TEMA 9: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 MTEMÁTICS II TEM 9: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Defiició Clsificció U ecució liel de "" icógis,,,,, es u iguldd del ipo:., siedo i úmeros reles coocidos, llmdos coeficiees. i so ls icógis cuo vlor h que deermir. úmero rel, llmdo érmio idepediee. Si l ecució se llm homogée. No so ecucioes lieles quells e ls que prece érmios como: - 8. Defiimos sisem de "m" ecucioes lieles co "" icógis como u cojuo de m igulddes de l form: m m.. m m Los coeficiees se represe como ij, os idic que se ecuer e l ecució "i" co l icógi "j". Si odos los érmios idepediees so, el sisem se llm homogéeo. Llmremos solució de u SEL co "" icógis culquier cojuo ordedo de "" úmeros reles que, susiuidos e el sisem, sisfce ods ls igulddes. Resolver u sisem es ecorr ods sus solucioes. U SEL o iee solució ecesrimee, si l iee, és o iee porqué ser úic. Ejemplos: ) U ecució: solució úic o iee solució ifiis solucioes ) : solució úic, ifiis solucioes (,), (,), (-,), 6 No iee solucioes / IBR IES L NÍ

2 MTEMÁTICS II c) : 8 se cor dos dos e los puos (,), (,-) (,), pero o h igú puo comú ls ecucioes: Icompile 8 6 H u solució comú ls res ecucioes: (,-) Compile Deermido 6 6 H ifiis solucioes porque ls res recs iee odos los puos comues: Compile Ideermido d) : Nigu: Icompile 6 Solució úic (,,) : Compile Deermido Ifiis: (,,), (,,), (-,6,), (,-,).. - Compile Ideermido Nor que e el cso de ifiis solucioes, h ecucioes que "sor" (so equivlees ors). Cudo o h solució se ñde codicioes "icompiles" co ls eriores. ediedo l º de solucioes de u sisem, los clsificremos del siguiee modo: Deermido SCD (solució úic) SEL Compiles (co solució) Ideermido (ifiis solucioes) SCI Icompiles (si solució) SI Los sisems homogéeos siempre so compiles, que iee l meos l solució i, llmd solució rivil. / IBR IES L NÍ

3 MTEMÁTICS II. Méodo de GUSS Los méodos usules pr resolver u sisem, o so más que rsformcioes sucesivs del sisem iicil e oros equivlees ere sí. Ls rsformcioes que se puede relir e u sisem de form que lo covier e oro equivlee, so:. Cmir el orde de ls ecucioes. Muliplicr culquier ecució por u º disio de.. Sumr u ecució or muliplicd por u º. Suprimir o ñdir u ecució que se comició de ls demás El méodo de Guss cosise e rsformr el sisem iicil e oro equivlee, e el cul ls icógis se puede despejr de form esclod. Ejemplos: SCD (,, ) SCD - 6 (,,) -- 6 Podemos simplificr el proceso del méodo de Guss si cosidermos úicmee los coeficiees los érmios idepediees, dispuesos e u mri:... mri de coeficiees del sisem. m m m... ' B. mri mplid del sisem. m m m m Ejercicios: º) Resuelve los siguiees sisems uilido l oció mricil del méodo de Guss: ) SCD, 9 6,, ) SI c) SCI d) SCD (,,) / IBR IES L NÍ

4 MTEMÁTICS II. Rgo de u mri Llmremos rgo de u mri l º de fils idepediees que posee. Se deo como rg(). Es clro que e el cso de u mri esclod el rgo coicide co el º de fils o uls que posee. U mri culquier se puede esclor relido u serie de rsformcioes:. Cmir el orde de dos fils.. Sumr u fil or fil muliplicd por u º rel.. Muliplicr u fil por u º disio de Co ess rsformcioes podemos oeer mrices equivlees. El rgo de u mri culquier será el mismo que el de u mri esclod equivlee l primer. Represe el º de fils (colums) lielmee idepediees de l mri (eclue ls fils que so comició liel de ls demás). Tmié se puede esudir el rgo de u mri por deermies, sádoos e el hecho de que ls fils o colums de u mri cudrd so depediees (so comició liel us de ors) si sólo si el deermie de dich mri es Ejercicios: º) Clcul el rgo de ls siguiees mrices: ) ) 6 c) d) 6 6 e) ( ) 6 f) B ( ) M 6 N - - P g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) / IBR IES L NÍ

5 MTEMÁTICS II / IBR IES L NÍ. Teorem de Rouché-Froeius Es u méodo pr clsificr u sisem liel e CD, CI o I. Se s e el cálculo del rgo de dos mrices: l mri de coeficiees del sisem l mri mplid ' (o B ). ) U sisem es compile si sólo si rg()rg(') ) U sisem compile (rg()rg(')) es deermido si sólo si el rgo del sisem coicide co el º de icógis. Resume: Cosideremos u SEL de "m" ecucioes "" icógis: Deermido SCD rg rg'º icógis Compile rg rg' Ideermido SCI SEL rg rg'< º icógis Icompile: rg rg' SI Ejercicios: º) Cómo se plic el eorem de Rouché-Froeius los sisems homogéeos? º) Clsific resuelve: ) ) (,, c) SI 9 ) d) ) (,, e) SI º) Dds ls mrices X 9, B, escrie ls res ecucioes del sisem XB resuélvelo, ecordo ods ls solucioes. 6º) Clsific resuelve el sisem:. [SCI ( -/, /,,)]

6 MTEMÁTICS II 6/ IBR IES L NÍ º) Discuir resolver: 6 m. Méodo de l mri ivers Sólo se puede plicr sisems cudrdos co. Cosideremos u sisem de "" ecucioes co "" icógis: L mri de coeficiees del sisem será:.... Si llmmos: X... B..., el sisem se puede epresr e l form: llmd epresió mricil del sisem. revidmee serí:.xb Si - cumple -.I. De ese modo podemos despejr X:.XB, muliplicdo e mos miemros por - por l iquierd: -..X -.B I.X -.B X -.B Ejemplo: SCD rg' rg ) ( d d 6 9 8

7 MTEMÁTICS II / IBR IES L NÍ Ejercicios: 8º) Co l ivers de l mri resolver 8 8. Oé rodmee l mri ivers de u mri, cudrd de orde, siedo que I. [(,); - I](Ju-) 9º) Resuelve por el méodo de l mri ivers:. (-,,).,, 6. Regl de Crmer Sirve pr resolver sisems de "" ecucioes co "" icógis, e los que l mri de coeficiees se regulr, es decir, de(). E ese cso se dice que el sisem es u sisem de Crmer. Nos d direcmee el vlor de cd icógi uilido l siguiee mri: E geerl, l icógi i viee dd por el cociee de dos deermies, i i, el del deomidor es el de l mri de coeficiees del sisem, el de cd umerdor se oiee cmido l colum i-ésim por l colum de los érmios idepediees. Oserv que esos sisems so siempre compiles deermidos, por ser regulr: de() rg()rg( )º icógis Ejercicios: º) Jusific si los siguiees sisems so de Crmer resuélvelos plicdo dich regl:.. c. CD (,,-) d. SCI e. 8 6 SI º) Pr l er de úmeros reles (,,) se ls mrices, B ) Clculr los deermies de ls mrices B. [-8; --] es l mri que se oiee cmido los coeficiees de por los érmios idepediees.

8 MTEMÁTICS II ) Pr, clculr el deermie de l mri produco.b [.(-)-8] c) Oeer rodmee pr qué vlores de,,, igu de ls mrices B iee ivers. [(/,/, )](Ju-) º) Ddo el sisem de ecucioes lieles que depede de los prámeros, c: (Ju-) c c, se pide: c. Jusificr rodmee que pr los vlores de los prámeros, c el sisem es icompile.. Deermir rodmee los vlores de los prámeros, c, pr los que se verific que (,,)(,,) es solució del sisem. [,-,] c. Jusificr si l solució (,,)(,,) del sisem del prdo ) es, o o, úic.[sí;scd] º) Discuir resolver: m m m 6 m ± SCD,, ;m SI ;m SCI(,, ) R m m m α α º) El sisem de ecucioes lieles α α α depede del prámero rel α. Discuir pr α α α qué vlores de α es icompile, compile deermido compile ideermido, α resolverlo e los csos compiles. α SCD(,, ); α SCI ( λ µ, λ, µ ); α SI α α º) Pror que pr u vlor rel de m el sisem es ideermido. Pr ese vlor m 9 de m ecorr ods ls solucioes del sisem. Ierprer geoméricmee el sigificdo del sisem. (Sep-) 6º) Ddo el sisem oeer pr qué vlores reles de m iee u úic solució m 8 clculrl pr cd uo de esos vlores de m. [m ; (,,)] (Sep-) λ º) Ddo el sisem de ecucioes lieles:, depediee del prámero λ, se pide: λ ) Deermir pr qué vlores de λ el sisem es compile deermido, compile ideermido e icompile. [λ ± SCD; λ SCI; λ- SI] ) Oeer el cojuo S de ls solucioes del sisem pr el cso compile ideermido. [(, --, )] c) Oeer el vecor de S orogol (perpediculr) l vecor (,,). [(,,-)] (Sep-) 8/ IBR IES L NÍ

9 MTEMÁTICS II λ 8º) Ddo el sisem : λ λ,que depede del prámero rel λ. Se pide: ) Deermir pr qué vlores de λ el sisem es compile deermido, compile ideermido e icompile. [ λ SCD; λ SCI; λ - SI] ) Oeer ls solucioes e los csos siguiees: compile deermido compile λ λ ideermido. (Ju-) [SCD,, ; SCI(-,,)] λ λ λ λ 9º) Ddo el sisem : λ λ,que depede del prámero rel λ. Se pide: λ 6 ) Deermir rodmee pr qué vlores de λ es compile deermido, compile ideermido e icompile. (Ju-) [ λ SCD; λ - SI; λ SCI] ) Hllr el cojuo de solucioes del sisem pr el cso compile deermido. c) Hllr el cojuo de solucioes del sisem pr el cso compile ideermido. λ λ ),, λ, c ),, R λ λ º) E el mercdo podemos ecorr res limeos preprdos pr gos que se fric poiedo, por kilo, ls siguiees ciddes de cre, pescdo verdur: limeo Migo: 6 g de cre, g de pescdo g de verdur. limeo Comel: g de cre, g de pescdo g de verdur. limeo Comec: g de cre, 6 g de pescdo g de verdur. Si queremos ofrecer uesro go g de cre, g de pescdo 6 g de verdur por kilo de limeo, qué porceje de cd uo de los compuesos eriores hemos de meclr pr oeer l proporció desed? (Sep-) [6%, %, 6%] ( λ ) º) Ddo el sisem de ecucioes co prámero rel λ : ( λ 6) se pide: ( λ ) ) Clculr pr qué vlores de λ el sisem sólo dmie l solució (,,)(,,).[λ,-] ) Pr cd vlor de λ que hce ideermido el sisem, oeer ods sus solucioes c) Eplicr l posició reliv de los res plos defiidos por cd u de ls ecucioes del sisem cudo λ -. [ plos coicidees](sep-6) α 9 º) Ddo el sisem de ecucioes lieles 9, se pide: α 9 ) Pror que es siempre compile, oeiedo vlores de α pr los que es α SCD; α SCI; α SCI ideermido. [ ] 9 9 ) Resolver el sisem erior pr α. (Ju-),, R º) Ddo el sisem de ecucioes lieles 6, se pide: (Sep-) α 9/ IBR IES L NÍ

10 MTEMÁTICS II ) Jusificr que pr culquier vlor del prámero rel α, el sisem iee solució úic. [ α ] α ) Hllr l solució del sisem e fució del prámero α. α,, α c) Deermir el vlor de α pr el que l solució (,,) del sisem cumple [] º) Clsific resuelve, cudo se posile, el siguiee sisem e fució de los vlores del prámero λ: λ [λ SCD(,,); λ SI] λ º) Ddo el sisem de ecucioes lieles. Jusific que el rgo de l mri mplid del sisem es meor que curo pr culquier º rel. [ ]. Clsific resuelve el sisem, si es posile, pr [SCI] c. Clsific resuelve el sisem, si es posile, pr [SI] 6 6º) Dds ls mrices X, se pide: ) Oeer rodmee odos los vlores de α pr los que es l úic solució de l R, ecució mricil XαX. [ { }] ) Resolver l ecució mricil XX. (Sep-) R º) ) Hll l práol de ecució c que ps por (-,6), (,) (,). [ -] ) Pr qué vlores de p o eise u de les práols que pse por (-,6), (,) (p,)? [ ± ] / IBR IES L NÍ