TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

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1 TEMAS DE MATEMÁTICAS Oposicioes de Secudri TEMA 0 RIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. CÁLCULO DE ALGUNAS RIMITIVAS. ALICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS.. Iroducció.. Cocepo de rimiiv.. Iegrles Imedis... Lis de Iegrles Imedis... Desrrollo de ls Iegrles Imedis. 4. Iegrció de Fucioes Rcioles. 4.. Cso : Grdo>GrdoQ 4.. Cso : GrdoGrdoQ 4.. Cso : Grdo<GrdoQ 4... Ríces Reles Simples Ríces Reles Múliples Ríces Complejs Simples Ríces Complejs Múliples. 5. Méodo de Hermie. 6. Iegrció por res. 6.. Iegrció por Reducció. 7. Cmio de Vrile. 7.. Susiució e fucioes epoeciles, logrímics e iverss de rigoomérics circulres e hiperólics. 7.. Susiució e iegrles de fucioes rigoomérics circulres. 7.. Susiució e iegrles de fucioes hiperólics. 8. Fórmuls Recurrees. 9. Iegrció de Fucioes Irrcioles. 9.. Iegrció por susiució e fucioes irrcioles. 9.. Méodos especiles de iegrció de fucioes irrcioles. 0. Iegrles Biomis.. Apliccioes... Áres de Figurs pls... Volúmees de Cuerpos de Revolució... Áre de u superficie de Revolució. Biliogrfí Recomedd. /7

2 . INTRODUCCIÓN. A lo lrgo del siglo XVIII se cosideró l iegrció como el proceso corrio l diferecició. El sigificdo geomérico de l iegrl idefiid es u fmili de curvs, ods ells oeids por desplzmieo vericl de u culquier. E ese em vmos rr de oeer primiivs de fucioes. r ello esudiremos diferees méodos. Hemos de eer e cue que l derivd de u fució elemel es siempre u fució elemel, e cmio l primiiv de u fució elemel puede o epresrse medie u úmero fiio de fucioes elemeles.. CONCETO DE RIMITIVA. DEF Dd f:[,] R, u primiiv de f es u fució F:[,] R, derivle e[,] y l que F f, Como od fució derivle e u iervlo es coiu e dicho iervlo, eoces od fució F primiiv de f es coiu e el mismo iervlo. NOTACION: Represeremos como primiiv u culquier de f y se lee iegrl idefiid de f. f d RO Se f:[,] R y F, F dos primiivs de f. Eoces F -F ce dem Defiimos l fució F 0 F -F [,]. Es clro que F 0 es u fució coiu y derivle, siedo Se 0, F 0F -F f-f 0 Ddo culquier oro puo ierior [,] se verific ls hipóesis del eorem del vlor medio del cálculo diferecil pr F 0 e [ 0,] ó [, 0 ] siedo ξ 0, / F 0 -F 0 F 0ξ - 0 Como F 0ξ 0 F 0 F 0 0 or o F 0 ce y F -F ce /7

3 Dds dos primiivs de f, como se difereci e u cose, pr poder idicrls ods, escriiremos f d F C RO Se f:[,] R u fució coiu. Eoces iee primiiv e [,]. dem L demosrció es imedi si más que eer e cue que es u primiiv de f. F f d. INTEGRALES INMEDIATAS... Lis de Iegrles Imedis. Epresmos coiució u lis de iegrles imedis. Es lis l oeemos si más que recordr ls derivds de ls fucioes de uso más geerlizdo. Si leemos ls igulddes de derech izquierd, l lis os puede servir como u lis de derivds, eiedo e cue el cocepo de iegrl idefiid. Tipo oecil. d C d p C p p d c C c p Tipo Epoecil. f f f ' e d e C c Tipo Logrímico. d L C d L C d L C d Tipo Trigoomérics circulres e hiperólics. /7

4 Cosd Se C Sed Cos C d Tg C Cos d Cog C Se g d l cos C co gd l se C cos d Cosec C se se d sec C cos cosh d seh C seh d cosh d C d gh C cosh d co gh C seh gh d l cosh C co ghd l seh C e Tipo iverss de Trigoomérics circulres e hiperólics. d rcse C d rg seh C l ± d rg cosh C l ± d rcg C d C rg gh l C d rcse C C C.. Desrrollo de ls iegrles imedis. Iegrles imedis de ipo poecil. 4/7

5 Siempre que jo el sigo iegrl prezc u fució elevd u cose, si lo que l muliplic es l meos e su pre vrile l derivd de l fució, podremos jusr co coses y será u iegrl imedi de ipo poecil. Iegrles imedis de ipo Epoecil. Siempre que jo el sigo iegrl prezc u cose elevd u fució, si lo que l muliplic es, l meos e su pre vrile, l derivd de l fució, podremos jusr co coses, y será u iegrl imedi de ipo epoecil. c Iegrles Imedis de ipo Logrímico. Siempre que jo el sigo iegrl prezc u cociee, si el umerdor es l meos e su pre vrile l derivd del deomidor, se podrá jusr co coses, y será u iegrl imedi de ipo Logrímico. d Iegrles Imedis de ipo Arco o Argumeo. Siempre que jo el sigo iegrl prezc u epresió de lguo de esos res ipos d d d c c podremos resolver l iegrl plicdo u méodo que desrrollremos e curo psos. ASO : Muliplicmos umerdor y deomidor por l riz cudrd de curo veces el vlor soluo del coeficiee umérico del érmio e 4 ASO : Se epres el érmio ierior l riz oeido e el pso erior e l form ± m ± ± p ideificdo coeficiees co es epresió. ASO : Se divide umerdor y deomidor por l riz cudrd de p. ASO 4: Se jus medie coses el resuldo oeido lgu de ls iegrles imedis del prdo e del puo.. OBS Ess iegrles o ls podremos resolver dero del cuerpo de los úmeros reles cudo los res o los dos coeficiees uméricos del poliomio se egivos. O mié porque después de plicr el pso oegmos egivos los dos érmios jo el sigo iegrl. De form muy similr l erior, si eemos u iegrl que se semej uo de esos res ipos 5/7

6 d d d c c su resolució es siguedo oro méodo de curo psos, muy precido l erior. ASO : Se muliplic umerdor y deomidor por curo veces el vlor soluo del coeficiee umérico del érmio e 4. ASO : Se epres el érmio del deomidor e l form ± m ± ± p ideificdo coeficiees co es epresió. ASO : Se divide umerdor y deomidor por p. ASO 4: Se jus por coses el resuldo oeido lgu de ls iegrles imedis del ipo e del puo.. 4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. Es l iegrció de l form d, siedo y Q poliomios de Q coeficiees reles y epoees urles. OBS Cudo os ecoremos co ese ipo de iegrles, es de d coviee relizr l comproció de que o se r de u iegrl imedi de ipo Logrímico. 4.. CASO : grdo > grdo Q. E es siució, lo primero que hemos de relizr es l divisió de por Q queddo Q CR siedo C el cociee de l divisió y R el reso grdo R< grdo Q. Eoces l iegrl os qued como Q R Q d d C d L iegrl C d es de ipo poecil, y por o imedi. R L iegrl d puede o eisir si R 0, siedo l divisió ec. Si Q o es sí, oeemos u iegrl dode grdo R< grdoq que esudiremos más dele. 6/7

7 4.. CASO : grdo grdoq. El proceso pr resolver ese cso es el mismo que el erior. L úic difereci es que CK cose. Eoces l primer iegrl es mié es imedi, siedo Todo lo demás es álogo. 4.. CASO : grdo > grdo Q. Kd K C E ese cso y o podemos relizr l divisiló de por Q. El proceso que deemos seguir serí, e primer lugr, oeer ls rices de Q, y se del ipo que se. Hemos de recordr que culquier poliomio co coeficiees reles y epoees urles puede eer Ríces Reles Simples Ríces Reles Múliples Ríces Complejs Simples 4 Ríces Complejs Múliples Esudiremos cd uo de ess curo siucioes de form idepediee Rices Reles Simples. E ese prdo vmos supoer que l igulr Q cero oeemos sólo rices reles simples. Vmos supoer que Q , siedo 0 el coefiee umérico del érmio de myor grdo de Q. El moivo de elegir Q de grdo y o de grdo es pr o complicr l escriur co sumorios y producos. El méodo de resolució pr el cso de u poliomio de grdo superior es el mismo, pero más edioso. r eplicr ese méodo vmos supoer que 0, y que si o lo fuer, l cose / 0 se podrí scr fuer de l iegrl: d d Q d 0 0 Los psos seguir so los siguiees: so: Descompoer e frccioes simples. L descomposició es úic, Q siedo ls frccioes de l descomposició el umerdor u coeficiee ideermido y el deomidor uo de los fcores de Q. 7/7

8 8/7 C B A Q co A,B y C coses. so: Se epres mos érmios co u comú deomidor, que siempre será Q. C B A Q so: Al eer mos miemros el mismo deomidor, igulmos los umerdores. A- - B- - C- - so4: Se clcul los coeficiees A, B y C hcemos, verificádose A - - A hcemos B - - B hcemos C - - C so 5: U vez oeidos los coeficiees, procedemos l iegrció. K C B A Cd Bd Ad d Q l l l 4... Ríces Reles Complejs. Vmos supoer que l igulr Q cero oeemos rices reles múliples. r simplificr l descripció del méodo, pero cosiderádolo e od su geerlidd, omremos Q siedo u ríz simple, u ríz múliple co ídice de muliplicidd y 0 el coeficiee umérico del érmio de myor grdo de Q.

9 9/7 Aálogmee l cso erior, vmos supoer que 0 Los psos seguir so los mismos que e el cso erior: so: Descompoer Q e frccioes simples. Ls ríces reles simples se descompoe de l mism form. r ls ríces reles múliples, el umerdor siempre es u coeficiee ideermido y el deomidor es el fcor múliple co epoee vrido de su muliplicidd e cd frcció. D C B A Q co A, B,C y D coses. so: Se epres mos érmios co u comú deomidor, que siempre será Q. D C B A Q so: Igulmos los umerdores: D C B A so4: L ideificció de coeficiees se puede relizr e ese cso de ls siguiees forms: Susiuyedo por los vlores de ls ríces oedremos os coeficiees ideermidos como ríces disis hy. A A D D El reso de coeficiees los podemos oeer ddo vlores pequeños disios de ls ríces y. Tos vlores como coeficiees quede por clculr. E uesro cso, dos D C B A

10 A B C D Como A y D so coocidos, llegmos u sisem de dos ecucioes co dos icógis, que u vez resuelo os drá B y C. Si relizmos ls opercioes que idic el segudo miemro e igulmos los coeficiees de mos miemros del mismo grdo, oeemos u sisem de s ecucioes como icógis. so5: U vez oeidos los coeficiees procedemos l iegrció: Ad Bd Cd Dd d Q C D A l B l K Ls dos primers iegrles so imedis de ipo logrímico y ls dos úlims so imedis de ipo poecil: 4... Ríces Complejs Simples. Descriiremos el méodo de resolució supoiedo que el poliomio Q es de grdo 5, co ríces rel simple, rel múliple de orde y i, -i ríces complejs simples. Escogemos sí Q por ser el supueso más compleo de los que cosiuye ese cso. Q i--i Los dos úlimos fcores se puede escriir como queddo eoces -i--i- Q De form álog los dos csos eriores, supodremos que 0. Los psos seguir e ese méodo so los mismos que hemos viso e los dos prdos eriores. E l descomposició de e frccioes simples, ls frccioes que Q correspode ls ríces reles simples so de l mism form que e puo 4...; ls frccioes correspodiees ls ríces reles múliples so de l form que e el puo 4...; y ls frccioes correspodiees ls ríces imgiris simples so: el umerdor u poliomio e de primer grdo compleo de coeficiees ideermidos, y el deomidor l epresió -. 0/7

11 /7 Aes de proseguir co l eplicció de ese méodo, vos relizr u iciso, pr eplicr como se iegr ess frccioes uevs que hemos oeido. d N d M d N M '' ' d M d M d M d M l ' M d M d N M '' Es u iegrl del ipo rcogee que se resuelve como sigue: N M d N M rcg co lo cul l iegrl clculr qued como K M N M d N M l rcg Co eso ermimos el iciso y proseguimos co el méodo. so: N M C B A Q co A, B, C, M y N coses. so: Reducimos comú deomidor. Omiimos l fórmul por o ser de ierés. so: Igulmos los umerdores. N M C B A so4: E ese cso podemos relizr l ideificció de coeficiees de l mism form que e 4...

12 so5: C M d Al Bl l Q Ríces Complejs Múliples. M N rcg K Veremos ese cso e el supueso priculr de que le poliomio Q se de oveo grdo, siedo sus ríces ríz rel simple ríz rel múliple de orde. i y -i ríces complejs simples cdi y c-di ríces complejs múliples de orde. Eoces Q c d siedo 0 el coeficiee pricipl de Q, que supodremos, si pérdid de geerlidd que es 0. A Q B C M N S T U V c d c d Hs el pso 4 se reliz de l mism form que e 4.. y 4... Al llegr l pso 5, u vez oeidos los coeficiees ideermidos, procedemos l iegrció de cd u de ls frccioes, siedo y coocido el resuldo meos de l úlim.remiimos l lecor l hoj de prolems pr coocer su resolució. No resolveremos e el em l iegrl de l úlim frcció por o eederos iecesrimee, y que vmos ver u méodo lerivo pr resolver ls iegrles de cociees de poliomios co deomidor co ríces complejs múliples, llmdo Méodo de Hermie. 5. MÉTODO DE HERMITE. r eplicr ese méodo, primos de u cociee de poliomios dode ls Q ríces de Q puede ser o reles como complejs y simples o múliples. or o, esmos e l mism siució que e el puo 4..4 De uevo supodremos que Q es u poliomio de oveo grdo cuy descomposició es /7

13 Q c d siedo 0 el coeficiee pricipl de Q, que supodremos, si pérdid de geerlidd que es 0. so: - Ls ríces reles simples se descompoe como hemos viso e el puo 4, co u coeficiee ideermido como umerdor y el fcor que coiee l ríz como deomidor. - Ls ríces reles múliples se descompoe como si fuer simples, si eer e cue su ídice de muliplicidd. - Ls ríces complejs simples se descompoe como hemos viso e el puo Ls ríces complejs múliples se descompoe como si fuer simples, si eer e cue su ídice de muliplicidd. - Además, hy u érmio más que psmos descriir: L derivd de u cociee dode el deomidor es el produco de los fcores múliples co epoees igul sus ídices de muliplicidd respecivos meos uo. El umerdor será u poliomio compleo de grdo iferior e u uidd del grdo del poliomio del deomidor. OBS Se suele uilizr lers miúsculs pr epresr los coeficiees ideermidos del érmio crcerísico de Hermie. A B M N Q S T c d m p c d siedo A, B, M, N, S, T, m, y p coses deermir. so: Se deriv le úlimo érmio co respeco. A B M N Q zm c S T c d d m p c c d d d d c so: so4: Se epres mos miemros co u comú deomidor que será siempre Q. Se igul los umerdores /7

14 A M N c m m p c c c m p c d d B S T d d c c d d so5: Cálculo de los coeficiees ideermidos, que se hrá de l mism form que e 4.., 4.. ó so6: Iegrció de cd u de ls frccioes oeids. E uesro ejemplo, ls iegrles primer y segud so imedis de ipo Logrímico. L ercer y cur ls hemos resuelo e el puo 4... y l úlim es imedi eiedo e cue ls propieddes de l iegrl. M d Al B l l Q S l Sc T c m p c d rcg K d d c M N rcg d OBS E el méodo de Hermie, si se relizó correcmee, o prece uc iegrles imedis de ipo poecil. 6. INTEGRACIÓN OR ARTES. Si u ý v so fucioes de, por ejemplo uf y vg, plicdo l fórmul de l diferecil de u produco de fucioes duv udv vdu y si de es epresió despejmos udv udv duv - vdu Iegrdo mos miemros de l iguldd udv d uv vdu que se puede escriir como udv uv vdu que es l llmd fórmul de iegrció por pres. Si hor eemos e cue que 4/7

15 u f du f d v g dv g d y los susiuimos e l fórmul de iegrció por pres, oeemos vdu f g' d f g g f ' d Es uev form de epresr l fórmul de iegrció por pres os epres mejor ése méodo de iegrció, el cul cosise e coverir u iegrl e u pre y iegrd más u uev iegrl. Se r de descompoer l iegrl origil como produco de dos fucioes, escogiedo éss de l mer que l plicr l fórmul l uev iegrl resule más secill que l iicil. Vmos ver coiució us recomedcioes que os puede servir pr descompoer l iegrl e dos pres. rimos del supueso de que culquier fució se puede epresr como produco de ors dos, uque u de ells se u cose. Adjumos u l, e l que llmremos y Q los dos fcores e los que dividimos l fució iegrr. Q u dv L uidd o culquier cose Qd Fució ivers de Trigoomeric circulr o hiperólic o fució logrímic Fució ivers de Trigoomeric circulr o hiperólic o fució logrímic oliomio e o fució rciol e Fució Epoecil ormlmee de iegrció imedi 6.. Iegrció por Reducció. oliimio e o fució rciol e Qd Fució Trigooméric circulr o hiperólic direc, o fució epoecil ormlmee de iegrció imedi Fució Trigooméric circulr o hiperólic direc. o Q Qd Qd o d L iegrció por reducció l plicremos iegrles co fucioes de epoees hiulmee eeros pero elevdos. Se r de oeer u pre iegrd y or si iegrr l que, l plicr l fórmul de iegrció por pres, se oeg u uev iegrl co l fució co el epoee dismiuido. El méodo es muy similr e odos los csos. rimero plicmos l iegrció por pres, oeiedo u pre y iegrd y u iegrl e l que se dee, u oeer l iegrl iicil reducid de epoee, o descompoerl e sum de iegrles, siedo 5/7

16 u de ells l iegrl iicil reducid de epoee y l or l propi iegrl iicil. E ese segudo cso llegmos u iegrl recurree y rremos como l. U ejemplo de fórmul de reducció: se m m m m m m d se cos se d 7. CAMBIO DE VARIABLE. Ese méodo mié se cooce como iegrció por susiució. Ae iegrles cuy resolució o podemos relizr como imedi, i rciol, i por pres o de culquier or form que veremos después se recurre ese méodo. Cosise e ecorr u fució g l cul, l susiuirl jo el sigo iegrl, coviere l iegrl e or más secill co l uev vrile. L susiució g dee cumplir Ser derivle y co derivd o ul. d g d Admiir fució ivers. g h Eoces f d f g g' d F C F h C Sólo os qued por compror, pr ver que es correco, que l derivd de Fh es f: df h d df d df d F ' d d g' f g g' g' f g f El méodo de susiució es uo de los más mplios por l gr vriedd de susiucioes que se puede dr. ero hemos de plicr cd cso el cmio decudo, y que si o, el cmio os puede llevr iegrles de myor dificuld. El los suprdos siguiees idicremos ls susiucioes pr ipos cocreos. L epresió R idicrá fució rciol de los elemeos ere préesis elemeos relciodos ere sí por ls opercioes rcioles de sum, res, produco y cociee. 7.. Susiució e fucioes epoeciles, logrímics e iverss de rigoomérics circulres e hiperólics. 6/7

17 Tipo de Iegrl Susiució Cálculo de elemeos pr l susiució. R d l d d R, d l l R e d R, e d e e l d d R, l d l l e de d R, rcg d rcg g d d cos R, rcse d rcse se d-se d R, rccos d rccos cos d-se d R, rg gh d d rggh gh d cosh R, rg seh d rgseh seh d cosh d R, rg cosh d rgcosh cosh d seh d 7.. Susiució e iegrles de fucioes rigoomérics circulres. Susiució Si Rse, cos es impr e se, hremos: cos Si Rse, cos es impr e cos, hremos: se Si Rse, cos es pr e se y cos, hremos: g Si Rse, cos o cumple co igu de ls crcerísics eriores, hremos: g Cálculo de elemeos pr l susioció cos d se d d d d g d se d d se cos se cos cos 7. Susiucio e iegrles de fucioes hiperolics. Susiució Cálculo de elemeos pr l susioció Si Rseh, cosh es d impr e seh, hremos: d seh cosh 7/7

18 Si Rseh, cosh es impr e cosh, hremos: d d cosh seh Si Rseh, cosh es pr e seh y cosh, hremos: gh Si Rseh, cosh o cumple co igu de ls crcerísics eriores, hremos: gh d d d d seh cosh seh cosh 8. FÓRMULAS RECURRENTES. Dd u iegrl l cul o podemos plicr el méodo de susiució, y el méodo de iegrció por pres os dé u iegrl similr iegrl prid, podemos plicr l resolució por recurreci. e d Llmremos l iegrl clculr I e d u dv e d du e v e e I L ecució recurree es: I e I Se m Im se, cos d m m u se d du m se cos d dv se cos d cos v 8/7

19 se cos m cos m m m m se cos d Im, Luego l ecució es: I se m m m, se cos I m, 9. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES. 9.. Iegrció por susiució e fucioes irrcioles. E l l siguiee prece ls susiucioes más impores pr l resolució de ese ipo de iegrles. Dremos el ipo de iegrl l que se plic, l susiució que se reliz y el cálculo de quellos elemeos ecesrios pr compler l susiució. Tipo de Iegrl Susiució m p q s R,,, K, d M c d c d c d c d siedo M el m.c.m. de los deomidores Cálculo de los elemeos pr l susiució M d f fució rciol e d f ' d M c Tipo de Iegrl Susiució m p q s R,,, K, d M siedo M el m.c.m. de los es similr l cso erior, co c0 y d deomidores Cálculo de los elemeos pr l susiució M f fució rciol e d f ' d Tipo de Iegrl Susiució m p q s R,,, K, d M siedo M el m.c.m. de los es similr l cso erior, co 0 y deomidores Cálculo de los elemeos pr l susiució M d M d 9.. Méodos especiles de iegrció de fucioes irrcioles. Iegrles de l form c d co grdo 9/7

20 Vemos los psos seguir e l resolució: so : Descompoemos l frcció como sigue: U primer érmio que es l derivd idicd co respeco del produco de u poliomio que llmremos Q, compleo e co coeficiees ideermidos y de grdo meor e u uidd l grdo de, muliplicdo por l ríz cudrd del deomidor. A eso sumremos u segudo érmio que será u frcció formd por u coeficiee ideermido, λ, como umerdor, y l ríz como deomidor. No demosrremos que l descomposició es úic. d λ Q c c d c so : so : Se deriv l epresió que hy idicd. Q Q c λ ' c c c Reducimos mos miemros comú deomidor. Q Q' c λ c c c c so 4: Igulmos los umerdores de mos miemros y procedemos l ideificció de coeficiees. Q' c Q λ so 5: Iegrmos e mos miemros de l epresió oeid e el so º. El primer érmio qued iegrdo co sólo elimir l idicció de derivd, y el segudo érmio es u iegrl que y resolvimos e u prdo erior. d c Q c λ d c 0/7

21 Iegrles de l form d p c Ese ipo de iegrl es muy específico, y medie l siguiee susiució que recomedmos se reduce iegrles y viss. Susiució: Elemeos ecesrios pr compler l susiució: d d c Cso Geerl. Susiució e fucioes irrcioles. A coiució epoemos u l co susiucioes esádr pr resolver iegrles del ipo R, c d Ess susiucioes se puede plicr los dos csos eriores, pero o es cosejle. Tipo de Iegrl Susiució R, c d Si >0 c ± Cálculo de los elemeos pr l susiució c f fució rciol e m d f ' d c ± f Tipo de Iegrl Susiució R, c d Si c>0 c ± c Cálculo de los elemeos pr l susiució ± c f fució rciol e d f ' d c ± c f Tipo de Iegrl Susiució R, c d c Siedo u de ls dos ríces que se oiee l resolver l ecució y l or β. /7

22 Cálculo de los elemeos pr l susiució β f fució rciol e d f ' d c f Si e l iegrl erior eemos que 0 podemos plicr ors susiucioes más fáciles que ls esádr, usdo fucioes rigoomérics circulres. Tipo de Iegrl Susiució Cálculo de elemeos pr l susiució. R, c d R, c d R, c d 0. INTEGRALES BINÓMIAS. c se c sec c g c c cos c d cosdi rcse c c c g c se d di cos rcse c c c sec c d di cos rcg c Ls iegrles que llmremos Biomis so de l form: m p d y ls susiucioes que hy que relizr so ls que prece e l l siguiee: /7

23 Tipo de Iegrl m p d Susiució Si p es u úmero eero m Si es u úmero eero deomidor de l frcció p m Si p es u úmero eero el deomidor de l frcció p s siedo s el s siedo s. ALICACIONES... Áres de Figurs ls. Áre de l figur limid por l curv y f ere, y el eje OX >. odemos disiguir dos csos segú l gráfic y f core l eje OX e lgú puo del iervlo [, ] o o. Si o cor l eje e [,] S f d Supogmos hor que f cor OX e, [,] S f d f d f d Áre de l figur limid por l curv y f y el eje OX..i Eise dos puos de core. Supogmos que se y /7

24 S f d.ii Eise más de dos puos de core. Supogmos que se res:, y S f d f d c Áre de l figur limid ere ls curvs y f, y g, y co f y g posiivs o egivs e [,]. S f g d d Áre de l figur limid ere ls curvs y f, y g, y f > 0 y g < 0 e [,]. S f g d 4/7

25 e Áre de l figur limid ere ls curvs y f, y g, y f y g posiivs o egivs ms co u puo de core. Se solució f g S f g d f g d f Áre limid ere ls curvs y f e y g Se resuelve l ecució pr f g pr hllr los puos de core. Supogmos que sólo sle dos, y que f > g [,]. S f g d Si eisiese más de dos puos de core, plicremos l fórmul pr cd dos puos cosecuivos... Volúmees de cuerpos de Revolució. Volume del cuerpo egedrdo por l revolució de l curv y f lrededor del eje OX ere y. V π f d Volume del cuerpo egedrdo por l revolució de l curv y f lrededor del eje OY ere y. 5/7

26 V π f d c Volume del cuerpo egedrdo por l revolució de u figur limid por ls curvs y f e y g f > g ere y l girr lrededor del eje OX V π f g d d Volume del cuerpo egedrdo por l revolució de u figur limid por ls curvs y f e y g f > g ere y l girr lrededor del eje OY. V π f g d.. Are de u superficie de revolució. Are de l superficie geerd por el giro lrededor del eje OX de l rco de l curv y f ere y. V π f f ' d 6/7

27 Biliogrfí Recomedd. Aálisis Memáico I. Au. J.A. Ferádez Viñ. Ed. Tecos Leccioes de Cálculo Ifiiesiml I. Au. R. Moli Legz, M. Frco. Ed. Uiversidd de Murci. ricipios de Aálisis Memáico. Au. W. Rudi. Ed. McGrw-Hill Curso de Aálisis Memáico I. Au. E.L. Lu. Ed. Edus, 99. Clculus. Au. M. Spivk. Ed. Reveré. Aálisis Memáico. Au. M. de Guzmá, B. Ruio. Ed. irámide. Clculus. Au. Aposol. Ed. Reveré 7/7