Tarea 12: Fubini, Particiones de la Unidad, y Cambio de Variable

Transcripción

1 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. Tre 2: Fubii, Prticioes de l Uidd, y Cmbio de Vrible. (Spivk 3-26) Itegrció y áre: Se f : [, b] R itegrble y o-egtiv. Pogmos A f = {(, y) [, b] [0, M] 0 y f()}, dode M = sup f(). Demuestr que el cojuto A f es Jord-medible y tiee áre [,b] (e el setido de Jord) igul b f. Demostrció. Vmos demostrr que l froter A f de A f tiee medid cero. Observ bie que o bst demostrr que l gráfic de f tiee medid cero; lguos estudites escribiero que A f = {} [0, f()] {b} [0, f(b)] [, b] {0} {(, f()) [, b]}. Pero lo terior sólo es cierto si f es cotiu. Si hy u puto dode f o es cotiu, etoces A f tedrá otros putos (les sugiero que trce u dibujo). Etoces, teemos que usr otro método. Pues, y sbemos que l froter ([, b] [0, M]) = ({} [0, M]) ({b} [0, M]) ([, b] {0}) ([, b] {M} tiee medid cero, y que es u uió cotble (de hecho fiit) de rectágulos de medid cero. Por lo tto, bst demostrr que A f ((, b) (0, M)) tiee medid cero. Y que f es Riem-itegrble, hy u prtició P = { = 0,,,, = b} de [, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) (M i m i )( i i ) <, () dode M i M [i, i ](f) = sup f() y m i m [i, i ](f) = íf f(). [ i, i ] [ i, i ] Afirmmos que ( ) ( ) A f ((, b) (0, M)) [ i, i ] [m i, M i ] { i } [0, M]. Por (), se sigue que ν([ i, i ] [m i, M i ]) <. Y que > 0 er rbitrrio, se seguirá que A f tiee medid cero, por lo que A f es Jord-medible. Pr mostrr uestr firmció, fijemos (, y) (, b) (0, M), dode [ i, i ] y 0 < y < m i. Etoces (, y) iterior(a f ).

2 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p (Spivk 3-27) Si f : [, b] [, b] es cotiuo, demuestr que b y f(, y)d dy = b b f(, y)dy d. Pist: Reescribe ess itegrles dobles como u itegrl de l form f, dode C C [, b] [, b] es u subcojuto decudo. (Recuerd que, por defiició, f = f C [,b] [,b] C si C es Jord-medible.) 3. Teorem Fudmetl del Cálculo ) Se f : [, b] R u fució cotiu. Defiimos F : [, b] R por F () = f. Demuestr que F es de clse C y que F () = f() pr todo (, b). Pist: Ls clves so l cotiuidd de f y l defiició de l derivd pr fucioes uivribles. b) Demuestr que si f : [, b] R es cotiu y F : [, b] R es tl que F = f, etoces b f = F (b) F (). 4. (Spivk 3-28) Se f : R 2 R u fució de clse C 2. Us el teorem de Fubii pr demostrr que,2 f = 2, f. Pist: Si,2 f() 2, f() > 0, etoces hy u rectágulo cerrdo A que cotiee e su iterior tl que,2 f() 2, f() > 0 pr todo A. Observció: Se A R u rectágulo. Muchos dijero (si demostrrlo) que si u fució f : A R es itegrble y cumple el criterio que f() > 0 pr A, etoces f > 0. Es lgo cierto, pero relmete requiere demostrció. A Lem. Se A R u rectágulo. Si u fució f : A R es itegrble y cumple el criterio que f() > 0 pr A, etoces A f > 0. Demostrció. Y que f es itegrble, sbemos por el teorem de Lebesgue que hy u puto e el iterior de A dode f es cotiu. Etoces f() > 0. Debido que f es cotiu e, hy δ > 0 tl que B δ () A y tl que f() f(y) < f()/2 pr todo y B δ (). E prticulr, f(y) > f()/2 pr todo y B δ (). Escogemos u prtició P de A tl que uo de sus rectágulos B está coteido e B δ (). Etoces A f L(f, P ) m B(f)ν(B) f()/2ν(b) > (Spivk 3-32) Se f : [, b] [c, d] R es cotiu y que 2 f eiste y es cotiu sobre [, b] [c, d]. Defiimos F (y) = b f(, y)d. Demuestr l regl de Liebiz, que dice que F (y) = b 2 f(, y)d.

3 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 3 Pist: Por el teorem fudmetl del cálculo, teemos lo siguiete: 6. (Spivk 3-37) F (y) = b f(, y)d = b y c 2 f(, y)dy + f(, c)d. ) Supogmos que f : (0, ) R es u fució o-egtiv y cotiu. Demuestr que f eiste (e el setido de prticioes de l uidd) si y sólo si el ite eiste. 0 f Demostrció. ( = ) Supogmos que f eiste (e el setido de prticioes de l uidd). Se Φ u prtició de l uidd (cotble) subordid u cubiert dmisible de (0, ) tl que ( ) ( ) Vmos demostrr que φ f 0 = f = f, <, (2) dode l itegrl de f sobre (0, ) es l del setido de prticioes, es decir, f = Y que l serie e (2) coverge, sbemos que pr cd δ > 0, hy u subcojuto fiit Φ = {f,..., f } Φ tl que ( ) = ( ) ( ) φ i f < δ (3) \ Φ (quí usmos el hecho de que cd térmio e l serie es o egtiv). L defiició de prtició de l uidd dice que cd fució f i e Φ tiee suporte compcto supp f i S i tl que S i (0, ). Etoces l uió S = S i es u subcojuto compcto de (0, ). Se sigue que hy η > 0 tl que S [η, η] (0, ). Vimos e clse que pr culquier subcojuto compcto de (0, ) hy u fmili fiit de fucioes que o so igules cero sobre ese compcto. E prticulr,

4 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 4 pr [η, η], hy u fmili fiit Φ que cotiee Φ como subfmili (de hecho, vmos escribir Φ = {f,... f m }, dode m ) tl que f [η, η] = 0 pr todo f Φ\Φ. E prticulr, sbemos que φ i () = pr todo [η, η]. Etoces teemos que f = [η, η] = φ i f A [η, η] [η, η] φ i f. φ i f Además, Por (3), se sique que 0 [η, η] ( f = [η, η] A A ) φ i f φ i f. [η, η] φ i f f < δ. (4) Ahor supogmos que η. Se tiee que f f [η, η] [, ] φ i f. A Not bie que quí estmos usdo otr vez l o egtividd de f pr l primer desiguldd. L segud desgiduldd se sigue del mismo rgumeto que el de (4), usdo el hecho de que [, ] es u subcojuto compcto de (0, ) y que, por lo tto, solo hy u ctidd fiit de fucioes e Φ que o so igules cero sobre [, ].

5 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 5 Se sigue que 0 ( ) [, ] f < δ. pr todo 0 < η. Y que δ > 0 er rbitrrio, por (2) teemos que ( = ) Ahor supogmos que 0 L f = 0 A f <. Se Φ u prtició de l uidd (cotble) subordid u cubiert dmisible de (0, ). Vmos demostrr que φ f = = L <. Se δ > 0. Etoces hy η > 0 tl que 0 L f < δ (5) pr todo 0 < < η. (Aquí, usmos el hecho de que f es o o egtiv y que, por lo tto, 2 2 f si 0 < 2 <.) Y que [η, η] (0, ) es compcto, sbemos que hy u subfmili fiit Φ = {φ,... φ } Φ que cost de ls fucioes que o so igules cero sobre [η, η]. Supogmos que Φ Φ es u subfmili fiit tl que Φ Φ. Si poemos S φ = supp φ pr todo φ Φ, etoces hy ν η tl que S φ [ν, ν] (0, ). f

6 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 6 Etoces η η f = φ Φ φ Φ η η ν ν (y que φ Φ φ() = pr todo [η, η]) (y que [η, η] [ν, ν]) ν (y que f es o egtiv) = ν ν ν (y que supp f i [ν, ν] pr todo φ Φ) f (y que 0 φ() pr todo (0, )) Y que ν η, lo terior juto co l desiguldd (5) os dice que 0 L < δ. Pero l subfmili Φ Φ er rbitrri (sujet l codició que Φ Φ ). El úmero δ > 0 er rbitrio tmbié. Se sigue que = f <. 0 b) Se A = [ 2, 2 + ]. Supogmos que f : (0, ) R es cotiu y stisfce A f = ( ) y que f() = 0 si o está e igú A. Demuestr que f o eiste, pero 0 f = log 2 Demostrció. Primero demostrmos que f o es itegrble e el setido de prticioes. De l defiició de ese tipo de itegrció, es clro que f es itegrble si y sólo si f es itegrble. L codició de que A f = ( ) implic que f = A. A f

7 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 7 Pero pr todo N. Se sigue que 2 + f 2 + = i f =, A i f y por 6(), sbemos que f o eiste e el setido de prticioes, por lo que f o eiste. Observció: Aquí e (6b) hy u pequeñ sutilez de que Spivk (me prece) o se dio cuet. Pr segurr que hy que eigir lo siguiete: 0 f = log 2, ) f() 0 pr todo A si es pr 2) f() 0 pr todo A si es impr Si dichos criterios, es posible costruir u fució cotiu f : (0, ) R que cumple A f = ( ) pero tl que el ite 0 o eiste. (Les dejo l costrucció ect como tre opciol: el truco es costruir u fució que lcz vlores positivs y egtivs e cd itervlito A de tl mer que A f = ( ) pero l itegrl sobre u subitervlo [, ] puede mucho myor que cero, y que podemos ccelr es itegrl co 2 + vlores egtivs e el resto de A ). Otr Observció: Como prte del ejercicio (6b), hy que mostrr que f ( ) = = log 2. co- Se puede usr l prueb de l serie lterte pr mostrr que ( ) = verge. Pero quí vmos clculr l sum.

8 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 8 Primero, hy que especificr u defiició pr l fució log : (0, ) R. L defiició que vmos usr quí es que log es l úic solució l ecució diferecil log () = pr (0, ) sujeto l codició iicil log() = 0. Afirmmos que ( ) + log( + ) = pr (, ). = ( ) + Primero, otmos (ejercicio pr el lector) que l serie de potecis = tiee rdio de covergeci R =. Defimos f : (, ) R por f() = ( ) + =. Defimos f : (, ) R por f () = ( ) i+ pr cd N. Auque i l sucesió {f } N o coverge uiformemete f sobre (0, ), sí teemos que f f uiformemete sobre subcojutos compctos de (0, ). Observemos que f es cotiumete diferecible pr cd N y que f () = ( ) i+ i = ( ) i = ( ) i. i=0 Defimos g : (, ) R por g() = = + i=0 ( )i. Y hemos visto l demostrció que f g uiformemete sobre subcojutos compctos de (, ). El teorem de covergeci uiforme y derivds os dice que f f uiformemete sobre compctos y que f = g. Es decir, f () =. Además, f(0) = 0. + Se sigue (por uestr defiició de log) que f() = log( + ) pr (, ). Y que sbemos que l sum ( ) + = que log 2 = log( + ) = coverge, el teorem de Abel os dice ( ) + ( ) = = 7. (Spivk 3-4) L itegrl más boit del mudo: Defie f : R >0 (0, 2π) R 2 por f(r, θ) = (r cos θ, r se θ). ( ) +. ) Demuestr que f es iyectiv y comput f (r, θ). Demuestr que det f (r, θ) 0 pr todo (r, θ). Demuestr que su imge es el cojuto f(r >0 (0, 2π)) = {(, y) R 2 < 0, o mbos 0 & y 0}. =

9 Aálisis I (90ANA0) Segudo Semestre 205 Tre 2 p. 9 b) Si P = f, demuestr que P (, y) = (r(, y), θ(, y)), dode r(, y) = 2 + y 2, t y, > 0 & y > 0 π + t y, < 0 θ(, y) = 2π + t y, > 0 & y < 0 π/2, = 0 & y > 0 3π/2, = 0 & y < 0. Ecuetr P (, y) dode eiste. L fució P se llm el sistem polr de coordids e A. c) Se C A l regió etre los círculos de rdios r y r 2 (cetrdos e 0) y ls medi-rects que ps por 0 y hce águlos de θ y θ 2 co el eje. Si h : C R es itegrble y se defie l fució g por h(, y) = g(r(, y), θ(, y)), demuestr que r2 θ2 h = g(r, θ)rdθ dr. Demuestr que C B r(0) h = r θ r 2π 0 0 g(r, θ)rdθ dr. d) Si C r = [ r, r] [ r, r], demuestr que e (2 +y 2) d dy = π( e r2 ) y que e) Demuestr que r B r(0) C r(0) B r(0) ( r 2 e (2 +y 2) d dy = e d) 2. e (2 +y 2) d dy = e r C (2 +y 2) d dy, r(0) r y cocluye que e 2 d = π.