1. MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES... 3

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1 TE.- ÁGER. Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril. TRICES. OPERCIONES CON TRICES... CONCEPTOS PREVIOS... Defiició de mriz.... Defiició de orde de u mriz.... Represeció lgeric de u mriz.... TRICES ESPECIES.... riz fil... riz colum.... riz ul... riz opues... riz cudrd... riz rigulr superior... riz rigulr iferior.... riz digol... riz ideidd.... rices idéics o igules.... rices rspuess... riz siméric... riz isiméric.... OPERCIONES CON TRICES Sum Res Produco de u mriz por u úmero Produco de mrices Opercioes co mrices rspuess... riz Idempoee....- DETERINNTES, TRIZ INVERS Y RNGO DE UN TRIZ.... DETERINNTES... Defiició.... Cálculo del deermie de orde... Regl de Srrus. Cálculo del deermie de orde... eor complemerio de u elemeo de u deermie... djuo de u elemeo de u deermie... Desrrollo de u deermie de orde... Propieddes de los deermies...8 TRIZ INVERS Y OTRS TRICES... riz dju.... riz ivers... riz orogol.... riz regulr.... riz sigulr... Rgo de u mriz.... Deprme d Ecoomi Ficer

2 Álger.- SISTES DE ECUCIONES INEES. ÉTODOS DE RESOUCIÓN EEENTES: SUSTITUCIÓN, REDUCCIÓN E IGUCIÓN. ÉTODOS DE CRER Y DE GUSS.... CONCEPTOS PREVIOS... Ecució.... Sisems de ecucioes.... Tipos de solució... Tipos de ecució...8 SISTES DE ECUCIONES INEES....8 Plemieo geerl...8 riz mplid...9 Solució de u sisem de ecucioes lieles.... Clsificció de sisems de ecucioes lieles.... Teorem de Rouché-Fröeius... Sisems homogéeos de ecucioes lieles... Sisems de ecucioes lieles equivlees... ÉTODOS DE RESOUCIÓN EEENTES: SUSTITUCIÓN, REDUCCIÓN E IGUCIÓN... Susiució.... Reducció.... Igulció... ÉTODOS DE CRER Y DE GUSS... éodo de Crmer.... éodo de Guss... éodo de l mriz ivers....- RESOUCIÓN PRÁCTIC DE SISTES NO INEES SENCIOS... PNTEIENTO GENER Y TIPOS DE SOUCIONES.... SOUCIÓN SISTES DE ECUCIONES NO INEES...

3 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril. TRICES. OPERCIONES CON TRICES. CONCEPTOS PREVIOS. Defiició de mriz. U mriz rel es u cojuo de úmeros reles dispuesos e fils y colums. Ejemplos: / / Defiició de orde de u mriz. Se llm orde de u mriz l úmero de fils por el úmero de colums de dich mriz. Ejemplos: / ORDEN X / ORDEN X Represeció lgeric de u mriz. m m m m orde m Todos los elemeos de l mriz (myúscul) se simoliz co l mism ler,, e miúscul, y dos suídices i, j que represe: [ i: fil l que pereece el elemeo, i,,, m. (m fils) j: colum l que pereece el elemeo, j,,,. ( colums) ij ] TRICES ESPECIES. Se defie coiució u serie de mrices especiles, queddo por defiir oro ipo de mrices especiles rs iroducir ls opercioes co mrices y el cocepo de deermie de u mriz cudrd e seccioes poseriores. Deprme d Ecoomi Ficer

4 Álger riz fil. riz formd por u sol fil. Tmié se cooce como vecor fil. ( ) Ejemplos: ( ) ( ) X ORDEN X ORDEN riz colum. riz formd por u sol colum. Tmié se cooce como vecor colum. m m Ejemplos: ORDEN X X ORDEN - riz ul. Es quell cuyos elemeos so odos ulos..,,, j m;,,, i ij K K Ejemplos: ( ) riz opues. mriz opues de u mriz [ ij ] es or mriz del mismo orde cuyos elemeos so los de l mriz muliplicdos por [ ij ][- ij ] Ejemplo: ;

5 riz cudrd. Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Es quell que iee el mismo úmero de fils que de colums, m. E u mriz cudrd se llm digol pricipl l líe olicu formd por los elemeos ij cuyos suídices so igules. Ejemplos: riz rigulr superior. / Es u mriz cudrd e dode los elemeos que qued por dejo de l digol pricipl so odos ceros, ij, i > j. Ejemplos: / riz rigulr iferior. Es u mriz cudrd e dode los elemeos que qued por ecim de l digol pricipl so odos ceros, ij, i < j. Deprme d Ecoomi Ficer

6 Álger Ejemplos: / 8 riz digol. Es u mriz cudrd dode los elemeos que o esá e l digol pricipl so odos ulos, ij, i j. Se r de u mriz que es simuláemee mriz rigulr superior e iferior. Ejemplos: riz ideidd. Es u mriz digol e l que odos los elemeos de l digol pricipl so igules l uidd, ij, i j; ij, i j. Se represe por l ler I, myúscul. Ejemplos: I I rices idéics o igules. Dd u mriz [ ij ] de orde m, se dice que es igul l mriz [ ij ] del mismo orde si se verific que ij ij i,,, m; j,,,. Ejemplos: c}. z, y, { c z y rices rspuess. Dd u mriz [ ij ] de orde m, m, su rspues es or mriz que se represe por m, y se oiee iercmido ordedmee ls fils por colums: ji ij i,,, m; j,,,.

7 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer Ejemplo: / / NOT: Osérvese que l rspues de l mriz rspues es l mriz origil: ( ). riz siméric. Se deomi mriz siméric quell mriz cudrd que es igul o idéic su mriz rspues. Teiedo e cue cudo dos mrices so igules o idéics, se iee que:,,, j i, ji ij K NOT: No puede her mrices o cudrds que se simérics, por lo que es codició ecesri que se cudrd. Ejemplos: NOT: s mrices digoles so simérics. riz isiméric. Se deomi mriz isiméric quell mriz cudrd cuy rspues coicide co su mriz opues. Teiedo e cue cudo dos mrices so igules o idéics, se iee que:,,, j i, ji ij K Por cosiguiee, los elemeos de l digol de u mriz isiméric dee ser ulos, y que e cso corrio es imposile que u úmero se igul sí mismo cmido de sigo. Ejemplos:, ;

8 Álger 8 OPERCIONES CON TRICES. Sum. Dds dos mrices del mismo orde, y, se defie su sum como or mriz, C, del mismo orde que ls mrices sumdo cuyos elemeos se oiee sumdo cd elemeo de l primer mriz,, el correspodiee elemeo de l segud mriz sumdo, : [ ij ] m ; [ ij ] m C [c ij ] m co c ij ij ij, i,,, m; j,,,. Ejemplo: / / 8 9 (/ ) ( / ) ) ( / / Res. res de dos mrices del mismo orde y, se defie como l sum de más l mriz opues de, por lo que resulrá ser or mriz del mismo orde, D, cuyos elemeos se oiee de resr cd elemeo de l primer mriz (miuedo) el elemeo correspodiee de l mriz que res, (susredo). [ ij ] m ; [ ij ] m D - [d ij ] m co d ij ij - ij, i,,, m; j,,,. Ejemplo: / (/ ) ( / ) ) ( / / Produco de u mriz por u úmero. Dd u mriz [ ij ] m y úmero rel α R, se defie el produco de u úmero por es mriz como or mriz del mismo orde cuyos elemeos se oiee de muliplicr cd uo de los elemeos de por el úmero α: m,,, j m;,,, i ] [ ij ij m ij K K α α

9 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Ejemplo: α / / ; α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / 8 Produco de mrices. Pr poder muliplicr dos mrices y, ( ), el úmero de colums de l mriz que muliplic e primer lugr,, dee ser igul l úmero de fils de l mriz que muliplic e segudo lugr,. sí pues, dds dos mrices m, p, el resuldo de muliplicr por,, es or mriz C, co s fils como l mriz que muliplic e primer lugr y s colums como l mriz que prece e el produco e segudo lugr, C mp. os elemeos de l mriz C se oiee de muliplicr ls fils de l primer mriz por ls colums de l segud mriz. Ese produco cosise e muliplicr u elemeo de l fil por el correspodiee de l colum y sumr el resuldo l reso de producos de elemeos de es fil por es colum. c ij k ik kj i, K, m; j, K, p Ese produco de vecores fil por vecores colum se ilusr co el siguiee ejemplo: ; c c c c c c c c c c c c Ejemplos: ; Deprme d Ecoomi Ficer 9

10 Álger ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( NOT: Ddo como esá defiid l muliplicció de mrices, se iee que l muliplicció de mrices, e geerl, o cumple l propiedd comuiv: Esá clro pr el cso de dos mrices de disio orde y e dode uo de los dos producos o eis (porque o se cumple el requisio pr poderse muliplicr). El resuldo que eis o coicidirá co el oro que o eise, por lo que o se cumple l propiedd comuiv. Pr el cso de que ls dos mrices se de disio orde y los dos producos eis, porque se cumple el requisio o codició ecesri pr poderse muliplicr, el resuldo de será u mriz de disio orde que el resuldo de, por lo que mpoco se cumple l propiedd comuiv, como se h viso e el ejemplo erior. Si ls dos mrices so del mismo orde, pr que los dos producos eis, dee ser mrices cudrds, pr que se cumpl el requisio pr poderse muliplicr, pero mpoco se cumple, e geerl, l propiedd comuiv. E el siguiee ejemplo se d el cso de l eiseci de los dos producos ddo como resuldo u mriz cudrd del mismo orde e mos csos, pero que o coicide: ; Opercioes co mrices rspuess. prir de coocer ls opercioes ásics co mrices y el cocepo de mriz rspues, esá demosrdo lo siguiee:.- mriz rspues de l sum de dos mrices es igul l sum de ls mrices rspuess de ls mrices sumdo: ) (

11 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer Ejemplo: ; ) ( ;.- mriz rspues de l mriz que resul de muliplicr u úmero por u mriz es igul l produco del mismo úmero por l rspues de dich mriz: R ) ( α α α Ejemplo: α α α α ) ( ; ;.- mriz rspues de l mriz que resul del produco de dos mrices es igul l produco de ls rspuess de ls mrices que se muliplic cmido el orde del produco: ) (

12 Álger sm m s sm ms s m D D ) (C ) ( NOT: Si o se cmi de orde el produco de ls rspuess puede o o ser posile, o ser u mriz de disio orde que l mriz que resule de cmir el orde del produco de rspuess, o puede icluso ser del mismo orde, pero resulr u mriz disi. s? m s m Ejemplo: ; ) ( ; ) ( riz Idempoee. U vez defiido el produco de mrices, se puede defiir el cocepo de mriz idempoee como quell mriz cudrd cuyo produco por sí mism es igul sí mism: Ejemplo: mriz ideidd es u mriz idempoee. es idempoee.

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14 Álger.- DETERINNTES, TRIZ INVERS Y RNGO DE UN TRIZ. DETERINNTES. Defiició. Se deomi deermie de u mriz cudrd l úmero que resul de sumr/resr odos los producos que puede oeerse omdo u fcor y sólo uo de cd fil y u fcor y sólo uo de cd colum. os producos resules so!, si es el orde de l mriz cudrd. El sigo posiivo o egivo, sumr o resr, depederá de si ls permucioes formds por los primeros y segudos suídices de los elemeos de l mriz cudrd so de l mism clse o de disi clse. Dicho de or mer, si u vez fijdo el primer suídice de ls fils, l relizr ods ls permucioes posiles de los suídices de ls colums de l mriz, se produce u úmero k pr o impr de iversioes e dichs permucioes, se sumrá o resrá el produco de los elemeos de l mriz correspodiee l reso de producos pr oeer el deermie: (-) k.... U iversió se produce cudo u elemeo erior e l permució (u suídice de colum) es myor que oro poserior e dich permució. os deermies se represe por l mriz ere dos rrs prlels: de( ) / Ejemplo: Pr u mriz cudrd de orde, se edrí colums y res fils, co suídices del l. Fijdo el primer suídice correspodiee ls fils e, y,... Se iee que ls permucioes (comicioes si repeició) posiles de los suídices de ls colums {,, } so ls siguiees,! : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) s iversioes que se sucede e cd uo de los csos so: (,, ): Nigu, k. < <, por o el produco esrá sumdo pues esrá muliplicdo por (-) k (-). (,, ): U, k, pues el segudo elemeo de l permució es myor que el ercero >, pero o hy más iversioes, pues <, <. Por o, el produco esrá resdo pues esrá muliplicdo por (-) k (-) -. / Se eplic pr el cso cocreo de mrices reles cudrds, es decir, quells e ls que odos sus compoees so úmeros reles, por lo que el deermie será mié u úmero rel correspodiee.

15 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril (,, ): U, k, pues el primer elemeo de l permució es myor que el segudo >, pero o hy más iversioes, pues <, <. Por o, el produco esrá resdo pues esrá muliplicdo por (-) k (-) -. (,, ): Dos, k, pues el primer elemeo de l permució es myor que el ercero >, y el segudo mié es myor que el ercero, pues >, pero o hy más de dos, pues el primer elemeo sigue siedo meor que el segudo, <. Por o, el produco esrá sumdo pues esrá muliplicdo por (-) k (-). (,, ): Dos, k, pues el primer elemeo de l permució es myor que el segudo >, y mié es myor que el ercero, pues >, pero o hy más de dos, pues el segudo elemeo sigue siedo meor que el ercero, <. Por o, el produco esrá sumdo pues esrá muliplicdo por (-) k (-). (,, ): Tres iversioes, k, pues el primer elemeo de l permució es myor que el segudo >, mié es myor que el ercero, pues >, y el segudo elemeo es myor que el ercero, >. Por o, el produco esrá resdo pues esrá muliplicdo por k (-) (-) -. El deermie de será: de() NOT: Es defiició permiirí clculr el deermie de culquier mriz cudrd, pero como se h viso e el ejemplo es complej de uilizr, por lo que se v eplicr oros méodos pr oeer el deermie de u mriz cudrd. Se prirá del cso más secillo de mrices cudrds de orde, pr ver luego el de ls mrices cudrds de orde medie l Regl de Srrus, y geerlizr el cálculo de deermies de orde superior medie el méodo de los meores djuos. Cálculo del deermie de orde. regl prácic pr clculrlo prir de l defiició erior es: Regl de Srrus. Cálculo del deermie de orde. regl prácic pr clculrlo prir de l defiició erior se deomi Regl de Srrus: Deprme d Ecoomi Ficer

16 Álger Sum: Res: Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 eor complemerio de u elemeo de u deermie. Ddo u deermie de orde, se llm meor complemerio de u elemeo ij l deermie de orde (-) que resul de suprimir l fil i y l colum j correspodiees dicho elemeo. Ejemplo: Ddo el siguiee deermie: 9 El meor complemerio o socido l elemeo es: djuo de u elemeo de u deermie. Ddo u deermie de orde, se llm djuo de u elemeo ij su meor complemerio muliplicdo por (-) ij, es decir, iee sigo posiivo si l sum de los suídices del elemeo e cocreo es pr, y se le cmi el sigo l meor si l sum de los suídices es u úmero impr.

17 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Ejemplo: E el ejemplo erior, el djuo del elemeo es ( ) ( ) ( 8) 8 Desrrollo de u deermie de orde. Ddo u deermie de orde, se puede oeer su vlor medie el produco de los elemeos de u fil culquier (o los de u colum lerivmee), por sus correspodiees djuos: K K K K (fil ) (fil ) (fil ) (fil ) (colum ) (colum ) (colum ) (colum ) NOT: Ese méodo esá prodo, por lo que l oeció de u deermie de orde se reduce clculr deermies de orde (-), y sí hs que los meores (deermies) de orde iferior resolver se de orde ó como mucho. U deermie de orde, e geerl se resolverí co de orde, uo de orde co de orde, uo de orde co de orde. sí, uo de orde se resolverí co meores de orde, ó de orde,. Se reduce el prolem de clculr u deermie de orde superior clculr más deermies, pero más secillos. ás rde se eplicrá u méodo, sdo e propieddes de los deermies, que reducirá e l prácic el úmero de meores (deermies de orde iferior) resolver, pues se omiirá el cálculo de muchos de los djuos, l coseguir que el elemeo correspodiee se cero, lo que ul el sumdo resule de muliplicr el elemeo ulo por su juo. Ejemplo: Deprme d Ecoomi Ficer

18 Álger 8 9 Se h opdo por resolver prir de l cur fil, y que coiee más elemeos ulos, ceros, por lo que los cálculos se reduce: 9, ] ) ( ) ( 9 ) )( ( 9 [ 9 ) ( 9 ) ( Propieddes de los deermies..- El deermie de u mriz es igul l deermie de su rspues:.- Si se permu ere sí dos fils o dos colums, el deermie cmi de sigo: i h g f e d c ; i h g c f e d.- Si u deermie iee dos fils o dos colums igules, el deermie es ulo..- Si e u deermie se muliplic por u úmero odos los elemeos de u fil o de u colum, el deermie qued muliplicdo por ese úmero, y que odos los sumdos que proporcio el resuldo del deermie esá muliplicdos por dicho úmero. i h g f e d c k i h g f e d kc k k

19 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril.- Si u deermie iee dos fils o dos colums proporcioles, el deermie es ulo c k k kc k c k g h i g h i NOT: Podrí cosiderrse que odo deermie que coeg u fil o u colum ul, l meos, es u cso priculr de es propiedd co k..- Si odos los elemeos de u fil o de u colum esá cosiuidos por dos sumdos, el deermie puede descompoerse e l sum de dos deermies: c ' c c ' c d d' e f d e f d' e f g g' h i g h i g' h i.- El vlor de u deermie o vrí si u fil o u colum se le sum or prlel muliplicd por u úmero. c d e f g h i c c c c d kg e kh f ki d kg e kh f ki d e f k g h i g h i g h i g h i g h i NOT: El coocimieo y domiio de ess propieddes es fudmel pr operr co deermies. plicdo de mer sisemáic l propiedd, se puede coseguir que e u deermie culquier se ule odos los elemeos de u fil o de u colum ecepo uo de ellos, co lo que se oiee u deermie equivlee co u desrrollo mucho más secillo. Ejemplo: Se v clculr el deermie hciedo ceros es de plicr el méodo de los djuos. Segú l propiedd, l ercer colum se le sum l primer colum muliplicd por meos, lo que drá lugr u deermie del mismo vlor, queddo el siguiee deermie co u primer fil co u elemeo ulo más que el deermie origil: Deprme d Ecoomi Ficer 9

20 Álger Segú l propiedd, l cur colum se le sum l primer colum muliplicd por meos, lo que drá lugr u deermie del mismo vlor, queddo el siguiee deermie co u primer fil co res elemeos ulos, lo que fcili l resolució del mismo medie el méodo de los djuos: ( ) ( 9 ) ( 88) TRIZ INVERS Y OTRS TRICES. riz dju. mriz dju de u mriz cudrd es or mriz que resul de susiuir cd elemeo por su djuo. ; dj () Ejemplo: Clcule l mriz dju de. dj () ; dj () 8

21 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer ; ; ) ( ; ; ) ( 8; ) (8 ; ) ( ; ; ) ( ; riz ivers. mriz ivers de u mriz cudrd es or mriz cuyo produco por l primer es igul l mriz uidd o ideidd: I Pr oeer l mriz ivers - de u mriz se uiliz l mriz dju: ) dj( No: Es codició ecesri que el deermie de se disio de. Ejemplo: Pr clculr l ivers de l mriz se procede sí: Se comprue primero si el deermie de l mriz es disio de cero, pues e cso corrio, l mriz o dmie ivers. dj ) dj( ; 8 Pr oeer l mriz ivers - se divide l mriz dju de l rspues de por su deermie que y h sido clculdo: ) dj( 8

22 Álger Se puede compror que es correc muliplicdo l mriz por su ivers recié clculd: riz orogol. Se dice que u mriz es orogol si muliplicd por su rspues d como resuldo l mriz ideidd, o dicho de or mer, si su mriz rspues es igul su mriz ivers. orogol I Ejemplo mriz ideidd es u mriz orogol. riz regulr. Es quell mriz que dmie mriz ivers pues su deermie es disio de cero. regulr Ejemplos riz sigulr. Es quell mriz que NO dmie mriz ivers pues su deermie es NUO. sigulr o irregulr / Ejemplos Rgo de u mriz. Se llm rgo de u mriz l máimo orde de los meores o ulos de l mriz, es decir, es el orde del myor meor o ulo. Se represe por rg(). Pr clculr el rgo de u mriz se v seguir u proceso reierivo (lgorimo). Se usc u deermie disio de cero que se el más grde posile (myor úmero de fils/colums) que se pued formr prir de ls fils y colums de l mriz. Se empiez uscdo u deermie

23 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril disio de cero de orde y se v cosruyedo sucesivmee deermies (meores) de orde superior, es decir, co u fil más y u colum más que el erior de meor orde o ulo. NOT: El cocepo de rgo de u mriz es impore como se verá e el álisis de l solució de u sisem de ecucioes lieles, pues permiirá coocer de emo el ipo de solució de dicho sisem co sólo clculr el rgo de us mrices. Ejemplos: Clcule el rgo de l mriz. Ddo que se r de u mriz de, como máimo se podrá cosruir u deermie de orde, por lo que el rgo de es mriz será como máimo, rg(). Se empiez por uscr u deermie de orde cosruido co u elemeo de u fil y de u colum de que se disio de cero. Después se usc uo de orde que o se ulo prir de los elemeos de fils y colums de. Si se ecuer l meos uo, se procede l úsqued de uo de orde cosruido de igul mer, y sí sucesivmee e oros csos, o e el de ese ejemplo cuyo máimo orde es (meor ere el ol de fils y el ol de colums de l mriz):.- Co l primer fil y primer colum se cosruye u deermie de orde o ulo: rg().- Se se que el rgo de es como míimo. Se usc hor u meor de orde o ulo. Tomdo los elemeos pereeciees l primer y segud fils y l primer y cur colums se cosruye u deermie de orde o ulo, uque es se h clculdo el meor de orde resule de omr los elemeos de ls dos primers fils que mié pereece ls dos primers colums, co resuldo ulo, sí como el meor de orde resule de omr los elemeos de ls dos primers fils pereeciees l primer y ercer colums, co resuldo igulmee ulo: rg().- Co el resuldo erior, se se que el rgo de es como míimo. Se usc hor u meor de orde o ulo. Tomdo los elemeos pereeciees l primer, segud y ercer fils y l primer, segud y cur colums se cosruye u deermie de orde o ulo, uque es se h clculdo el meor de orde resule de omr los elemeos de ls primers fils que mié pereece ls primers colums, co resuldo ulo: Deprme d Ecoomi Ficer

24 Álger rg() NOT: Si odos los meores de orde huiese sido ulos, el rgo de huier sido. Por ese moivo el rgo de, mriz de es :.- Co l primer fil y primer colum se cosruye u deermie de orde o ulo: rg().- Se se que el rgo de es como míimo. Se usc hor u meor de orde o ulo. Tomdo los elemeos pereeciees l primer y segud fils y l primer y cur colums se cosruye u deermie de orde o ulo, uque es se h clculdo el meor de orde resule de omr los elemeos de ls dos primers fils que mié pereece ls dos primers colums, co resuldo ulo, sí como el meor de orde resule de omr los elemeos de ls dos primers fils pereeciees l primer y ercer colums, co resuldo igulmee ulo: rg().- Co el resuldo erior, se se que el rgo de es como míimo. Se usc hor u meor de orde o ulo. Todos los meores de orde so ulos. os res que se puede cosruir co l segud colum ul será ceros, pues odo deermie que coeg u colum o u fil ul es mié ulo como se h viso e ls propieddes. Sólo quedrí u deermie que o se se si es ulo de emo por o coeer fils/colums uls y es el que resul de uilizr l primer, ercer y cur colums, sí como ods ls fils. Si emrgo, mié es ulo, pues coiee dos colums igules. Colums: ª, ª, ª:

25 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Colums: ª, ª, ª: Colums: ª, ª, ª: Colums: ª, ª, ª: 8 8 Como odos los meores de orde posiles de es mriz so ulos, el rgo de es mriz es, o es el máimo. Sólo coiee colums y fils lielmee idepediees, es decir, que o se puede epresr como comició liel de ls ors. Deprme d Ecoomi Ficer

26 Álger.- SISTES DE ECUCIONES INEES. ÉTODOS DE RESOUCIÓN EEENTES: SUSTITUCIÓN, REDUCCIÓN E IGUCIÓN. ÉTODOS DE CRER Y DE GUSS. CONCEPTOS PREVIOS. Ecució. Se r de u epresió líic que ple l deermició de los vlores de los rgumeos que hce igules dos fucioes. f(,, K, f, g ) g(,, K, : R R los rgumeos de ls fucioes se les llm eoces icógis, (,, K, ) y los vlores que ome dichs icógis pr que ls dos fucioes se igules e u deermido cojuo se llm solucioes o ríces de l ecució. c (c, c, K, c ) R /f(c) g(c) c es solució. Nóese que od ecució defiid como es podrí epresrse sí: f(,, K, ) g(,, K, ) prir de hor, se v cosiderr l epresió de u ecució e geerl cosiderdo que e el segudo érmio de l ecució prezc u úmero o ecesrimee ulo, llmdo érmio idepediee y que procederí memáicmee de l difereci ere ls dos fucioes que se igul, queddo e el primer érmio u fució h() procedee e pre de l difereci ere f() y g(): h : R Sisems de ecucioes. f() g() h() h() R, (,, K, ) ) R, R u cojuo de ecucioes se le deomi sisem de ecucioes y se represerí sí: h(,, K, h : R (,, K, (,, K, ) R R m m ) R ) R m m E u form más eedid, h i : R h m R; R; i,, K, m : h (,, K, h (,, K, ) i (,, K, ) ) m

27 Tipos de solució. Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril E geerl, los ipos de solució de u ecució o de u sisem de ecucioes so: - Solució úic: Eise u úic comició de vlores pr ods ls icógis que sisfce l iguldd. - Solució múliple: Eise más de u comició de vlores pr ls icógis que logr l iguldd. Ese úmero de solucioes puede, su vez, ser: o Solució múliple co úmero fiio de solucioes. o Solució múliple co úmero ifiio de solucioes. - Solució o cod: lgu icógi e l solució dee eder más ifiio o meos ifiio pr verificrse l iguldd, lo que podrí eederse como u solució imposile de lczr y, por o, se podrí cosiderr como ieisee. - Ieisee: No eise comicioes de vlores e el cojuo de úmeros (reles, eeros, rcioles, ec.) e el que se plee l úsqued pr ls icógis que proporcioe l iguldd pled e l ecució. Ejemplos: Ecució co solució úic: h() / Ecució co solució múliple: Número fiio de solucioes: siguiee ecució iee dos solucioes: h() ± ( ) ()() ± () ± Ifiis solucioes: h (, y) y y ( )(y ) ó y s solucioes es ecució so los vecores de R que cumple que: {(, y) R / } {(, y) R /y } Es decir, ifiios vecores del ipo (, y), o del ipo (, ) cumple l ecució. Solució o cod: siguiee ecució iee como solució, o esá codo el vlor de : h() e l(e ) l() Solució ieisee: solució l siguiee ecució o es u úmero rel, por lo que o eise solució e dicho cojuo pr es ecució: h() R Deprme d Ecoomi Ficer

28 Álger Tipos de ecució. ediedo l crierio de l lielidd o o de l fució h() que defie u ecució, se puede clsificr e: - ieles: relció eisee ere ls vriles es liel, es decir, ls vriles prece sumdo o resdo ere sí muliplicds por úmeros reles. E l epresió líic de l fució ls vriles prece elevds l poeci ó, pero o prece i muliplicds ere sí, i dividedo u or, i como rgumeos de fucioes rigoomérics, logrímics, i epoeciles. Se puede epresr medie el produco mricil de u mriz de coeficiees por u mriz (vecor) de icógis iguldo u mriz (vecor colum) de érmios idepediees. - No lieles: fució reflej relcioes o lieles ere ls vriles, serí ods ls ecucioes que o fuer lieles. Pr ls primers se h desrrolldo más de u méodo de resolució que emple cálculo mricil, miers que ls seguds supoe myor complejidd e los méodos de resolució y l ieiseci de u méodo geerl de resolució pr ods ells. Ejemplos: De ecucioes lieles: De ecucioes o lieles: y z y y z l( ) se( y) y form: SISTES DE ECUCIONES INEES. Plemieo geerl. U sisem de m ecucioes lieles co icógis es u cojuo de m igulddes de l h () h (,,, h m () h m h () h (,,, ) (,,, ) ) m 8

29 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer 9 m m m m R ij, so úmeros reles, llmdos coeficiees, co i,,,, m; j,,,,.,,, K, so ls icógis. R i, so úmeros reles, llmdos érmios idepediees. Si odos los érmios idepediees so ulos, l sisem de ecucioes se le llm, homogéeo. epresió mricil del sisem liel de ecucioes es: m m m m m m m m m es l mriz de coeficiees; es l mriz o el vecor de icógis; m es l mriz o vecor de érmios idepediees. riz mplid. prir de u sisem de ecucioes liel se puede cosruir l mriz mplid priedo de l mriz de coeficiees de ls ecucioes, ñdiedo como úlim colum, l colum de érmios idepediees. Se deo por *.

30 Álger * m m m m Es mriz se uilizrá pr esudir y resolver sisems de ecucioes lieles. Solució de u sisem de ecucioes lieles. Es u cojuo ordedo de úmeros ( α, α, K, α ) R les que l susiuir ls icógis,, K, ) por esos úmeros, se verific ls m igulddes. ( Clsificció de sisems de ecucioes lieles. Segú el úmero de solucioes de u sisem de ecucioes lieles, se clsific e: - Sisem icompile: Sisem si solució. - Sisem compile: Sisem co l meos u solució: - Sisem compile deermido: Sisem co solució úic. - Sisem compile ideermido: Sisem co ifiis solucioes. Teorem de Rouché-Fröeius. Ddo u sisem de m ecucioes lieles y icógis,, co mriz de coeficiees, y dd l mriz mplid, *, cosruid prir de. Eoces ) Si el rg() < rg(*), el sisem es INCOPTIE. ) Si el rg() rg(*), el sisem es COPTIE:. rg() rg(*) (úmero de icógis), el sisem es compile DETERINDO.. rg() rg(*) < (úmero de icógis), el sisem es compile INDETERINDO. Sisems homogéeos de ecucioes lieles. Si u sisem de ecucioes lieles es homogéeo, es decir, o hy érmios idepediees e igu ecució, se se de emo que v ser compile, pues dmie, l meos, u solució, l rivil, que cosise e que ods ls icógis om el vlor cero. θ m m m U solució de ese sisem es l rivil:,, K, ) (,,,). ( K o que hy que esudir es si sólo dmie l solució rivil (compile deermido), o dmie ifiis solucioes demás de l solució rivil (compile ideermido). Ejemplos:

31 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer Clsifique los siguiees sisems de ecucioes lieles: ) z y z y z y z y * El rgo de l mriz es el máimo posile,, y que h sido posile ecorr u meor o ulo de orde cosruido co sus fils y colums. E ese cso, l mriz mplid iee el mismo rgo que, pues el mismo meor que h servido pr cocluir que eí el rgo máimo esrá icluido e l mriz mplid y por o, és mié edrá como rgo el orde de ese meor, uque se ñd u colum.. ) rg( rg() 9 * Como rg() rg(*), el sisem es compile, y como rg()rg(*), úmero de icógis, el sisem es COPTIE DETERINDO. ) z y z y z y z y * El rgo de l mriz es, pues eise u meor de orde disio de cero y o eise igú meor de orde disio de cero, y que se ul odos. Se podrí precir que l ercer fil es el dole de l primer más l segud, pero si o se preci es circusci, se dee clculr odos los meores de orde posiles (sólo hy uo) y compror que odos so ulos, por lo que el rgo o puede ser el máimo. rg() rg() <

32 Álger Se cocluye, pues que el rgo de es, rg(). Se procede hor l esudio del rgo de l mriz mplid, eiedo e cue que pr uscr u meor de orde de l mism que se disio de cero se descrrí los y clculdos sólo co ls colums de, pues er ulos (er ulo e ese cso, pues sólo hí uo de orde ). El rgo máimo de * es, pues se r de u mriz de por. ) rg( * * Como el rgo de l mriz mplid es myor que el de l mriz, rg(*)>rg(), el sisem o iee solució, es INCOPTIE. c) z y z y z y z y * El rgo de l mriz es, pues eise u meor de orde disio de cero y o eise igú meor de orde disio de cero, y que se ul odos rg() ) rg(, rg() * < Se cocluye, pues que el rgo de es, rg(). Se procede hor l esudio del rgo de l mriz mplid, eiedo e cue que pr uscr u meor de orde de l mism que se disio de cero se descrrí los y clculdos sólo co ls colums de, pues er ulos (er ulo e ese cso, pues sólo hí uo de orde ). El rgo máimo de * es, pues se r de u mriz de por.

33 * 8 8 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril (No hce fl clculrlo, pues y se h clculdo es) Como odos los meores de orde de * so ulos y eise uo de orde, clculdo e el esudio del rgo de, que o se ul, se cocluye que el rgo de l mriz mplid, *, mié es. Eso se puede cocluir l precir que l ercer ecució resul de resr l primer l segud ecució, lo que huier horrdo el cálculo de odos los meores de orde posiles (el de y oros dicioles pr *) y compror que odos so ulos. El rgo, pues, o es el máimo. Como el rgo de l mriz mplid es igul l de l mriz, rg(*) rg(), el sisem iee solució, es COPTIE, pero como el rgo de ess mrices es meor que el úmero de icógis,, el sisem iee ifiis solucioes, es COPTIE INDETERINDO. Sisems de ecucioes lieles equivlees. Dos sisems de ecucioes lieles se dice que so equivlees si iee ls misms solucioes. Dos sisems de ecucioes lieles equivlees iee el mismo úmero de icógis, pero o es ecesrio que eg el mismo úmero de ecucioes. Oeció de sisems equivlees: Si se sum u ecució de u sisem or ecució del mismo muliplicd por u úmero disio de cero, se oiee u sisem equivlee. Si se ñde u sisem de ecucioes or ecució resuldo de u comició liel de ls eriormee eisees, el sisem resule es equivlee l origil. Ess propieddes, plicds de form geerlizd y repeid, suse lguo de los méodos de resolució de los sisems como el de reducció o el más geerl de Guss. Ejemplos: Pr el siguiee sisem de ecucioes lieles se escrie coiució sisems de ecucioes equivlees cosruidos sádose e ls propieddes eriores. Deprme d Ecoomi Ficer

34 Álger y z y z 8 y z Sumdo ls ecucioes ª y ª se oiee u ecució que ñdid l sisem origil proporcio u sisem equivlee co u úmero myor de ecucioes que el origil, pero sigue proporciodo l mism solució, pues l ecució ñdid es comició liel de ls ors, es decir, l uev ecució l cumple ls solucioes que cumplí ls ecucioes que h ddo orige l uev. y z y z 8 y z y z Si se sum l ª ecució del sisem origil l ª ecució y se susiuye l ª por el resuldo, se iee u sisem equivlee: y z y z 8 y z Si se sum l ª ecució del sisem origil l ª ecució muliplicd por y se le res l ª fil, reemplzdo l ª fil por el resuldo, se iee u sisem equivlee: y z y z 8 y z ÉTODOS DE RESOUCIÓN EEENTES: SUSTITUCIÓN, REDUCCIÓN E IGUCIÓN. os siguiees méodos so más ásicos e iuiivos, y so poco operivos pr l resolució de sisems co u úmero elevdo de ecucioes que requiere de méodos de resolució como el de Crmer, el de Guss o el de l mriz ivers, y sus dpcioes, por ejemplo. Susiució. Cosise e despejr u icógi e u de ls ecucioes, lo que sigific dejr e uo de los dos érmios de l ecució l icógi y l reso de elemeos e el oro érmio. sí qued l icógi despejd e fució del reso de icógis. U vez despejd e es ecució, se susiuye es icógi e el reso de ecucioes. Trs es susiució, quedrá e el reso de ecucioes el úmero de icógis iicil meos uo. El proceso de repie co u segud icógi e or ecució hs que l fil quede u ecució co u úic icógi. Ejemplo: Ddo el siguiee sisem y y

35 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Se despej de l primer ecució l icógi e fució de y. Después se susiuye e el reso de ecucioes (l segud) y se despej l or vrile, y, e fució del reso procediedo como e el cso erior, susiuyedo e el reso de ecucioes, pero como y o hy más vriles se c oeiedo l solució úic que iee el sisem: y y ( y) y y y y y Reducció. Se r de u méodo sdo e l eiseci de sisems equivlees. Si se sum u ecució de u sisem or ecució del mismo muliplicd por u úmero disio de cero, se oiee u sisem equivlee co u ecució diferee, pero co l mism solució. sádose e es propiedd, se r de plicrl vris veces pr susiuir ls ecucioes del sisem co comicioes lieles de ecucioes del mismo, de mer que se oeg filmee ecucioes co u úic icógi que se fáciles o imedis de resolver. sí, pr el cso más secillo de u sisem de dos ecucioes y dos icógis, los psos seguir por ese méodo serí:.- Se muliplic los miemros de ls dos ecucioes por los úmeros que coveg pr que u de ls icógis eg el mismo coeficiee e ls dos ecucioes..- Se res ls dos ecucioes que hy resuldo y l eer el mismo coeficiee u icógi, és se elimirá rs l res..- Se resuelve l ecució co u icógi y después se susiuye su solució e culquier de ls ecucioes iiciles pr oeer l solució de l or icógi. E el cso de más de dos ecucioes, el pso se repeirí co ls ecucioes que coveg pr coseguir ecucioes co u úic icógi. Ejemplo: y Ddo el siguiee sisem y Se muliplic l primer ecució por. Después se res ms ecucioes. Se oiee l solució pr y. Se susiuye l mism e l primer ecució y se iee l solució pr : y y y y y y Deprme d Ecoomi Ficer

36 Álger Igulció. Ese méodo cosise e despejr l mism icógi e dos ecucioes del sisem e igulr ls epresioes resules, queddo u ecució co el úmero iicil de icógis meos uo. Esá pesdo, por ser elemel, pr l resolució de sisems de ecucioes, pues pr más ecucioes, l igulció edrí que hcerse co oros pres de ecucioes, eiedo que comir ese méodo co el de susiució pr poder resolver el sisem. Ejemplo: y Ddo el siguiee sisem y Se despej e ls dos ecucioes. Después se igul ls dos epresioes de, y se resuelve pr l icógi y. coiució se susiuye l mism e culquier de ls epresioes de e fució de y oeids prir de ls ecucioes y se iee l solució pr : y; y y y y y y y ÉTODOS DE CRER Y DE GUSS. Se v preser res méodos: el de Crmer, el de Guss y el de l mriz ivers. os res méodos se desrrollro iicilmee pr sisems compiles deermidos co el mismo úmero de ecucioes que de icógis (sisems cudrdos), uque se puede dpr los sisems que o verifique que m, siempre que se compiles, pr que se pued plicr dichos méodos. éodo de Crmer. Ddo u sisem de m ecucioes lieles y icógis, m m m m m regl de Crmer proporcio el vlor de l solució pr cd icógi siempre que se verifique los siguiees supuesos sore el sisem: ) Se re de u sisem cudrdo, es decir, que eg el mismo úmero de ecucioes que de icógis, m. ) El deermie de l mriz de coeficiees NO se ulo, es decir, que l mriz de coeficiees,, se regulr. Esos dos supuesos cofigur l sisem de ecucioes como u sisem compile deermido, l ser l mriz de coeficiees cudrd y eer el máimo rgo, l mriz mplid mié lo edrá y coicidirá mos co el úmero de icógis,. m

37 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer E ese cso, se iee que el vlor pr cd icógi se oiee de u cociee de deermies. E el deomidor siempre prece el deermie de l mriz de coeficiees,. E el umerdor prece el deermie resule de susiuir e el deermie de l colum de coeficiees de l vrile i-ésim e el sisem por l colum de érmios idepediees del mismo.,i,i,i,i,i,i i Ejemplo Se r de resolver el siguiee sisem cudrdo, m : z z y z y z y * Se v esudir el ipo de solució. El rg() es, pues el úico meor de orde que se puede cosruir co ls fils y colums de l mriz es el propio deermie de l mriz y es disio de cero: El rg(*) será mié, el máimo pr u mriz de por, y que coiee l mriz que iee dicho rgo. Por o, se puede plicr l regl de Crmer pr resolver el sisem. Como se h cosiderdo que es l primer icógi, y es l segud, z l ercer, se iee:, ;, y ;

38 Álger z, Como se h comedo l iicio de ese prdo, los méodos de resolució de los sisems de ecucioes lieles se desrrollro pr sisems compiles deermidos co el mismo úmero de ecucioes que de icógis, si emrgo, se puede dpr los sisems, siempre que se compiles, pr que pued plicrse esos méodos uque o se verifique los supuesos iiciles (m y/o mriz de coeficiees regulr). Se eplic coiució es dpció, co ejemplos de resolució de los sisems compiles, rg()rg(*), medie l regl de Crmer, uque u vez dpdos podrí resolverse co culquier de los oros dos méodos que se eplicrá después. Cso m, pero co : Eso supoe que el rg() o es el máimo, rg() <. Supoiedo que rg()rg(*)k <, el sisem es compile ideermido, y eisirá k ecucioes lielmee idepediees y (-k) ecucioes que se puede epresr como comició liel de ls ors k, es decir so el resuldo de muliplicr por úmeros ls ors ecucioes y de sumrls. Se r de elimir (-k) ecucioes que o por iformció diciol pr l resolució del sisem, pues se puede oeer prir de ls k ecucioes lielmee idepediees. elecció de ls ecucioes coservr y elimir puede srse e el meor de orde k o ulo que h permiido cocluir que el rgo de er k. Se coserv ls ecucioes cuys fils se h uilizdo e ese meor y se elimi ls ecucioes cuys fils o h ierveido e ese meor. Es es u mer de segurr que ls k ecucioes elegids so lielmee idepediees ere sí, y que deermirá u sisem de ecucioes equivlee rsformdo co u mriz de coeficiees redefiid regulr. U vez elegids ls ecucioes correcs se sigue eiedo u sisem de ecucioes compile ideermido, co k ecucioes y icógis, k <. Pr poder plicr el méodo de resolució, se procede psr l segudo érmio de cd ecució ls icógis sores, - k. elecció de ls icógis que v psr l segudo érmio es idepediee de l solució que filmee se v oeer, pero, pr horrr iempo e cálculos poseriores y grizr que se verifique el supueso de mriz de coeficiees regulr, se sugiere que ls icógis que permezc e el primer érmio de ls ecucioes se precismee ls que iee como coeficiees ls colums empleds e el meor de orde k o ulo que h servido pr deermir el rgo de. El reso de icógis psrí l segudo érmio. Quedrí u sisem equivlee l origil epresdo de u uev mer l plicr culquier méodo de resolució, icluido Crmer, l solució oeid mosrrá ls k icógis del primer érmio e fució de ls ( - k) icógis reuicds e los segudos érmios de ls ecucioes. Ejemplo El siguiee sisem cudrdo, m, es compile e ideermido, y que l ercer ecució, por ejemplo, resul de l sum de ls dos primers, por lo que hrá que dprlo pr poder plicr lgú méodo de resolució. E oros sisems puede o ser evidee l relció liel 8

39 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer 9 ere ecucioes, por lo de ods mers se v proceder esudir el rgo de ls dos mrices, cdo por cocluir que iee el mismo,, pero que es iferior l úmero de icógis. * rg() rg() < El rg(*) es myor o igul l de, por lo que se v ier uscr u meor de orde disio de cero. os meores que se v clculr so odos meos el que y esá clculdo es, es decir, el deermie de, primers colums. Se clculrá los resules de omr l ª, ª y ª; ª, ª y ª; y ª,ª y ª colums. Todos v resulr ulos: El rg(*), y que o hy meor de orde o ulo y eise uo de orde o ulo y clculdo pr el cso de l mriz. El sisem es compile, pues coicide los rgos, pero ideermido, pues el rgo es iferior l úmero de icógis. Pr oeer su solució medie l plicció de lgú méodo de resolució se procede como y se h comedo. Que el rgo se idic que sólo hy dos ecucioes lielmee idepediees. Se dee elimir u ecució. elecció de ls ecucioes meer se s e el meor de orde o ulo clculdo que es cosruido co ls dos primers fils de l mriz, por lo que se medrá ls dos primers ecucioes, elimido l ercer: hor se iee u sisem equivlee, pero co u ecució meos que el úmero de icógis, por lo que se procede psr u icógi, ( k) -, l segudo érmio de l ecució. Se ps, pues el meor de orde o ulo clculdo es cosruido co ls primers colums de :

40 Álger Co ese sisem equivlee epresdo de es mer se esá y e codicioes de plicr culquier de los méodos eplicdos e ess págis. E cocreo, se puede resolver el sisem por Crmer, y que se r de u sisem cudrdo, misms ecucioes que icógis e el primer érmio, m ' ', y co mriz de coeficiees regulr,, y que su deermie y h sido clculdo pr esudir el rg() y se h viso que er o ulo. ( ) ( ( ) ( ) ) s ifiis solucioes del sisem pereece l siguiee cojuo de R : (,, ) R /, Cso m < : Priedo de que rg() rg(*), sisem compile, como el º de icógis,, es myor que el de ecucioes, m, se edrí u sisem compile ideermido. Se procederá dejdo e el primer érmio de ods ls ecucioes s icógis como ecucioes lielmee idepediees se eg, lo que viee idicdo por rg(), supoiedo que se m, ods ls icógis reses, -m, psrí l segudo érmio de ls ecucioes. Se podrí redefiir el sisem origil como u sisem equivlee co m icógis que cú como l, u mriz de coeficiees cudrd de orde m, y u uevo vecor de érmios idepediees que o sólo corí co los érmios origiles, sio co epresioes depediees de ls (-m) icógis sores que h psdo l segudo érmio. elecció de ls vriles que permece e el primer érmio puede veir dd por ls colums de coeficiees que form pre del meor de myor orde que h servido pr deermir el rgo de, y que l eerlo clculdo se edrá clculdo el deermie de l uev mriz de coeficiees,. Ejemplo Sirve de ejemplo lo relizdo e l segud pre del cso erior, m, co rg()rg(*)<. Cso m > : Se sigue meiedo que so sisems compiles, queddo dos posiiliddes: ) Deermido, rg() rg(*), pero como m >, sorrí (m-) ecucioes, por lo que procede pler u sisem equivlee que coeg s ecucioes

41 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril como icógis lielmee idepediees. decisió de qué ecucioes permece y qué ecucioes se descr viee dd por el meor de orde que h ddo suseo cocluir que rg(), queddo e el sisem equivlee ls ecucioes cuys fils se h uilizdo e dicho meor y elimido el reso de ecucioes. Después se plic l Regl de Crmer l cul. Ejemplo l sisem de ecucioes del ejemplo uilizdo rs eplicr el méodo de Crmer se le h ñdido u ecució resule de sumr ls eisees, por lo que el sisem equivlee resule seguirá siedo u sisem compile y deermido, pero co ecucioes y icógis. El rgo de ls dos mrices seguirá siedo, pero o será el máimo pr el cso de l mriz mplid, y que o será posile ecorr igú meor de orde disio de ( el úico posile), l ser l ª ecució sum de ls primers. El rgo de ls dos mrices es coicidee co el úmero de icógis, rg()rg(*), por lo que el sisem es compile y deermido. Como m >, se elimirí (m-) ecucioes, l ª por ejemplo, ddo que el rgo de se h cocluido l omr ls primers fils y colums pr cosruir el deermie de orde o ulo de l mriz y *, queddo el mismo sisem equivlee que e el ejemplo comedo, procediedo de igul mer pr resolverlo por Crmer. y z y z z y z 9 y z y z z ) Ideermido, rg() rg(*) k <. Como m > > k, sor (m-) ecucioes y sor (-k) icógis e el primer érmio. Se procede primero elimir ls ecucioes que se comició liel de ls ors. decisió de qué ecucioes permece y qué ecucioes se descr viee dd por el meor de orde k que h ddo suseo cocluir que rg() k, queddo e el sisem equivlee ls ecucioes cuys fils se h uilizdo e dicho meor y elimido el reso de ecucioes. Después se procede psr l segudo érmio ls (-k) icógis pr que quede reformuldo el sisem equivlee como u sisem cudrdo l y como y se h viso eriormee. Ejemplo l sisem del ejemplo co m,, se le h ñdido u ecució resule de sumr ls eisees, por lo que el sisem equivlee resule seguirá siedo u sisem compile ideermido, pero co ecucioes y icógis. Trs lizr el rgo de ls dos mrices y ver que es rg()rg(*) k, se elimirí ecucioes, l ª y ª, ddo que el rgo es dos se h cocluido l omr ls primers fils y colums pr cosruir el deermie de orde o ulo, queddo el mismo sisem equivlee que e el ejemplo erior, procediedo de igul mer pr resolverlo por Crmer como y se h hecho e págis eriores. Deprme d Ecoomi Ficer

42 Álger éodo de Guss. Cosise e oeer u mriz de coeficiees rigulr de u sisem de ecucioes equivlee l que se quiere resolver que es cudrdo, plicdo sucesivmee y coveieemee ls opercioes co ls ecucioes (comicioes lieles) pr oeer sisems equivlees. Es u geerlizció del méodo elemel de reducció. l fil se oiee u sisem equivlee e dode l úlim ecució coiee u icógi, l peúlim ecució coiee l erior icógi y or más, l epeúlim ecució coiee ls dos eriores icógis y u ercer, y sí sucesivmee. Resolviedo fácilmee l úlim ecució, se v susiuyedo l solució e l ecució imedimee erior pr oeer el vlor de l or icógi. os vlores oeidos se irá susiuyedo progresivmee e ls ecucioes precedees pr resolver l compleo el sisem. Se rj co l mriz mplid del sisem, pr relizr ls rsformcioes e sisems equivlees de form correc, y que coempl mié los cmios e los segudos érmios de ls ecucioes, es decir, e los érmios idepediees. Ejemplo: Ddo el siguiee sisem, se resuelve por el méodo de Guss: 8 8 Se r de coseguir u sisem de ecucioes equivlee que eg por mriz de coeficiees u mriz rigulr superior. primer rsformció del sisem ps por iercmir el orde de l primer y ercer fils, pr fcilir luego los poseriores cálculos: 8 * 8 l segud fil se le res l primer muliplicd por pr coseguir que : Eise oro méodo, de Guss-Jord, que cosise e oeer u sisem de ecucioes equivlee cuy mriz de coeficiees se digol, usdo ls misms opercioes co ls ecucioes que grice l equivleci de los sisems (misms solucioes) como hce el méodo de Guss. Ese méodo de Guss-Jord, uque requiere más iempo pr hcer digol l mriz que pr rigulrl, horr iempo e los úlimos psos de oeció de los vlores de ls icógis, pues, l fil se iee u sisem equivlee co ecucioes co u úic icógi disi cd u.

43 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril Deprme d Ecoomi Ficer 8 8 l ercer fil se le res l primer muliplicd por pr coseguir que y meer los ceros coseguidos: 8 l ercer fil se le res l segud muliplicd por pr coseguir que y meer los ceros coseguidos, y que si se resr l ercer fil l primer muliplicd por se coseguirí que, pero sucederí que dejrí de ser ulo, -: U vez oeido u sisem de ecucioes lieles equivlee co mriz de coeficiees rigulr, sisem esclodo, se procede l oeció de ls solucioes de ls icógis: De l ercer ecució se oiee fácilmee el vlor de l ercer icógi, después se susiuye l mism e l ecució imedimee erior, l segud, e dode sólo figur ls dos úlims icógis, por lo que qued u ecució co u icógi, l peúlim, fácil de resolver. Coocids ls solucioes pr ls dos úlims icógis se susiuye sus vlores e l ecució epeúlim, (e ese ejemplo, l primer ecució) queddo uevmee u ecució co u icógi. Y sí se seguirí e el cso de eisir más ecucioes e icógis hs oeer el vlor de l solució pr ods ls icógis: ), (, ),, ( ) ( () 9 ) ( / * * * éodo de l mriz ivers. os supuesos pr su plicció so los mismos que los de l Regl o éodo de Crmer, sí como los de Guss. Ddo u sisem cudrdo co ecucioes e icógis, compile y deermido, es decir, rg() rg(*), lo que implic que se regulr, se puede oeer l

44 Álger solució del mismo, (comició de vlores úic pr ods ls icógis) medie l muliplicció del sisem e su form mricil por l mriz ivers de l mriz de coeficiees: I Ejemplo Se v resolver el mismo ejemplo que el uilizdo pr ejemplificr el méodo de Crmer, y por o y se se el resuldo, pero si o fuer sí, se procederí como siempre. Esudir, medie el Teorem de Rouché-Fröeius el ipo de solució y después cur e cosecueci. z z y z y z y * El rg()rg(*), como y se h viso es, por lo que el sisem es compile y deermido y ddo que m, sisem cudrdo, se puede plicr el méodo. El deermie y se h clculdo,. Se procede clculr l mriz ivers: ) dj( ; ) dj( ; solució se oiee co el produco mricil de l ivers de l mriz de coeficiees por el vecor de érmios idepediees: ' ' ' 9 z y r r

45 Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril.- RESOUCIÓN PRÁCTIC DE SISTES NO INEES SENCIOS. PNTEIENTO GENER Y TIPOS DE SOUCIONES. Y se h relizdo eriormee el plemieo geerl de u sisem de ecucioes que es válido pr ese cso, e el que ls fucioes h i () o so lieles. u cojuo de ecucioes o lieles se le deomi sisem de ecucioes o liel, y se represerí sí: Form ees: h(,, K, h : R (,, K, (,, K, h m ) R R m h (,, K, (,, K, m ) R ) R ) h (,, K, ) ) Tl y como y se h dicho pr el cso geerl, los rgumeos/vriles de ls fucioes se les llm icógis, (,, K, ) y los vlores que ome dichs icógis pr que se verifique ls igulddes e u deermido cojuo se les llm solucioes o ríces de l ecució Tmié se h relizdo eriormee u clsificció de los disios ipos de solució, descdo que, e comprció co los sisems de ecucioes lieles, se puede dr el cso de solució múliple co u úmero fiio de solucioes, hecho que o sucede e los sisems lieles. SOUCIÓN SISTES DE ECUCIONES NO INEES. No eise méodos geerles de resolució pr sisems de ecucioes o lieles como ocurre e el cso de los sisems lieles. Se dee comir los méodos elemeles de susiució, igulció y reducció, juo co los específicos pr cd ipo de fució h() que defi l ecució (logrímic, rigooméric, epoecil, poecil, poliómic, ec.) y que se eplic e pre e el em y e pre e el em. sí pues, sólo se muesr coiució uos ejemplos de resolució de sisems de ecucioes o lieles pr que se eidos e cue como u pre muy pequeñ de l gr diversidd de csos que puede drse. Ejemplo Resuelv el siguiee sisem de ecucioes: De l primer ecució y z zy y y z m m m Deprme d Ecoomi Ficer

46 Álger y ó y Se v cosiderr primero u opció pr deermir posiles solucioes y después l or opció pr oeer, si es posile, ors solucioes. Tomdo y susiuyédolo e l segud y ercer ecució, se iee: z zy y zy y y z y z De l primer de ls ecucioes resules rs susiuir, se deduce y, ó zy y y(z ) z z Se iee dos opcioes de solució pr es ecució. Se om primero u y se susiuye e l ercer ecució y se r de oeer l solució. Después se procede igul co l segud opció. y z z (*, y*, z*) z (*, y*, z*) (,,) y (,,) y Trs gor ls dos opcioes, se iee, e ese ejemplo, dos puos de R que verific ls ecucioes. De es mer se go el proceso pr el cso de prid de de l primer ecució. Priedo de l segud opció de solució de l primer ecució, y, se procede de mer álog. Se susiuye e l segud y ercer ecució y se iee: y z z() z z z De l primer de ls ecucioes resules rs susiuir y, se deduce, ó z (z ) z z Se iee dos opcioes de solució pr es ecució. Se om primero u y se susiuye e l ercer ecució y se r de oeer l solució. y z z (*, y*, z*) (,,), es solució y se hí oeido. Después se procede co l segud opció. Es vez se despej z e fució de e l ercer ecució y se susiuye e l segud opció:

47 y z ( z)z z z z (*, y*, z*) (,,) y z z z z z z Iroducció l emáic Ecoómico-Empresril ( ) ± Ese sisem de ecucioes iee solució múliple co u úmero fiio de solucioes, res, que so {(,, ), (,, ), (,, )}. Ejemplo Resuelv el siguiee sisem de ecucioes: y y Se despej l icógi y de l segud ecució y se susiuye e l primer ecució, que quedrá sólo e fució de l icógi : l( ( ) Si se om logrimos de los dos érmios de l ecució se miee l iguldd: ) l( l l ( l l ) l l y y (*, y*) l l ) ( ( / ) l, l y y y ) l l l l l l l l l l l ( ) l l l l l l l l l( ) l l l l l ('989...,'9...) l() l l l l ( / ) l l l l( ) Deprme d Ecoomi Ficer