SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 eáics plicds ls Ciecis Sociles José rí ríe edio SISTS D CUCIONS LINLS Sises de res ecucioes co res icógis Defiicioes U sise de res ecucioes lieles de co res icógis, e su for esádr, es u cojuo de res igulddes de l for Ls lers i, ij i represe, respecivee, ls icógis, los coeficiees los érios idepediees (Se ll liel porque ls icógis siepre v fecds por el epoee, que o se idic Ls icógis, suele desigrse por ls lers,,, respecivee Los coeficiees o los érios idepediees puede ser ) L solució del sise es el cojuo de vlores de, que verific sus ecucioes Dos sises so equivlees si iee ls iss solucioes Discuir u sise es deerir sus posiiliddes de solució Puede ser copile deerido, cudo el sise iee u úic solució copile ideerido, si iee ifiis solucioes icopile, cudo o iee solució jeplos ) L er =, =, = es solució del sise Cuple ls res ecucioes (Copruéese) cio, =, =, = o es solució cuple l prier segud ecucioes; pero o l ercer ) Los sises 8 9 so equivles, pues os iee por solució los vlores =, =, = (Puede coprorse) Oservció U for secill de oeer sises equivlees cosise e sur o resr ls ecucioes ere sí quí, el segudo sise se h oeido cido por +, por c) Los sises so copiles ideeridos os iee ifiis solucioes Por ejeplo, ls ers (,, ) (,, ) el priero de ellos puede verse que = + el segudo, fl u ecució d) l sise es icopile Puede verse que ls ecucioes segud ercer so cordicoris U is cos,, o puede vler, l ve,

2 eáics plicds ls Ciecis Sociles éodos de resolució éodo de susiució s el ás eleel de los éodos de resolució Cosise e despejr u icógi e lgu de ls ecucioes llevr su vlor ls ors Se oiee sí u sise socido l priero, pero co u ecució eos L discusió del sise iicil coicide co l del sise fil jeplo = ( ) éodo de Guss Cosise e rsforr el sise iicil,, e oro equivlee él, de l for (Sise esclodo "rigulr") l pso de u sise oro se cosigue edie ls rsforcioes de Guss coocids sudo o resdo ecucioes hs eliir l icógi de l ecució segud () ls icógis de l ercer ecució () sudido l ercer ecució resule,, puede deerirse ls posiiliddes de solució del sise, pues Si el sise es copile deerido L icógi puede despejrse; su vlor se llev ls ors dos ecucioes se oiee los de Si = = el sise es copile ideerido L ercer ecució qued, que se cuple pr culquier vlor de Si = el sise es icopile L ercer ecució quedrí, que es surdo Oservció Coo ls ecucioes puede reorderse, lo de eos es que el sise quede rigulr; lo ipore es dejr u ecució co u sol icógi prir de es ecució se hrá l discusió jeplos ) = 7 8 =, = l sise es copile deerido Su solució es =, =, = José rí ríe edio

3 eáics plicds ls Ciecis Sociles José rí ríe edio ) l sise es copile ideerido, equivlee 9 9 Hciedo =, se iee 9 Pr cd vlor de se iee u solució Oservció Que u sise se copile ideerido sigific que u de ls ecucioes es redude, que depede lielee de ls ors ese ejeplo, ls icógis depede del vlor que se quier dr c) Coo = es flso, el sise propueso es icopile Oservció Que u sise se icopile idic que sus ecucioes so cordicoris Regl de Crer Cudo el deerie de l ri de coeficiees es disio de cero (ri iversile), es ás cóodo plicr l regl de Crer (Sui, 7 7), cu for geéric, pr sises, es ; ; jeplo Pr el sise erior ; ;

4 eáics plicds ls Ciecis Sociles José rí ríe edio Sises lieles e geerl Teore de Rouché (Frci, 8 9) Pr u sise ás grde, de ecucioes co icógis (*) puede geerlirse culquier de los éodos esudidos pr sises de ecucioes co icógis No ose, pr su discusió es ás efic plicr el eore de Rouché, que dice l codició ecesri suficiee pr que u sise de ecucioes lieles eg solució es que el rgo de l ri de coeficiees () se igul l rgo de l ri plid () so es el sise es copile rgo de = rgo de Ls rices de coeficiees plid so, respecivee,, s rices suele escriirse jus sí Discusió Si rgo de = rgo de = = l úero de icógis, el sise es copile deerido iee u úic solució Si rgo de = rgo de = r <, el sise es copile ideerido iee ifiis solucioes, co r grdos de lierd Pr resolverlo se prescide de ls ecucioes sores; deás, h que rspoer r icógis l ldo de los érios idepediees Ls solucioes se d e fució de ess icógis rspuess Si rgo de < rgo de, el sise es icopile Oservcioes ) Recuérdese que el rgo de u ri es igul l úero de fils (o de colus) lielee idepediees de es ri ) Ls rices iee ls iss fils; pero iee u colu ás que cosecueci, siepre se cuple que r() r() ) Si h eos ecucioes que icógis ( < ), el sise será copile ideerido o icopile ) Si h ás ecucioes que icógis ( > ), l eos hrá ecucioes sores, que será coició liel de ls ors jeplos ) Sise de ecucioes co icógis

5 eáics plicds ls Ciecis Sociles José rí ríe edio Ls rices socids so Coo r() = L ri iee sólo fils, luego su rgo o puede ser or que Por o, r() = cosecueci r() = r() = el sise es copile deerido (Su solució se hll por culquier de los éodos esudidos s =, =, = ) ) Sise de ecucioes co icógis Ls rices socids so Coo r() = r() =, el sise es icopile Sises co uo o dos práeros Cudo lguo de los úeros (coeficiees o érios idepediees) que figur e u sise o esá deerido, se susiue por u ler lld práero esos csos h que discuir pr qué vlor o vlores del práero el sise iee solució o o L discusió se reli esudido coprdo los rgos de ls rices de coeficiees,, plid, (Teore de Rouché) jeplos ) Clsificció resolució e fució del práero R, del sise de ecucioes Ls rices, de coeficiees plid, so λ l deerie de es 8) )( ( 8 9 se deerie vle si = o = 8/ Co eso Si 8/ r() = = r() l sise será copile deerido Su solució, si se pide, dee drse e fució del práero

6 eáics plicds ls Ciecis Sociles Por Crer se oiee ; Oservció L discusió del sise ié podrí hcerse prir de ess solucioes ; ; Coo el deoidor, que es ( )( 8), se ul cudo = o = 8/, se coclue Si 8/, los vlores de,, puede hllrse so úicos e cd cso l sise es copile deerido Si = 8/ ls solucioes o esá defiids el sise será icopile Si λ =, uque poco esá defiids, l poder siplificr ls res icógis por el fcor λ, se dviere que pr = se puede seguir rjdo efeco, susiuedo e ls ecucioes por el vlor se descure que ls ecucioes so lielee depediees, el sise copile ideerido sí se cofirrá coiució Si =, se iee l rgo de es (Bs co oservr que h u eor de orde disio de ) Pr ver el rgo de se clcul Por o, el rgo de ié vle Oservció No es ecesrio clculr ás eores de, pues si el rgo de vle ls colus so depediees puede quirse u de ells, por ejeplo C; qued sí u úico eor de (Si dos de ls colus fuese proporcioles, hrí que prescidir, ecesriee, de u de ells pr clculr l rgo de ) defiiiv, si =, el sise es copile ideerido ; José rí ríe edio

7 eáics plicds ls Ciecis Sociles 7 José rí ríe edio Susiuedo ese vlor ( = ) e el sise iicil, qued (Coo r() = r() =, sor culquier de ls ecucioes, por ejeplo l ercer, uque o hce fl copror d ás, puede verse que, luego podrí supriirse culquier de ls ecucioes) sí pues, el sise es equivlee Hciedo = Si = 8/, se iee 8/ 8/ l rgo de es Pr ver el rgo de se clcul 8/ Por o, el rgo de vle Luego, si = 8/ el sise es icopile c) Sise co dos práeros Discusió, e fució de los vlores de, del sise de ecucioes Ls rices de coeficiees plid so ) )( 9(, luego Si r() = = r(), idepedieeee del vlor de l sise será copile deerido L solució, que se puede hllr plicdo l regl de Crer, quedrá e fució de Si =, se iee l rgo de es, pues el eor

8 eáics plicds ls Ciecis Sociles 8 Rgo de l eor Por o 7, que vldrá cudo = 9 si = 9, el sise será icopile r() = r() = si = = 9, el sise será copile ideerido r() = = r() Si =, se iee l rgo de es, pues el eor Rgo de l eor Por o, que vldrá cudo = 9 si = 9, el sise será icopile r() = r() = si = = 9, el sise será copile ideerido r() = = r() Resuiedo Si r() = = r(), idepedieeee del vlor de Si = o = 9 el sise será icopile r() = r() = si = o = 9 el sise será copile ideerido r() = = r() José rí ríe edio

9 eáics plicds ls Ciecis Sociles 9 José rí ríe edio Sises hoogéeos Defiicioes U sise de ecucioes lieles se ll hoogéeo cudo el ério idepediee de cd u de ls ecucioes es Por o, so de l for sos sises siepre so copiles, pues los vlores =, =,, = so u solució del sise; es es l lld solució rivil Tié es evidee que l ri es l plició de co u colu de ceros, lo cul o fec l rgo; luego r() = r() Si r() = = úero de icógi, el sise es copile deerido Su úic solució es l rivil Si r() <, el sise será copile ideerido l sise hoogéeo edrá ifiis solucioes el cso de que eg el iso úero de ecucioes que de icógis deerá cuplirse que = jeplos ) l sise sólo iee l solució rivil, =, =, =, pues el deerie de l ri de coeficiees, 9 ) l sise 7 es copile ideerido, pues el deerie de l ri de coeficiees, 7 r() = < el úero de icógis l sise es equivlee lgus solucioes de ese sise so (,, ), (,, ), (,, ), ; urlee siepre esá l solució (,, ) c) l sise es copile ideerido Copile porque es hoogéeo; ideerido porque iee eos ecucioes que icógis (Su solució es =, =, = )

10 eáics plicds ls Ciecis Sociles José rí ríe edio Discusió de u sise hoogéeo co u práero Coo se h dicho erioree, los sises hoogéeos siepre iee solució Por o, l discusió de esos sises cosise e deerir cudo iee sólo l solució rivil cudo iee ifiis solucioes jeplos ) Discusió, segú los vlores del práero, del sise Resul ovio que el sise es hoogéeo L ri de coeficiees, ) ( = si = / Por o Si /, r() =, sise copile deerido L úic solució es l rivil =, =, = Si = /, r() = l sise es copile ideerido, equivlee, cu solució puede drse coo ) Discusió resolució, depediedo de los vlores de λ, del sise l deerie de l ri de coeficiees es = Se ul si =, = o = Por o Si,, el rgo de es el sise copile deerido Su solució es l rivil =, =, = Si =, el sise qued Si =, el sise qued (Coo d se dice de, es qued ideerid) Si =, el sise qued L solució del sise es

11 eáics plicds ls Ciecis Sociles Proles de sises Coo e culquier prole, e los que d lugr u sise de ecucioes, el proceso seguir puede ser ) Leerlo despcio eederlo ) Defiir ls icógis ) Descurir los dos ls relcioes lgerics ere ls icógis los dos escriir ls ecucioes ) presr ess ecucioes e l for esádr discuir resolver el sise oeido coiució se propoe res proles preeee fáciles ( sí so) Se sugiere l lecor ieresdo que los procure resolver por su cue, que o se coee co esudirlos eederlos, pues eso resul desido fácil Prole Heldos (Propueso e Selecividd e, Cri) U helderí vede heldos de u, dos res ols uo, dos res euros respecivee l vieres h vedido 7 heldos oeiedo 78 euros seos que el úero de heldos de u ol vedidos es k veces el úero de heldos de res ols ) Ple u sise de ecucioes lieles cu resolució peri verigur cuáos heldos de cd ipo se h vedido ) sudi pr qué vlores del práero k el sise iee solució s posile que se h vedido el iso úero de heldos de u ol que de res ols? c) Pr k =, clcul cuáos heldos de cd ipo se h vedido Solució ) Se,, el úero de heldos vedidos de u, dos res ols, respecivee De cuerdo co los dos del prole dee cuplirse 7 cidd 78 igresos k relció 7 Por o, qued 78 k ) Pr que el sise eg solució es ecesrio que el rgo de l ri de coeficiees se igul l rgo de l ri plid, r() = r(), siedo 7 78 l deerie de vle k k k k Co eso Si k, el deerie es disio de el rgo de será ese cso, el sise edrá solució úic; depediedo e cd cso del vlor de k 7 Si k =, se edrá 78 José rí ríe edio

12 eáics plicds ls Ciecis Sociles ese cso, el rgo de es ; pero el de es, pues el eor 78 ese cso, el sise o edrá solució Por o, o puede vederse el iso úero de heldos de u de res ols 7 c) Pr k =, el sise es copile deerido Puede resolverse por Guss Oservció L solució dd ás rri es correc o ce eigir ás e u ee de Selecividd No ose, l urle del prole eige que ls solucioes se eers posiivs los heldos se vede por uiddes, por ols eers so deerí poer e gurdi l lecor ieresdo l sise edrí solució coheree si k =,, por ejeplo? cocreo, si se resuelve el sise pr k =, que eóricee es copile, d u solució egiv pr, lo que es surdo U for de superr es dificuld serí hllr l solució del sise e fució de k discuirl eigiedo que ods ls se úeros urles k 9 k Se oiee ; ; k k k Pr que k se u úero url k sólo puede or los vlores,,,, 7,,, 9 7 ( Vldrá odos?) Prole ddes Hll ls eddes cules de u dre sus dos hijos siedo que hce 9 ños l edd de l dre er veces l su de ls eddes de los hijos e quel oeo, que dero de 8 ños l edd de l dre será l su de ls eddes que los hijos edrá e ese oeo que cudo el hijo or eg l edd cul de l dre, el hijo eor edrá ños Solució l siguiee l se resue los dos ls relcioes eisees ddes dre Hijo º Hijo º Relció de eddes culee Hce 9 ños = ( 9 + 9) Dero de 8 ños = Dero de (*) + + = (*) Puede oservrse que el hijo or, que iee ños, edrá l edd de l dre ( ños) dero de ños Se oiee el sise 8 ( ) Luego = ; = ; = L dre iee ños; los hijos, el or el eor 8 José rí ríe edio

13 eáics plicds ls Ciecis Sociles Prole ecls (Propueso e Selecividd e 998, Cris) Se ecl res clses de vio de l siguiee er ) liros de Teerife, de L Pl de Lroe, resuldo u ecl de peses/liro ) liros de Teerife, de L Pl de Lroe, ddo u vio de peses/liro c) liros de Teerife, de L Pl de Lroe, ddo u vio de peses/liro Hll el precio por liro de cd clse de vio Solució Se,, el precio del liro de vio de Teerife, L Pl Lroe, respecivee Co los dos ddos, se oiee el sise Los precios de los vios so Teerife, p/l; L Pl, p/l; Lroe, p/l Oservció U lísio porceje de esudies escrie l ls ecucioes Se "olvid" de uliplicr por el úero ol de liros por, por por, respecivee Prole Núeros (Propueso e Selecividd e, dlucí) Ddo u úero de res cifrs BC, se se que l su de sus cifrs es Por or pre, si peruos ls cees co ls uiddes, oeeos el úero iicil icreedo e 98 Si e el úero iicil peruos deces co uiddes, oeeos el iicil disiuido e 7 Ple el sise de ecucioes lieles que coduc l oeció de ls cifrs del cido úero Solució úero BC = cees + B deces + C uiddes = + B + C Se se que l su de sus cifrs es + B + C = Si se peru ls cees co ls uiddes BC CB el úero se icree el 98 Se cuple CB = BC + 98 Luego, C + B + = + B + C C 99 = 98 C = Si se peru ls deces co ls uiddes BC CB el úero disiue e 7 Se cuple CB = BC 7 Por o, + C + B = + B + C 7 9C 9B = 7 C B = Se iee el sise B C B C B C 99C C C 9C 9B 7 C B B C Susiuedo e los vlores de B e l prier ecució se iee C C C C C = ; = ; B = 8 l úero ddo es el 8 José rí ríe edio