Tema 6: Matrices m n

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Carmelo Vera Medina
hace 6 años
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www.seleividd-grd.om Tem : Mries.. Mries. Defiiió primeros ejemplos Se llm mriz rel de dimesió mx l ojuo de m úmeros reles ordedos e m fils (horizoles) olums (veriles).

1 Tem : Mries.. Mries. Defiiió primeros ejemplos Se llm mriz rel de dimesió mx l ojuo de m úmeros reles ordedos e m fils (horizoles) olums (veriles). L form más geerl de represer u mriz mx es: mx m m m Dode puede verse que d úmero rel oup u posiió deermid por los dos suídies (ij). El primer suídie (i) idi el úmero de l fil el segudo (j) el de l olum. sí el érmio es el elemeo que esá e l ª fil e l ª olum. Ls mries se suele represer por lers músuls.. ó por mx si queremos idir su dimesió. Ejemplos: x Es u mriz de fils olums. ( ) Es u mriz de fil olums. x Dos mries so igules udo oiide érmio érmio. ;..- Tipos de mries: Ere ls mries exise lgus que reie omres espeiles ls ules os referiremos o freuei ls más impores so: Se llm mriz fil u mriz o u sol fil. sí pues u mriz fil de orde m es u mriz o fil m olums: Ejemplo: ( ) x (... ) xm m Se llm mriz olum u mriz de u sol olum. sí pues u mriz olum de orde es u mriz o fils olum:... x Memáis vero Rúl G.M.

2 Ejemplo: x Se llm mriz opues de se simoliz por l mriz e l que odos los elemeos iee el sigo opueso. Ejemplo: Se llm mriz ul l mriz que iee odos los elemeos igul ero. Ejemplo: Se llm mriz udrd u mriz que iee igul úmero de fils que de olums. Ejemplo: x Se llm digol priipl de u mriz udrd l formd por los elemeos ij o ij. E el ejemplo erior l digol esá formd por los elemeos. l or digol se le llm digol seudri. Se llm mriz digol l mriz udrd que iee ulos odos los elemeos exepo los de l digol priipl. Ejemplo: Se llm mriz eslr quell mriz digol e l que odos los elemeos de l digol priipl so igules. Ejemplo: Se llm mriz ideidd de orde se deo por I l mriz eslr del mismo orde uos elemeos de l digol priipl so odos igul l uidd. I Memáis vero Rúl G.M.

3 Ejemplos: I Mriz ideidd de orde I Mriz ideidd de orde Se llm mriz rigulr l mriz udrd que iee ulos odos los elemeos siudos por eim de l digol priipl (rigulr superior) o por dejo de ell (rigulr iferior). Ejemplos: Trigulr superior Trigulr iferior. Se llm mriz rspues de se represe l mriz que resul de iermir sus fils por olums: Ejemplo: Si es x. eoes. Vemos que l dimesió de es x miers que l de Se llm mriz siméri l mriz que oiide o su rspues es deir que ij ji. Ejemplo: vemos que Se llm mriz isiméri l mriz u rspues es igul su opues. -. Ejemplo: vemos que -..- Operioes o mries:...- Sum: Pr que dos mries se pued sumr es eesrio que eg el mismo úmero de fils que de olums es deir l mism dimesió. L mriz resule se oiee sumdo los elemeos de de que esé e l mism posiió (ij). Ejemplo: eoes Propieddes de l sum de Mries: soiiv: (+)++(+) omuiv: + + Elemeo Neuro: ++ Elemeo opueso: +(-) Memáis vero Rúl G.M.

4 Produo por u eslr: El produo de u mriz por u eslr k (úmero rel) es u mriz de igul dimesió k que se oiee muliplido odos los elemeos de l mriz por k. Ejemplo: Se k eoes k Propieddes del produo de úmeros por mries: Se mries se eslres ()() (+)+ (+)+ Elemeo Neuro: ++ Elemeo opueso: +(-)...- Produo de dos mries: Dos mries solo so mulipliles si el úmero de olums de es igul l úmero de fils de. El produo es or mriz que iee el mismo úmero de fils que el mismo úmero de olums que uos elemeos se oiee del siguiee modo: ij i j i j i j ik kj k Ejemplo.: Se. lulr. omo semos pr muliplir mries iee que ourrir que el úmero de olums de h de ser igul l umero de fils de. Vemos que el úmero de olums de es que el úmero de fils de es por o ms mries se puede muliplir l mriz resule iee fils olums. Pr muliplir hemos: Fil de olum de + ( ) + + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + x x x Vemos hor el so de ; omo el úmero de olums de es el de fils de es eoes o podemos lulr.? x x Propieddes del produo de Mries: soiiv: ()() No omuiv: Elemeo Neuro: I (Siempre udo se pued muliplir) Disruiuv o respeo l sum: (+)+ (+)DD+D E geerl el produo de mries o es omuivo pero exise lguos sos e los que sí lo es e esos sos se die que ls mries so permules. Memáis vero Rúl G.M.

5 Poei de u mriz udrd: Se defie l poei de u mriz udrd (si o es udrd o iee seido lulr l poei) l produo mriil de mries igules eso es: Ejemplo.: Se l mriz eorr. lgus vees os pide lulr poeis de u mriz de expoee mu elevdo. E esos sos podemos eorr u formul de iduió omo veremos e el siguiee ejemplo. Ejemplo.: lulr Siedo l mriz. Lo primero es lulr : Después lulmos : Pree ser que ls suesivs poeis oserv l primer fil igul l segud mi e primer érmio lo mismo ourre o l erer. e supoer eoes que l poei -ésim será: + Vemos si lo he pr +: + + Por o qued demosrdo por iduió que l iguldd supues es ier. Y ors vees l poei es íli es deir oforme se v elevdo el expoee eormos que pr u iero expoee el resuldo es l mism mriz o l mriz ideidd: Ejemplo.: lulr siedo Lo primero es lulr : I Después : I Vemos que pr poeis pres () l mriz es I pr ls impres (-) l mriz es Por o: ( ) ( I ) I Y I Memáis vero Rúl G.M.

6 Memáis vero Rúl G.M...- ividdes:.- Dds ls mries: lulr: ) + + ) ) Es?.- Dds ls mries: lulr: ) (+) ) ) (-) d).- lulr siedo ls mries ( ).- Dds ls mries I lulr - I.- Pror que siedo.- Se se u úmero url ulquier. Eorr el vlor de pr d hllr..- Se osider ls mries x N M ) Deermir x e pr que MNNM. ) lulr M M.- Se l mriz lulr..- osidere l mriz ) Siedo I l mriz ideidd de orde omprue I ) lulr..- Resolver l siguiee euió: x x

7 Memáis vero Rúl G.M..- Euer dos mries udrds x o oefiiees reles les que sisfg: +.- omprue que ( ) + + que ( ) prir de ls mries:.- Dds ls siguiees mries: D efeú los posiles produos ere ells. (H posiles mulipliioes).- Euer ls poeis -ésims de ls siguiees mries:.- Se. Eorr u mriz udrd rigulr l que. exise u sol?..- Soluioes.- Dds ls siguiees mries: lulr: ) + + ) ) es? ) ) ) No. El produo de mries o es omuivo..- Dds ls siguiees mries:

8 Memáis vero Rúl G.M. Hllr: ) (+) (+) + ) ) (-) d).- lulr siedo ls mries: ( ) ( ) ( ) ( ). Dds ls mries I ; lulr --I --I.- Pror que - siedo Lo primero que hemos es lulr :

9 hor : Pr : Vemos que se umple que - Supogmos que se umple que - eoes por iduió: + Por o -.- Se se u úmero url ulquier. Eorr el vlor de pr d hllr - Lo primero es lulr : hor lulmos : Vemos que se umple que + Supogmos que eso es iero eoes por iduió: ( + ) Por o: + + ( + ).- Se osider ls mries M N x ) Deermir x e pr que MNNM ) lulr M M ) M N x x N M x x Memáis vero Rúl G.M.

10 Pr que NMMN iee que ourrir que x ) Primero lulmos M ; M M M I hor lulmos M : M M M I M M Vemos que ls poeis pres () resul l mriz ideidd ls impres (-) resul M. Por o: ( ) ( ) M M M M M I M I M M M M M M M M I.- Se l mriz lulr Por o e supoer que - Supogmos que eso es iero eoes por iduió + + Por o -.- osidere l mriz ) Siedo I l mriz ideidd de orde omprue que +I ) lul l mriz I ( ) ( I ) I Por o +I x x.- Resolver l siguiee euió mriil: Hiedo l mulipliió oeemos : x + x De dode resolviedo el sisem x + x Memáis vero Rúl G.M.

11 Memáis vero Rúl G.M..- Euer dos mries udrds x o oefiiees reles les que sisfg ls dos igulddes siguiees: + Si muliplimos - por sumr o + de es form oedrímos + + de despejmos :.- omprue que (+) + que ( ) prir de ls mries ( ) + + ( ).- Dds ls siguiees mries D efeú los posiles produos ere ells. (H posiles mulipliioes) Ls posiles mulipliioes so: D D DD D

12 Memáis vero Rúl G.M. D D D.- Euer ls poei -ésims de ls siguiees mries: D + ; ; D.- Se. Eorr u mriz udrd rigulr l que. exise u sol? Se o eoes: + Por o: + Si resolvemos ese sisem (o liel) oeemos : ± ± ± L mriz es de l form: L soluió o es úi h vris mries segú se el sigo de. demás si l mriz es de l form oeemos oros resuldos.

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