Sistemas, matrices y determinantes

Transcripción

1 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Dd l mriz, hllr ls mrices ) ( )( ) I ( I B, b) ) (I C..- Comprobr que culquier mriz cudrd se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric y or isiméric..- Dd l mriz λ λ, verigur pr qué vlores del prámero λ l mriz iee ivers..- Si l dimesió de ls mrices, B, C, y D so x, x, x y x respecivmee. Clcúlese l mriz X e cd u de ls siguiees ecucioes mriciles ) [] XBCD. [] XCB. [] XDD CC. b) Hllr el vlor de X e los prdos eriores siedo, B, C, D.- Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que B Y X Y X. L mism cuesió pr el cso cocreo y 8 B.

2 Sisems, mrices y deermies cosα seα 6.- ) Hllr, siedo cosα. seα b) Hllr u mriz B l que 7 B c) Hllr C, N, dode C. 7.- Esudir l compibilidd o icompibilidd del siguiee sisem, segú los vlores del prámero resolviédolo cudo se posible: 6x ( ) x - ( ) x y 6y ( ) y - 6z 6z z λ λ λ 8.- Resolver l ecució. λ λ λ λ λ λ λ 9.- Us el eorem de Rouché pr explicr qué ipo de sisem de ecucioes lieles: ) Cosiuye ls ecucioes de res recs e el plo que deermie u riágulo. b) Cosiuye ls ecucioes de curo plos e el espcio que deermie u eredro..- L mriz, cudrd de orde res verific l ecució B co B 7, se puede segurr que l mriz es regulr? Uidd docee de Memáics

3 Sisems, mrices y deermies.- Exise lgu mriz regulr de orde impr l que?.- Clcúlese el rgo de ls siguiees mrices medie el méodo de los meores , 6 B.- Se, B M (R), co y B. Clculr los deermies siguiees: B,,,, B y B..- Se B y ( B I) mrices de orde res iversibles. BX Y B ) Resolver el siguiee sisem mricil B X BY b) Hllr X e Y pr el cso cocreo B...- Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz -I es iversible, despejr X e l ecució: X C D (X ). 6.- Hllr l ivers de l mriz mrices elemeles. y escribir como produco de Uidd docee de Memáics

4 Sisems, mrices y deermies 7.- Mismo ejercicio erior (6) pr l mriz Hllr el rgo de l mriz Esudir si exise lgu mriz rel de dimesió x lque I, dode I es l mriz uidd de orde..- Comprobr que el vlor de u deermie de Vdermode es:... b b b... c c c p p p... (b )(c )...(p ) (c b)...(p b) Discuir, e fució del prámero, el siguiee sisem de ecucioes lieles x y z x y z - x - y ( ) z - - x y ( 6) z ) Resolver el sisem liel siguiee X B medie el méodo de Guss: x y 7 z b) Hllr C M ( R) l que C se u mriz rigulr superior equivlee por fils. Uidd docee de Memáics

5 Sisems, mrices y deermies.- Se l mriz ; se pide: b ) Esudir el rgo de e fució de los prámeros reles y b. b) Pr b, cosideremos el sisem de ecucioes lieles X B, dode B. Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr. c) Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz I es X C D X. iversible, despejr X e l ecució: ( ).- Se y B mrices cudrds de orde. Probr que si I-B es iverible, eoces I-B mbié es iverible y que ( I B) I B( I B) No: I es l mriz uidd de orde...- Se u mriz cudrd de orde l que I. Eoces es iverible. 6.- Ecorr el cojuo de mrices que comu co l mriz. 7.- Demosrr que l mriz verific l relció:, N. 8.- Dd l mriz hllr, N. 9.- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: p qi () siedo e I. Uidd docee de Memáics

6 Sisems, mrices y deermies.- Resolver l siguiee ecució mricil CXDB-EX siedo E..- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: 7 cos x sex, B 6, C sex cos x..- Probr que y so siempre mrices simérics. Es comuivo el produco erior? Mosrr mbié que es siméric, si es cudrd; qué sucede co?.- ) Si B es u mriz isiméric, qué se puede decir de C B? b) Si y B so mrices simérics, qué se puede decir de B-B?.- ) Hllr l ivers de mrices elemeles. b) Escribir como produco de 9.- Sbiedo que ls mrices, X e Y so de orde 7 y que el deermie de es igul k, se pide: ) Clculr los deermies de,, -, -,. X Y b) Supoiedo que -I se iverible, resolver el sisem: X Y ( ) c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde7: X X C (X B) X 6.- Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de b) Comprobr que I. c) Obeer.. 6 Uidd docee de Memáics

7 Sisems, mrices y deermies 7.- Se u mriz orogol ( ). Se pide: ) Esudir si y so mbié mrices orogoles. b) Hllr. c) Si B es or mriz orogol del mismo orde que, esudir si B es orogol. 8.- Discuir, segú los vlores de los prámeros y b, el siguiee sisem de ecucioes. Resolverlo pr b. x x - x x x x x x x x x x x 6 x x x x b 9.-) Resolver el sisem mricil siguiee: X Y I X Y O Qué codició h de cumplirse pr que el sisem erior se compible? b) L mriz solució X puede verificr X? c) Resolver el sisem de ecucioes lieles: x y z x y z x y z.- ) Esudir el rgo de l mriz M segú los vlores de y b b. b) Resolver el sisem de ecucioes lieles cuy mriz mplid es M e los csos e que se compible..- Dd l mriz hllr: 7 p ) E fució de los vlores p y q, u mriz X l que X. q b) U mriz Y l que Y Y. c) U vlor de λ l que λi. Uidd docee de Memáics 7

8 Sisems, mrices y deermies d) El vlor de los deermies siguiees:,,,,,..- Se, B, X, e Y M ( R) X Y YX ( B) X Se pide: ) Hllr X ey. mrices iversibles que verific el sisem: b) Resolverlo pr el cso cocreo: y B.- ) Clculr ls mrices cudrds de orde, X e Y, que sisfce ls ecucioes siguiees: X Y B X - Y C b) Si X e Y so ls mrices eriores, clculr, e fució de B y C, l mriz Z defiid por: Z (X Y) X (X Y)(Y).- Sbiedo que ls mrices X e Y so de dimesió x y verific el 6 X Y sisem e el que X Y B y B 8 7, hllr dichs 7 7 mrices X e Y. h h.- Dd l mriz B, se pide: h h. Hllr el rgo de B pr los disios vlores de h b. Clculr pr qué vlores de h exise l mriz ivers de B. c. Pr qué vlores de h l mriz B es orogol? BX Y d. Pr el vlor h, resolver el sisem mricil siguiee: B X BY B 8 Uidd docee de Memáics

9 Sisems, mrices y deermies 6.- ) Demosrr que (B) - B - -, siedo y B mrices iversibles del mismo orde. b) Cosideremos l ecució mricil [I-(B) ]X-(C-I) - DX- B X, siedo,b,c,d mrices cudrds de orde e I l mriz uidd del mismo orde. i) Despejr X. ii) Qué codició h sido ecesri pr poder despejr X? iii) Hllr X, si es posible, e cd uo de los siguiees csos. - ) C y D ) C y D ) Discuir el siguiee sisem segú los disios vlores de : ( ) x ( ) y ( ) x x y ( ) y ( ) z z ( ) 9 b) Resolver el sisem pr el vlor de que hce l sisem compible ideermido. c) Pr el vlor de del prdo erior rzor cuál es el míimo úmero de ecucioes lielmee idepediees y qué ecució o ecucioes so combició liel del reso. Hy lgu solució e l cul x? 8.- Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( B X ) - ( - B ) (D X)B - ( B - ) 9.- ) Discuir y resolver, segú los vlores de m, el sisem siguiee: x y z mx y z m x my z m b) Hllr, pr m, l solució priculr l que y. Uidd docee de Memáics 9

10 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Dd l mriz, hllr ls mrices ) ( )( ) I I B (, b) ) (I C. I, ( ) I, ) ( )( ) I I B. b) ) (I C I ) ( ) ( I ( ) ( I)

11 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Comprobr que culquier mriz cudrd se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric y or isiméric. Se M B siedo, u mriz siméric ( ) y B u mriz isiméric (B -B), por o M B -B que resolviedo el sisem M B M B se obiee M M y B M M. Eoces podemos escribir M M M M M, siedo M M siméric, pueso que ( ) M M M M M M y M M isiméric, y que ( ) M M M M M M. L descomposició es úic: Si fuer B B M ic isimér siméric B B, siedo l difereci de mrices l vez siméric y isiméric, pero l úic mriz siméric y isiméric simuláemee es l mriz ul. sí pues, B B y Ejemplo. Si 7 6 M, eoces M M / / / / / / ) ( 9 9 M M B / / / / / / ) (.

12 Sisems, mrices y deermies.- Dd l mriz l mriz iee ivers. λ, verigur pr qué vlores del prámero λ λ λ λ ( λ)( λ) λ λ Uidd docee de Memáics

13 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Si l dimesió de ls mrices, B, C, y D so x, x, x y x respecivmee. Clcúlese l mriz X e cd u de ls siguiees ecucioes mriciles ) [] XBCD. [] XCB. [] XDD CC. b) Hllr el vlor de X e los prdos eriores siedo, B, C, D ) Si exise - y B - eoces, [] - C B D X ) (. [] - ( ) X CB. [] - CC DD X ) ( b) 7 / /. ( ) C D. 6 B [] 6 7 C)B (D X 7 / / ) (. CB. [] ( ) X CB ( ) CC DD, [] CC DD X ) ( 8 7/ /

14 Sisems, mrices y deermies X Y.- Hllr dos mrices X e Y de dimesió x les que. X Y B L mism cuesió pr el cso cocreo y B. 8 6X Y X Y B e e X B X ( B). 6X Y X Y B e 6 e Y 8 6B Y ( 8 6B). X, / Y / Uidd docee de Memáics

15 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics 6.- ) Hllr, siedo α α α α se cos se cos. b) Hllr u mriz B l que B. c) Hllr C, N, dode C. ) α α α α α α α α α α α α α α α α α α se se cos se se cos cos se cos se se cos se cos se cos se cos α α α α α α α α α α α α α α se se cos se se cos cos se cos se se cos se cos b) Ls poecis de u mriz rigulr es u mriz rigulr. b B c, c b. c) C,, C 9 c c b c b c b B c 8 6c b 7 9 c c b c b B

16 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics 6,, Vemos que... ( ) C. Por iducció. Se verific pr. Supoemos que se verific pr, y probmos que se verific pr. ( ) ( ) C CC C 6 C

17 Sisems, mrices y deermies 7.- Esudir l compibilidd o icompibilidd del siguiee sisem, segú los vlores del prámero resolviédolo cudo se posible: ( ) 6x 6y z x ( - ) y - 6z ( ) x y -6z 6 6 Esudimos l mriz de los coeficiees 6 cuyo deermie es iguldo cero se obiee ls ríces so - y 7. er cso: 6 6 ( ) 6 6 Si -, resul r ( ) 6 r 6 icompible ( ) 6 6 º cso: 6 6 (7) Si 7, resul r (7) 6 r 6 compible (7) 6 6 ideermido. Resolviedo el sisem equivlee: er cso Si y 7 α x 6x 6y -6z α y x y - 6z z α x 6 6 r 6 sisem compible deermido, es decir, solució úic y 6 z Uidd docee de Memáics 7

18 Sisems, mrices y deermies λ λ λ 8.- Resolver l ecució. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ' c'i cicii ' c'i cic λ λ λ 6 ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ. λ λ 8 Uidd docee de Memáics

19 Sisems, mrices y deermies 9.- Us el eorem de Rouché pr explicr qué ipo de sisem de ecucioes lieles: ) Cosiuye ls ecucioes de res recs e el plo que deermie u riágulo. b) Cosiuye ls ecucioes de curo plos e el espcio que deermie u eredro. ) Se ls res recs: π x y z b r π x y z b co ( i, i, i) (,,) i,...,6 σ x y z b, s, σ x y z b τ x y z b τ x y z b E ol eemos seis ecucioes lieles que form u sisem icompible (ls recs o iee igú puo e comú). Cosiderdo: r() r(*) b b b b b b 6 r() ; y r(*) el sisem es icompible y demás ods ls submrices de orde x so de rgo res. Ls recs se cor dos dos. b) Se los plos: α x x x co (,, ) (,,) ; β bx bx bx b co (b, b, b) (,,) ; γ cx cx cx c co (c,c,c) (,,) δ dx dx dx d co (d,d,d ) (,,) cosiderdo: b b b r() r b b b b r(*) r c c c c c c c d d d d d d d r() ; y r(*) el sisem es icompible y los curo plos o iee igú puo e comú, demás ods ls submrices de orde x so de rgo res. Los plos se cor dos dos. Uidd docee de Memáics 9

20 Sisems, mrices y deermies.- L mriz, cudrd de orde res verific l ecució B co B 7, se puede segurr que l mriz es regulr? B B B ( I) B I. Uidd docee de Memáics

21 Sisems, mrices y deermies. Exise lgu mriz regulr de orde impr l que?, y eso, es bsurdo e los úmeros reles. Luego o exise l mriz. Uidd docee de Memáics

22 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Clcúlese el rgo de ls siguiees mrices medie el méodo de los meores , B ; 8 7 ; 7 6 rg() ; ; 7 ; rg(b).

23 Sisems, mrices y deermies.- Se,B M (R), co y B. Clculr los deermies siguiees: B,,,, B y B. B B... 6 B B. ( ) B B. Uidd docee de Memáics

24 Sisems, mrices y deermies.- Se B y ( B I) mrices de orde curo iversibles. ) Resolver el siguiee sisem mricil BX Y B B X BY. b) Hllr X e Y pr el cso cocreo B. ) BX Y B Y B BX B X BY B X Y B B [ ] [] X B BX (B I)X I B, susiuyedo [] e [] se obiee - (B-I) - X B ( I) Susiuimos ese resuldo e l ecució [] y obeemos Y BI [ ( B I) ] b) B ; B I ; ( ) B I X Y B I (B I) Uidd docee de Memáics

25 Sisems, mrices y deermies.- Se X, C y D res mrices de orde. Supoiedo que l mriz -I es iversible, despejr X e l ecució: X C D (X ). X C D (X ) X C D X X C D X ( I ) X D C y como I- es iversible, muliplicdo por l izquierd por l mriz (I ) e l ecució erior, se iee X ( I) D C ( ) Uidd docee de Memáics

26 Sisems, mrices y deermies 6.- Hllr l ivers de l mriz y escribir como produco de mrices elemeles. co E y E se obiee: co E / y E se obiee: / co E se obiee: / / co E6 y E7 se obiee: / / / / / / / /6 / co E8 se obiee: / / / / 7/6 / / /6 / / / / y escribir como produco de mrices elemeles. EEEEEEEE (EEEEEEEE) E E E E E E6 E7 E8 6 Uidd docee de Memáics

27 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Mismo ejercicio erior (6) pr l mriz 6. ( ) 6 I ' ' f f f f f f ' f f f, Observmos que l mriz o es iversible.

28 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Hllr el rgo de l mriz ' ' ' ' f f f f f f f f f f f f ' ' ' f f f f f f f f f ' f f f por o, rg().

29 Sisems, mrices y deermies 9.- Esudir si exise lgu mriz rel de dimesió x lque I, dode I es l mriz uidd de orde. d d b de c df b c d e f c f c df bc ef c f b e b de b e bc ef d cosα b e d seα c f b cosα α, α, α R/ b de e seα c df c cosα bc ef f se α π π cos αcos α seαseα cos α α α α ± ó ±. demás, bde ( ) π π álogmee: cos αcos α seαseα cos( α α) α α ± ó ±. π π cos αcosα seαseα cos( α α) α α ± ó ±. Pero, α α ( α α ) ( α α ) α α ±π ± π Luego o exise l mriz. y o coicide co π π ± ó ±, bsurdo. Uidd docee de Memáics 9

30 Sisems, mrices y deermies.- Comprobr que el vlor de u deermie de Vdermode es:... b b b... c c c p p p... (b )(c )...(p ) (c b)...(p b) Resdo e cd fil l erior muliplicd por el deermie qued: b c... p b c... p b c... p b( b ) c( c )... p( p ) b c... p b ( b ) c ( c )... p ( p )... b c... p (b )(c )...(p ) b c... p b c... p ese úlimo deermie mbié es de Vdermode; efecudo e él el mismo proceso y sí sucesivmee se obiee el resuldo buscdo. Uidd docee de Memáics

31 Sisems, mrices y deermies.- Discuir, e fució del prámero, el siguiee sisem de ecucioes lieles x y z x y z - x - y ( ) z - - x y ( 6) z - 8 L mriz de los coeficiees es de orde x y l mriz mplid 6 * de orde x puede ser de rgo * ( ). Podemos disiguir res csos:. Si y r(*)>r() SISTEM INCOMPTIBLE. *. Si r( ) r ; r( ) r <úmero de icógis SISTEM COMPTIBLE INDETERMINDO. *. Si r( ) r ; r( ) r úmero de icógis SISTEM COMPTIBLE DETERMINDO. Uidd docee de Memáics

32 Sisems, mrices y deermies.- ) Resolver el sisem liel siguiee X B medie el méodo de Guss: x y 7 z R l que C se u mriz rigulr superior equivlee por M b) Hllr C ( ) fils. ) 7 siedo E f f 7 siedo E f f 7 siedo E f 6 6 siedo E f f 7 6 siedo E f f x z Por o, el sisem equivlee: y z 6, cuy solució será x-; y; z z b) Si llmmos l mriz de los coeficiees del sisem erior, hllr u mriz C l que C se u mriz rigulr superior equivlee e fils. EEEEE C EEEEE Uidd docee de Memáics

33 Sisems, mrices y deermies.- Se l mriz ; se pide: b ) Esudir el rgo de e fució de los prámeros reles y b. b) Pr b, cosideremos el sisem de ecucioes lieles X B, dode B. Discuir el sisem segú los vlores del prámero y resolverlo pr. c) Clculr l ivers de -I pr b. ) Pr resolver el clculo del rgo obeemos el vlor del deermie de : ( b b) e igulmos cero b b. Podemos disiguir los siguiees csos: b b b. Si,b r().. Si ; co r(). ( b b). Si b ; r(). x b) Pr b el sisem qued: y. Por el prdo erior: z Si r() y l mriz mplid compible deermido. * r( ) el sisem es Uidd docee de Memáics

34 Sisems, mrices y deermies * Si r() y l mriz mplid r( ) <º de icógis el sisem es compible ideermido. x z El sisem pr es x X y. z z c) Pr b qued 6 y l mriz I co I 8 iee 9 9 ivers y por djuos eemos que: 9 9 I I I I ( ) ( I) ( I) ( I) ( ) ( ) ( ) ( I) ( I) ( I) I Uidd docee de Memáics

35 Sisems, mrices y deermies.- Se y B mrices cudrds de orde. Probr que si I-B es iverible, eoces I-B mbié es iverible y que ( I B) I B( I B) No: I es l mriz uidd de orde. I B I B.. Demosremos que: ( ) ( ) I ( I B) ( I B) ( I B( I B) )( I B) ( I B) B( I B) ( I B) ( I B) B( I B) ( B) ( I B) B( I B) (I B) I B B I Pueso que ( I B) ( I B) I ser úic, se cumple ( I B)( I B) I, podemos segurr que I B, luego exise ivers y por.. Uidd docee de Memáics

36 Sisems, mrices y deermies.- Se u mriz cudrd de orde l que I. Eoces es iverible. De l ecució I se iee que I ( I) I y omdo deermies e l ecució erior I I ( ) ± y por o y I. Luego es u mriz iverible. 6 Uidd docee de Memáics

37 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Ecorr el cojuo de mrices que comu co l mriz. Buscremos mrices cudrds X les que XX. Si R b, / b X d b c X se iee que: d d b c c d c b c d b c d b c X X, dé dode resul el sisem d d c d b b c c c cuy solució es d y c y ls mrices que comu co so de l form b X.

38 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Demosrr que l mriz verific l relció: N,. Uilizremos el méodo de iducció, evideemee se cumple pr y pr ocurre que:. Supueso que se cumple pr, N,, se demuesr pr :.

39 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Dd l mriz hllr N,. Pr se iee que:. Pr se iee que: 7. hor podemos supoer que y demosrr pr que sigue l regl erior,.

40 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics 9.- Hllr p y q pr que se verifique l ecució: ) ( qi p siedo e I. Susiuyedo e l ecució ) ( qi p se iee que: q p q q p p p p q p p p q p q p p p q p y resolviedo el sisem se obiee p- y q.

41 Sisems, mrices y deermies.- Resolver l siguiee ecució mricil CXDB-EX siedo E. E l ecució CXDB-EX grupmos ls expresioes que iee l icógi X queddo XEXDB-C, plicdo l propiedd disribuiv por l derech (E)XDB-C; por hipóesis E ( E) y muliplicdo por l ivers por l izquierd e l úlim ecució ( E) (E)X ( E) (DB-C) X ( E) (DB C). Uidd docee de Memáics

42 Sisems, mrices y deermies.- Hllr ls mrices iverss de ls siguiees mrices: 7 cos x sex, B 6, C sex cos x. Primermee clculmos el deermie de l mriz dd, cos x sex cos x ( se x) cos x se x, x sex cos x Luego exise l mriz ivers de y será: cos x sex sex cos x y se dice que es u mriz orogol. cos x sex que e ese cso ocurre que sex cos x 7 B 6. E ese cso uilizremos el méodo de Guss pr obeer l ivers medie combicioes lieles de ls fils de l mriz dd B. Cosidermos l mriz B mplid co l mriz uidd de orde que es l que se quiere coseguir: 7 6, si muliplicmos l fil primer por y se res l segud y e l ercer 7 fil le resmos los / de l primer obeemos: 7 ; hor es l ercer 9 7 fil 9/ por l fil segud 7 ; l fil ercer por queddo ; e lugr de l segud fil se poe 7 veces l fil ercer más l 7 9 segud fil ; 7 9 dividiedo por l segud Uidd docee de Memáics

43 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics fil ; primer meos 7 veces ercer ; primer meos veces segud ; y por úlimo dividiedo por l primer Resuldo l mriz ivers de B: B. Pr C uilizremos el méodo de Guss: ; ; ;

44 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics ; ; ; C

45 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics.- Probr que y so siempre mrices simérics. Es comuivo el produco erior? Mosrr mbié que es siméric, si es cudrd; qué sucede co? Por defiició X es u mriz siméric si X X, pr se iee que: ( ) ( ) y pr resul que ( ) ( ). E geerl o es comuivo el produco erior, bse cosiderr u corejemplo: pues resul 6 y que evideemee o puede ser igules. hor l mriz es cudrd pr poder efecur l sum co su rspues, e cuyo cso ( ) ( ) luego es siméric; y ( ) ( ) ) ( cumple que l rspues coicide co l opues que sigific que - es isiméric.

46 Sisems, mrices y deermies.- ) Si B es u mriz isiméric, qué se puede decir de C B? b) Si y B so mrices simérics, qué se puede decir de B-B? C ) B es isiméric B B. Y como C B eemos que: ( ) B ( B) B C ( B) B luego C es isiméric. B es isiméric b) Por ser y B mrices simérics se cumple que y B B y eoces (B B) B B B B (B B) B B es isiméric. 6 Uidd docee de Memáics

47 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics 7.- ) Hllr l ivers de 9 b) Escribir como produco de mrices elemeles. 9 f f f f f f, luego o es iverible y o puede escribirse como produco de mrices elemeles.

48 Sisems, mrices y deermies.- Sbiedo que ls mrices, X e Y so de orde 7 y que el deermie de es igul k, se pide: ) Clculr los deermies de,, -, -,. X Y b) Supoiedo que -I se iverible, resolver el sisem: X Y ( ) c) Resolver l siguiee ecució mricil siedo B, C mrices de orde7: X X C (X B) X ) 7 7 k ; k 7 k. ; k ; k k k ; b) Sbemos que es iverible pues k. E el sisem muliplicmos por l mriz l X Y (X Y) X Y primer ecució: resmos ls X Y ( ) X Y ( ) X Y ( ) ecucioes X X (X X) (I )X I X (I ). hor de l segud ecució: X Y Y X (I ) ( I) c) E l ecució X X C (X B) X desrrollmos el préesis X X C X B X grupmos los sumdos co icógis X X X X B C queddo X B C scdo fcor comú eemos X (B C) y como es iverible muliplicdo por l ivers de X (B C) X B C y, por úlimo, despejdo X X (B C) (C B). 8 Uidd docee de Memáics

49 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics Se, se pide: ) Clculr, y dr l expresió geerl de. b) Comprobr que I. c) Obeer. ) 6 6. Pr geerlizr debemos cosiderr l sucesió ---()/ eoces: ) ( uilizdo l demosrció por iducció: cosidermos que se cumple pr y lo demosrmos pr : ) ( ) ( b) I 6 c) f f f f f f, luego.

50 Sisems, mrices y deermies 7.- Se u mriz orogol ( ). Se pide: ) Esudir si y so mbié mrices orogoles. b) Hllr. c) Si B es or mriz orogol del mismo orde que, esudir si B es orogol. ) ( ) ( ) ( ) es orogol. ( ) ( ) ( ) es mbié orogol. b) ±. c) ( B) B B ( B) B es u mriz orogol. Uidd docee de Memáics

51 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics 8.- Discuir, segú los vlores de los prámeros y b, el siguiee sisem de ecucioes. Resolverlo pr b. b x x x x 6 x x x x x x x x x x - x x x b 6, 6, 6, ( ) ( ) Cso : ) r( r() < úmero de icógis Sisem Compible Ideermido. Cso : () r, cuál es el ) r(? ( ) b b 6 8 b 7 6 b 6 b Cso : y () r b y ) ( r Sisem Icompible. Cso b : y () r b ) r( < úmero de icógis Sisem Compible Ideermido. Solució pr el cso y b : - - -x x x x x x x x - - x x - - x x 6-x x x x - -7

52 Sisems, mrices y deermies 9.-) Resolver el sisem mricil siguiee: X Y I X Y O Qué codició h de cumplirse pr que el sisem erior se compible? b) L mriz solució X puede verificr X? c) Resolver el sisem de ecucioes lieles: x y z x y z x y z X Y I ), despejdo e l segud ecució Y X y susiuyedo e l primer X Y O X-6XI, por o (-6I )XI, si supoemos que exise (-6I ) - obeemos: - X (-6I ) - Y (-6I ) b) - X (-6I ) -6I c) f f f f x z z por o, z, x- pr culquier vlor de y. Uidd docee de Memáics

53 Sisems, mrices y deermies.- ) Esudir el rgo de l mriz M segú los vlores de y b b. b) Resolver el sisem de ecucioes lieles cuy mriz mplid es M e los csos e que se compible. ff ff ) b b b Si b - eoces rg(m). Si b - eoces rg(m). b) L solució l sisem cuy mriz mplid se M es: x z x z y λ ( )z b z Uidd docee de Memáics

54 Sisems, mrices y deermies.- Dd l mriz hllr: 7 p ) E fució de los vlores p y q, u mriz X l que X. q b) U mriz Y l que Y Y. c) U vlor de λ l que λi. d) El vlor de los deermies siguiees:,,,,,. ),, 7 7, 7 X p 7 p q q p q b) Y Y. ( I) Y ( I) Y I Y ( I) λ c) λi λ 9λ 7 λ 9 ± 7 λ. d),.. 7 ( ), 7 7 Uidd docee de Memáics

55 Sisems, mrices y deermies.- Se, B, X, e Y M ( R) Se pide: ) Hllr X ey. b) Resolverlo pr el cso cocreo: mrices iversibles que verific el sisem: X Y YX ( B) X y B X Y YX ) X{ X ( B) X YX ( B) X ( X ) X ( B) X I ( ) ( ) ( )( ) B X B B B X X XB ( ) Y X B B B b) X B I Y B Uidd docee de Memáics

56 Sisems, mrices y deermies.- ) Clculr ls mrices cudrds de orde, X e Y, que sisfce ls ecucioes siguiees: X Y B X - Y C b) Si X e Y so ls mrices eriores, clculr, e fució de B y C, l mriz Z defiid por: Z (X Y) X (X Y)(Y) ) Muliplicdo l primer ecució por y sumdo ls ecucioes X Y B X Y C X B C X B C Muliplicdo l segud ecució por - y sumdo ls ecucioes X Y B - X Y C Y B C Y B C b) Z ( X Y) X ( X Y)( Y) ( X Y)( X Y) B X C B Y C B X C B Y C ( BC). 6 Uidd docee de Memáics

57 Sisems, mrices y deermies.- Sbiedo que ls mrices X e Y so de dimesió x y verific el 6 X Y sisem e el que X Y B y B 8 7, hllr dichs 7 7 mrices X e Y. X Y X Y X B X Y B X Y B 8 ( ) X ( B ) Y ( X ) ( B ) B e uesro cso: X, Y Uidd docee de Memáics 7

58 Sisems, mrices y deermies h h.- Dd l mriz B, se pide: h h. Hllr el rgo de B pr los disios vlores de h b. Clculr pr qué vlores de h exise l mriz ivers de B. c. Pr qué vlores de h l mriz B es orogol? BX Y d. Pr el vlor h, resolver el sisem mricil siguiee: B X BY ) h h #: DET h (h ) h h #: #: SOLVE(h (h ), h, Rel) #: h - h Si h - ó h eoces r(b) Si h-: - - #: RNK - - si h: #6: RNK b) Si h - ó h eoces exise l mriz ivers de B h - h #7: h h B 8 Uidd docee de Memáics

59 Sisems, mrices y deermies h h (h ) h (h ) h (h ) h (h ) h h (h ) h (h ) h (h ) h (h ) #8: h h (h ) h (h ) h (h ) h (h ) h h (h ) h (h ) h (h ) h (h ) c) B es u mriz orogol si B.B`I h h h h #9: SOLVE h h h h ` IDENTITY_MTRIX(), h, Rel #: [] Pr igú vlor de h puede ser B orogol - - #: #: - - d) #: B X Y B #: B X B Y Pr h exise B^- - #: B (B X B Y ) #: B X Y #: (B X Y B) - (B X Y ) Uidd docee de Memáics 9

60 Sisems, mrices y deermies #7: SOLVE(B X - B, X, Rel) #6: B X - B X B B X #8: X - B #9: SOLVE(B X Y B, Y, Rel) #: Y B ( - X) - - #: B #: X (IDENTITY_MTRIX() - B) #: #: Y B ( IDENTITY_MTRIX() - X) #: Uidd docee de Memáics

61 Sisems, mrices y deermies Uidd docee de Memáics ) Demosrr que (B) - B - -, siedo y B mrices iversibles del mismo orde. b) Cosideremos l ecució mricil [I-(B) ]X-(C-I) - DX- B X, siedo,b,c,d mrices cudrds de orde e I l mriz uidd del mismo orde. i) Despejr X. ii) Qué codició h sido ecesri pr poder despejr X? iii) Hllr X, si es posible, e cd uo de los siguiees csos. - ) C y D ) C y D -7 - ) ( )( ) ( ) I I BB B B b) i) ( ) ( ) ( ) I C D X I X B DX I C X B X ( ) ( ) I C D I X ii) H sido ecesrio que l mriz I-D se iversible. iii) Cso : D I X Cso : D I o es iversible por eer deermie ulo, luego o es posible despejr X.

62 Sisems, mrices y deermies 7.- ) Discuir el siguiee sisem segú los disios vlores de : ( ) x ( ) y ( ) x x y ( ) y ( ) z z ( ) 9 b) Resolver el sisem pr el vlor de que hce l sisem compible ideermido. c) Pr el vlor de del prdo erior rzor cuál es el míimo úmero de ecucioes lielmee idepediees y qué ecució o ecucioes so combició liel del reso. Hy lgu solució e l cul x? prdo ) plicmos el eorem de Rouché pr discuir el sisem. - ( ) #: DET ( - ) ( - ) - El deermie se ul pr,, Por oro ldo l mriz mplid es: - ( ) ( ) #: Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: #: #: RNK RNK Luego pr el sisem es icompible. Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: #: 8 #6: RNK RNK 8 Luego pr el sisem es compible ideermido co u grdo de 6 Uidd docee de Memáics

63 Sisems, mrices y deermies liberd. Pr, ls mrices de los coeficiees y mplid so: #7: #8: RNK RNK 6 9 Luego pr el sisem es icompible. Pr el reso, es decir, pr,y y el rgo de es y por o, compible deermido. prdo b) #9: SOLUTIONS([ y z, x y, x y 8], [x, y, prdo c) E el prdo ) hemos obeido que pr el rgo de l mriz de los coeficiees rgo de l mriz mplid, luego el míimo úmero de ecucioes l.i. es. Observmos que l ercer ecució es veces l segud, luego el sisem es equivlee l formdo por ls dos primers ecucioes. Susiuimos el vlor de x e el sisem equivlee y resolvemos el sisem e y,z #: SOLUTIONS y z, y, [y, z] -, - L solució es pues: #:, -, - Uidd docee de Memáics 6

64 Sisems, mrices y deermies 8.- Se, B, C, X mrices cudrds de orde. Se pide resolver l siguiee ecució mricil idicdo, cudo se preciso, ls codicioes que debe cumplir ls mrices que vy surgiedo pr poder despejr l icógi X: ( B X ) - ( - B ) (D X)B - ( B - ) plicremos ls siguiees propieddes ( B)C C BC (B) B, ( ) (B) - B - -, ( - ) - ( ) - ( - ) Supoemos que exise o - como B - plicdo ls propieddes correspodiees meciods quimos los préesis e l ecució dd y se obiee: XB - B( - ) DB XB - B( ) - y como ( ) - ( - ) XB DB XB, sumdo XB mbos miembros y resdo XB DB -, muliplicdo por B - l derech de mbos miembros XBB - DBB - - B - X D - B - y muliplicdo por / mbos miembros: X D B ( ) 6 Uidd docee de Memáics

65 Sisems, mrices y deermies 9.- ) Discuir y resolver, segú los vlores de m, el sisem siguiee: x y z mx y z m x my z m b) Hllr, pr m, l solució priculr l que y. prdo ) Discuir segú los vlores de m, el sisem propueso: l rrse de u sisem de ecucioes co icógis hllmos, e primer lugr, el deermie de l mriz de los coeficiees (llmremos M l mriz mplid) #: m - m #: DET() m - 8 #: SOLVE( m - 8, m) #: SOLVE( m - 8, m) (m - m ) Discusió: i) Pr m -, rg rgm, luego el sisem es compible deermido y su solució es: #: SOLVE([x y z, m x y - z m -, x m y z m - ], [x, y, z]) m - - m #6: x - y z m m m ii) Si m -, l mriz mplid es: #7: #8: ROW_REDUCE L úlim ecució es icompible, luego pr m- el sisem es icompible. Tmbié podímos hber resuelo co Solve el sisem pr m- y quedrí: #9: SOLVE([x y z, (-) x y - z - -, x (-) y z - - ], [x, y, z]) #: [] ii) Si m, es: #: SOLVE([x y z, x y - z, x y z ], [x, y, z]) #: [x - z y z ] #:SOLUTIONS([x y z, x y - z, x y z ],[x, -, prdo b) Pr y #: x - z - Uidd docee de Memáics 6