Universidad Abierta Interamericana. Facultad de Tecnología Informática

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1 Uiversidd Abier Iermeric Fculd de Tecologí Iformáic Crrer: Liceciur e Memáic U speco de l Diámic de Poblcioes: Relció Depreddor-Pres por Prici Móic Grcí Direcor de Tesis: Dr Mrí Lore Bergmii Tesis presed pr opr l íulo de Licecid e Memáic ~Agoso de 0~

2 Resume: Se prese u álisis delldo de u modelo memáico que describe l relció diámic ere poblcioes e u mismo hábi, e priculr, l relció depreddor-pres Se esudi l esbilidd de ls poblcioes de equilibrio Plbrs clves: modelos memáicos e biologí, diámic de poblcioes, Lok-Volerr, rcor globl, Lpuov

3 Idice Cpíulo I: Iroducció 3 -] Modelos Diámicos 3 Sisems Auóomos 6 Órbi o Trecori 6 3 Puo de equilibrio 7 4 Esbilidd 8 4 Defiicioes 8 4 Esbilidd por el méodo direco de Lpuov 9 -] Sisems Lieles Aálisis de los puos críicos de sisems homogéeos Iieles plos 4 3-] Sisems No Lieles 3 3 Defiició eiseci de solució 3 3 Lielizció de sisems o lieles 4 33 Esbilidd pr sisems o lieles rvés del sisem lielizdo 7 34 Ciclos límies 8 Cpíulo II: Modelo de Lok-Volerr 9 -] Modelos de Poblció 9 -] Modelo de Lok-Volerr 3 3-] Puos críicos del modelo 3 4-] Esbilidd del sisem segú Lpuov 34 5-] Órbis cerrds e el primer cudre 36 6-] Modelo de Lok-Volerr eedido 39 Cpíulo III: Coclusioes 47 Bibliogrfí 49

4 Cpíulo I: Iroducció El em del presee rbjo es el álisis memáico de u modelo biológico L Biologí cul requiere de l plicció de méodos cuiivos pr l descripció, eplicció, álisis predicció de procesos biológicos odo ese rmieo de los hechos biológicos se los v bridr l Memáic L relció ierdiscipliri ere l Memáic ls Ciecis Biológics se iició, pr lguos, e los comiezos del Siglo XX co los rbjos de Volerr, Lok oros, si olvidr que Medel hbí hecho, e el Siglo XIX, u rmieo esdísico de l hereci biológic icompredido e su momeo El desrrollo cul de l meciod ierdiscipliriedd, ere mbos cmpos del sber, hce que ho esemos hbldo de Biomemáic, co ugurios de u fuuro promisorio -] Modelos Diámicos: Describir el compormieo de lgú sisem o feómeo de l vid rel, se físico, sociológico o icluso ecoómico, e érmios memáicos, se llm modelizr memáicmee Es descripció memáic se de u sisem o de u feómeo, llmd modelo memáico, se cosrue co cieros psos objeivos e mee: i Ideificció de ls vribles: e ese pso se especific el ivel de resolució del modelo cudo se elige icorporr o o ods ls vribles, deermido el grdo de delle que edrá el modelo ii Elborció de u cojuo de hipóesis o suposicioes rzobles cerc del sisem que se esá iedo describir Ls suposicioes que se hiciero co respeco u sisem co frecueci iee que ver co u rpidez de cmbio de u o más vribles, l represeció memáic de ods ess suposicioes podrí ser u o más ecucioes co derivds E ors plbrs, el modelo memáico puede ser u ecució diferecil o u sisem de ecucioes difereciles iii U vez que se formul el modelo memáico que es u ecució diferecil o u sisem de ecucioes difereciles, se esá e el problem de rr de ecorr l solució Si se puede resolver, eoces se cosider que el modelo es rzoble si su solució es cosisee co dos eperimeles o hechos coocidos cerc del compormieo del sisem 3

5 Si embrgo, si ls prediccioes que geer l solució so mls, se icreme el ivel de delle del modelo, se hce ors suposicioes cerc de los mecismos de cmbio e el sisem Por supueso, que l icremer el ivel de delle o descripció se greg complejidd l modelo memáico se icreme l probbilidd de que o se obeg u solució eplíci Los modelos so proimcioes más o meos preciss del sisem o feómeo que se modeliz pr fcilir su compresió esudir su compormieo U modelo diámico cosiue u descripció, geerlmee memáic, del compormieo de u sisem Como se mecioó, uo de los modelos memáicos más úiles pr describir procesos diámicos coiuos es l ecució diferecil Ls plbrs diferecil ecucioes, si dud, idic resolver lgu clse de ecucioes que coiee derivds Formlmee, se dice que u ecució que coiee ls derivds de u o más vribles depediees, co respeco u o más vribles idepediees, es u ecució diferecil Ejemplos de ecucioes difereciles so: da k A se puede usr pr modelr crecimieo o decrecimieo d epoecil descomposició rdiciv, crecimieo de poblció de bceris, ec dt T d m es u modelo, por ejemplo, de l difusió de clor e u b k T cuerpo d d c k + se puede uilizr pr predecir l disemició de u efermedd provocd por virus Se dice que u ecució diferecil ordiri de orde, F,, ',, 0 es liel si F es liel e, ',, Eso sigific que es de l form: + + K g 0 o bie d d d + 0 g + K+ + d d d E el primer miembro de l ecució se ve que ls dos propieddes crcerísics de u ecució diferecil ordiri liel so como sigue: 4

6 L vrible depediee ods sus derivds,, so de primer grdo, es decir, l poeci de cd érmio e que ierviee es Los coeficiees 0,,, de,, depede sólo de l vrible idepediee Los ejemplos b so ejemplos de modelos lieles de primer orde miers que el ejemplo c correspode u modelo o liel E muchos procesos sisems so ecesris vris ecucioes difereciles pr describir decudmee su diámic U sisem de ecucioes difereciles de primer orde de vris vribles es de l form: d d d d d d f f,,,,,,,, f,,,, U solució de cosise e fucioes,,,, les que d j f j,,,,, j,,, Además de l ecució se d impoe co frecueci codicioes iiciles sobre ls fucioes,,, Dichs codicioes será de l form 0 0, 0 0,, L ecució, juo co ls codicioes iiciles 3, se cooce como problem de vlor iicil L solució de l problem cosise e fucioes,,, que sisfce ls codicioes iiciles 3 Alguos sisems de ecucioes difereciles de primer orde proviee de ecucioes de orde superior pr u vrible Tod ecució diferecil de orde e l vrible, puede epresrse como u sisem de ecucioes de primer orde pr ls vribles, d d,, d d 5

7 Sisems uóomos Se dice que u sisem de ecucioes difereciles de primer orde es uóomo cudo el sisem se puede escribir e l form d d d d f f,,,,,, 4 d d f,,, Se observ que l vrible idepediee o prece eplícimee e el ldo derecho de cd ecució diferecil E el cso que sí prezc, el sisem de ecucioes difereciles es o uóomo Si f deo los vecores colums respecivos, f,,, f,,, f f,,, eoces el sisem uóomo 4 se puede escribir e l form vecor colum compc & f dode el puo sobre l vrible idic derivció co respeco Cudo el sisem 4 se llm sisem uóomo plo el cul se puede escribir como Orbi o Trecori d f, d d f, d Se u solució de l ecució diferecil vecoril & f, f,, f,, f 5 f,, 6

8 e el iervlo 0 Coforme ume de 0, el cojuo de puos,,, describe u curv C e espcio de dimesió Es curv es l órbi o recori de l solució, pr 0, el espcio de dimesió, es el espcio de fses de ls solucioes de 5 Se suele deor mbié co ϕ l recori que comiez e el puo 0 es decir, co 0 3 Puo de Equilibrio: 0 0 U puo de equilibrio, puo fijo o puo críico es u puo,,, que ul ls fucioes ecucioes lgebrics: f j de 4, es decir, es u solució del sisem de f,,, 0 f,,, 0 6 f,,, 0 Depediedo de ls forms priculres de f,,, f f, el sisem 4 puede eer culquier cidd de puos críicos, que v desde cero hs u cidd ifii Pr el puo,,, l que f,,, 0 f,,, 0 se cumple que f,,, 0 es u solució cose del sisem de ecucioes 4 Por eso se lo llm puo de equilibrio o fijo, que deermi u solució cose érmios físicos, si u prícul e E R cu velocidd esá descri por 4, se ecuer e el puo de equilibrio, és permece quie co velocidd cero 4 Esbilidd 4 Defiicioes: Se cosider u puo fijo de u sisem & f 7

9 -Se dice que 0 es u puo fijo rcor si ods ls recoris que comiez cerc de se cerc él cudo Eso es, * cudo, si 0 esá cerc de E sisems lieles, u rcor fses, por lo o es llmdo rcor globl o geerl re ods ls recoris e el plo de Formlmee u puo es rcor si eise δ > 0 l que lím siempre que 0 < δ E ors plbrs, si u recori comiez u disci meor que δ de esá grizdo que coverge cudo - Se dice que u puo fijo es Lipuov esble si ods ls recoris que comiez cerc de Formlmee, u puo fijo permece cerc del puo odo el iempo es Lipuov esble si pr cd ε > 0, eise u δ > 0 l que < ε pr odo 0 si 0 < δ Así ess recoris que empiez u disci δ de permece u disci ε de pr odo 0 Figur Filmee, esble es sióicmee esble si el puo es rcor Lipuov rdio * 0 * 0 rcor Lipuov esble rdiod rdio more Figur Como se muesr e l figur, si u puo fijo es rcor, ls recoris que comiez cercmee puede lejrse de e lgú momeo, pero debe volver eder E corse, l esbilidd de Lipuov requiere que l cercí de ls recoris se meg e odo iempo U puo fijo puede ser Lipuov esble pero o rcor Cudo u puo fijo es Lipuov esble pero o rcor es llmdo puo eurlmee esble 8

10 Filmee, u puo fijo esble es iesble si o es i rcor i Lipuov U puo P es globlmee esble e u cojuo e B es ríd por él 4 Esbilidd por el méodo direco de Lpuov: B R si od recori E 89, Lpuov mosró que lgus fucioes puede usrse pr deermir l esbilidd de u puo de equilibrio Se V : D R u fució coiumee diferecible e u domiio D R que coiee el orige L derivd de V lo lrgo de ls recoris de & f esá dd por f V V V V V f V V& & i fi,,, f i i i i f L derivd de V lo lrgo de ls recoris de u sisem depede de l ecució del sisem Por lo o, V & será diferee pr los diferees sisems Si ϕ es l recori de & f que se iici e el esdo iicil e el iempo 0, eoces d V& V d ϕ 0 Por lo o, si V & es egiv, V dismiuirá lo lrgo de l solució de & f Euciremos u primer eorem de eiseci de solucioes que se usrá e l demosrció del eorem de Lpuov Teorem : Se f, coiu por pres e loclmee Lipschiz e 0 odo e u domiio D R Se W u subcojuo compco de D, 0 W, supogmos que se sbe que od solució de & f,, 0 0 permece odo el iempo e W Eoces eise u solució úic que esá defiid 0 Teorem Lpuov: Se el orige 0 u puo de equilibrio de & f dode f es coiu por pres loclmee Lipschiz pr odo e u 9

11 domiio D R coiumee diferecible l que que coiee l orige Se V : D R u fució V0 0 V > 0 e D - {0} 7 Eoces 0 es esble Más ú, si Eoces 0 V & 0 e D 8 V & < 0 e D - {0} 9 es sióicmee esble Demosrció: Ddo ε > 0, elijmos r 0, ε] l que B r { R / r } D Se α mí rv Eoces α > 0 por 7 Tomemos β 0, α se Ω β { / V β} B r Eoces Ω β esá e el ierior de B r Si o fuer sí, eisirí u puo p Ω β que se ecuer sobre l froer de B r E ese puo, V p α > β, pero pr odo Ω β, V β, lo cul es u cordicció ver figur El cojuo Figur : Represeció geoméric de los cojuos e l demosrció del Teorem Ω β iee l propiedd de que od recori que comiez e Ω β e 0 permece e Ω pr odo 0 β Es decir, si 0 de 8 se observ que Ω β, eoces V& Ω, pr odo 0 Eso es sí que 0 V V 0 β, 0 β 0

12 Como Ω β es u cojuo compco cerrdo por defiició codo porque esá coeido e B r, cocluimos por el Teorem que el problem de vlor iicil & f, 0 0 iee u solució úic defiid pr odo 0 cudo Como V es coiu V0 0, eise δ > 0 l que 0 Ω β δ V <β Eoces B δ Ω β B r, 0 B 0 Ω Ω B 0 δ β β r Por lo o 0 < δ < r ε, 0 lo que demuesr que el puo de equilibrio e 0 es esble Supogmos hor que 9 mbié vle Pr mosrr esbilidd sióic debemos probr que 0 cudo Como V es coiu V0 0, es suficiee mosrr que 0 V cudo Como mooóicmee decreciee cod iferiormee por cero, c 0 V cudo V es Mosrmos que c 0 por cordicció Supogmos que c > 0 Por coiuidd de V, eise d>0 l que Bd Ωc implic que l recori permece fuer de l bol El límie V c > 0 B pr odo 0 Se γ mád rv &, el cul eise porque l fució coiu V & lcz u máimo sobre el cojuo compco { d r } Sbemos que γ < 0 por 9 Iegrdo V & eemos que V V 0 + V& τ dτ V 0 γ 0 Como el ldo derecho se hrá egivo después de u ciero iempo, l desiguldd cordice 7 Eoces, o es ciero que c > 0, luego c 0 el puo de equilibrio 0 es sióicmee esble U fució coiumee diferecible que sisfce 7 8 se deomi fució de Lpuov L superficie V c se deomi superficie de Lpuov o superficie de ivel Usdo superficies de Lpuov, l figur 3 d u ierpreció iuiiv del Teorem L codició V & 0 implic que d

13 cudo l recori cruz l superficie de Lpuov V c se iroduce e el cojuo Ω { R / V c} uc puede slir de él Cudo V & < 0, l c recori se mueve de u superficie de Lpuov or superficie de Lpuov ierior co u c meor A medid que c decrece, l superficie de Lpuov V c se chic hs rsformrse e u puo el orige, mosrdo que l recori iede l orige cudo Si sólo sbemos que V & 0, o podemos segurr que l recori ied l orige, pero podemos cocluir que el orige es esble porque l recori puede ser ecerrd e culquier bol B sólo co requerir que el esdo iicil 0 ε pereezc u superficie de Lpuov coeid e dich bol Figur 3: Curvs de ivel de u fució de Lpuov c<c<c3 U fució V que sisfce 7 se dice defiid posiiv Si sisfce l codició más débil V 0 pr 0, se dice semidefiid posiiv U fució se dice defiid egiv o semidefiid egiv si V es defiid posiiv o semidefiid posiiv, respecivmee Si V o iee sigo defiido co respeco lguo de esos curo csos se dice idefiid El Teorem se puede eucir, usdo es uev ermiologí como: el orige es esble si eise u fució defiid posiiv coiumee diferecible l que V & es semidefiid egiv, es sióicmee esble si V & es defiid egiv -] Sisems Lieles: U sisem de ecucioes difereciles de orde es liel cudo es de l form:

14 3 g d d g d d g d d dode los coeficiees j i ls fucioes i g so coius e u iervlo comú? Culquier sisem que o puede represerse e érmios del sisem de ecucioes 0 se dice que es o liel Cudo 0 g i co i,,, se dice que el sisem liel es homogéeo, e cso corrio es o homogéeo Form mricil de u sisem liel: Si, A g deo mrices respecivs, A, g g g g Eoces el sisem de ecucioes difereciles lieles de primer orde 0 se puede escribir como d d + g g g o simplemee, g A + & Si el sisem es homogéeo, eoces su form mricil es A &

15 U vecor solució e u iervlo? es culquier mriz colum cuos elemeos so fucioes diferecibles que sisfce el sisem e el iervlo I U vecor solució de es, por supueso, equivlee ecucioes esclres,,, se puede ierprer desde el puo de vis geomérico como u cojuo de ecucioes prmérics de u curv e el espcio E el cso, ls ecucioes, represe u curv e el plo Aálisis de los puos críicos de sisems homogéeos lieles plos: De cuerdo lo desrrolldo eriormee, ls defiicioes fuero dds pr sisems de ecucioes difereciles e R como el modelo que se esudi e ese rbjo es u sisem e R, se epoe l descripció de los ipos de puos críicos resrigidos e u espcio bidimesiol es decir, Cosideremos el sisem d d d d b 3 + b + que iee l orige como puo críico L mriz mriz de coeficiees del sisem Supoemos que b b b b b A se deomi b es decir, el deermie de l mriz de coeficiees es o ulo Así, 0,0 es el úico puo críico 0 Los ipos de puos críicos que se ecuer e sisems de ecucioes difereciles lieles e R so los siguiees: -Nodo: Se disigue dos ipos de odos, odos propios odos impropios E los odos propios el rero de fses esá formdo por semirrecs dode ods er o ods sle del puo críico Se le llm mbié odo esrell 4 4

16 Cudo ls recoris iede l puo críico cudo, se dice que es u sumidero cudo sle de él, o se si iede l puo críico cudo, se dice que es u fuee E los odos impropios, iede e icluso er ls recoris cudo o, pr ese odo eise curo recoris e form de semirrecs co eremos e el puo críico ls reses recoris iee el speco de rms de prábol l eder hci el orige sus pediees iede l pediee de u de ls semirrecs -Puo sill: El puo críico * es u puo sill si el rero de fses muesr que ese puo iede hci él er dos semirrecs co eremos e * cudo h ors dos semirrecs que sle del puo críico cudo Ere ess curo semirrecs h curo regioes, ls cules coiee u fmili de recoris e form de hipérbols; ess recoris o iede hci * cudo semirrecs cudo, sio que so sióics lgu de ls -Cero o vórice: Es u puo críico que esá rodedo por u fmili de recoris cerrds Nigu recori iede él cudo ± -Foco: U puo críico * se llm foco o puo espirl si el rero de fses muesr que hci él iede o sle de él ls recoris de u fmili que gir e form espirl u úmero ifiio de veces cudo ± Se observ que uque ls recoris iede l puo críico *, o er él e u direcció deermid, es decir, d lim o eise d ± El ipo de puo críico de u sisem e priculr depede de los coeficiees del sisem, específicmee de los uovlores de l mriz de coeficiees, como se describe coiució Ae El sisem 3 iee u solució o rivil de l form Be λ λ siempre que λ se u uovlor de l mriz de coeficiees demás se clcul como ríz de l ecució cudráic A λ I λ + b λ + b b 0 5 L ecució cudráic idicd e 5 se cooce como ecució crcerísic del sisem Nóese que l codició 4 implic que cero o puede ser ríz de 5 Se λ λ ls ríces de 5 Se probrá que l 5

17 urlez del puo críico 0,0 del sisem 3 viee deermid por los úmeros λ λ Se esper res posibiliddes, segú que λ λ se reles disios, reles e igules, o complejos cojugdos A coiució se disigue cico csos clsificdos como sigue: Cso A: Si ls ríces λ λ so reles, disis del mismo sigo, el puo críico 0,0 es u odo Demosrció: Supogmos que λ λ so mbs egivs, elegimos l oció de modo que λ < λ 0 < L solució geerl de 3 e ese cso es cae cbe λ λ + c A + c B e e λ λ, 6 dode ls A ls B so coses defiids les que B A B A dode ls coses c so rbirris Cudo c 0, obeemos ls solucioes cae cbe cudo c 0 obeemos ls solucioes λ λ 7 cae cbe λ λ Pr culquier c >0, l solució 7 represe u recori cosisee e l semirrec 8 A B co pediee B A ; pr c <0 represe u recori que cos de l semirrec complemeri l erior l que esá l oro ldo del orige Como λ < 0 semirrec iede 0,0 pr 0,0 co pediee B A figur 4, mbs recoris e form de, como B A, mbs er 6

18 AB AB Figur 4 Ecmee del mismo modo ls solucioes 8 represe dos semirrecs e l rec A B, co pediee B A Ess dos recoris mbié iede 0,0 cudo, er él co pediee B A Si c 0 c 0, l solució geerl 6 represe recoris curvs Como λ < 0 λ < 0, ess recoris mbié iede 0,0 cudo Además, l ser λ λ 0 < 7 λ λ cb c e + B λ λ ca c e + A λ λ cbe + cbe λ c λ Ae + cae Es clro que B A cudo, sí que ods ells er 0,0 co pediee B A siució sióicmee esble L figur 4 prese u gráfico culiivo de es Es evidee que el puo críico es u odo, que es Si λ λ so mbos posiivos elegimos l oció de mer que λ > λ > 0, l siució es ecmee l mism ecepo que ods ls recoris iede 0,0 er él cudo L gráfic de ls recoris es como e l figur 4 pero co ls flechs iverids E ese cso se r de u odo iesble Cso B: Si ls ríces λ λ so reles, disis de sigos opuesos, el puo críico 0,0 es u puo sill Demosrció: Elegimos l oció de modo que λ < 0 < λ L solució geerl de 3 puede escribirse como 6, de uevo eemos solucioes priculres de l form 7 8

19 Ls dos recoris co form de semirrec represeds por 7 iede er 0,0 cudo, pero es vez ls represeds por 8 lo hce pr Si c 0 c 0, l solució geerl 6 represe recoris curvs, pero l ser λ < 0 < λ, igu de ells iede 0,0 cudo o E lugr de eso, cudo, cd u de ess recoris es sióic u de ls semirrecs 8, cudo, cd u de ells es sióic u de ls semirrecs 7 L figur 5 muesr u gráfic culiiv de ese compormieo E ese cso el puo críico es u puo sill iesble Siempre el puo sill es iesble porque csi ods ls recoris se pr de él medid que ume AB AB Figur 5 Cso C: Si ls ríces λ λ so complejs cojugds, pero o purmee imgiris, el puo críico es u foco o puo espirl Demosrció: E ese cso λ λ iee l form úmeros reles o ulos El discrimie D de l ecució 5 es egivo: + b b b b < ± ib, dode b so D b 9 L solució geerl de 3 e ese cso es: e e [ c A cosb Aseb + c Aseb + A cosb ] [ c B cosb B seb + c B seb + B cosb ] Dode ls A i B i so coses defiids ls c i so coses rbirris Supogmos primero que <0 Eoces esá clro de 0 que 0 e 0 8

20 0 cudo, de modo que ods ls recoris iede 0,0 cudo Además ls recoris o er 0,0 cudo, sio que gir e oro él e form de espirles Pr probr eso iroducimos l coorded polr θ se demosrrá que, lo lrgo de culquier recori, dθ d es de sigo cose pr odo Recorddo que θ rcg, sí que dθ d Y usdo ls ecucioes 3 obeemos dθ d d d d d ; + + b + b Supoemos que + 0 que solo sirve ls solucioes que represe recoris Ahor 9 implic que b iee sigos opuesos Cosideremos el cso que >0 b <0 Cudo 0, d dθ d > 0 implicrí que o se Si 0, dθ d o puede ser 0; porque, si lo fuer, pr lgú úmero rel b b 0 +, + b b 0, cos que o puede ser cier por cuo el discrimie D de l ecució es egivo por 9 Eso demuesr que dθ dθ es siempre posiiv si 0 > Aálogmee se ve que d d egiv si < 0 Pueso que, por 0, e cmbi de sigo ifiis veces cudo es siempre, ods ls recoris gir e espirl e oro l orige e seido corrio l de ls gujs del reloj o l revés segú se > 0 o < 0 E ese cso el puo críico es u foco, sióicmee esble Si > 0, l siució es l mism slvo que ls recoris iede 0,0 cudo el puo críico es iesble 9

21 L figur 6 ilusr l form de ls recoris cudo >0 cudo <0 el recorrido de ls recoris se preserá e form iverid Figur 6 Cso D: Si ls ríces λ λ so reles e igules, el puo críico 0,0 es u odo Demosrció: Supoemos que λ λ λ 0 H dos subcsos que requiere ser discuidos por seprdo: i b 0 b 0; < ii ods ls demás posibiliddes que coduce u ríz doble de l ecució 5 Cosiderdo el subcso i: Si deo el vlor comú de b, l ecució 5 se coviere e λ λ + 0 λ El sisem 3 es, por o, Y su solució geerl es d d d d ce ce Dode c c so coes rbirris Ls recoris defiids por 3 so semirrecs de ods ls pediees posibles figur 7 como λ < 0 vemos que cd u de ells iede er 0,0 cudo λ λ 3 E cosecueci, el puo críico es u odo sióicmee esble Si λ > 0, eemos l mism siució ecepo que ls recoris er 0,0 cudo, ls flechs de l figur 7 se iviere 0,0 es iesble 0

22 Figur 7 Discuiedo el subcso ii, l solució geerl de 3, se puede escribir c Ae c B e λ λ + c + c A B + A e + B e dode ls A ls B so coses defiids ls coses c rbirris Cudo c 0, obeemos ls solucioes λ λ 4 cae cbe Ess solucioes represe dos semirrecs de l rec λ λ 5 A B, co pediee B A, como λ < 0, mbs recoris iede 0,0 cudo figur 8 Además, como B A, mbs recoris er e 0,0 co pediee B A Si c 0, ls solucioes 4 represe recoris curvs, como λ < 0 iede 0,0 cudo Más ú, se deduce de que cbe c Ae λ λ + c + c B, es clro de 4 que ess recoris + B e λ A + A e λ cb / c c A/ c + B + A + B + A B A cudo, sí que ess recoris curvds er ods 0,0 co pediee B A Se observ mbié que B A cudo L figur 8 muesr u gráfic culiiv del compormieo de ls recoris Es clro que 0,0 es u odo sióicmee esble Si λ > 0, l siució es similr, slvo que ls direccioes de ls flechs debe iverirse el puo críico ps ser iesble

23 Figur 8 Cso E: Si ls ríces λ λ so imgiris purs, el puo críico 0,0 es u cero Demosrció: Bs referirse l discusió del cso C, porque hor λ λ so de l form ± ib co 0 b 0 L solució geerl de 3 viee dd por o por 0 si el fcor epoecil, sí que e periódics cd recori es u curv cerrd que rode l orige Como sugiere l figur 9, ess curvs so elipses evideemee u cero pero o sióicmee esble so El puo críico 0,0 es Figur 9 Si hor escribimos l ecució 5 e l form λ λ λ λ + pλ + q 0 λ, 6

24 De modo que λ + p λ q λ λ, luego los cico csos eriores so secillos de describir e érmios de p q como e érmios de λ λ Si se ierpre esos csos e el plo pq, se logr sber l urlez ls propieddes de l esbilidd e el puo críico 0,0 Lo primero observr es que el eje p o se q0 esá ecluido, que por 4 sbemos que λ λ 0 Tod l iformció de los cico csos codesd proviee direcmee de que λ, λ p ± p 4q Así pues, por ecim de l prábol p 4q 0 se iee p 4q < 0, luego λ λ so úmeros complejos cojugdos que so imgirios si sólo si p 0; correspoderí los csos C E de focos ceros Por debjo del eje p eemos q < 0, lo que sigific que λ λ so reles, disios de sigos opuesos; lo que origi los puos sill del Cso B Y filmee, l zo ere l prábol el eje p icluid l prábol pero ecluido el eje p se crceriz por ls relcioes p 4q 0 q > 0, de modo que λ λ so reles del mismo sigo odos del cso A sobre l prábol λ λ odos del cso D El primer cudre ecluedo los ejes, es u regió co esbilidd sióic; el semieje posiivo q correspode ceros por o es esble; el segudo, ercero curo cudres so regioes iesbles Filmee, se observ que el puo críico 0,0 del sisem liel 3 es esble si solo si mbs ríces de l ecució 5 iee pres reles o posiivs, es sióicmee esble si solo si mbs ríces iee pres reles egivs 3-] Sisems No Lieles: 3 Defiició eiseci de solució: U sisem -dimesiol de primer grdo que o puede represerse e érmios del sisem de ecucioes 0 se dice que es o liel Si es homogéeo su form vecoril es de l form: co f f, f, L, f,, L, & f 3

25 Teorem 3: Teorem de eiseci uicidd: d Se cosider el problem co vlor iicil f co 0 0 Se supoe d que f es coiu que ods sus derivds prciles fi so coius pr odo e lgú cojuo biero coeo pr j co i, j,, D R Luego 0 D, el problem de vlor iicil iee u solució e lgú iervlo ε,ε co ε > 0 es solució es úic E ors plbrs, l eiseci uicidd de ls solucioes esá grizds si f es coiumee diferecible Corolrio: Diferees recoris uc se iersec Si dos recoris se cruz, hbrá dos solucioes pr u mismo puo el puo de iersecció eso violrí l codició de uicidd del eorem E el espcio bidimesiol ese resuldo iee fueres cosecuecis opológics Por ejemplo, supogmos que h u recori cerrd C e el espcio de fses Luego, culquier recori que se iicie dero de C qued rpd e él Si h puos críicos, l recori puede cercrse uo de ellos, e cso corrio, l recori debe proimrse filmee l órbi cerrd 3 Lielizció de sisems o lieles: Cosidermos el sisem uóomo e R co u puo críico isldo e & f,, & g, 7, es decir f, 0 g, 0 Si f, g, se puede desrrollr e series de poecis de u v, eoces uilizdo u desrrollo de Tlor lrededor de, sisem 7 dop l form u & & f + u, + v f f f, + u, + v, + O u, v, uv f f u + v + O u, v, uv 8 dode ls derivds prciles so evluds e reso de érmios e u, v, i j v, el, O u, v, uv deo el u, co e i + j De mer similr 4

26 g g v & u + v + O u, v, uv 9 Escribiedo mricilmee lo erior, eemos f f *, * *, * u& u O u, v, uv + 30 v& g g,, *, * *, * v O u v uv L mriz J f,, g,, f f *, * *, * g g *, * *, * se llm l mriz jcobi del sisem 7 evlud e el puo críico, Cudo u, v so pequeños, es decir, cudo u, v 0,0 los érmios de segudo orde de orde superior so pequeños Desprecido esos érmios, se cojeur que el compormieo culiivo de 8 9 cerc l puo críico, es similr l del sisem liel socido: Se supoe que f u& *, * v& g *, * f de g f *, * u g *, * v f g, 0 3 se observ que si, es u puo críico eoces 0,0 es el puo críico e el uevo sisem de 3, por eso los eorems descripos coiució esá referidos l puo críico 0,0 El proceso erior de susiuir el sisem 7 por el sisem 3 se le llm lielizció de 7 e el puo críico, L lielizció es u procedimieo que permie proimr u modelo o liel por oro que sí lo es que cumple por lo o ls propieddes de los sisems lieles, se verá que es proimció o iee vlidez uiversl sio úicmee e el eoro del puo críico, como muesr l regió mplid e l figur 0 que ierpre gráficmee l ide de lielizció: 5

27 Figur 0 E form geerl cosiderdo el sisem: dode d + b + r, d d + b + s, d f f,, b,, 3 g g,, b, f, 0, g, 0 se supoe mbié que de b b 0 33 de l mer que el sisem liel socido iee 0,0 como puo críico isldo se supoe que f g so fucioes coius co primers derivds prciles coius pr odo, que lim, 0,0 r,

28 lim, 0,0 s, Ess dos úlims codicioes implic, debido l coiuidd de f g, que r0,0 0 s0,0 0, de mer que 0,0 es puo críico del sisem 3 Co ls resriccioes idicds, l puo 0,0 se le llm puo críico simple del sisem 3 Teorem 4: Se 0,0 u puo críico simple del sisem o liel 3, cosideremos el sisem liel socido 3 Si el puo críico 0,0 de 3 pereece lguo de los res csos A, B o C descrios e l Secció -] iem, el puo críico 0,0 de 3 es del mismo ipo H que reslr que si bie el ipo de puo críico 0,0 es el mismo pr el sisem o liel 3 que pr el sisem liel 3, e los csos ludidos por el eorem 4, l prieci cocre de ls recoris puede ser bse diferee Por ejemplo, l figur 5 muesr u puo sill ípico pr u sisem liel, o obse pr u sisem o liel l represeció gráfic de ls recoris de u puo sill preserá cier disorsió Observció: Es url cuesiorse sobre los dos csos D E de l Secció -] o meciodos e el eorem 4 Si el sisem liel socido 3 iee u odo froer e el orige cso D, el sisem o liel 3 puede eer u odo o u foco; si el sisem 3 iee u cero e el orige cso E, eoces el sisem o liel 3 puede eer u cero o u foco esble o iesble E resume, lielizr el sisem proporcio u cudro culiivo correco del plo de fses siempre cudo el puo críico del sisem lielizdo o se u puo de los csos froerizos D E Si el sisem lielizdo predice u puo sill, odo o espirl, el ipo de puo críico correspode mbié l sisem o liel origil E cmbio, si el sisem lielizdo predice u puo de los csos D E, puede ser lerdos por l supresió de los pequeños érmios o lieles 33 Esbilidd pr sisems o lieles rvés del sisem lielizdo: Teorem 5: Se 0,0 u puo críico simple del sisem o liel 3 cosideremos el sisem liel socido 3, se cumple que: Si el puo críico 0,0 del sisem liel socido es sióicmee esble, eoces el puo críico 0,0 del sisem 3 mbié es sióicmee esble 7

29 b Si el puo críico 0,0 del sisem liel socido es iesble, eoces el puo críico 0,0 del sisem o liel 3 es iesble c Si el puo críico 0,0 del sisem liel socido es esble, pero o sióicmee esble, eoces el puo críico 0,0 del sisem o liel 3 puede ser esble, sióicmee esble o iesble 34 Ciclos límies: U ciclo límie es u recori cerrd isld Aisld sigific que ls recoris vecis o so cerrds; so espirles que se mueve desde o hci el ciclo límie Si ods ls recoris vecis se cerc l ciclo límie, ése es esble o rcor; de lo corrio, el ciclo límie es iesble, o ecepciolmee, semi-esble Los ciclos límies so iherees de sisems o lieles; ellos o puede ocurrir e sisems lieles U sisem liel puede eer orbis cerrds, pero o so islds 8

30 -] Modelos de Poblció: Cpíulo II: Modelo de Lok-Volerr -Modelo de Fibocci: El modelo más iguo de crecimieo de poblcioes es el modelo que Leordo de Pis o Fibocci como se lo cooce desde el siglo XVIII uilizó pr describir el crecimieo de u poblció de coejos que describió e su fmoso libro Liber Abci publicdo e 0 Ae el problem de que priedo de u prej de coejos mcho hembr, Fibocci se pleb: cuás prejs hbrá l pricipio de cd empord? qué cidd hbrá después de empords? Pr resolverlo supuso ciers regls: Se comiez co u úic prej de coejos Cd prej de coejos mdur psdo ciero iempo T 3 Cd prej mdur de coejos produce u úic uev prej de coejos cd empord de criz 4 Los coejos so imorles Si se deo por N el úmero de prejs de coejos l pricipio de cd empord por l correspodiee empord, eoces l poblció de coejos se describe por l ecució e diferecis recurreci N + N +N -,,,3, Si se empiez por co ls codicioes iiciles N N, l fórmul erior os geer l fmos sucesió de Fibocci:,,,3,5,8,3,,34,55, 0 L ecució que model l poblció de coejos es u ecució e diferecis liel homogée Si se busc l solució e form susiuedo e l ecució erior se obiee ± 5 λ λ 0 λ, ; sí, pueso que es u ecució liel de orde dos, su solució geerl es: N A λ + B λ 0, usdo ls codicioes iiciles N N se obiee: N λ, N + + λ λ 5 9

31 -Modelo mlusio o epoecil: Cosiderdo que se iee u úmero bse lo de idividuos, se p el úmero de idividuos de u especie e el momeo Se supoe que l poblció esá isld o se, o h emigrció i imigrció Se r,p l difereci ere l rzó de lidd morlidd de l poblció Eoces p + h p r,p p h si se om límies cudo h? 0 se obiee p r,p p L ecució más secill posible se obiee si se cosider r, p r, cose Así, l poblció de idividuos de l especie puede ser modelizd medie el problem de vlores iiciles p r p p > 36 0 p0, 0 cu solució p 0 r 0 p e Ese modelo se lo cooce como modelo de Mlhus o modelo mlusio ddo que fue propueso por el ecoomis iglés Thoms R Mlhus Si r<0, l especie esá coded l eició, si r>0, és crece e proporció geoméric -Modelo Logísico: Auque se h viso que el modelo erior fucio rzoblemee bie pr poblcioes grdes, h que hcer vris correccioes pues si p empiez crecer demsido hbrá oros fcores como l fl de espcio o de limeos que frerá el crecimieo Así pues, vrios ños después, e 837, u memáico biólogo holdés, P F Verhuls, propuso u modelo lgo más relis coocido como el modelo logísico Verhuls rzoó que, como esdísicmee el ecuero de dos idividuos es proporciol p eoces el érmio rp de l ecució 36 hbrí que susrerle el érmio cp, co c>0 El problem de vlores iiciles que modeliz el crecimieo de l poblció será: p r p c p, p 0 p0, > 0 37 E geerl c h de ser mucho más pequeño que r que si r o es mu grde l ecució 36 es u proimció bse bue, pero si p comiez crecer demsido eoces el érmio cp o se puede obvir ermi fredo el crecimieo epoecil Usulmee c se escribe como el cociee recursos del hábi r / K dode K es l cpcidd de crg que esá ligd los 30

32 L ecució diferecil ordiri es u ecució seprble Luego dp pr cp dp d?? pr cp p log r r cp + C? o, l solució del problem de vlores iiciles 37 es: p C e r, por lo r cp rp0e p r 0 r cp + cp e 0 r 0 0 cp 0 rp 0 + r cp e 0 r 0 Nóese que lim?8 p c r K idepedieemee del vlor iicil p0 E el cso 0<p 0 < c r, l evolució de l poblció esá represed por u curv e el plo p que idic que medid que crece, p crece se proim más más c r si sobrepsr ese vlor Ese modelo se h probdo co vris especies el hecho de que l poblció se esbilice h sido comprobdo e disios eperimeos No iee e cue i ls guerrs i ls epidemis -Modelos geerles: E geerl, los modelos discreos de poblcioes más usdos iee l form u u F u u + f dode u mide l poblció e el período f es u fució o liel -] Modelo de Lok-Volerr E u ieo por clrr el orige de los ciclos de poblció, Alfred J Lok Vio Volerr proporcioro e form idepediee ls primers descripcioes memáics de ls ierccioes depreddor-pres dure l décd de 90 Sus modelos que uiliz ecucioes difereciles predice oscilcioes e el mño de ls poblcioes de depreddores press, dode los úmeros de los depreddores se desfs respeco de los de sus press Ess ierccioes ls represero memáicmee co el sisem de ecucioes: d f, d 38 d g, d 3

33 dode f, g, deermi l velocidd de crecimieo de cd u de ls poblcioes co represedo l poblció de ls press e l poblció de los depreddores Ese modelo se bs e ls siguiees hipóesis: i E useci de depreddor 0 l poblció de press crece proporciolmee su mño, es decir, iee espcio limeo suficiee Es decir, el crecimieo de l poblció esá ddo por d d, 0 e > 0, El úmero de press e useci del depreddor crece epoecilmee ii El depreddor sólo se lime de l pres De modo que si o h press, su mño dece co u velocidd proporciol su poblció, eso es d d c, 0 e c c > 0, El úmero de depreddores e useci de l pres, decrece epoecilmee hs eiguirse iii El úmero de ecueros ere el depreddor l pres es proporciol l produco de sus poblcioes Además, cd uo de los ecueros fvorece l úmero de depreddores dismiue el úmero de ls press Por lo o, l preseci de l pres beefici el crecimieo del depreddor como q, q > Miers que l iercció ere ells, dismiue el crecimieo de l pres por b 0, b > 0 Bjo ls hipóesis eriores se iee u modelo de iercció ere ddo por el siguiee sisem: d d d d b q c co > 0, > 0 los prámeros, b, c, q, so úmeros reles posiivos 4 3-] Puos críicos del modelo 3

34 33 El sisem de ecucioes 4 coocido como el modelo de Lok-Volerr cosise e u sisem de ecucioes difereciles ordiris o lieles f b b d d, g q c q c d d, + L mriz jcobi es + q c q b b g g f f,,,, Pr hllr los puos críicos resolvemos el sisem, 0 f b, 0 g q c + Resul que los puos críicos so 0,0 q c, b mbié llmdos puos de equilibrio? E el puo 0,0 eemos que l mriz jcobi es c g g f f 0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 de λ λ c λ - c - λ - λ - c - λ 0 λ λ - c Como λ λ so reles, disios de sigos opuesos, eoces el puo críico 0,0 es u puo sill del sisem lielizdo, eoces, por Teorem 4 es u puo sill del sisem 4 E u vecidd del 0,0 ls recoris iee el compormieo mosrdo e l figur 5 Por Teorem 5 pre b el puo 0,0 es iesble? E el puo q c, b eemos que l mriz jcobi es 0 / / 0,,,, b q q bc b d c g b d c g b d c f b d c f

35 0 λ de q / b λ λ, bc / q λ 0 λ + c ± 0 c + c λ c i λ c i Como λ λ so imgiris purs, el sisem lielizdo predice u cero Ese cso o esá coempldo e el eorem 4 eoces o se puede predecir l esbilidd del puo críico q b c, del sisem o liel 4 co ese eorem por l observció siguiee l eorem se descooce qué ipo de recoris posee 4-] Esbilidd del sisem segú Lipuov: Como el eorem 4 o brid iformció sobre el ipo de puo críico c P,, eso os coduce recurrir or herrmie que os permi q b deermir su compormieo Por eso, se relizrá el esudio de l esbilidd del puo críico P co el méodo de Lpuov Co el fi de cosruir u fució de Lpuov pr el sisem 4, se propoe u fució H como u sum de dos fucioes H α + β, 4 Se clculrá cómo debe ser α β de l mer que H sisfg ls codicioes sobre l derivd pr ser u fució de Lpuov Si se clcul l derivd de H lo lrgo de l solució del sisem 4, se obiee d d H dα d d d dβ d d d dα d dβ d, + b + q c Pr que ls solucioes de 4 viv e ls curvs de ivel de H se debe cumplir d H d Al seprr ls vribles e se iee, 0 dα d q c dβ d b 43 34

36 Como e so vribles idepediees, l ecució 43 se iee, si sólo si dα dβ d d ce q c b Y que es cose puede ser uo, se iee que Por lo o, α De igul mer, q cl Por lo o, β b l dα c q d dβ b d Así, H es de l form H, q c l + b l > 0 > 0, esá defiid pr A prir de H se busc propoer u fució de Lpuov, por lo que es ecesrio deermir los puos críicos de H Como, H H c, q, b, se iee que el puo críico de H es P H H Es decir,, 0 P Mosrremos que P es u míimo de H Pr ello, es suficiee probr que l mriz hessi de H e P es defiid posiiv Por defiició, Así Hess H α β α c β 0 0 U mriz de es defiid posiiv si H>0 pr odo R Pr, l defiició equivle : h >0 deh>0 35

37 q 0 Hess H P c b 0 q Como > 0 c Si Hess > 0 H P, se iee e que H iee u míimo e P c c m H P q c l + b l q q b b eoces l fució c m c cl + l q b V, H, m, es u fució de Lpuov e el primer cudre pr el sisem 4 Al efecur dv, d q c V& l, d d V&, q c d d d b l + d d d b + b q c m m V&, q qb c + bc + bq bc q + c m Resul V &, 0 Por lo o el puo de equilibrio P es esble Además ls solucioes vive e ls curvs de ivel de V e cosecueci e ls curvs de ivel de H, que V es sólo u rslció de H 5-] Órbis cerrds e el primer cudre Llmmos 0, 0 : ϕ I R R l recori solució del problem uóomo & f,, & g,, co codicioes iiciles 0 0, 0 0 Teorem 6: Cd recori e el primer cudre del sisem Lok-Volerr, es u órbi cerrd slvo el puo P los ejes coordedos Demosrció: Se demuesr por el bsurdo Se supoe que o se iee órbis cerrds e el primer cudre Teiedo e cue que l proimció liel posee u cero por eer ríces imgiris purs, el 36

38 sisem o liel 4 puede eer u cero o u foco espirl esble o iesble Al supoer por el bsurdo que ls órbis o so cerrds, luego ecesrimee debe ser espirles Se cosider u puo, R, > 0, > 0 w l que w P, luego eise u sucesió doblemee ifii,,, 0,,, de l mer que cudo l que w ϕ esá sobre l rec, cudo, Si w o esá e u órbi cerrd eoces los puos w sucesió moóo lo lrgo de l rec c q c, q ϕ form u Como el sisem 4 o iee ciclos límies porque esmos supoiedo que o iee órbis cerrds, w coverge P cudo ϕ coverge P cudo o ϕ w Y que H es cose sobre l recori de w, se coclue que P H w H Pero eso cordice l hipóesis de que H iee u míimo e P, porque l ser P w se edrí dos míimos Por lo o, ls solucioes de 4 e el primer cudre so recoris cerrds Así, dd culquier codició iicil 0, 0 diferee de, co 0 > 0 0 > 0 P, se iee que ls poblcioes de press depreddores oscil cíclicmee e el pso del iempo, como se observ e l figurs Ls recoris mosrds e ls figurs fuero obeids uméricmee 37

39 Figur : Órbis cerrds lrededor de P E 4 cudo 0 se obiee Figur : Zoom pr observr ls curvs cerc del cero d d d d 0 que iee por curv solució 0 e, 0 de l cul se ierpre que l umer l vrible l poblció de l pres crece idefiidmee Por lo cul se firm que el eje 0 es u recori del sisem 4 E 4 cudo 0 se obiee 38

40 d d d 0 c d que iee por curv solució 0 e, 0 de l cul se ierpre que l umer l vrible l poblció de los preddores iede cero eició Por lo cul, el eje 0 es u recori del sisem 4 c 6-] Modelo de Lok-Volerr eedido Si se modific el modelo de Lok-Volerr cosiderdo que l poblció compie por espcio o limeo, eoces se iroduce u uevo érmio l primer ecució del sisem 4, resuldo d d b β De form álog, si se supoe lo mismo pr l poblció, se obiee el siguiee sisem d d d d b β b β L, q c µ q c µ M, dode, b, c, q, µ, β, so úmeros reles posiivos; β µ represe l proporció de sobrepoblció de press depreddores respecivmee Pr ese uevo sisem los puos críicos so: P 00 0,0 c cb + µ q βc P 0, 0 P 0, P β µ,, qb + βµ qb + βµ Se descr el puo P 0 ddo que o esá e el primer cudre 0 Pr esudir el ipo esbilidd de esos puos críicos, ieremos plicr los eorems 4 5 cd uo de ellos L mriz jcobi de ese sisem es: Alicemos P 00 J b β b, J q 0 P 00 0 q c µ c λ 0 de λ c λ 0 c λ 44 39

41 λ c λ 0 λ λ c Como los uovlores de J P 00 so c reles, disios de sigos opuesos por el eorem 4 se iee que el puo críico P 00 es u puo sill, por el eorem 5, es iesble E el segudo puo críico, P 0, l mriz jcobi es J P 0 0 b β q c β λ de 0 b β q λ c λ q c λ β β q λ c λ 0 β de dode λ λ q β c O se que los uovlores de J P 0 so q Si c < 0, o se, β q c β c <, co lo cul mbos uovlores so reles, β q disios del mismo sigo que mbos so egivos eoces el puo críico P 0 es u odo esble rcor el puo de equilibrio o rivil P o q esá e el primer cudre, que c < o, q < cβ, q cβ < 0 β 3 q Si c > 0, o se, β > β c q figur, co lo cul mbos uovlores so reles, disios de sigos opuesos eoces el puo de críico P 0 es u puo sill el puo de equilibrio P esá e el primer cudre, por lo que es ecesrio lizr su compormieo locl Como 40

42 de J β b P q µ β λ b J P λ I β λ µ λ + qb q µ λ λ + λ β + µ + qb + βµ 0 λ de dode se puede cocluir: β + µ ± β + µ 4 qb + βµ Si β + µ 4 qb + β µ > 0 resul que u ríz es egiv: λ β + µ β + µ 4 qb + βµ l or ríz mbié e egiv, que qb + β µ > 0 β + µ 4 qb + β µ < β + µ luego, omdo ríz cudrd e mbos miembros, se obiee: resdo el segudo miembro: β + µ 4 qb + β µ < β + µ β + µ + β + µ 4 qb + β µ < 0 lo que idicrí que l or ríz mbié es egiv Al ser mbs ríces egivs; eemos uovlores reles, disios del mismo sigo, co lo cul el puo críico P es u odo sióicmee esble Si β + µ 4 qb + β µ < 0, ls dos ríces so complejs cojugds co pre rel egiv: β + µ E ese cso, el puo P es sióicmee esble por el eorem 5 Por lo cul l puo críico P se lo llm foco esble, lrededor del cul ls recoris espirles se proim él como se observ e l figur 4 Ls recoris de ls figurs 3 4 muesr el compormieo culiivo, o cuiivo, que o fuero obeids uméricmee 4

43 Figur 3 Arcor e P 0 Figur 4: Arcor globl e P Pr deermir el compormieo globl del sisem 44 e P se recurrirá l siguiee eorem pr sisems e el plo 4

44 Teorem 7: Se R D, u regió simplemee coe ρ, F, G C D Si ρ, F, + ρ, G, es esricmee posiiv o esricmee egiv e D, eoces el sisem & F,, & G, o iee órbis periódics e D Teorem 8: El sisem 44 o iee órbis periódics e el primer cudre Demosrció: Se hce or que el primer cudre es u regió simplemee coe Además, si se om L, ρ, se iee que, ρ & + ρ & + < 0 M β µ Ddo que es ecució es esricmee egiv cudre D {, / > 0, > 0} ρ C e el primer, se coclue por el eorem 7 que el sisem 44 o iee órbis periódics e el primer cudre A coiució se verá que el puo de equilibrio P del sisem 44 es globlmee esble Es decir, od órbi e D iede P cudo Pr ello se usrá l Tricoomí de Poicré-Bediso El cojuo? -límie es el cojuo de puos del plo los que se cerc l órbi ϕ 0, cudo deodo por? 0, 0 0 El cojuo -límie es el cojuo de puos del plo los que se cerc l órbi ϕ 0, cudo deodo por 0, 0 0 Tricoomí de Poicré-Bediso: Se ϕ, ; 0 u órbi e u 0 0 > regió B cerrd cod del plo Supogmos que B coiee sólo u úmero fiio de puos de equilibrio, eoces el cojuo? -límie om u de ls siguiees forms: i? 0, 0 es u puo de equilibrio ii iii Ddo? 0, 0 es u órbi periódic? 0, 0 coiee u úmero fiio de puos de equilibrios u cojuo de recoris ϕ i, cuos cojuos?-límie cosise e uo de esos equilibrios pr cd recori ϕ i 0 0, D, 0 > 0, 0 > 0, mosrremos que l órbi ϕ 0, 0 ; 0 permece e u cojuo cerrdo codo ddo por 43

45 {, R : ε A, F} B δ co ε δ suficieemee chicos A F suficieemee grdes Se mosrrá que ϕ, B pr [] Vemos que e l rec que ue A, δ A,F l derivd de es egiv Si o fuer sí: > 0 b β > 0 d b β > 0 d < 0 b β < 0 sedescr porque > 0 E 45 co A: b β A > 0 β A > b βa > b por ser b > 0 βa Eligiedo A suficieemee grde l que A > 0 < 0 b 46 o se verific pr igú e B, que > 0 d d < , l desiguldd eoces, u órbi que comiez dero de B, o puede slir de B por el ldo A [b] E l rec que ue A,F ε,f l derivd de es egiv Si o fuer sí: d d > 0 c q µ > 0 47 c q µ > 0 < 0 c q µ < 0 sedescr porque > 0 E 47 co F : c q µ F > 0 c > q + µ F q + µ F > c por ser c > 0 q + µ F Eligiedo F suficieemee grde l que F > 0 > A, l c desiguldd 48 o se verific pr igú e B, que d d A eoces, u órbi que comiez dero de B, o puede slir de B por el ldo F <

46 [c] Se mi{ :, ϕ 0, 0, pr 0} δ Resul δ > 0, que si fuer δ 0 quiere decir que l órbi ϕ 0, cor el eje Pero eso es 0 imposible, que el eje es u recori disi ϕ 0, disis recoris o puede corrse, slvo e el puo críico 0 P 0 o e el puo P 00 Si eso ocurrier, es decir, que ϕ 0, cor o oc el eje e u puo 0 críico, sigificrí que es recori igres e ese puo críico Pero eso o puede ser, que P 0 P 00 so puos sill, dode sólo er dos recoris, ls que esá sobre los ejes [d] Se mi{ :, ϕ 0, 0, pr 0} ε Resul ε > 0, que si fuer ε 0 quiere decir que l órbi ϕ 0, cor el eje Pero, igul l 0 cso erior, eso es imposible, que el eje es u recori disi ϕ 0, 0, o puede corrse, slvo e P 00 Como ese puo críico es u puo sill, l recori ϕ 0, o puede err e él 0 Por los íems [], [b], [c] [d] se puede firmr que 0 vése figur 5 ϕ 0, 0 B, pr odo P Figur 5 45

47 L regió B coiee solmee l úico puo críico P Por el eorem 8 se descr que? 0, 0 se u órbi periódic descrádose el cso ii de l Tricoomí Pr que se dier el cso iii de l ricoomí, como B iee u úico puo críico, ls recoris meciods deberí slir err e P, que debe ser que los cojuos? -límie de es recori so ese puo críico Pero eso o puede ser ciero, que P es u puo sióicmee esble Luego, ecesrimee debe ocurrir el cso i, es decir, que? 0, 0 P es u puo de equilibrio dode ls recoris que comiez e D se proim P cudo Se coclue que ods ls órbis del sisem 44 e el primer cudre iede l puo de equilibrio P que P es u puo globlmee esble, lo que os permie firmr 46

48 Cpíulo III: Coclusioes E el desrrollo memáico epueso del modelo depreddor-pres del sisem Lok-Volerr se observó que ods ls solucioes e el primer cudre so recoris cerrds lrededor del puo de equilibrio c, q b el cul se demosró que es u puo esble por el crierio de Lpuov Eso se ierpre e que los mños de ls poblcioes de press depreddores que cumple co ls hipóesis que esblece el modelo 4, oscil cíclicmee coforme rscurre el iempo como se visuliz e ls figurs Se observ que el modelo predice que e useci de press, los preddores se eigue Y e l useci de preddores, ls press crece idefiidmee Al modificr el sisem de Lok-Volerr surgió el modelo eedido compeeci dode se lizro los diferees ipos de puos críicos su compormieo Bjo ciers codicioes sobre los prámeros del modelo, se d dos puos críicos: P 00, que supoe l desprició de ls poblcioes, el puo P 0 que supoe l desprició de los depreddores El puo P 00 es iesble, por lo que o es esperble l eició de mbs poblcioes, comezdo co poblcioes posiivs El puo P 0 es esble, lo que idic que, si se cumple ls codicioes meciods, los preddores esá codedos l eició L or siució que puede suceder es l ocurreci de res puos críicos: P 00, que es iesble como es, P 0 que hor es iesble, P que es esble Se demosró que ls recoris del sisem 44 coverge l puo P cudo ése eise, lo que os esrí idicdo que ls dos poblcioes de press depreddores ermi coeisiedo co vlores cerc del puo de equilibrio P Si iicilmee o h pres el depreddor se eigue l recori iede l puo 0,0 Si o h depreddor el mño de l poblció de l pres iede β 47

49 To e el modelo 4 como e el modelo 44 ls poblcioes o se eigue mbs, siempre que iicilmee el mño de ls poblcioes se posiivo 48

50 Bibliogrfí: Álvrez-Nodrse, R Modelos memáicos e Biologí: u vije de id vuel Bol Soc Esp M Apl o0 0000, 40, Deprmeo de Aálisis Memáico, Uiversidd de Sevill Iem Blchrd, P Deve, R Hll, G 999 Ecucioes Difereciles Ieriol Thomso Ediores SA Boce, W DiPrim, R 000 Ecucioes Difereciles problems co vlores e l froer 4 edició Edioril Limus SA Grupo Norieg Ediores Bru M 990 Ecucioes Difereciles sus pliccioes Grupo Edioril Iberomeric Escobr Acos, Jime Ecucioes Difereciles, co pliccioes e Mple Uiversidd de Aioqui Deprmeo de Memáic Khlil, Hss K 00 Nolier Ssems 3r edicio Preice Hll López Cruz,JM Blé Gozález, G 008 Modelo Depreddor-Pres Revis de Ciecis Básics UJAT, Volume 7 Número Diciembre de 008: de l Uiversidd Juárez Auóomo de Tbsco Simmos G 993 Ecucioes difereciles, co pliccioes os hisórics d edició Espñ: Mc Grw Hill Spiegel, M 983 Ecucioes Difereciles Aplicds 3r edició Preice-Hll Hispoméric, SA Srogz S 994 Nolier Dmics d Chos Msschuses: Perseus Books Zill D Culle M 006 Ecucioes difereciles co problems de vlores e l froer 6 edició Méico Ierciol Thomso Ediores SA 49