EJERCICIOS PROPUESTOS

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1 7 Marices EJERCICIOS PROPUESTOS y. Ejercicios resuelos.. Dadas las marices A y B idica, si es posible. A B 5 0 a) Los elemeos a 4 y b 4 b) La dimesió de cada ua de ellas c) La mariz raspuesa de cada ua de ellas a) 4 a o exise, ya que la mariz A solo iee columas. b 4. 5 b) La mariz A iee dimesió x. La mariz B iee dimesió x 4. c) A 0 0 y B Escribe la mariz de dimesió x 4 e la que: a ( ) i ( i j) para i, j 4 ( ) ( ) a ij a ( ) ( ) 0 a ( ) ( ) a 4 ( ) ( 4) a ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) a 4 ( ) ( 4) 0 La mariz es 0 A Escribe: a) Ua mariz riagular iferior al que los elemeos de la diagoal secudaria sea ulos. b) Ua mariz simérica. c) Ua mariz aisimérica. a) 0 0 A b) 5 B c) 0 4 C Uidad 7 Marices

2 6. Halla qué codició debe cumplir i y j para que a ij 0 si A es ua mariz: a) Triagular superior c) Diagoal b) Triagular iferior d) Simérica a) E ua mariz riagular superior so ulos odos los elemeos siuados debajo de la diagoal pricipal, es decir, a ij 0 si i > j. b) E ua mariz riagular iferior so ulos odos los elemeos siuados ecima de la diagoal pricipal, es decir, a ij 0 si i < j. c) E ua mariz diagoal so ulos odos los elemeos que o pereece a la diagoal pricipal, es decir, a 0 si i j. ij d) E ua mariz simérica o es ecesario que igú elemeo sea ulo. 7 y 8. Ejercicios resuelos. 9. Dadas las marices M, N y P: Calcula: 0 M N P 0 0 a) M + N c) M e) M P b) 5 N d) M N f) ( ) N + P M a) b) c) d) e) 0 4 M + N N M M N M N M P N + P M f) ( ) Marices Uidad 7

3 0. Halla ua mariz X al que A+ X B siedo: 0 A B A+ X B X BA X Jusifica las siguiees propiedades. a) 0 Amx Omx b) λ λ Omx Omx a) 0 Amx es la mariz de dimesió m x que se obiee muliplicado cada elemeo de A por 0, co lo que 0 Amx es la mariz ula de dimesió m x como afirma la propiedad. b) λ Omx es la mariz de dimesió m x que se obiee muliplicado cada elemeo de O mx por λ. Al ser odos los elemeos de O mx ulos se obiee la propiedad euciada.. Demuesra la propiedad asociaiva del produco de úmeros reales por marices. Si Amx ( aij ) y, elemeo ij de la mariz ( λ µ, el elemeo ij de la mariz λ ( µ A) es ( ) ( ) λµ, por lo que λ ( µ A) ( λµ ) A. ) A λ µ a λµ a λµ a, es decir, coicide co el ij ij ij. Escribe la mariz 6 M 9 como suma de ua mariz diagoal y ora mariz M Calcula a, b y c e la expresió: b 4 5 a c c Realizado las operacioes e ambos miembros de la igualdad eemos: b 9 b a c c 4a 8c 5 5c 4a 5 c Igualado elemeo a elemeo obeemos: 4a 5 a b 9 b c c 5. Escribe la mariz A como combiació lieal de B, B y B, siedo: A B B B A + + B+ B + B Uidad 7 Marices

4 6. Dadas las marices A y 4 0 B 6, halla las marices X e Y que verifica: X Y A X + Y B Sumado ambas ecuacioes obeemos: ( ) 0 0 X A+ B X A+ B X 6 Susiuyedo e la seguda ecuació obeemos: 0 0 X + Y B Y B X Y a 9. Ejercicios resuelos. 0. Realiza los producos de dos facores que se puede hacer co las marices: ( ) 0 M N 0 P MN ( 0 ) MP o se puede realizar. 0 NP 0 ( 0 ) ( 5 4 ) NM ( 0 ) ( ) 0 PM 0 PN o se puede realizar.. Calcula el valor de a y b para que las marices A y a B b comue. a 7 a+ b AB b 5 a+ b a + a + a BA b + b 6+ b 7 + a 7 a b a a a+ b + a AB BA a, b 5 a b b 6 b b a+ b 6+ b. Calcula los valores de x e y para que se verifique la igualdad: x y + y 6 + y 6 x y 6 x 4, y x y x y x 6 x Marices Uidad 7

5 . Calcula M + I M dode M. 0 M 0, por ao, M + I M Demuesra que Im Amx A mx y A I A Para demosrar que I m A mx A mx mx mx, supogamos que Im ( bij ) y Amx ( aij ). Observemos que I m A mx es ua mariz de dimesió m x cuyo elemeo de la fila i y columa j viee dado por m si i j m ba ik kj y, como bij, eemos bikakj ba ii ij aij, es decir, I k 0 si i j m A mx coicide co A mx. k De maera compleamee aáloga se prueba que Amx I Amx. 5. Ejercicio ieracivo. 6 y 7. Ejercicios resuelos. 8. Calcula el rago de las marices: 6 M 0 N P M rg( M) N rg( N) P rg( P) Escribe ua mariz de dimesió x 5 que ega rago. 0 M La primera y seguda fila so liealmee idepediees, pero la ercera es combiació lieal de ellas, ya que la ercera fila es la suma de la primera y la seguda. Por ao, el rago de M es. 4 Uidad 7 Marices

6 0. Esudia segú los valores de a el rago de las marices: 0 A a y B a + 4 A a 0 4 a a 0 0 a Así, si a 0 a edremos rg( A ) y si a edremos rg( A ) B a a+ 5 + a a Así, si 5 4a+ 5 0 a edremos rg( B ) y si 4 5 a edremos rg( B ). 4. Ecuera ua mariz de orde 5 y rago M La primera y seguda fila so liealmee idepediees, la ercera coicide co la primera, la cuara es el doble que la seguda y la quia es la suma de la primera y la seguda. Por ao, el rago de M es.. Ejercicio resuelo.. Comprueba si las marices M y N so ua la iversa de la ora: a) 5 M N 5 b) 4 4 M N a) 5 0 MN 5 0 y 5 0 NM 5 0, por lo que M y N so iversas. b) MN 0, por lo que M y N o so iversas. 4. Calcula el valor que debe eer el parámero m para que las marices A y B sea ua la iversa de la ora: A + m m y B m m AB + m m m m m m m m m 0 m m Para que A y B sea iversas, AB debe ser la ideidad, por ao, obeemos que m. Marices Uidad 7 5

7 5. Calcula A uilizado la defiició de mariz iversa, siedo 7 A. a b Si A c d eemos: 7 a b 0 a 7c b 7d AA I y a, b 7, c, d c d 0 a+ c 0 b+ d 7 Por ao, A. 6. Calcula la mariz iversa de cada ua de las siguiees marices uilizado el méodo de Gauss-Jorda: 5 0 A B C A B C Calcula la mariz iversa de las siguiees marices. 0 4 M 0 5 N P M N P Uidad 7 Marices

8 8. Si A I demuesra que A es iverible y calcula, e fució de A, su iversa. Como A A A A ( A A) A A ( A A) por la propiedad asociaiva, eoces A A A, es decir, I A A A A, lo que implica que A A. 9. Ejercicio ieracivo. 40. Ejercicio resuelo. 4. El grafo siguiee recoge las relacioes de ifluecia e u grupo de cuaro persoas: a) Halla la mariz G asociada al grafo. b) Calcula G+ G e ierprea el resulado. a) G b) G+ G Los elemeos de esa mariz idica el úmero de posibles relacioes de ifluecia ere las cuaro persoas co u máximo de u iermediario. Por ejemplo, el elemeo de la seguda fila y cuara columa os idica que B puede ifluir sobre D de dos modos disios, bie direcamee, bie a ravés de u iermediario. De hecho, uo de esos modos es la ifluecia direca que muesra el grafo y el oro es la ifluecia a ravés de C. 4. Al puo M(, ) se le aplica u giro de ampliud 0º y cero el orige y ua simería de eje la reca y x. Halla las coordeadas de su rasformado. La aplicació del giro y la simería rasforma el puo M(, ) e el puo cos0º se0º se0º cos0º 0 0 ( ) ( ) ( ) Marices Uidad 7 7

9 4. Traza u grafo dirigido para el que la mariz de adyacecia sea ua mariz riagular superior de dimesió 5 x 5 cuyos elemeos disios de 0 so a ij. La mariz de adyacecia es: y u posible grafo es: 0 A a 5. Ejercicios resuelos. EJERCICIOS Marices 54. E la mariz: 6 0 A a) Qué valor iee el elemeo de la seguda fila y ercera columa? b) Escribe los elemeos ulos co la oació a ij. a) a 0 b) a 4 0, a 0 y a E cada caso, escribe ua mariz que cumpla las siguiees codicioes: a) Que su raspuesa sea ua mariz columa. b) Que sea riagular superior de orde. c) Que sea simérica de orde, ega res elemeos iguales a 0 y el reso sea iguales a. d) Que sea aisimérica de orde y uo de sus elemeos sea igual a. a) A ( 5) c) 0 0 C 0 b) B 0 d) D Uidad 7 Marices

10 56. Ideifica co expresioes de la forma a ij los elemeos de la mariz: a, a, a, a, a y a 57. Halla a, b, c y d para que las marices siguiees sea iguales: a b+ c+ d + 6 ba c+ d c d a+ b c8d 0a b+ Igualado los elemeos correspodiees de cada mariz eemos: a b+ ba 4a b a, b a+ b 0a b+ 8a+ b c + d + 6 c + d 4c d 6 c, d c d c 8d c + 7d 58. Escribe la mariz cuadrada de orde cuyos elemeos so: 5 A 4 a j i si i j j ij i+ j ( ) si i > 59. Escribe la mariz de dimesió x 4 cuyos elemeos so: i j si i < j aij 0 si i j j i si i > j 0 0 A Operacioes co marices 60. Dadas las marices: Calcula, cuado sea posible: A B C a) A+ B c) B+ C e) B+ C b) B A d) A+ B f) A+ C a) 6 0 A+ B c) B+ C e) No se puede realizar. 4 4 b) 0 B A d) A+ B f) A+ C 6 4 Marices Uidad 7 9

11 6. Descompó la mariz riagular superior. 5 M 4 e suma de la mariz ideidad, ua mariz simérica y ora Ua posible solució es: Las solucioes so de la forma: M z z M x + 0 x 0 0 y 0 0 y, co xyz,, 6. Dada la mariz 6 8 A 6 9, Halla res marices A, A, y A ales que: a) A A b) A A c) A A 6 4 A A A A a) 9 6 A A A A 9 b) 6 4 A A A A 6 8 c) 6. Dadas las marices: Calcula: 4 A B C 0 a) AC c) AC I e) ( BC ) b) CB d) CA f) BA a) 7 8 AC 6 d) 5 4 CA 4 8 b) CB e) ( BC) c) AC I f) 5 4 BA Uidad 7 Marices

12 64. Dadas las marices: Calcula: 5 A B C a) ACB b) BC A c) ( BC) A a) AC ACB b) B C A ( ACB) BC BC A c) ( ) ( ) 65. Dadas las marices: A ( ) B Calcula: a) AB b) BA c) ( A + ) B A a) AB ( 5) b) 66. Dadas las marices: 6 9 BA c) ( A ) B A 6 9 A B C 0 0 a) Comprueba que C ( A + B) CA + CB. b) Comprueba que ( A B) C AC BC + +. a) C( A B) y CA + CB A+ BC 6 5 y AC + BC b) ( ) Marices Uidad 7

13 67. Sea la mariz A 5I 6I. A, comprueba que se cumple la igualdad ( ) ( 5 ) A I A I I Calcula A A siedo A la mariz 0 A. Calculemos las primeras poecias de A para poder formular ua hipóesis sobre el valor de A : 0 A, 0 A 4, 0 A AA 6, 0 4 A AA 8,, 0 A Demosremos uesra hipóesis por el méodo de iducció: Primero comprobemos que la hipóesis es ciera si, lo que es imediao, ya que A coicide co la expresió de A si. Comprobemos ahora que la hipóesis es ciera para + supoiedo que lo es para : A + AA + ( + ) Demosrada uesra hipóesis, eemos A A Dada la mariz A halla ua expresió que permia calcular A para cualquier. Calculemos las primeras poecias de A para poder formular ua hipóesis sobre el valor de A A, A AA , Demosremos uesra hipóesis por el méodo de iducció:, 4 A AA 7 7 7,, A A : Primero comprobemos que la hipóesis es ciera si, lo que es imediao, ya que A coicide co la expresió de A si. Comprobemos ahora que la hipóesis es ciera para + supoiedo que lo es para : A AA ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Uidad 7 Marices

14 70. Calcula A para cualquier, siedo 0 A. Calculemos las primeras poecias de A para poder formular ua hipóesis sobre el valor de 0 A Nuesra hipóesis es que A 4 4 4, A A AA 9 9 9, Demosremos uesra hipóesis por el méodo de iducció: si., 4 A A : AA 7 7 7, Primero comprobemos que la hipóesis es ciera si, lo que es imediao, ya que A coicide co la expresió de A si. Comprobemos ahora que la hipóesis es ciera para + supoiedo que lo es para : 0 + A AA ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Por ao, eemos que A 0 si y A si Halla C siedo C la mariz 0 0 C Observemos que C y C I, por ao, eemos que: C C C ( C ) C ( I ) C IC C Demuesra que la mariz A verifica ua ecuació del ipo A +α A+β I 0, deermiado α y β α α β + α+β +α A +α A+β I α α 0 β 4+α 5+ α+β Si queremos que esa mariz sea la mariz ula, edremos: 5+ α+β 0 α4, β 4 +α 0 Por ao, A verifica la ecuació A 4A+ I 0. Marices Uidad 7

15 Ecuacioes y sisemas de marices 7. Halla odas las marices X que saisface la ecuació: X 0 Sea A 0 y B, si A iee iversa edremos AX B X A B. Ieemos calcular por ao la iversa de A por el méodo de Gauss-Jorda: A Así, X A B Halla qué valor debe omar a e la mariz a a para que su iversa coicida co su opuesa. Sea a A a, queremos que A ( A ) I, es decir, que A I, por ao: 6 a 0 0 A I 6 a a 5 a 5 ± 0 6 a Halla ua mariz columa B al que AB B + C siedo A y C las marices: A C Observemos que ( ) edremos ( ) AB B + C AB B C A I B C, por ao, si B A I C. A I iee iversa, Ieemos calcular la iversa de A I por el méodo de Gauss-Jorda: ( A I) 5 5 B A I C Así, ( ) a Tambié podríamos haber resuelo el ejercicio observado que B iee dimesió x y haciedo B b, obeiedo: a+ b a+ a+ b a+ a+ b 4 AB B C a, b B 5 + a b b + a+ b b a b Uidad 7 Marices

16 76. Halla odas las marices A, de dimesió x, que cumple A mariz ula de dimesió x. O, ( ) A O dode O deoa la Sea a b A c d, de la seguda codició cocluimos que: De la primera codició cocluimos que: a b A O a+ c b+ d 0 0 c a, d b A a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a b 0 a a a ab b ab 0 0 b ab 0 b b a 0 a a + a ab b + ab a ab A O a b A Obeemos, por ao, que las marices que verifica las codicioes so de la forma úmero real a. a a A a a para algú Sea las marices A y B 8. Halla las marices X e Y de dimesioes x ales que 5 X + Y A verifica el sisema maricial: 4X + Y B Muliplicado la primera ecuació por y resádole la seguda obeemos: 0 X AB X ( AB) X 0 Susiuyedo e la primera ecuació obeemos: 4 Y A X Y 78. Halla la mariz X que verifica la ecuació AX + I B X dode I es la mariz ideidad y A y B so las marices: 0 0 A B 4 Observemos que AX + I B X AX + X B I ( A + I ) X B I, por ao, si edremos X ( A I) ( B I) +. Ieemos calcular la iversa de A+ I por el méodo de Gauss-Jorda: A+ I 5 iee iversa ( A I) Así, X ( A I) ( B I) Marices Uidad 7 5

17 79. Ecuera las marices A y B que cumple las siguiees ecuacioes: 0 8A 5B A B 0 Muliplicado la seguda ecuació por 5 y resádole la primera obeemos: 0 0 A 6 A Susiuyedo e la seguda ecuació obeemos: 8 0 B Cosidera las marices siguiees: 4 4 A B C 0 Deermia dos marices M y N ales que: AM + BN C AM N Susiuimos AM N e la primera ecuació para obeer: N + BN C ( I + B) N C Por ao, si I + B y A iee iversas obedremos N ( I + B) C y M A N. Ieemos calcular las iversas de I + B y A por el méodo de Gauss-Jorda: ( I ) + B A Así, ( ) 4 4 N I + B C M A N y 6 Uidad 7 Marices

18 Rago 8. Las res marices fila, y so idepediees: ( 4) ( ) ( 0 ) a) Escribe res marices de dimesió x 4 e las que la primera fila sea y cuyos ragos sea, respecivamee,, y. b) Escribe ua mariz de dimesió 4 x cuyo rago sea. 4 a) A 4 4, A 0 b) B A y A Halla el rago de las siguiees marices observado la relació ere sus filas o ere sus columas: 0 A B E la mariz A eemos y, por lo que su rago es. E la mariz B eemos C C C y C, C so liealmee idepediees, por lo que su rago es. 8. Deermiar, si uilizar el méodo de Gauss, el rago de las siguiees marices: A B E la mariz A eemos +, 4 y, so liealmee idepediees, por lo que rg( A ). E la mariz B las filas so liealmee idepediees, por lo que rg( B ) Calcula el rago de las siguiees marices, uilizado el méodo de Gauss. A 5 B 5 C D A rg( ) 5 A B rg( B) C rg( M) D rg( N) Marices Uidad 7 7

19 85. Obé el valor de a para que el rago de la mariz A sea igual a. 0 A a A a a a+ Para que el rago de A sea la úlima fila debe ser ula, por ao, a. 86. Halla, segú el valor de a, el rago de la mariz: 4 a 4 a a A a 4 0 a 0 0 a 0 a a 0 a a a 4 Si a 4 0, es decir, si a y a eemos 4 rg( A) rg 0 a a 4 Si a eemos 4 rg( A) rg y si a eemos 4 rg( A) rg Esudia el rago de la mariz segú los valores del parámero m. m 0 0 m 0 m m 0 m 0 M 0 0 m 0 m 0 0 m Si m y m 0 eemos Si m eemos Si m 0 eemos m 0 rg( M) rg m 0 rg( M) rg rg( M) rg Uidad 7 Marices

20 Mariz iversa 88. Deermia cuál de las siguiees marices es iversa de ora: A B 4 C 5 5 D 4 4 AB 6 0 AC 0 9 AD BC 9 0 BD 0 CD 6 4 Por ao, A y C so iversas, al igual que B y D. 89. Calcula la mariz iversa de cada ua de las siguiees marices uilizado la defiició. 8 A 4 B 0 C a b Si c d eemos: 8 a b 0 a 8c b 8d I y a, b 8, c 4, d 4 c d 0 4a+ c 0 4b+ d 8 Por ao, 4 a b Si G c d eemos: a b 0 a c 0 y b d + + GG I a, b, c, d c d 0 a+ c 0 b+ d Por ao, G Si a a a a a a H a a a eemos: 0 a a a 0 0 a + a a + a 0 a + a 0 0 a a a 0 0 a a 0 a a a + a a, a 0, a a 0, a, a 0 a, a 0, a HH I 0 0 a a a 0 0 a 0, a y a 0 0 Por ao, H Marices Uidad 7 9

21 90. Calcula, si es posible, la mariz iversa de cada ua de las marices por el méodo de Gauss-Jorda: 7 A 4 0 B 0 0 C A B C o iee iversa Calcula, si es posible, la iversa de la mariz: 0 A D Calcula el valor de k para que B sea la mariz iversa de A, siedo: A 0 0 B k 0 4k 0 0 AB I 0 4 k k k Deermia razoadamee para qué valores de k iee iversa cada ua de las siguiees marices: A 0 k B k Recordemos que ua mariz cuadrada de orde iee iversa si y solo si su rago es. Pueso que rg( M ) para cualquier valor de k y rg( N) k, cocluimos que M o iee iversa para igú valor de k y N iee iversa si k. 0 Uidad 7 Marices

22 94. Dadas las marices: 0 A 0 0 y x y B x y esudia si exise úmeros reales x e y ales que la mariz B es la iversa de la mariz A. Para que B sea la iversa de A debe ser AB I, es decir: x x 0 0 x y y x y y 0 De las dos primeras ecuacioes cocluimos que x, pero las dos úlimas so coradicorias, por lo que o exise valores para x e y que haga que B sea la iversa de A. 95. Esudia para qué valores de m la mariz siguiee iee iversa y, si es posible, halla su iversa para m. m 0 0 m 0 m m 0 m 0 M 0 0 m 0 m 0 0 m M edrá iversa si m 0 rg( M) rg m, es decir, si m y m 0. Si m, 0 M 0 0 iee iversa, que calculamos co el méodo de Gauss-Jorda: M Marices Uidad 7

23 Síesis 96. Dada la mariz 0 4 A se pide: a) Comprueba que se verifica la igualdad A + I O, siedo I la mariz ideidad y O la mariz ula. b) Jusifica que A iee iversa y obé A. 00 c) Calcula A a) A por lo que A + I O. y A I, b) La iversa de A es A A A A A I A I A A c) ( ) ( ), ya que ( ) AA A A A I. 97. Dada la mariz A prueba que la mariz iversa de A es A A + A+ I. 0 A 0 Basa comprobar que AA I, es decir, que A + A + A I, y, e efeco, eemos: A A y co lo que A + A + A I Ecuera dos marices, A, B, cuadradas de orde que sea solució del sisema maricial: A+ B C A B C siedo C 5 + +, susiuyedo e la seguda ecuació C por el méodo de Gauss-Jorda: Sumado ambas ecuacioes obeemos A C C A ( C C ) obeemos B A C. Calculamos C Así, eemos: ( ) A C C B A C y Uidad 7 Marices

24 99. Deermia a, b y c para que la mariz: verifique que su raspuesa a b c A coicide co su iversa A 4. Calcula e odos esos casos la mariz A. Queremos que AA I, es decir, que: a 0 a a 0 0 b + c 0 b b+ c a + b + c a b c b+ c 0 c a a + b + c a 0 a 0, b, c c b b a 0, b, c E el primer caso, es decir, si ao, 4 A AA I. a 0, b y c, observemos que A A A, co lo que A I y, por E el segudo caso, es decir, si 0 0 a 0, b y c, eemos A A AA y Obé, para odo úmero aural, el valor de: + Sea A y B, eemos: A, A, A, B, B, B, Observado esas poecias podemos cocluir que A y B, co lo que Marices Uidad 7

25 0. Sea la mariz A : 0 a) Comprueba que se verifica A I O, co I la mariz ideidad y O la mariz ula. b) Calcula A. c) Basádoe e los aparados aeriores, y si recurrir al cálculo de iversas, halla la mariz X que verifica la igualdad AX+ I A. 0 a) A que A I O A 0 0 I, por lo y A A A I A I A A 0 b) ( ) ( ) A X + I A A X + A A X + A A X A A c) 0. Sea la mariz + m B m e I la mariz Ideidad. a) Halla para qué valores de m se verifica que B B+ I. b) Calcula B para los valores m hallados e el aparado aerior. a) B ( m) + + ( m) + y ( m) + + B+ I, por ao, ( m) + ( m) ( m) ( m) ( m) ± + + B B I m m B B+ I B B I B B I I, por lo que, si m ± eemos B B I. b) Observemos que ( ) 0 0 Es decir, si m, B 0 0 ; y si m, B Uidad 7 Marices

26 CUESTIONES 0. Sea A ua mariz m x. a) Exise ua mariz B al que BA sea ua mariz fila? Si exise, qué dimesió iee? b) Se puede ecorar ua mariz B al que AB sea ua mariz fila? Si exise, qué dimesió iee? c) Si AB es ua mariz cuadrada, qué orde iee BA? a) BA será ua mariz fila de dimesió x si B es ua mariz fila de dimesió x m. b) AB será ua mariz fila solo si m y B iee dimesió x k, e cuyo caso AB edrá dimesió x k. c) Si AB es ua mariz cuadrada, su orde será m y B edrá dimesió x m. Por ao A edrá dimesió x m y B edrá dimesió m x, co lo que BA edrá orde m. Tambié podríamos observar que B A ( AB) edrá el mismo orde que AB, es decir, orde m. 04. A es ua mariz de dimesió x 4 cuyo rago es. Deermia qué variacioes puede haber e su rago cuado: a) Se añade ua fila. c) Se elimia ua fila. b) Se añade ua columa. d) Se elimia ua columa. Observemos que las res filas de A so liealmee idepediees y hay res columas liealmee idepediees. a) Si la fila que se añade es lieal idepediee de las res filas origiales de A, el rago de la ueva mariz será 4, si es liealmee depediee, el rago seguirá siedo. Por ejemplo, si A añadimos la fila ( ) edrá rago. y añadimos la fila ( ), la ueva mariz edrá rago 4, pero si b) Las res filas de la ueva mariz seguirá siedo liealmee idepediees, por lo que el rago de la ueva mariz seguirá siedo. c) Las dos filas o elimiadas será liealmee idepediees, por lo que el rago de la ueva mariz será. d) El rago de la ueva mariz puede seguir siedo o puede ser Por ejemplo, si A y elimiamos ua de las res primeras columas el rago de la ueva mariz es, si elimiamos la cuara columa el rago será. 05. Sea A, B y C res marices ales que el produco ABC es ua mariz x y el produco AC es ua mariz cuadrada, siedo C la raspuesa de C. Calcula, razoado la respuesa, las dimesioes de A, B y C. Sea m x, m x y m x las dimesioes respecivas de A, B y C. Para poder calcular ABC debe ser m y m ; además, para que ABC ega dimesió x debe ser m y. Por oro lado, para poder calcular AC debe ser ; además, para que AC sea cuadrada debe ser m m. Por ao, obeemos m y m m, es decir, A iee dimesió x, B iee dimesió x y C iee dimesió x. 06. Si A y B so dos marices cuadradas de orde demuesra que: ( ) Observemos que ( ) ( )( ) ( A B) A AB B A A B A AB + B AB BA A B AB A B A AB BA+ B, por ao, + AB BA + B A AB + B AB BA AB AB AB BA AB BA Marices Uidad 7 5

27 07. La mariz A es de dimesió m x y la mariz B de dimesió p x q. Deermia, e cada caso, qué relació debe haber ere m,, p y q para que: a) Exisa ( ) AB. b) Se pueda calcular A B. c) Se pueda calcular AB A. a) Para que exisa ( ) AB debe exisir e primer lugar AB y debe ser ua mariz cuadrada, es decir, debe ser p y m q. b) Para que se pueda calcular A y B, A y B debe ser marices cuadradas. Además, debe ser del mismo orde para poder calcular A B. Por ao, la codició buscada es m p q. c) Para que se pueda calcular AB debe ser q. Además, para poder calcular AB A la dimesió de AB, m x p, debe coicidir co la de A, es decir, p. Por ao, la codició buscada es p q. 08. Esudia cómo varía el produco de dos marices A y B si se hace e ellas los siguiees cambios: a) Se cambia de orde las filas i y k de la mariz A. b) Se cambia de orde las columas j y k de la mariz B. c) Se muliplica por la fila i de la mariz A. d) Se suma a la fila i de A la fila k muliplicada por. a) Las filas i y k del produco cambia de orde. b) Las columas j y k del produco cambia de orde. c) La fila i del produco queda muliplicada por. d) La ueva fila i del produco es la suma de la aigua fila i co la fila k muliplicada por. 09. Se cosidera la mariz A, cuadrada de orde, de modo que rg( A ). Deermia, si es posible, el efeco que iee sobre el rago cada ua de las siguiees accioes o po ejemplos e caso corario. a) Muliplicar A por. b) Sumarle la mariz ideidad. c) Añadir ua fila de uos. a) El rago de la ueva mariz seguiría siedo. b) Es imposible saber que efeco iee esa acció sobre el rago, podría omar cualquier valor ere y. La úica posibilidad que podemos descarar es que la ueva mariz ega rago 0, ya que e ese caso debería ser A+ I O, es decir, la mariz A debería ser I, que o iee rago Por ejemplo, las marices A 0 0, A sumarles la ideidad iee, respecivamee, rago, y. y A iee rago, pero al c) El rago de la ueva mariz podría ser o, pero uca meor que, ya que e A hay dos filas liealmee idepediees que seguirá siédolo e la ueva mariz. Por ejemplo, si A 0 0, al añadir ua fila de uos el rago de la ueva mariz seguiría siedo ; pero si A 0 0, al añadir ua fila de uos el rago de la ueva mariz sería Uidad 7 Marices

28 0. Sea A ua mariz cuadrada de orde de modo que A O, siedo O la mariz ula (la formada compleamee por ceros). a) Comprueba que ( ) A+ I A+ I. b) Comprueba que las marices B I A y C A+ I so ua iversa de la ora. a) ( ) ( )( ) A+ I A+ I A+ I A + AI + I A+ I O+ A+ A+ I A+ I b) ( )( ) BC I A A+ I I A+ I A AI A+ I O A I B y C so iversas.. Sea A ua mariz cuadrada al que A A+ I, dode I es la mariz uidad. Demuesra que la mariz A es iverible. A A+ I A A I A( A I) I A es iverible y A A I.. a) Deermia qué codició debe cumplir ua mariz diagoal para ser iverible. b) Halla la iversa de cualquier mariz diagoal de orde que cumpla la codició del aparado aerior. a) La codició es que igú elemeo de la diagoal pricipal sea ulo. b) Si A a 0 0 A 0 b c 0 0 a 0 0. b 0 0 c es ua mariz diagoal de orde co a, b y c disios de 0, su iversa es. a) Si A es ua mariz o sigular y ( B C) A O, la mariz ula, comprueba que B C. 6 b) Segú el resulado del aparado aerior, cuado A la úica mariz X que verifica la ecuació XA O es la mariz ula. Es ciera esa afirmació? a) Como A iee iversa, eemos ( ) B C A O B C OA O B C. b) X O es solució de la ecuació XA O, pero o se puede afirmar que sea la úica solució usado el aparado aerior, ya que A o iee iversa, lo que se puede comprobar ieado calcularla por el méodo de Gauss-Jorda. De hecho, la afirmació o es ciera, por ejemplo, NOTA: Si la forma a b X c d eemos b a XA O d c a a X c c co ac,. X es ora solució de la ecuació XA O., por lo que las solucioes de la ecuació XA O so de 4. Sea A y B dos marices iveribles que verifica la ideidad A + B AB. Comprueba que eoces se iee la fórmula: ( ) I B B A Basa comprobar que ( )( I B B A) I, ahora bie, eemos: ( )( ) ( I B B A B A+ BB A B A+ IA B + I) A por ao, basa comprobar que ( B I) + A I, es decir, que A B + I, o lo que es lo mismo, que A + B I. Para ello, observemos que: ( ) A + B AB A A + B B A ABB A AB + A BB I IB + A I I B + A I A + B I quedado así demosrada la fórmula pedida. Marices Uidad 7 7

29 5. Dada la mariz: a) Calcula AA, dode a 0 0 b 0 a b 0 A a, b, a 0, b 0 0 b a 0 b 0 0 a A es la mariz raspuesa de la mariz A. b) Razoa que siempre exise la mariz iversa de A, idepedieemee de los valores de a, b, a 0, b 0. a) a 0 0 b a 0 0 b a + b a b 0 0 a b 0 0 a + b b a 0 0 b a a b 0 AA ( a + b ) I. + b 0 0 a b 0 0 a a + b b) Segú el aparado aerior, si B a A + b eemos AB I, es decir, A es iverible y A a A + b. 6. Se dice que ua mariz cuadrada es orogoal si su iversa coicide co su raspuesa. Se pide: a) Demosrar que ua mariz de la forma cos α seα α seα cos α es orogoal. b) Calcular x e y de modo que la mariz x 0 0 y sea orogoal. a) Si cos α seα A seα cos α eemos: AA cos α seα cos α seα se α+ cos α 0 0 I seα cos α seα cos α 0 se cos 0, α+ α es decir, A A, por lo que A es orogoal. b) Si 0 0 A 0 x 0 0 y eemos que A es orogoal si: x AA I 0 x x xy xy 0 x 0, y ± y x y xy y y 7. Halla las coordeadas del puo e el que se rasforma el puo P(, 5) al aplicarle, sucesivamee, u giro de cero el orige y ampliud 60º, ua simería de eje el de ordeadas y ua raslació de vecor (, ). La aplicació del giro, la simería y la raslació rasforma el puo P(, 5) e el puo: ( ) ( ) 0 cos 60º se 60º 0 ( 5) ( ) ( 5) ( ) se( 60º ) cos( 60º ) ( 5) + ( ) + ( ) 8 Uidad 7 Marices

30 PROBLEMAS 8. Se dice que ua mariz cuadrada es ivoluiva si cumple que A I, dode I deoa la mariz ideidad. a) Jusifica razoadamee que oda mariz ivoluiva es regular. b) Deermia para qué valores de los parámeros a y b la siguiee mariz es ivoluiva. a a a a b a) Pueso que ua mariz ivoluiva verifica que AA I, cualquier mariz ivoluiva es regular y su iversa coicide co ella misma, A A. b) a a a a a a a a a a a ± ± b ± 0 0 b0 0 b b a , b 9. El grafo siguiee coiee la iformació sobre la capacidad de ifluecia que iee cada uo de los miembros de u grupo de persoas sobre los demás. a) Escribe la mariz, M, asociada al grafo. b) Deermia las marices M y M. c) Ierprea la iformació que proporcioa la mariz M + M + M. a) M b) M y M c) M M M Los elemeos de esa mariz idica el úmero de posibles relacioes de ifluecia ere el grupo de persoas co u máximo de dos iermediarios. Por ejemplo, el elemeo de la ercera fila y quia columa os idica que C puede ifluir sobre E de res modos disios, bie direcamee, bie a ravés de uo o dos iermediarios. Esos res modos so la ifluecia direca (igú iermediario), la ifluecia a ravés de A y D (dos iermediarios) y oros modos de ifluir a ravés de dos iermediarios que o iee sigificacia real pero que aparece e el grafo, la ifluecia a ravés de B y C. No hay igua ifluecia de C sobre E a ravés de u úico iermediario. Marices Uidad 7 9

31 0. a) Halla la mariz asociada a ua simería cuyo eje es la bisecriz del segudo y cuaro cuadraes. b) Deermia qué movimieo resula de la composició de la simería del aparado aerior y de la que iee como eje la bisecriz del primer y ercer cuadraes. a) 0 S 0, que rasforma cada puo ( ) P x y e el puo P' ( x y ) S ( y x ), simérico de P respeco de la bisecriz del segudo y cuaro cuadraes. b) La composició de ambas simerías viee dada por la mariz co ua simería respeco del orige de coordeadas , que se correspode. Se cosidera las marices 0 A y B. 4 4 a) Deermia los valores de c ales que la mariz A + cb o ega rago. b) Calcula, para los valores hallados de c, la mariz A( A + cb) y su rago. a) + c A + cb 4+ 4c c o iee rago si sus filas so proporcioales, eso ocurre si 0 + c c o si 4+ 4c c c 4 c 6. + c b) Si c eemos ( ) ( ) A A+ cb A A B 4 0 0, cuyo rago es, ya que. 7 Si c 6 eemos ( ) ( ) A A+ cb A A B , cuyo rago es, ya que 4.. E ua paselería se elabora dos ipos de aras: de limó y de chocolae. De cada ipo hace res amaños. Cada semaa fabrica las aras que aparece e la abla: Limó Chocolae Grade 0 5 Mediaa 6 0 Pequeña 0 De las aras de chocolae vede e la paselería el 60 %, y de las aras de limó, el 50 %. El reso se repare a domicilio. a) Escribe la mariz que expresa el úmero de aras segú el amaño y el sabor. b) Escribe las marices que expresa el úmero de aras y el porceaje segú el sabor y el ipo de vea. c) Calcula la mariz que expresa el úmero de aras segú el amaño y el ipo de vea. a) b) 0 5 A Paselería Domicilio Limó 50 % de 8 50 % de 8 Chocolae 60 % de 5 40 % de Número de aras: B c) La mariz viee dada por A B Porceaje: B Uidad 7 Marices

32 . Dos marices cuadradas A y B de igual orde so semejaes si exise ua ercera mariz M al que B M AM. Comprueba si so semejaes las marices: 6 A B Queremos comprobar si exise ua mariz iverible a b M c d al que B M AM, es decir, al que MB AM : a+ b ac 5a+ b+ c 0 a b 6a b a c b d 6a b b d a+ b+ d 0 MB AM c d 6c d a c b d + + c+ d ac a c+ d 0 6c + d bd b 6c + 5d 0 Resolviedo ese sisema por el méodo de Gauss obeemos como solució a b c d 0, es decir, M debería ser la mariz ula, pero eoces o sería iverible, por ao, las marices A y B o so semejaes. 4. E ua cadea de supermercados hace res ipos de loes de verdura para esalada, A, B y C, de modo que el loe A icluye 400 g de lechuga, 00, de omae, y 00, de zaahoria; el loe B icluye 00 g de lechuga, 00, de omae, y 50, de zaahoria; y el loe C icluye 500 g de lechuga, 00, de omae, y 50, de zaahoria. Se ha recogido la iformació sobre las veas de cada ipo de loe e dos supermercados de la cadea. E el supermercado X se ha vedido 50 loes de ipo A, 0 loes de ipo B y 5 loes de ipo C. E el supermercado Y se ha vedido 40 loes de ipo A, 0 de ipo B y 5 de ipo C. a) Escribe la mariz M que egloba la iformació de los ipos de loe y su composició. b) Escribe la mariz V que recoja la iformació de las veas por supermercado. c) Halla la mariz que coega la iformació de la caidad de cada ipo de verdura que ha hecho fala e cada supermercado. a) b) M V c) La mariz viee dada por VM Halla odas las marices riagulares superiores de orde que verifica que su cuadrado es la mariz ideidad. Sea a b X 0 c ua mariz riagular superior de orde al que X I, eemos: Por ao, puede ser: a, b 0, c a c a, b, c a b a b 0 a ba ( + c) 0 a, b 0, c ba ( c) c 0 c 0 0 c 0 a, b, c 0 X I 0, 0 X I 0, b X 0 o b X 0 co b. Marices Uidad 7 4

33 6. La figura represea el edido de comuicacioes ere cico lugares. a) Escribe la mariz A, de adyacecia del grafo. b) Halla las marices A, A e ierpréalas. c) Halla la mariz A+ A + A e ierpréala. a) b) A A Sus elemeos represea el úmero de coexioes que hay ere los puos co ua escala, por ejemplo, a a sigifica que hay dos maeras de coecar los puos B y C co ua escala, e cocreo BA C y BD C A Sus elemeos represea el úmero de coexioes que hay ere los puos co dos escalas, por ejemplo, a a sigifica que hay seis maeras de coecar los puos A y D co dos escalas, e cocreo ABA D, ACA D, ADA D, ADB D, ADC D y ADE D. c) M M M Sus elemeos represea el úmero de coexioes que hay ere los puos co u máximo de dos escalas, por ejemplo, a a 7 sigifica que hay siee maeras de coecar los puos A y C co u máximo de dos escalas, e cocreo A C (coexió direca, si escalas), AD B (coexió co ua escala), ABA C, ADA C, ACA C, ACD C y ABD C (coexioes co dos escalas). 4 Uidad 7 Marices

34 7. E ua fábrica se uiliza, para la fabricació de evases, caró y plásico. Los evases de ipo A se fabrica co 0 g de caró y 5 de plásico. Los evases de ipo B se fabrica co 5 g de caró y 0 de plásico. a) Escribe ua mariz que recoja la iformació sobre ipos de evases y caidad de maerial de cada ipo ecesario. b) El plásico cuesa céimos el gramo, y el caró, céimos el gramo. Escribe la mariz de precios y calcula, operado co marices, la mariz que da el cose de cada ipo de evase. c) E ua semaa se ecesia 00 evases de ipo A y 00 de ipo B. Calcula, operado co marices, la caidad ecesaria de cada maerial. a) 0 5 M 5 0 b) La mariz de precios es N, la mariz que da el cose de cada ipo de evase es 55 MN 60. c) La mariz de ecesidades de maerial viee dada por caró y 4 kg de plásico M , es decir, ecesiamos 8,5 kg de 8. Halla la mariz iversa de la mariz: Aplicado el méodo de Gauss-Jorda eemos: A Marices Uidad 7 4

35 9. Si A es ua mariz cuadrada de orde. a) Comprueba que A+ A es ua mariz simérica. b) Comprueba que A A es ua mariz aisimérica. c) Demuesra que oda mariz cuadrada se puede expresar como suma de ua mariz simérica y ora aisimérica. d) Descompó la mariz B como suma de ua mariz simérica y ora aisimérica, siedo: B a) ( ) ( ) A A A A A A A A A A es simérica. b) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A A A A A + es aisimérica. c) A ( A+ A ) + ( A A ), dode ( A+ A ) es simérica y ( A A ) es aisimérica d) B ( B B ) es simérica, B ( B B ) y B B+ B. 0. Para ua mariz cuadrada, se defie su raza como la suma de los elemeos de la diagoal pricipal. E lo que sigue, A y B so marices cuadradas x. a) Comprueba que se verifica: ( A+ B) ( A) + ( B) Traza Traza Traza Traza ( AB) Traza ( BA) b) Uilizado los resulados aeriores, demuesra que es imposible eer AB BA I dode I deoa la mariz ideidad. c) Ecuera dos marices para las que: ( AB) ( A) ( B) Traza Traza Traza a a a) Si A a a y b b B b b eemos a + b a + b A+ B a b a b + +, ab + ab ab + ab AB ab ab ab ab + + ab + ab ab + ab y BA ab ab ab ab, co lo que + + ( A+ B) ( a + b ) + a + b ( a + a ) + b + b ( A) + ( B) Traza ( ) ( ) Traza Traza ( AB) a b + a b + a b + a b a b + a b + a b + a b ( BA) Traza ( ) ( ) ( ) ( ) Traza b) Segú el aparado aerior, Traza( AB BA) Traza( AB) Traza( BA) 0, pero Traza( I ), por lo que AB BA uca puede ser igual a la mariz ideidad. c) Basa omar A B I, ya que Traza ( AB) Traza ( I ) Traza ( I ) y ( A) ( B) Traza Traza Uidad 7 Marices

36 . Cosidera el espacio vecorial de las marices cuadradas de orde. a) Escribe la mariz A como combiació lieal de las marices 0 B y B 0. b) Halla ua mariz que o se pueda escribir como combiació lieal de B y B. c) Ecuera cuaro marices del espacio vecorial ales que cualquier mariz se pueda expresar como combiació lieal de ellas. a) λ A B B λ λ +λ λ +λ λ +λ λ λ A B B, λ +λ λ λ λ λ +λ b) Observemos que e cualquier combiació lieal de B y B, λ B+λ B, los elemeos de λ +λ λ la diagoal secudaria debe coicidir, por lo que, por ejemplo, B o es combiació lieal de B y B. c) Cualquier mariz de orde se puede escribir como combiació lieal de las marices: E efeco, a b A ac+ bc + cc + dc4 c d C C C C Cosidera la mariz M de dimesió m x y los producos M M y MM. Demuesra que e los dos casos la mariz produco es simérica. E efeco, M M y MM so siméricas, de hecho ua es la raspuesa de la ora, ya que ( M M ) ( M ) M MM.. Se cosidera las marices de la forma: a 0 0 b a 0 c b a Demuesra que iee la misma forma: a) La suma de dos marices de esa forma. b) El produco de ua mariz de esa forma por u úmero. c) El produco de dos marices de esa forma. a) b) c) a 0 0 a' 0 0 a+ a' 0 0 b a 0 b' a' 0 b b' a a' c b a c' b' a' c + c' b+ b' a+ a' a 0 0 λa 0 0 λ b a 0 b a 0 λ λ c b a λc λb λa a 0 0 a' 0 0 aa ' 0 0 b a 0 b ' a ' 0 ab ' ba ' aa ' 0 + c b ac' b ' a ' ac ' + bb ' + ca ' ab ' + ba ' aa ' Marices Uidad 7 45

37 4. Dos marices so aicomuaivas si se verifica que: a) Comprueba que so aicomuaivas las marices: AB BA 0 a a 0 A y B a 0 0 a b) Deermia e qué casos dos marices cuadradas diagoales de orde o ulas so aicomuaivas. 0 a 0 a a) AB y BA, por lo que A y B so aicomuaivas. a 0 a 0 b) Sea a 0 b 0 A y B 0 a 0 b, eemos: ab 0 ab 0 ab 0 AB BA 0 ab 0 ab ab 0 Para que se cumpla esas codicioes y además A y B o sea ulas, debe ser a b 0, a 0, b 0 o a, a 0, b 0. Es decir, para que dos marices cuadradas diagoales de orde dos o ulas sea b 0 a aicomuaivas, iee que ser de la forma y b. AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has apredido. Halla ua mariz diagoal de orde 4 co ( ) i A a i para cualquier i. ii. Dadas las marices: Calcula: a) ( + ) M N P b) NM P a) M( N P ) b) 0 M 0 N 4 P 0 + c) ( M ) NM+ P c) ( M ) I N I N 46 Uidad 7 Marices

38 . Halla ua mariz X al que AX + B I + X, siedo A y B las marices: 4 A B Observemos que AX + B I + X AX X I B ( A I ) X I B, por ao, si A I iee iversa, edremos ( ) ( ) X AI I B. Ieemos calcular la iversa de A I por el méodo de Gauss-Jorda: ( A I) Por ao, X ( A I) ( I B) 4. Dada la mariz 0 0 A 0 0 0, calcula A para cualquier valor aural de. Calculemos las primeras poecias de A para poder formular ua hipóesis sobre el valor de A : 0 0 A A , 0 0 A ,, 4 A ,, A Demosremos uesra hipóesis por el méodo de iducció: Primero comprobemos que la hipóesis es ciera si, lo que es imediao, ya que A coicide co la expresió de A si. Comprobemos ahora que la hipóesis es ciera para + supoiedo que lo es para : A AA ( + ) Deermia el rago de las siguiees marices, si uilizar el méodo de Gauss: A B 0 C El rago de A es, ya que sus dos filas o so proporcioales, es decir, so liealmee idepediees. El rago de B es, ya que y o so proporcioales y +. El rago de C es, ya que y 4 o so proporcioales, es ua fila ula y. Marices Uidad 7 47

39 6. Calcula el rago de la mariz M uilizado el méodo de Gauss: M rg( M) Halla el valor de a y b para que la mariz 0 B 0 a b 0 sea la iversa de la mariz a 0 b A 0 b. a a Queremos que AB I, por ao: a+ b a+ b a+ b a+ b 0 b b b 0 a, b 0 0 b 0 0 b b 8. Halla la iversa de la mariz N uilizado el méodo de Gauss-Jorda. 0 N N Dadas las marices A 0 y B 5 so marices cuadradas de orde. resuelve el sisema maricial X + Y A X + Y B dode X e Y Resádole a la primera ecuació el doble de la seguda obeemos Y AB Y B A, susiuyedo e la X + B A B X A B, por ao: seguda ecuació obeemos ( ) 0 X A B Y B A 0 48 Uidad 7 Marices

40 Relacioa y coesa Elige la úica respuesa correca e cada caso. Co las marices A, B, C y D se puede hacer las operacioes ( A+ DC, ) CB y B. Eoces se puede hacer la operació: A. ( CBD ) C. ( BA D ) B. CD ( + AB ) D. ( + ) A D C Sea, respecivamee, m x, m x, m x y m4 x 4 la dimesió de A, B, C y D. Como se puede calcular B, la mariz B es cuadrada, es decir, m. Como se puede calcular A+ D, A y D iee la misma dimesió, es decir, m m4 y 4. Además, como se puede calcular ( A+ DC ), el úmero de columas de A+ D coicide co el úmero de filas de C, es decir,. Por úlimo, como se puede calcular decir,. CB, el úmero de columas de C coicide co el úmero de filas de E resume, las dimesioes de A, B, C y D so, respecivamee, m x, x, m x y m x. B, es De ese modo, ( CBD ) o ecesariamee se puede calcular, ya que BD solo se podría calcular si m, lo que CD AB C D+ A solo o eemos asegurado. Tampoco es seguro que se pueda calcular ( + ), ya que, de uevo, ( ) se podría calcular si m m m, lo que o eemos asegurado.. Tampoco es seguro que se pueda calcular ( ) A + D C, ya que sería ecesario que E cambio ( BA D ) se puede calcular, ya que el úmero de columas de B coicide co el de filas de A y el úmero de columas de edrá dimesió A coicide co el de filas de D (co lo que se puede calcular BA D. x, co lo que se puede calcular ( ) Por ao, la respuesa correca es C. BA D ), además, BA D. Si la mariz A iee ua de sus filas ula y se puede hacer el produco AB, eoces: A. AB iee ua fila ula. C. A es regular. B. AB iee ua columa ula. D. rg(a) A es obviamee correca, si la fila i de A es ula, la fila i de AB será ula. E cambio B, C y D so falsas, basa cosiderar el ejemplo 0 0 A, B I.. Si la mariz A, de orde, es iverible eoces la mariz A: A. Es iverible y su iversa es A. C. Es iverible y su iversa es A. B. Es iverible y su iversa es A. D. No ecesariamee es iverible. A A AA I. La respuesa correca es C, ya que ( ) Marices Uidad 7 49

41 4. Dada la mariz 0 a A b c : A. Si abc 0 rg( A ) < C. Si ac 0 rg( A) < B. Si ab 0 rg( A) < D. Si bc 0 rg( A) < La respuesa correca es B, ya que si ab 0, edremos a 0 o b 0, co lo que bie ua fila bie ua columa de A será ula. E cambio A, C y D so falsas, basa cosiderar a, b, c 0, co 0 rg( A) rg. Señala, e cada caso, las respuesas correcas 5. A es ua mariz riagular de orde 4, o diagoal y o ula, eoces: A. rg( A ) 4 C. A o es aisimérica. B. A iee iversa. D. A+ A es simérica. A o es ciera, basa cosiderar el ejemplo A Tampoco es ciera B, ya que es equivalee a A. C sí es ciera, ya que si A fuera aisimérica y, por ejemplo, riagular superior, odos los elemeos por ecima de la diagoal pricipal sería ulos por ser riagular superior y, por ao, ambié los elemeos por debajo de la diagoal pricipal y los de la diagoal pricipal sería ulos por ser aisimérica, e coradicció co el hecho de que A es o ula. Tambié D es ciera, de hecho es ciera para cualquier mariz cuadrada A, ya que: Por ao, las respuesas correcas so C y D. ( ) ( ) A+ A A + A A + A A+ A Elige la relació correca ere las dos afirmacioes dadas 6. Sea A ua mariz cuadrada de orde.. A iee úicamee cuaro elemeos o ulos.. rg( A) A. pero C. B. pero D. Nada de lo aerior. o implica, basa cosiderar 0 A 0, que cumple pero o, ya que el rago de A es ampoco implica, basa cosiderar A I, que cumple, ya que su rago es, pero o. Por ao, la respuesa correca es D. 50 Uidad 7 Marices

42 Señala el dao iecesario para coesar 7. Se quiere calcular el rago de la mariz o ula A de dimesió x 4. Para ello se obiee ua mariz equivalee escaloada por filas B de la que se sabe:. El úmero de filas.. b. b A. Puede elimiarse el dao. C. Puede elimiarse el dao. B. Puede elimiarse el dao. D. No puede elimiarse igú dao. El úmero de filas de B coicide co el úmero de filas de A, por lo que el dao es iecesario, la respuesa correca es A. Marices Uidad 7 5