A = Héctor Escobar Álgebra Lineal ÁLGEBRA LINEAL: Unidad 1: Álgebra De Matrices. 1. CONCEPTO DE MATRIZ. Una matriz A de

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1 ÁLGEBRA LINEAL: Hécor Escobr Álgebr Liel Uidd : Álgebr De Mrices.. CONCEPTO DE MATRIZ. U mriz A de A = = m m m es u rreglo recgulr de m fils y colums: m ( ) Nos:. i m ; j b. Si R, eoces A es u mriz rel. Si C, eoces A es u mriz complej. c. Fi (,,, ) = es u vecor fil. i i i d. Cj = j j mj es u vecor colum. e. Si = 0 i, j, eoces A = Θ es l mriz ul.. CLASES DE MATRICES... Mrices Recgulres. So ls mrices A Mm l que m... Mrices Cudrds. So ls mrices A Mm l que m = (simbólicmee A M ). Nos: E ls mrices cudrds l sum de los elemeos de l digol pricipl recibe el ombre de rz. E ls mrices cudrds se puede disiguir:. Mriz digol: D = ( d ) Si d = d co i = j

2 d = 0 Si i j Hécor Escobr Álgebr Liel b. Mriz rigulr superior: A = ( ) Si = co i j = 0 Si i > j c. Mriz rigulr iferior. A = ( ) Si = co i j = 0 Si i < j No: cosulr. Mriz rigulr superior esric b. Mriz rigulr iferior esric 3. Algebrizció De Mrices. Se A, B, C Mm. Eoces sobre Mm se h defiido ls siguiees opercioes: 3.. Iguldd De Mrices. A = B Si = b i, j. 3.. Sum De Mrices. Es u O. B. I defiid sí: + : ( Mm ) ( Mm ) Mm (, b ) ( + b ) Es Operció Cumple Co Ls Siguiees Propieddes: A + B + C = A + B + C. Asociividd: ( ) ( ) b. Elemeo euro: A + Θ = Θ + A = A c. Elemeo iverso: A + ( A) = A + A = Θ d. Comuividd: A + B = B + A No: Por 3., 3. y sus propieddes, Mm, + form u grupo belio Muliplicció De U Mriz Por U Numero Rel. Es u O. B. E defiid sí: : R Mm Mm α, α. ( ) ( ) Es Operció Cumple Co Ls Siguiees Propieddes: Se α, β R :

3 α β α + β. ( + ) A = A A α ( A + B) = αa + αb Hécor Escobr Álgebr Liel b. ( αβ ) A = α( βa) c. A = A (euro pr ) Nos: Co 3., 3. y 3.3 Mm, +, form u espcio liel Muliplicció Ere Mrices. Pr que l muliplicció mricil de A co B esé defiid se ecesi que A y B se coformbles, es decir que el úmero de colums de A se igul l úmero de fils de B : : ( Mm ) ( M r) Mm r (, b ) ( c ) dode c se obiee muliplicdo esclrmee l j ésim colum de B. Propieddes De L Muliplicció Mricil AB C = A BC. Asociividd: ( ) ( ) b. Disribuiv: A ( B + C) = AB + AC ( A + B) C = AC + BC c. α ( AB) ( αa) B = A( αb) = co α R d. E geerl AB BA Si AB = BA, eoces A y B comu Si AB = BA, eoces A y B so icomuivos. 4. Mriz Ideidd. A M, Ι M l que ΙA = AΙ = Ι 5. Opercioes Uiris Co Mrices. 5. Mriz Trspues. i ésim fil de A por l : Mm M m ( ) ( ) ji Si A = ( ), eoces A = ( ) 3

4 Propieddes De L Trsposició. Se A, B mrices coformbles, α R. Eoces se cumple que:. ( ) = A A b. ( A + B) = A + B c. ( α A) = α ( A ) d. ( AB ) = B A A A A = A A A e. ( ) 5.. Mriz Siméric. Se A M. Eoces A es siméric si =. ( ) ji Hécor Escobr Álgebr Liel A = A 5.3. Mriz Aisiméric. Se A M. Eoces A es isiméric si A A = = ( ) ji Propiedd. E u mriz isiméric, los elemeos de l digol so cero Cojugció. Se A ( + ib ) Mm ( C ) mriz A se defie sí: A = ( ) Propieddes de l cojugció.. A = A b. α A = α A Si α C α A = α A Si α R c. AB = AB d. A + B = A + B e. ( ) A + B = A + B f. ( AB ) = ( B )( A ) A g. ( ) = A =. Eoces l cojugd de l ib 4

5 Hécor Escobr Álgebr Liel Cojugció E Ls Mrices Cudrds. A = + ib M C. Eoces A es hermíic si. Mriz Hermíic. Se ( ) ( ) A = A. Propiedd. E ls mrices hermíics los elemeos de l digol so reles. b. Mriz Aihermíic. Se A ( + ib ) M( C ) ihermíic si A = A. = eoces A es Propiedd. E u mriz ihermíic los elemeos de l digol so imgirios puros Poecició r : M M co r Ν ( ) ( ) r A r = AA A = r veces r i= A Propieddes De L Poecició. r r r. A = A A = AA r s r+ s b. A A = A r rs c. ( ) s A = A A B C = A B C r s q r s q d. ( ) ( ) e. Si A y B comu eoces r r r r A B = B A co r r r r f. Si A y B comu eoces ( ) A B AB = co r Mrices Origid Por L Poecició.. Ivoluiv: Si A = Ι b. Idempoee: Si A = A c. Periódic: Si A r = A co período r r d. Nilpoee: Si A = Θ co ídice de il poecis r 6. Ivers De U Mriz. 6.. Defiició. Si A M y B M l que AB = BA = Ι, decimos que B es l ivers de A ( B = A ). 6.. Propieddes De L Mriz Ivers.. Si l ivers de A eise eoces es úic. b. Si A es regulr eoces ( A ) = A 5

6 Hécor Escobr Álgebr Liel = B A c. Si A y B so regulres eoces AB es regulr y ( AB ) d. Si A es regulr eoces e. Si A M( C ) es regulr eoces 7. Deermie. A mbié lo es y ( A ) = ( A ) A es regulr y ( A ) = ( A ) 7.. Cocepo. El deermie de A M es u operció que le sig l mriz A u úmero rel o u úmero complejo. 7.. Como clculr el deermie de u mriz.. Se A = de A = b. Se A = 3 de A = c. Meor de ( M ). Es el deermie de l mriz que resul l suprimir l i ésim fil y l j ésim colum de A M. i+ j : A = M. d. Cofcor de ( ) e. Mriz de cofcores cof ( A) de A.. Es l mriz formd por odos los cofcores f. Mriz dju dj ( A). Es l rspues de l mriz de cofcores. g. Propiedd. L sum de los producos formdos l muliplicr los elemeos de u fil (colum) de A por el correspodiee cofcor de or fil (colum) de A es cero. h. Como hllr u deermie de: A = i. De A = A : desrrollo del deermie por los cofcores de l i ésim fil. j= 6

7 ii. De A = i= j ésim colum. A : desrrollo del deermie por los cofcores de l 8. Propieddes De Los Deermies. 8.. Si B se obiee l muliplicr u fil (colum) de A por α R, eoces se cumple que de B = α de A. α = siedo A M. 8.. de( A) α de A 8.3. AB ( de A)( de B) A A A ( de A )( de A ) ( de ) de = o e form más geerlizd: de k = A k Si u fil (colum) de A es cero, eoces de A = de A = de A. de A = de A de = de A A Hécor Escobr Álgebr Liel 8.6. Si e u mriz se iercmbi dos fils (colums) el deermie cmbi de sigo Si u mriz iee dos fils (colums) igules eoces el deermie es cero Si e u mriz u fil (colum) es u múliplo esclr de or fil (colum) eoces el deermie es cero Si u fil (colum) se le sum u múliplo esclr de or fil (colum) el deermie de l mriz o cmbi Si A es rigulr o digol eoces de A = co i = j. 8.. A Es regulr si de A de Ι =. i= 8.3. Si A es regulr eoces de A =. de A 8.4. El deermie de u mriz A M es ulo si u fil (colum) es 7

8 C.L de ls reses fils (colums). Hécor Escobr Álgebr Liel 9. Teorems: Se A M, eoces se cumple que: 9.. ( A)( A) = dj ( A)( A) = ( de A)Ι dj. 9. A = dj A de A 0. Opercioes Elemeles. 0. U operció elemel es quell que coviere u mriz e or equivlee. Ls opercioes elemeles so:. Iercmbio de dos fils (o dos colums) b. Muliplicció de u fil (o colum) por u esclr diferee de cero. c. Sum u fil (o colum) de u múliplo esclr de or fil (o colum). 0.. Mrices Elemeles. So quells que resul l ejecur sobre u mriz ideidd u úic operció elemel Propiedd. Se A Mm ; E Mm u mriz elemel, eoces EA es l mriz que resul l efecur sobre A l operció elemel fil idéic e E. No: cudo se posmuliplic es u operció elemel colum Mrices Equivlees. i. Mrices equivlees por fils, Se A, B Mm decimos que B es equivlee por fils A si B se obiee l ejecur sobre A u úmero fiio de opercioes elemeles fil: B = E E Ek A = PA E E i Mm. ii. Mriz equivlee por colums. Se A, B Mm decimos que B es equivlee por colums A si B se obiee l ejecur sobre A u úmero fiio de opercioes elemeles colum: B = AE E E A = AQ E E j M. iii. Mrices equivlees. A, B Mm, so equivlees si B se obiee l efecur u umero fiio de opercioes fil/colum sobre A. B = PAQ B Q 0.5. Se dice que A es regulr l hcer sobre A u úmero fiio de opercioes elemeles fil (o colum) se obiee l mriz ideidd: = ( E E E )A A Ι Ι A. Ι Ó [ ] [ ] k 8

9 Hécor Escobr Álgebr Liel 0.6. L Mriz Esclod. U mriz esá esclod por fils (M.E.F) si cumple lo siguiee:. Si posee fils uls, éss se locliz e l pre iferior de l mriz. b. El primer elemeo diferee de cero que se ecuere e u fil de izquierd derech es el ( pricipl). c. El pricipl de u fil siempre es l derech del pricipl de l fil imedimee superior. d. Si los elemeos de u colum que posee el pricipl so ulos, eoces esá e form esclod por fil reducid (M.E.F.R). No: mbié se puede defiir l M.E.C.R. Rgo De U Mriz.. Rgo por fils. El rgo por fils de u mriz es el umero de fils o uls e le M.E.F o e l M.E.F.R. b. Rgo por colums. El rgo por colums de u mriz es el umero de fils o uls e le M.E.C o e l M.E.C.R. c. Si Rg Fils ( A ) = Rg colums ( A) = K, decimos que K es el rgo de l mriz.. Sisem De Ecucioes. Se el sisem de ecucioes m m = b = b m = b m. Ese sisem se puede epresr e form mricil sí: 3 3 = b b b m Ó A = B A : Mriz de coeficiees : Mriz de icógis B : Mriz de érmios idepediees Lo que se preede es hllr ls ds que sisfce el sisem A = B. Pr eso podemos eer e cue lo siguiee: 9

10 . Si B Θ, eoces A = B es u sisem o homogéeo. Hécor Escobr Álgebr Liel b. Si B = Θ, eoces A = Θ es homogéeo. c. A = B es compible si iee solució úic o ifiis solucioes y es icompible si o iee solució. d. A = Θ puede eer solució úic (e ese cso rivil) o ifiis solucioes (que icluye l rivil). e. Si A es regulr eoces A = B iee solució úic. f. Vribles básics. So ls socids los uos priciples de l M.E.F ó M.E.F.R. Vribles libres so ls reses. Numero de vribles básics = ( A ) = K Numero de vribles libres = g. Si ( A ) R ( A B) h. Si ( A ) R ( A B) i. Si ( A ) = R ( A B) = j. Si ( A ) = R ( A B) < R. K R = eoces el sisem iee solució. R eoces el sisem o iee solució. R eoces el sisem iee solució úic. R eoces el sisem iee ifiis solucioes. k. Dos ó más sisems so equivlees si posee l mism solució. l. Ls fils uls idic el úmero de ecucioes redudes. m. Si A M es regulr, eoces se cumple que: de A 0 A Ι A = Θ Tiee solució úic. A = B Tiee solució úic. R A = ( ) 0