = d) Mariz riangular inferior si es cuadrada y odos los elemenos siuados por encima de 0 0 la diagonal principal son nulos Por ejemplo: D = e) Mariz riangular si es riangular superior o riangular inferior f) Mariz diagonal si es riangular superior e inferior, es decir, si odos los elemenos fuera 0 0 de la diagonal principal son nulos Por ejemplo: E = g) Mariz escalar si es diagonal y odos los érminos de la diagonal principal son iguales 0 0 Por ejemplo: F = h) Mariz idenidad o unidad si es escalar y los escalares son odos unos Sólo exise una para cada orden y se represena por I, siendo n el orden de la mariz Por ejemplo: n I = ( ), I =, I 3 0 0, I = 4 0 = i) Mariz nula o cero si odos sus elemenos son nulos Si son cuadradas se represenan por O n Por ejemplo: O =, O = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

4 j) Mariz simérica si es cuadrada y coincide con su raspuesa, es decir, si = Por ejemplo: G = k) Mariz anisimérica o hemisimérica si es cuadrada y coincide con la opuesa de su 0 raspuesa, es decir, si = Por ejemplo: H = Noa : Es evidene que si una mariz es anisimérica, odos los elemenos de su diagonal principal han de ser nulos Se proponen las acividades y 3- OPERCIONES CON MTRICES Definición 7: Dadas dos marices y B, de la misma dimensión, se llama mariz suma + B a la mariz de la misma dimensión que se obiene sumando los elemenos de y B siuados en la misma fila y columna Ejemplo 5: = Noa 3: Obsérvese que dos marices sólo se pueden sumar si ienen la misma dimensión Noa 4: La resa de dos marices es la suma de la mariz minuendo con la opuesa de B = + B En la prácica se resan los elemenos la mariz susraendo, es decir, ( ) direcamene Proposición : (Propiedades de la suma) La suma aneriormene definida verifica: a) + ( B + C) = ( + B) + C (sociaiva) + O = (Elemeno neuro) + = O (Elemeno simérico) c) ( ) d) + B = B + (Conmuaiva) e) ( ) + B = + B Definición 8: Dada una mariz de dimensión m x n y un número real α, se define la mariz produco de α por como la mariz α de, dimensión m x n, que se obiene al muliplicar α por odos los elemenos de cada uno en su lugar correspondiene Ejemplo 6: 3 6 = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

5 Proposición : (Propiedades del produco por escalar) El produco así definido verifica: a) α ( + B) = α + αb (Disribuiva respeco de la suma de marices) ( α + β) = p + q (Disribuiva respeco de la suma de escalares) c) α ( β) = ( α β) (sociaiva) d) α = α (Conmuaiva) α = α e) ( ) Noa 5: No exise la división de una mariz por un número Nunca se escribe 3, sino 3 Definición 9: Dada una mariz de dimensión m x n y una mariz B de dimensión n x p, se define la mariz produco de por B como la mariz C = B, de dimensión m x p, al que cada elemeno es la suma de los producos de los elemenos de la i-ésima fila de c ij por los de la j-ésima columna de B en el orden usual (de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo) Dicho de ora forma, c = a b + a b + + a b ij i j i j in nj Ejemplo 7: 3 4 ( ) = = ( ) Noa 6: Obsérvese que para que pueda efecuarse el produco B es imprescindible que el número de columnas de coincida con el número de filas de B Si no se cumple eso, ni siquiera exise el produco Proposición 3: (Propiedades del produco de marices) El produco anes definido verifica: a) ( B C) = ( B) C (sociaiva) I = I = (Elemeno neuro) B + C = B + C (Disribuiva) c) ( ) d) ( ) B = B e) B B en general (No conmuaiva) Si se cumple esa propiedad, se dice que y B conmuan f) B = C no implica que B = C (No cancelaiva) g) B = O no implica que = O ó B = O (Divisores de cero) Definición 0: Dada una mariz, cuadrada de orden n, se define la poencia n-ésima n de como el produco de por sí misma n veces, es decir, = (n veces) Ejemplo 8: Si = 0 0, = = 0 0, = = 0 0, Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

6 En general: n 0 n = sin más que efecuar los producos Se proponen las acividades de la 3 a la 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ Definición : Se llaman ransformaciones elemenales por filas en una mariz a las siguienes: a) Inercambiar las filas i y j, que lo escribiremos: Fi F j Susiuir la fila i por el resulado de muliplicarla por un escalar a 0, que lo escribiremos: Fi ' = afi c) Susiuir la fila i por el resulado de sumar los producos de las filas i y j por dos escalares a 0, b 0, que los escribiremos: F ' = F + af i i j Noa 7: Es imporane observar que esas operaciones ambién se exienden a combinaciones lineales enre más de dos filas siempre que el escalar que muliplique a la fila que se cambia no sea nulo Por ejemplo, es válida la ransformación F3 ' = F + F + 5F3, pero no es válida la ransformación: F3 ' = F + F ya que el coeficiene de la fila 3 es nulo (no aparece) Las más habiuales son las del ipo: F ' = F + 3F, que, aunque no es elemenal, si es la combinación de dos elemenales, la b y la c Por ello, la uilizaremos a menudo de la misma forma que si fuese elemenal Noa 8: nálogas ransformaciones se ienen para columnas cambiando F por C Definición : Si una mariz B se obiene de mediane rasformaciones elemenales, se dice que y B son equivalenes y se escribe B Definición 3: Se llama mariz escalonada por filas de una mariz, a cualquier mariz B equivalene a que enga ceros debajo de cada elemeno de la forma b Si además, los elemenos de la forma Ejemplo 9: b son odos, se dice mariz reducida por filas de ii ii 3 F F F ' = F+ F F3 ' = F3 F = F3 ' = F+ F F ' = F = B, que es una reducida por filas de La F3 ' = F mariz del paso anerior a B sería una mariz escalonada por filas de Se propone la acividad 3 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 6

7 5- MTRIZ INVERS Definición 4: Una mariz, cuadrada de orden n, se llama inverible, inversible, regular o no singular si exise ora mariz B, cuadrada de orden n, al que B = B = I En al caso, a la mariz B se le llama mariz inversa de y se designa por se cumple = = I n n, es decir, Noa 9: Es evidene, a parir de la definición, que sólo exise el concepo de mariz inversa para marices cuadradas En las no cuadradas, ni siquiera esá definido Noa 0: La inversa, en caso de exisir, es única Ejemplo 0: La inversa de aplicar la definición 3 5 = 4 8 es 5 / 4 = Para comprobarlo, basa 3 / 4 Proposición 4: (Propiedades de la inversa) Sean y B regulares y del mismo orden Enonces se verifica: a) ( ) = ( ) B = B En esa unidad veremos dos méodos de cálculo para la mariz inversa, aunque el méodo más uilizado lo veremos al final de esa unidad El primero no es aconsejable para marices de orden superior a Noa : (Cálculo de la mariz inversa) MÉTODO ( ravés de la definición): Consise en colocar n incógnias en una mariz genérica, cuadrada de orden n, y resolver el sisema de ecuaciones exigiendo que = I n 3 5 Sean = 4 8 y a b = c d Exigiendo que: 3 5 a b 0 =, obenemos el 4 8 c d 0 3a + 5c = a = 3b + 5d = 0 b = 5 / 4 5 / 4 sisema: Resolviendo: sí pues, = 4a + 8c = 0 c = 3 / 4 4b + 8d = d = 3 / 4 MÉTODO : (De Gauss-Jordan): Consise en ransformar la mariz: ( I n ) equivalene: ( n ) en la mariz I mediane ransformaciones elemenales por filas También se pueden hacer las ransformaciones por separado, es decir, ransformar la mariz en la idenidad mediane ransformaciones elemenales y luego aplicarle esas mismas ransformaciones a la idenidad, con lo que obendremos la inversa de Ejemplo : Calculemos la inversa de 3 = por ese méodo: 5 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

8 F ' = F F ' = 5F 3 F F ' = F+ F F ' = F Por lo ano: = 5 3 Ejemplo : Calculemos la inversa de B = por ese méodo: F ' = 3 F+ F F ' = 3F+ F F ' = 4F3 + F F3 ' = 3F3 F F ' = F F F ' = F / / / B = 3 / / / F ' = F Se propone la acividad 4 6- RNGO DE UN MTRIZ Exisen varias definiciones equivalenes de rango de una mariz que veremos a lo largo de esa y oras unidades cuando dispongamos de los concepos previos necesarios Comenzaremos con la primera relacionada con la mariz reducida Definición 5: Se denomina rango de una mariz y se escribe rg, al número de filas no nulas de una mariz escalonada por filas de nálogamene para columnas Noa : El rango de una mariz no varía cuando esa se somee a ransformaciones elemenales, por ano, los rangos de dos marices equivalenes coinciden sí, se pueden suprimir las filas o columnas nulas y las que sean combinación lineal de oras para deerminar el rango Noa 3: Si una mariz es de dimensión m x n, su rango no puede ser mayor que m ni mayor que n sí, el rango de una mariz cuadrada de orden n es siempre menor o igual a n Evidenemene ambién es posiivo por definición Noa 4: Es evidene, a parir de la definición, que el rango de una mariz coincide siempre con el de su raspuesa Noa 5: Es ambién lógico y evidene que el rango por filas y por columnas coincide, por lo que podemos hacerlo escalonando por filas o por columnas Proposición 5: (Condición de exisencia de inversa) Una mariz cuadrada de orden n iene inversa, si y solo si, su rango es máximo, es decir, si su rango es n Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

9 Ejemplo 3: Ejemplo 4: F ' = F + F F3 ' = F3 + F = F3 ' = 9F F Por ano rg F ' = F + F F3 ' = F + F3 B = F3 ' = 3F + F = Luego rg 3 B = Se propone la acividad 5 7- ECUCIONES Y SISTEMS MTRICILES Definición 6: Se llama ecuación/sisema maricial a oda ecuación/sisema en el que la/s incógnias sean marices Por ejemplo: X = B y X Y = C, siendo, B, C, 5X + 6Y = D D, X e Y marices Sólo analizaremos algunos casos concreos sencillos de ecuaciones y sisemas lineales que nos proporcionarán las herramienas básicas para los demás casos que se nos presenen demás, en algunos casos, al final de la unidad dispondremos de herramienas de cálculo más poenes (deerminanes) para resolverlas CSO : La ecuación lineal general X = B Si la mariz es inverible, la ecuación es equivalene a X = B X = B y, por ano En caso de que no sea inverible, o que ni siquiera sea cuadrada, se resuelve considerando la mariz incógnia X como una mariz genérica de m n incógnias y resolviendo el sisema lineal de ecuaciones Es imporane recordar que el produco de marices no es conmuaivo, por lo que no debemos olvidar que no es lo mismo muliplicar a derecha que a izquierda sí, si la ecuación fuese X = B, la solución sería X = B siempre que sea inverible Ejemplo 5: Resolvamos la ecuación X + B = C, siendo =, B = y C = Es evidene que la ecuación es equivalene a X C B 4 0 = Para despejar X, vemos primero si es inverible Un simple cálculo nos lleva a que lo es, 3 siendo = sí pues, según lo viso X = ( C B) Sin más que susiuir y calcular, se iene que X = 6 3 ax + by = CSO : El sisema lineal general cx + dy = B Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 9

10 Ese ipo de sisema se resuelve uilizando los mismos méodos (susiución, igualación y reducción) que en los sisemas numéricos con la salvedad de que no exise la división de una mariz por un número (ver noa 5) 5 X + Y = 0 3 Ejemplo 6: Resolvamos el sisema maricial: Por comodidad, 3 X 3Y = 4 X + Y = llamamos y B a los érminos independienes, con lo que queda: X 3Y = B ( ) X + Y = X 4Y = Si aplicamos el méodo de reducción: X 3Y = B X 3Y = B Sumando ambas ecuaciones queda: 7Y = B, con lo que Y = ( B) 7 Susiuyendo en la primera ecuación, operando y despejando X, se obiene: 8 / 7 9 / 7 3 / 7 3 / 7 X = ( 3 + B), con lo que la solución es: X =, Y = 7 8 / 7 3 / 7 4 / 7 4 / 7 Se proponen las acividades 6 y 7 8- PLICCIONES DEL CÁLCULO MTRICIL Exisen numerosas siuaciones reales en las que el cálculo maricial iene gran uilidad (Sociología, Transpore, Teoría de Grafos,) Veamos uno de esos ejemplos: Ejemplo 7: Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: y B, en res erminaciones: N, L y S Produce del modelo : 400 unidades en la erminación N, 00 unidades en la L y 50 en la S Produce del modelo B: 300 unidades en la erminación N, 00 unidades en la L y 30 en la S La erminación N lleva 5 horas de aller y hora de adminisración La erminación L lleva 30 horas de aller y, horas de adminisración La erminación S lleva 33 horas de aller y,3 horas de adminisración Calculemos, uilizando cálculo maricial, una mariz que represene las horas de aller y adminisración para cada uno de los modelos La mariz P =, represena la canidad de lavadoras para cada modelo y erminación 5 La mariz H = 30,, represena la canidad de horas de aller y adminisración para 33,3 cada erminación sí pues, la mariz P H = 30, = ,3 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 0

11 Esa mariz represenará las horas de aller (ª columna) y adminisración (ª columna) para cada modelo (ª fila) y B (ª fila) Se proponen las acividades 8 y 9 9- DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD Definición 7: Llamamos permuación de un conjuno a cada posible ordenación de los elemenos del conjuno en función de una ordenación de parida a la que se llama permuación principal Cada dos elemenos colocados en orden conrario al de la permuación principal, se dice que esán en inversión Se llama índice de una permuación al número de inversiones que iene Diremos que una permuación es par si iene índice par e impar si iene índice impar Noa 6: Es inmediao ver que si un conjuno iene n elemenos, exisen n! permuaciones del conjuno Ejemplo 8: Consideremos el conjuno = {,, 3} En el siguiene cuadro se pueden ver odas las permuaciones y su paridad: Permuación (,, 3) (, 3, ) (,, 3) (, 3, ) (3,, ) (3,, ) Nº de inversiones 0 3 Paridad Par Impar Impar Par Par Impar Definición 8: Dada una mariz, cuadrada de dimensión n, llamamos deerminane de, a la suma de odos los producos de n facores que se pueden efecuar omando un único elemeno de cada fila y un único elemeno de cada columna, precedido por un signo que es posiivo si la permuación correspondiene a los subíndices de las columnas es par y negaivo si es impar, una vez puesos los subíndices de las filas en el orden naural de o bien de la permuación principal El deerminane de se escribe: ( ) Noa 7: Lo primero que hemos de observar es que el deerminane de una mariz es un número real y que únicamene exise cuando la mariz es cuadrada 0- DETERMINNTES DE ORDEN Y 3 La definición anerior correspondiene al concepo de deerminane apenas se uiliza en la prácica debido a su complejidad Durane los siguienes punos veremos méodos más efecivos en la prácica Vamos a comenzar con reglas prácicas para calcular deerminanes de orden y 3 que son los más uilizados Noa 8: (Cálculo de deerminanes de orden ) El deerminane de una mariz cuadrada de orden es: Ejemplo 9: a a a a = a a a a a) 3 5 = 5 6 = sen x cos x cos x sen x = + = sen x cos x Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

12 Noa 9: (Cálculo de deerminanes de orden 3 Regla de Sarrus) El deerminane de una mariz cuadrada de orden 3 es: a a a 3 a a a = a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a = a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Esa úlima expresión se puede recordar fácilmene con la llamada regla de Sarrus, que gráficamene se puede inerprear con el siguiene diagrama: Ejemplo 0: 3 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 = = 6 = = Se proponen las acividades 0, y - PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Proposición 6: (Propiedades de los deerminanes) Para marices cuadras se cumple: a) = Es decir, el deerminane de una mariz y el de su raspuesa coinciden Si odos los elemenos de una línea de son nulos, enonces, = 0 c) Si inercambiamos enre sí dos líneas paralelas de una mariz, el deerminane cambia de signo d) Si una mariz iene dos líneas iguales o proporcionales, su deerminane es cero e) Si una línea es combinación lineal de oras paralelas, el deerminane es cero f) Si se muliplican los elemenos de una línea por un número, el deerminane queda muliplicado por ese número, es decir, si B es la mariz que resula de muliplicar por, enonces B = g) Si se muliplica una mariz, de dimensión n, por un número, su deerminane queda n n muliplicado por, es decir, = h) Si odos los elemenos de una línea de un deerminane (por ejemplo la j-ésima) son de la forma a ij = b ij + c ij, enonces el deerminane es igual a la suma de dos deerminanes, cuyas columnas coinciden con las del deerminane dado, excepo la j-ésima que lleva respecivamene cada uno de los dos sumandos Eso es: a b + c a a b a a c a j j n j n j n = + a b + c a a b a a c a n n j n j n n n n j n n n n j n n i) Si a una línea se le suma una línea proporcional o una combinación lineal de oras paralelas, el deerminane no varía Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

13 j) El deerminane del produco de marices cuadradas es el produco de los deerminanes, es decir, B = B k) En general, la propiedad anerior no es ciera para la suma, es decir, ± B ± B Noa 0: Conviene recordar el efeco que provocan las ransformaciones elemenales por filas (o columnas) en un deerminane y que se deducen de las propiedades aneriores (c, f e i): a) Inercambiar las filas i y j, que lo escribiremos: Fi F j Cambia el signo del deerminane Susiuir la fila i por el resulado de muliplicarla por un escalar a 0, que lo escribiremos: F ' = af El deerminane queda muliplicado por a i i c) Sumar a la fila i una combinación lineal de las demás filas: F ' = F ± af ± bf ± El deerminane no varía i i j k Noa : Es muy imporane observar que, mienras para el cálculo del rango la propia fila cambiada podría ir muliplicada por cualquier número no nulo en la combinación lineal, en el caso del deerminane, dicho escalar debe ser ya que al muliplicar una fila por un número disino de, el deerminane queda muliplicado por dicho número Se propone la acividad 3 - DETERMINNTES DE ORDEN SUPERIOR Definición 9: Sea una mariz cuadrada de dimensión n Se llama menor complemenario del elemeno a al deerminane de la mariz de dimensión n- que se ij obiene eliminando de la fila i-ésima y la columna j-ésima dicho menor complemenario lo represenaremos por α ij Definición 0: En las condiciones α de la definición anerior, llamamos adjuno del elemeno i + = j la mariz de el mismo orden que formada por a al número ( ) ij ij ij odos los adjunos de los elemenos de siuados en el mismo lugar se le llama mariz adjuna de y se represena por dj 3 Ejemplo : Vamos a hallar la mariz adjuna de = : Para ello, calculamos los elemenos adjunos de cada uno de los de la mariz : ( ) ( ) ( ) ( ) + + = = = = + + = 3 = 3 = = sí pues, dj = 3 Ejemplo : Vamos a hallar la mariz adjuna de 0 B = 3 Los adjunos son: Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

14 B = ( ) = 9 B = ( ) = 4 B3 = ( ) = B = ( ) = B = ( ) = 3 B3 = ( ) = B3 = ( ) = 6 B3 = ( ) = 5 B33 = ( ) = sí pues, la mariz adjuna de B será: djb = Como hemos comenado anes, el cálculo de deerminanes a ravés de la definición es sumamene complejo a medida que el orden se incremena Por ello, hemos viso reglas prácicas para los casos de orden y 3 Tales reglas no son fácilmene exensibles para órdenes superiores a 3 por lo que vamos a buscar un méodo alernaivo uilizando lo que se llama desarrollo de un deerminane por los elemenos de una línea que vamos a describir a ravés de la siguiene proposición Proposición 7: (Cálculo de deerminanes de orden superior a 3) Sea una mariz de orden n Enonces, su deerminane es igual a la suma de los producos de los elemenos de una línea cualquiera por sus adjunos respecivos, es decir, = a + a + + a (si desarrollam os por la f ila i-ésim a) o bien: i i i i in in = a + a + + a (si desarrollam os por la co lum na j-ésim a) j j j j nj nj Ejemplo 3: Calculemos el valor del deerminane de orden 4 siguiene: C = = = ( 9 ) = Noa : Conviene hacer las siguienes observaciones en relación a la proposición 6: a) Es evidene que el valor del deerminane no depende de la línea uilizada Combinando la proposición 6 con la proposición 5 (i), podemos hacer ceros en una fila o columna de la mariz anes de desarrollar y ahorrarnos basanes cálculos eso se le conoce con el nombre de Méodo de Chío Veamos eso uilizando el mismo ejemplo pero haciendo ceros anes de desarrollar: ' ' 0 9 C = C C 0 9 C = C 3 C F = = = = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

15 Noa 3: (Cálculo de deerminanes por riangulación) Una exensión del méodo de Chío consise en riangularizar la mariz uilizando la misma propiedad, con lo que el deerminane se facilia basane (aunque hay que hacer más ceros) Veamos un ejemplo: Ejemplo 4: ' F = F + F ' ' F3 = F + F3 F3 = 3F + F = = = = ' ' F F3 F3 = F + F4 F F3 F4 = 3F + F ' 0 6 F = F F 6 = = 4 C C 9 C = 0 9 = ( ) = ( ) 4 = parir de ese ejemplo es muy fácil enender la siguiene proposición: Proposición 8: El deerminane de una mariz riangular es el produco de los elemenos de la diagonal principal Evidenemene el resulado ambién es válido para una mariz diagonal 0 0 Ejemplo 5: ( ) 7 0 = 3 = Se propone la acividad 4 3- CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS Proposición 9: (Cálculo de la mariz inversa) Una mariz cuadrada es inverible si y solo si su deerminane es disino de cero demás, en al caso, la inversa de la mariz viene dada por la expresión: = ( ) dj Noa 4: Es evidene, a parir de la proposición 5 (j), que = Ejemplo 6: Vamos a calcular las marices inversas en dos casos: 7 a) = 3 Es fácil ver que: = plicando la fórmula: = = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

16 4 0 B = 3 Es fácil ver que: B = 0 B Calculando la mariz adjuna y aplicando la fórmula: B = 0 / 0 / = 5 / 5 / Noa 5: Es curioso observar como en el caso de una mariz de orden, la mariz ( dj ) es la que resula de cambiar de siio los elemenos de la diagonal principal y de signo los de la diagonal secundaria Se proponen las acividades 5 y 6 4- RNGO DE UN MTRIZ MEDINTE DETERMINNTES Definición : Se llama menor de orden de una mariz cualquier deerminane de orden k formado por k filas y k columnas de Definición : Se llama rango de una mariz al orden del mayor menor no nulo de Noa 6: Evidenemene, el rango definido ahora por menores y el definido con la mariz reducida (definición 5) siempre coinciden Proposición 0: Si es una mariz de dimensión mxn, su rango es menor o igual a m y menor o igual a n Es decir, el rango de una mariz nunca puede superar ni al número de filas ni al número de columnas de la mariz Para deerminar el rango de una mariz uilizando menores exisen básicamene dos méodos, cada una de ellas con sus venajas e inconvenienes Vamos a describirlas brevemene y haremos un ejemplo de cada una Méodo : Consise en buscar menores no nulos del mayor orden posible, es decir, comenzar por los menores más grandes de o Venajas: Si enconramos un menor no nulo prono, se ermina rápidamene Suele ser el más rápido para marices cuyo rango no puede ser mayor a 3 o Inconvenienes: Si el rango es pequeño, odos los menores grandes van a ser nulo, con lo que hemos de seguir calculando menores demás, si la mariz es de orden elevado, el cálculo de los deerminanes es laborioso Méodo : (Orlado) Consise en lo conrario a la esraegia anerior, es decir, comenzar por los menores más pequeños e irlos Orlando (añadiendo filas y columnas) a parir de un menor no nulo de orden Se uiliza la propiedad de que si odos los deerminanes que resulan de orlar el de parida con una fila o columna son nulos, enonces esa fila o columna es combinación lineal de ora/as y, por ano, para calcular el rango, se puede suprimir o Venajas: Se pare de menores sencillos de calcular, además, al ir suprimiendo filas o columnas, el rango de las marices que se obienen es más sencillo que Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 6

17 o el de la mariz de parida Por ello, suele ser aconsejable para marices cuyo rango puede ser mayor a 3 Inconvenienes: Si el rango es grande, no se suprimen filas o columnas por lo que hacemos basanes cálculos con los menores Veamos ahora un ejemplo de cada caso: 0 Ejemplo 7: Hallemos el rango de la mariz = 7 4 uilizando el primer méodo: Lo primero es hacer el mayor menor posible, que es = = 0 No ha habido suere Tenemos que seguir con uno de orden, por ejemplo: pues, concluimos que rg = 0 = 4 0 sí Ejemplo 8: Hallemos ahora orlando el rango de B = Elegimos un Orlando con las fila y columna : = 0 4 menor de orden : = 0 Orlamos: Orlando con la fila 3 y la columna : = sí pues, concluimos que la ª columna depende linealmene de la ª sí pues: 4 4 rgb = rg 9 = ya que = Ejemplo 9: Hallemos el rango de en función de los valores de un parámero m: = m 3 5 m hora bien, Lo primero que es claro es que rg, ya que 0 3 = Fácil Fácil m m m ó m = 3 8 = 0 = 4 = 7 sí pues, podemos concluir: Caso : Si m 4 y m 7 0 rg = 3 Caso : Si m = 4 = 0 rg = (ya que no hay oro valor posible) Caso 3: Si m = 7 = 0 rg = (ya que no hay oro valor posible) Se proponen las acividades 7 y 8 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

18 5- CTIVIDDES CTIVIDDES INTERCLDS EN L TEORÍ cividad : Escribe un ejemplo de cada ipo de mariz visa en la definición 6 cividad : Deermina las marices raspuesas de: = 5 y B = cividad 3: Calcula a, b, c, y d para que se cumpla la siguiene idenidad enre marices: a b a 7 5 a + b = + c d 3d c + d 4 cividad 4: Dadas las marices: 4 0 =, B = y C = 0 3 3, calcula: a) + B B C c) 3 + 5B 6C d) B BC e) B + 3C 5BC cividad 5: Para las marices 4 = 3 y B =, calcula B y B cividad 6: Calcula los producos posibles de dos facores, sin repeir, de las marices: 3 =, 0 B = y 0 C = cividad 7: Si y B son dos marices cuadradas de orden n, son cieras, en general, las igualdades siguienes? + B = + B + B a) ( ) B = B + B ( ) c) ( + B)( B) = B cividad 8: Sea una mariz de dimensión x 3 : a) Exise una mariz B al que B sea una mariz de una sola fila? Y para B? 0 0 Pon un ejemplo para cada caso, siendo: = 0 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

19 cividad 9: Sea una mariz de orden mxn con m n Razona si se puede calcular la expresión cividad 0: Si es una mariz al que y B I = =, demuesra que B = I cividad : Dadas las marices: 3 3 = 4 3 y B = 0, calcula B 0 cividad : Para la mariz = 0, calcula y Encuenra los valores de a y a 0 b para que la mariz conmue con la mariz b cividad 3: Reduce por filas las marices: a) = B = c) C = cividad 4: Calcula las inversas de las marices = y B = uilizando el méodo de Gauss-Jordan Comprueba después que los resulados son correcos uilizando la definición 3 5 cividad 5: Deermina el rango de las marices: = y B = cividad 6: Resuelve las ecuaciones mariciales siguienes: a) = X + B, siendo X + X = B, siendo 0 = y B = = 0 0 y B = 3 cividad 7: Resuelve los siguienes sisemas mariciales: a) 5 X 3Y = 4 0 X Y = 3 6 X + Y = X Y = 0 3 X + Y = 0 c) 0 X + Y = 4 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 9

20 cividad 8: En un edificio hay res ipos de viviendas: L3, L4 y L5 Las viviendas L3 ienen 4 venanas pequeñas y 3 grandes; las L4 ienen 5 venanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes Cada venana pequeña iene crisales y 4 bisagras, y las grandes, 4 crisales y 6 bisagras a) Escribe una mariz que describa el número y amaño de venanas de cada vivienda y ora B que exprese el número de crisales y bisagras de cada ipo de venana Calcula la mariz C que expresa el número de crisales y de bisagras de cada ipo de vivienda cividad 9: Un indusrial fabrica dos ipos de bombillas: ransparenes (T) y opacas (O) De cada ipo se hacen cuaro modelos: M, M, M 3 y M 4 La siguiene abla muesra la producción semanal de bombillas de cada ipo y modelo T O M M M M El porcenaje de bombillas defecuosas es el % en el modelo M, el 5% en el M, el 8% en el M 3 y el 0% en el M 4 Calcula la mariz que expresa el número de bombillas ransparenes y opacas, buenas y defecuosas, que se producen cividad 0: Halla el valor de los siguienes deerminanes de orden y 3: a) c) 5 d) 0 e) cividad : Calcula los deerminanes de las siguienes marices: 0 3 a m 3 m+ 0 a) c) a d) e) 0 m a 5 3 m 0 m+ cividad : Resuelve las ecuaciones: a) 3 x 3 = 0 4 x 7 x 0 x = 4 0 x c) + x x x + x = x x d) x x = 0 x y z cividad 3: Sabiendo que = 7, halla, sin desarrollar, el valor de: a) 3x 3y 3z x 5y 5z 0 3 / 5 x y z c) x + 5 y z + 3 x + y + z + Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 0

21 cividad 4: Calcula los deerminanes: a) c) x x x x x d) x x x cividad 5: Halla las inversas de las siguienes marices: 3 a) 3 3 = B = c) C = cividad 6: Para qué valores de k la mariz k 6 k no iene inversa? cividad 7: Calcula el rango de las siguienes marices: 3 6 a) 3 = B = cividad 8: Deermina el rango de las siguienes marices en según los valores de a: a) 3 = 7 a B = a CTIVIDDES DE DESRROLLO cividad 9: Sean y B dos marices regulares Es regular el produco B? cividad 30: Se dice que una mariz es idempoene si a) Debe ser cuadrada? Es la idenidad idempoene? n c) Calcula,, Cuáno vale para cualquier n? d) Demuesra que la inversa de I es ella misma = Sea idempoene cividad 3: Sea una mariz cuadrada Demuesra que ano siméricas + como son cividad 3: Demuesra que si es una mariz anisimérica, enonces y 4 son siméricas mienras que 3 y 5 son anisiméricas cividad 33: Sean y B dos marices siméricas Demuesra que B es simérica si y solo si y B conmuan Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

22 cividad 34: Deermina los valores de m para los cuales X X + I = O 5 cividad 35: Dada la mariz 4 5 = 3 4, calcula ,,, m 0 X = 0 verifique cividad 36: Comprueba que I =, siendo: de orden 3 Uiliza esa igualdad para calcular = 4 4 e I la mariz unidad cividad 37: Deermina a y b de forma que la mariz = a b verifique = 5 0 a b 0 cividad 38: Sean las marices dadas por: = 5 0 B = c c 0 Encuenra las condiciones que deben cumplir a, b y c para que y B conmuen 3 cividad 39: Dadas las marices: = y B = 3, calcula: a) ( ) + B ( B ) c) cividad 40: Obén la mariz inversa de +, siendo = cividad 4: Deermina las marices y B, sabiendo que: + B = 4, B = 0 0 / 7 / 7 n n 0 cividad 4: Calcula y B siendo: = 0 0, B = cividad 43: Deermina las marices y B que son solución del siguiene sisema maricial: 3 B = 5 9 0, + B = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página

23 cividad 44: Dada la mariz + m + ni = O =, halla dos números reales m y n ales que cividad 45: Dada = / 0 0 : / 0 0 a) Calcula + Resuelve el sisema: 5 x 0 y = 5 z x z cividad 46: Sean las marices = x, B =, C = z y D 0 y = x z / 3 a) Sabiendo que B + C = 3D, planea un sisema de ecuaciones para deerminar x, y, z Encuenra, si es posible, una solución cividad 47: Calcula, si exisen, las marices inversas de las siguienes marices uilizando el méodo de Gauss-Jordan: 0 a) c) d) cividad 48: Calcula la mariz B B, siendo = y B = cividad 49: En una academia de idiomas se impare inglés y alemán en cuaro niveles y dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos La mariz = expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas, a los niveles primero, segundo, ercero y cuaro, respecivamene Las columnas de la mariz B = reflejan el porcenaje de esudianes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cada uno de los niveles a) Obén la mariz que proporciona el número de esudianes por modalidad e idioma Sabiendo que la academia cobra 8 por persona en los grupos reducidos y por persona en los grupos normales, halla los ingresos de la academia por cada idioma uilizando marices Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

24 cividad 50: Tres escriores presenan a un edior, al acabar una enciclopedia, la minua que se recoge en la abla: Horas de rabajo Conferencias dadas Viajes Escrior Escrior B Escrior C El edior paga la hora de rabajo a 45, la conferencia a 8 y el viaje a 30 Si sólo piensa pagar, respecivamene, el 30%, el 0% y el 0% de lo que correspondería a cada escrior, qué gaso endría el edior? (hacer el ejercicio mediane cálculo con marices) cividad 5: Una compañía de muebles fabrica buacas, mecedoras y sillas, y cada una de ellas en res modelos: E (económico), M (medio) y L (lujo) Cada mes produce 0 modelos E, 5 M y 0 L de buacas; modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 8 modelos E, 0 M y L de sillas Represena esa información en una mariz y calcula maricialmene la producción anual cividad 5: Calcula el deerminane dando el resulado facorizado: a b c x y z x y z cividad 53: Sabiendo que p q r = 7, calcula el valor de los deerminanes: x y z a) c a b r p q z x y 3a 3b 3c a+ p b+ q c+ r x+ a y+ b z+ c c) a+ x b+ y c+ z p q r x + p y + q z + r d) b c + b 5a q r + q 5p y z + y 5x cividad 54: Deermina el valor de x para el cual el deerminane de la mariz B vale x 3 60, siendo B = x + 4 x x cividad 55: Calcula facorizado a ab ab ab a b ab b a sin uilizar la regla de Sarrus y dando el resulado cividad 56: Sea B una mariz cuadrada de orden 3 Jusifica si las siguienes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si Si c) Si rgb rg() B = = 3 rgb 3 rg() B 3 = = rgb 3 rg() B 3 = = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

25 a a a cividad 57: Obén, en función de a, b y c, el valor del deerminane a + b a a a a + c a cividad 58: a) La mariz verifica = Halla los posibles valores del deerminane de La mariz verifica = I Halla los posibles valores del deerminane de cividad 59: Sean C, C, C3 y C4 las columnas de un deerminane que vale 3 Cuáno vale el deerminane que iene por columnas C C, C3, C, C4? cividad 60: Sea una mariz cuadrada regular de orden n y sea dj su mariz adjuna Halla el valor de dj en función de cividad 6: Sean y B marices cuadradas de orden 3, inversas una de la ora Si 4 =, cuáno vale B? Y 3? a b c cividad 6: Si d e f = 3, calcula, sin desarrollar: g h i i g h f + c d + a e + b 3c 3a 3b cividad 63: Si es una mariz cuadrada de orden n al que =, calcula: MM, 5 y cividad 64: Calcula la mariz inversa de las siguienes marices: a) c) d) a 0 cividad 65: Para la mariz = 0, halla el valor o valores de a para los que la a 0 mariz no iene inversa Halla para a = = 4 cividad 66: Si es la mariz, calcula la mariz B ( ) deerminane de la mariz ( ) 76 cividad 67: Dada B = = 0, calcula, si es posible: 6 0 a) Una mariz X al que X = ( 0 ) Una mariz Y al que = Halla el 0 Y = 0 0 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

26 cividad 68: Resuelve maricialmene la ecuación: 0 5 x 3 4 y + = z cividad 69: Calcula el rango de las siguienes marices: = 3 0 B = cividad 70: Calcula el rango de las siguienes marices en función del parámero: α β λ λ α β 3 a) = B = 0 + c) C = α 4 0 λ CTIVIDDES DE SELECTIVIDD cividad 7: (003) Considera las marices: = m 0, B= 0 0, C= a) Para qué valores de m iene solución la ecuación maricial X + B = 3C? Resuelve la ecuación maricial dada por m = cividad 7: (003) a) Se sabe que el deerminane de una mariz cuadrada de orden 3 vale - Cuáno vale el deerminane de λla mariz 4? 0 Dada la mariz B = 0, para qué valores de λ la mariz 3B + B no iene 0 inversa? cividad 73: (003) Dada las marices: = 3 0 y B =, halla la mariz X que cumple que ( X = B ) cividad 74: (003) Dada la mariz, se pide: m 0 = m a) Deermina los valores de m para los que la mariz iene inversa Calcula, si es posible, la mariz inversa de para m = Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 6

27 cividad 75: (003) Sean C, C y C las columnas primera, segunda y ercera, 3 respecivamene, de una mariz cuadrada de orden 3 cuyo deerminane vale 5 Calcula, indicando las propiedades que uilices: 3 a) El deerminane de El deerminane de c) El deerminane de d) El deerminane de una mariz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y ercera son, respecivamene, 3 C C 3, C 3 y C x 0 0 cividad 76: (003) Considera la mariz ( ) M x = 0 x, donde x es un número real 0 0 a) Para qué valores de x exise ( M ( x) )? Para los valores de x obenidos, calcula la ( ) mariz M ( x) Resuelve, si es posible, la ecuación M ( 3 ) M ( x ) = M ( 5) x y z cividad 77: (004) Sabiendo que u v = 6, calcula, indicando las propiedades a b c que uilices, los siguienes deerminanes: 3x y z x y z a) 3 u v 3a b c cividad 78: (004) Denoamos por u v a b c c) M la raspuesa de una mariz M x y z u v x a y b x c a b a) Sabiendo que = y que de ( ) = 4, calcula los siguienes deerminanes: c d b a de ( 3 ) y 3d 3c Sea I la mariz idenidad de orden 3 y sea B una mariz cuadrada al que 3 B = I Calcula de ( B ) c) Sea C una mariz cuadrada al que C = C Puede ser de ( C ) = 3? Razona la respuesa a a a cividad 79: (004) Se sabe que 3 a a a 3 a a a que uilices, los siguienes deerminanes: 3a 3a 5a 3a 3a 3a a) 3 a a a 3 a a a a a a 3 a a a = Calcula, indicando las propiedades c) a a a 3 a a a a a a a a a Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

28 0 0 0 cividad 80: (004) Considera las marices: =, B = 0 y C 0 0 = a) Calcula B, C, B y C, siendo, B y C las marices raspuesas de, B y C, respecivamene Razona cuáles de las marices, B, C y B iene mariz inversa y en los casos que la respuesa sea afirmaiva, halla la correspondiene mariz inversa cividad 8: (005) Sean las marices: =, B = y C = a) Tiene inversa? En caso afirmaivo, calcúlala Deermina la mariz X que cumple que X + C B = B B iene mariz inversa y en los casos que la respuesa sea afirmaiva, halla la correspondiene mariz inversa cividad 8: (005) Halla la mariz X que cumple que 0 0 X B =, 0 0 siendo 3 5 = y B = cividad 83: (005) Sea I la mariz idenidad de orden 3 y sea = 0 b a) Deermina el valor de b para que + I = O Para b = halla la mariz X que cumple que X = O, donde denoa la raspuesa de la mariz cividad 84: (005) Sea I la mariz idenidad de orden y sea = a) Halla los valores de x para los que la mariz xi no iene inversa Halla los valores de a y b para los que a + bi = O a b c cividad 85: (005) Sabiendo que = d e f =, calcula, indicando las propiedades g h i que uilices, los siguienes deerminanes: c b a a) 3 y f c d i h g cividad 86: (006) Resuelve B X = C siendo =, B = y C = c) a b a c d e d f g h g i B la mariz raspuesa de B y Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

29 cividad 87: (006) Considera a =, siendo a un número real 0 a a) Calcula el valor de a para que: = 0 0 Calcula, en función de a, los deerminanes de y siendo la raspuesa de c) Exise algún valor de a para el que la mariz sea simérica? Razona la respuesa 4 cividad 88: (006) Sea = y sea I la mariz idenidad de orden dos 3 λi a) Calcula los valores de λ ales que = 0 Calcula 7 + 0I 3 B y C = = = 6 6 cividad 89: (006) Considera las marices, ( ) a) Halla, si exise, la mariz inversa de B + C x x Calcula, si exisen, los números reales x e y que verifican: C = 3 y y cividad 90: (007) Sea I la mariz idenidad de orden dos y m = a) Encuenra los valores de m para los cuales se cumple que ( I ) = O Para m =, halla la mariz X al que X = O donde denoa la mariz raspuesa de cividad 9: (007) Considera la mariz = λ a) Deermina la mariz B = Deermina los valores λ de λ para los que la mariz B iene inversa c) Calcula B para = α 0 cividad 9: (007) Considera las marices = y B = 3 a) Deermina los valores de α para los que la mariz iene inversa Para α =, calcula y resuelve la ecuación maricial X = B cividad 93: (007) a) Calcula el valor de m para el que la mariz deermina para dicho valor de m 0 = m verifica la relación = I y Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 9

30 Si M es una mariz cuadrada que verifica la relación M M = I deermina la expresión de M en función de M y de I λ 3 0 λ cividad 94: (007) Sea la mariz = 5 5 e I la mariz idenidad de orden 3 λ 0 3 a) Calcula los valores de λ para los que el deerminane de I Calcula la mariz inversa de I para λ = es cero 0 0 cividad 95: (008) Dadas las marices = 0 0, B = 0 y C = T T Calcula la mariz P que verifica P B = C ( C es la raspuesa de C) 0 cividad 96: (008) Sea I la mariz idenidad de orden 3 y = 0 3 Calcula, si exise, el valor de k para el cual ( ki ) es la mariz nula 0 cividad 97: (008) Dada las marices = y B = 0 4 a) Calcula, si exisen, la mariz inversa de y la de B Resuelve la ecuación maricial X + B = + I donde I denoa la mariz idenidad de orden 3 3 k cividad 98: (008) Dada la mariz = k 3 7 k a) Esudia el rango de en función de los valores del parámero k Para k = 0, halla la mariz inversa de cividad 99: (009) Sean, B, C y X marices cualesquiera que verifican BC = X a) Si las marices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el deerminane de es 3, el de B es - y el de C es 6, calcula el deerminane de las marices X y X 0 3 Si, B = = y C = calcula la mariz X cividad 00: (009) Sean las marices =, B y C = Deermina X para que: X B = C ( B es la mariz raspuesa de B) Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 30

31 cividad 0: (009) Sean F, F, F3 las filas primera, segunda y ercera, respecivamene, de una mariz cuadrada B de orden 3 cuyo deerminane vale - Calcula, indicando las propiedades que uilices: a) El deerminane de B El deerminane de ( B ) 4 ( B es la mariz raspuesa de B ) c) El deerminane de B d) El deerminane de una mariz cuadrada cuyas filas primera, segunda y ercera son, respecivamene: 3 F F3, 3 F3, F cividad 0: (009) Dada las marices = y B = 4 a) Calcula si exise la mariz inversa de Calcula las marices X e Y que saisfacen las ecuaciones X = + B y Y = + B 3 cividad 03: (009) Se consideran las marices = y B = ky es un número consane e I es la mariz idenidad de orden, donde k a) Deermina los valores de k para los que B no iene inversa Calcula B para k = c) Deermina los valores consanes de α y β para los que se cumple α βi + = cividad 04: (00) Sean las marices = 0 m 3, B = 3 y C = 3 4 m a) Indica los valores de m para los es inverible Resuelve la ecuación maricial X B = C para m = 0 ( B es la raspuesa de B) 3 0 cividad 05: (00) Considera las siguienes marices = y B = 0 a) Calcula Resuelve la ecuación maricial X B = I, donde I es la mariz idenidad de orden y es la mariz raspuesa de cividad 06: (00) Obén un vecor no nulo v ( a, b, c ) siguienes engan simuláneamene rango = de manera que las marices a 0 a = 0 b y B = 0 b c 3 c cividad 07: (00) Sea la mariz 5 4 = 4 4 Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

32 a) Comprueba que se verifica = I Calcula (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del aparado (a)) cividad 08: (00) Sean las marices Calcula la mariz X que cumpla XB = C =, B = 0 y C = 0 0 cividad 09: (00) De la mariz a b = c d se sabe que el de() = 4 Se pide: a) Halla de( 3) Calcula de() y c) Si B es una mariz cuadrada al que b a de Indica las propiedades que uilizas 3d 3c 3 B cividad 0: (0) Considera las marices = I, siendo I la mariz idenidad, halla el de()b λ y B = 0 = λ 0 0 a) Hay algún valor λ de para el que no iene inversa? Para λ =, resuelve la ecuación maricial X = B α α cividad : (0) Dadas las marices = α a) Calcula el rango de dependiendo de los valores de α Para α =, resuelve la ecuación maricial X = B y 0 B = cividad : (0) Sean las marices α = α 3 y B 3 = 4 a) Calcula los valores de α para los que la mariz inversa de es Para α = 3, deermina la mariz X que verifica la ecuación X = B, siendo mariz raspuesa de la cividad 3: (0) Sean y B dos marices que verifican: B=, B= 3 a) Halla las marices ( + B)( B) y B Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

33 Resuelve la ecuación maricial ( ) orden y ( ) + B es la mariz raspuesa de ( + B) λ 3 0 λ cividad 4: (0) Sea la mariz = 5 5 λ 0 3 X XB + B = I, siendo I la mariz idenidad de a) Deermina los valores de λ para los que la mariz I mariz idenidad de orden 3 Para λ =, resuelve la ecuación maricial X = X + I iene inversa, siendo I la cividad 5: (0) Dada la mariz = a) Demuesra que + = I y que = + I, siendo I la idenidad de orden Calcula la mariz X que verifica la ecuación + X + 5 = 4 I cividad 6: (0) Sean y B dos marices cuadradas de orden 3 cuyos deerminanes son = y B = Halla: 3 a) c) d) B e) rgb cividad 7: (0) Dada la mariz = a) Demuesra que se verifica la igualdad = I siendo I la mariz idenidad de orden 3 Jusifica que es inverible y halla su inversa c) Calcula razonadamene 00 λ + 0 cividad 8: (0) Dada la mariz = a) Deermina los valores de λ para los que la mariz + 3 no iene inversa Para λ = 0, halla la mariz X que verifica la ecuación X + = I, siendo I la mariz idenidad de orden cividad 9: (0) Considera las marices = 0, B = y C = 0 Deermina, si exise, la mariz X que verifica XB = C, siendo C la raspuesa de C cividad 0: (0) Encuenra la mariz X que saisface la ecuación siendo = 0 0 y B = X + B =, Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 33

34 0 0 cividad : (0) Sea la mariz = k a) Para qué valores del parámero k no exise la inversa de la mariz? Jusifica la respuesa Para k = 0, resuelve la ecuación maricial ( X + I ) =, donde I denoa la mariz idenidad y la mariz raspuesa de 3 cividad : (0) Dada la mariz =, sea B la mariz que verifica que 5 B = 7 3 a) Comprueba que las marices y B poseen inversa Resuelve la ecuación maricial X B = B 6- SOLUCIONES LS CTIVIDDES cividad : Respuesa libre cividad : = y B = cividad 3: a = 5, b =, c = 6 y d = 4 cividad 4: 5 a) 3 3 c) d) e) cividad 5: cividad 6: 4 6 B = y B = B = 4, C = y CB = cividad 7: Ninguna de las res es ciera en general debido a la no comnuaividad del produco de marices cividad 8: a) No, ya que, sea cual sea B, B endrá dos filas Sí, omando B de dimensión x Lo siguiene es de respuesa libre Maemáicas II º de Bachillerao Prof: Saniago Marín Fernández Página 34