Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes curso

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Rosa María Páez Segura
hace 6 años
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1 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - jercicios resuelos:.- Se y B mrices cudrds de orde. Pror que si I-B es iverile, eoces I-B mié es iverile y que ( I B) I B( I B). No: I es l mriz uidd de orde. Solució: Demosremos que: ( I B) ( I B) I. ( I B) ( I B) ( I B( I B) )( I B) ( I B) B( I B) ( I B) ( I B) B( I B) ( B) ( I B) B( I B) (I B) I B B I. Pueso que ( I B) ( I B) I, podemos segurr que I B, luego exise ivers y por ser úic, se cumple ( I B)( I B) I.- Se u mriz cudrd de orde l que I. oces es iverile. Solució: De l ecució I se iee que I ( I) I y omdo deermies e l ecució erior I I ( ) ± y por o y I. Luego es u mriz iverile..- corr el cojuo de mrices que comu co l mriz. Solució: Buscremos mrices cudrds X les que XX. Si c X /, R X se iee que: d c c c c c X X, dé dode d d c d d d c c c resul el sisem cuy solució es d y c y ls mrices que d c d d comu co so de l form X...- Demosrr que l mriz Solució: verific l relció:, N. Uidd docee de Memáics

2 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics Uilizremos el méodo de iducció, evideemee se cumple pr y pr ocurre que:. Supueso que se cumple pr, N,, se demuesr pr :..- Dd l mriz hllr N,. Solució: Pr se iee que:. Pr se iee que:. hor podemos supoer que y demosrr pr que sigue l regl erior,..- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: ) ( qi p siedo e I. Solució: Susiuyedo e l ecució ) ( qi p se iee que: q p q q p p p p q p p p q p q p p p q p y resolviedo el sisem se oiee p- y q.

3 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso -.- Resolver l siguiee ecució mricil CXDB-X siedo. Solució: l ecució CXDB-X grupmos ls expresioes que iee l icógi X queddo XXDB-C, plicdo l propiedd disriuiv por l derech ()XDB-C; por hipóesis ( ) y muliplicdo por l ivers por l izquierd e l úlim ecució ( ) ()X ( ) (DB-C) X ( ) Solució: (DB C). 8.- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: cos x sex, B, C sex cos x. Primermee clculmos el deermie de l mriz dd, cos x sex cos x ( se x) cos x se x, x sex cos x Luego exise l mriz ivers de y será: ocurre que cos x sex sex cos x cos x sex sex cos x que e ese cso y se dice que es u mriz orogol. B. ese cso uilizremos el méodo de Guss pr oeer l ivers medie comicioes lieles de ls fils de l mriz dd B. Cosidermos l mriz B mplid co l mriz uidd de orde que es l que se quiere coseguir:, si muliplicmos l fil primer por y se res l segud y e l ercer fil le resmos los / de l primer oeemos: ; hor es l ercer fil 9/ por l fil 9 Uidd docee de Memáics

4 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics segud ; l fil ercer por queddo 9 ; e lugr de l segud fil se poe veces l fil ercer más l segud fil ; dividiedo por l segud fil 9 8 ; primer meos veces ercer ; primer meos veces segud 9 8 ; y por úlimo dividiedo por l primer 9 8. Resuldo l mriz ivers de B: 9 8 B. Pr C uilizremos el méodo de Guss:

5 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics ; ; ; ; ; ; C

6 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso Pror que y so siempre mrices simérics. s comuivo el produco erior? Mosrr mié que es siméric, si es cudrd; qué sucede co? Solució: Por defiició X es u mriz siméric si ( ) ( ) y pr X X, pr se iee que: resul que ( ) ( ). geerl o es comuivo el produco erior, se cosiderr u corejemplo: pues resul y que evideemee o puede ser igules. hor l mriz es cudrd pr poder efecur l sum co su rspues, e cuyo cso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) luego es siméric; y cumple que l rspues coicide co l opues que sigific que - es isiméric..- ) Si B es u mriz isiméric, qué se puede decir de C B? ) Si y B so mrices simérics, qué se puede decir de B-B? Solució: ) B es isiméric B B. Y como C B eemos que: C ( ) B ( B) B C ( B) B luego C es isiméric. B es isiméric ) Por ser y B mrices simérics se cumple que y B B y eoces (B B) B B B B (B B) B B es isiméric..- ) Resolver el sisem liel Guss. x y medie el méodo de z Solució: siedo Uidd docee de Memáics

7 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics siedo siedo siedo siedo Por o, el sisem equivlee: x z y z z, cuy solució será x-; y; z ) Si llmmos l mriz de los coeficiees del sisem erior, hllr u mriz C l que C se u mriz rigulr superior equivlee e fils. C.- Hllr l ivers de co y se oiee: co se oiee: 9 co se oiee:

8 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics 8 9 co se oiee: 9 co se oiee: 9 co se oiee: 9 8 ) ) (.- álogo prolem pr 9. Solució: 9 f f f f f f, luego o es iverile y o puede escriirse como produco de mrices elemeles..- Se l mriz ; se pide: ) sudir el rgo de l mriz segú los vlores de y R.

9 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics 9 ) Pr cosideremos el sisem de ecucioes lieles XB, dode B. Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr. c) Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz -I es iverile, despejr X e l ecució: XC- D(X -). d) Clculr l ivers de -I pr. Solució: ) Pr resolver el clculo del rgo oeemos el vlor del deermie de : ) ( e igulmos cero ) (. Podemos disiguir los siguiees csos: Si, r(). Si ; co r(). Si ; cosidermos dos sucsos: Si co r(). Si co ( ) r(). ) Pr el sisem qued: z y x. Por el prdo erior si r() y l mriz mplid ) r( * el sisem es compile deermido.

10 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - * r() y l mriz mplid r( ) <º de icógis el sisem es compile ideermido. x z l sisem pr es x X y. z z c) XC- D(X -) XC- DX- XCDX (I-)XD-C y como -I es iverile se puede despejr X ( I ) ( D B) d) Pr qued y l mriz I co iee ivers y por djuos eemos que: Siedo que ls mrices, X e Y so de orde y que el deermie de es igul k, se pide : ) Clculr los deermies de,, -, -,. X Y ) Supoiedo que -I se iverile, resolver el sisem : X Y ( ) c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde: X X C (X B) X Solució: ) k ; k ; k k k ; k ; k. ) Semos que es iverile pues k. el sisem muliplicmos por l mriz l primer ecució: X Y (X Y) X Y resmos ls ecucioes X Y ( ) X Y ( ) X Y ( ) X X (X X) (I )X I X (I ). hor de l segud ecució: X Y Y X (I ) ( I) c) l ecució X X C (X B) X desrrollmos el préesis X X C X B X grupmos los sumdos co icógis Uidd docee de Memáics

11 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics C B X X X X queddo C B X scdo fcor comú eemos C) (B X y como es iverile muliplicdo por l ivers de C B X C) (B X y, por úlimo, despejdo X B) (C C) (B X..- Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de. ) Compror que I. c) Oeer. Solució: ). Pr geerlizr deemos cosiderr l sucesió ---()/ eoces: ) ( uilizdo l demosrció por iducció: cosidermos que se cumple pr y lo demosrmos pr : ) ( ) ( ) )( ( ) I

12 Sisems de ecucioes lieles. Mrices y deermies curso - Uidd docee de Memáics c) f f f f f f, luego.

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