Cadenas de Markov de tiempo Contínuo y Procesos de nacimiento y Muerte

Transcripción

1 Cdes de Mrov de iempo Coíuo y rocesos de cimieo y Muere ercicios resuelos.- Se iee u sisem e dos iveles, e el primer ivel usurios se coec u sisem de puess compucioles. l úmero de persos que se coec sigue u disriució de oisso s u/hr. Cd perso miers esá coecd reliz puess u segudo ivel. Cd perso geer puess co disriució expoecil s de β puess/hor. Ls persos coecds permece u iempo expoecil co s u/hr. Ls puess demor e ser edids u iempo expoecil s α u/hr. Se pide ) Disriució de proiliddes del úmero de eiddes e el ivel ms lo ) Disriució cou de proiliddes del úmero de eiddes e el ivel ms o y el úmero de eiddes e el ivel más lo. Desrrollo: ) ivel ms lo : l proceso { (( ) : º de usurios coecdos e, } es u proceso de cimieo y muere. * ; ; * * 3 ( 3) 3 3 * * Térmio geerl! Oeció de : ; > e!! Reemplzdo e el érmio geerl: e! ) Se Y ( ) : º puess e el ivel ms o { ( ) ; Y( ) } { Y( ) }* ( ) { Y( ) }?? e { }

2 L vrile leori Y( ) y Muere ( ) correspode u roceso de cimieo Ts de cimieo β Ts de muere α Usdo l disriució de proiliddes de l ler { Y ( ) } β α Reemplzdo e β! α { ( ), Y ( ) } e β α β! α * e!.- u clu de vereo ls persos ps el iempo erdo y sliedo de l pisci pr cper el clor de l empord de vero. Los ñiss er l pisci segú u roceso de oisso s promedio de 4 persos por miuo y permece e l pisci u iempo expoecil co u iempo medio de permeci de miuos. Supog que l pisci iee cpcidd ifii pr reciir ods ls persos que ere ell. Se pide : ) roilidd de que l pisci esé vcí. ) úmero medio de persos presees e l pisci. c) Tiempo medio de permeci e l pisci Desrrollo: Se ( ) :º de ñiss presees dero de l pisci e el ise. { ( ), } es u roceso de cimieo y Muere Tss de cimieo: ( ) 4 persos/miuo Tss de muere: Si cd perso permece e promedio miuos, l s de slid de u perso es de 6 persos por hor, luego ( ) Clculo de ls proiliddes ( 4) ( ) ( 4) ( 4) !

3 Térmio geerl 4! ( 4 ) 4 4! e! 4 4 e es es u disriució de oisso co s medi 4.! ) L ( 4) 4 ( 4) e! ( ) ( 4) ( 4) ( ) 4 4 e e!! ( 4) ( ) 4 L e hciedo el cmio de vriles 3 L e 4 4 ( 4)! e Arículos ser procesdos lleg dos procesos producivos y, los que compre u zo de lmcemieo de meris prims llmd uffer, e el cul se puede lmcer lo más rículos. Los rículos ipo dee ser procesdos e el proceso y los rículos ipo e el proceso. L llegd de rículos pr mos procesos sigue sedos procesos de oisso co ss y respecivmee. Los iempos de operció de cd proceso producivo so expoeciles co ss y. Los rículos que lleg cudo el uffer esá compleo, so derivdos oros lleres. Formule u modelo que permi coocer, e el lrgo plzo, l proporció de rículos derivdos oros lleres. Desrrollo: Se ( ) ( ) ( ) : úmero de rículos e el uffer y : úmero de rículos ipo, e el uffer : úmero de rículos ipo, e el uffer s clro que ( ) ( ) ( )

4 Se p: proporció de rículos que se deriv oros lleres. ( ( ) > ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) p p que : proilidd de que e el uffer hy rículos ipo y : proilidd de que e el uffer hy - rículos. el lrgo plzo, supoiedo l exiseci de u esdo esciorio se iee que se cumple l ecució de equilirio pr ls vriles ( ) y ( ), eso es v v Además como los cmios de esdo ocurre solo los esdos y, se iee que correspode sedo procesos de cimieo y Muere: y cució de equilirio [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) Ts de cimieo ( ) : ( ) < Ts de Muere ( ) : ( ) Ts de cimieo ( ) : ( ) Ts de Muere ( ) : ( ) < oces ls proiliddes so :

5 oces reescriiedo p se iee: p 4.- Supog que u Cociero de roc lleg persos e uses de cuerdo u proceso de oisso s. l erd hy u úic perso ediedo y le om u iempo expoecil corolr cd perso co s. Cd us re m persos co proilidd Uiforme de prámeros y. Formule u modelo de Cdes de Mrov de iempo coiuo que permi lizr, e el lrgo plzo el úmero de persos esperdo free l puer. Desrrollo: Se : úmero de persos esperdo pr err l cociero. el lrgo plzo, supoiedo l exiseci de u esdo esciorio se iee que se cumple l ecució de equilirio pr l vrile, eso es

6 v v Además como los cmios de esdo ocurre solo los esdos y, se iee que correspode procesos de cimieo y Muere: cució de equilirio [ ] Se Y el úmero de persos que lleg e u us. U Y, luego Y Ts de cimieo : { Y Ts de Muere : Luego Y e que Y * * * Y ρ * ρ ρ ρ

7 5.- u pequeñ ofici púlic iede u solo fuciorio ls persos que reliz sus rámies. Ls persos llg l ofici de cuerdo u proceso de oisso s. Ls persos so recis esperr demsido, de modo que si hy persos esperdo ser edids, cudo lleg co q se qued (de lo corrio se v si ser edidos). U vez proilidd e l col ls persos esper hs que los iede o hs que se les c l pcieci. Supoiedo que los cliees esper u iempo expoecil co s φ. Los iempos de esper de ls persos so idepediees ere si. l cero iede co iempos de servicio expoeciles s. Modele el úmero de persos e l col como u proceso de cimieo y muere, deermido ls ss y ls proiliddes de l vrile de esdo.. Desrrollo: Se ( ) el úmero de persos e l col de esper. Llegds (correspoderá cimieos): Ls persos que lleg l col de esper lo hce co disriució de q oisso s Slids (correspoderá mueres): Ls persos sle edids co disriució de oisso s o por impcieci co disriució mié de oisso s φ. Luego se puede supoer que l vrile ( ) de Mrov de iempo coiuo. se compor como u Cde or lo o ls proiliddes de rsició se rige por l ecució siguiee: d d i ( ) ( ) v v ( ) i que v es l s de slid del esdo y i v l s de slid del esdo. Se puede supoer que exise disriució esciori, de lrgo plzo, s exigir que ls ss de muere se myores que ls ss de cimieo. Cos que hremos ms dele.

8 oces si exise disriució escioris, hor ls proiliddes de rsició o depede del iempo i del esdo iicil, luego : i ( ) Además ls proiliddes de rsició de de cmir e el iempo luego: d d i ( ) Co eso l ecució erior se rsform e : v v ecució de equilirio e Cdes de Mrov de iempo coiuo. Ms específicmee se puede ver que los cmios de l vrile ( ) esdos coiguos. or eemplo si ( ) será y. Luego se puede modelr ( ) so eoces los cmios imedios como u roceso de cimieo y Muere y que los cmios so esdos coiguos. Luego se puede plicr direcmee ls proiliddes de esdo desrrollds e clses, s defiir decudmee ls ss. Tss de cimieo : ( ) q( ) Tss de muere : ( ) Termio geerl : q φ φ > q q q φ φ φ

9 q ( ) φ que ( ) q φ ercicios propuesos.- Se iee u sisem de puess elecróics e líe, e el cul los usurios se coec e form remo. Se ( ) el úmero de persos coecds l sisem e el ise. l úmero de persos que se coec sigue u disriució de oisso s u/hr. Ls persos coecds permece u iempo expoecil co s α u./hr. Oeg l disriució de proiliddes del úmero de persos e el sisem.