Capítulo 5 Las funciones logaritmo y exponencial (G.Izquierdo 02/2017)

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1 This is pge Priter: Opque this Cpítulo 5 Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Si bie este cpítulo está dedicdo l estudio de ls propieddes de ls fucioes logritmo y epoecil, tmbié es u muestr del poder del Cálculo e el estudio de fucioes. Se ivit l lector que, tes de ver l demostrció de vrios de los resultdos que se preset cotiució, itete dr el o los rgumetos que justific su vlidez. 5.. L fució logritmo turl Defiició 5.. Pr cd e el itervlo (0, ) defiimos el logritmo turl de como l = ξ dξ Observemos que el logritmo turl solo está defiido pr > 0. L rzó es que l fució f () = o tiee ites lterles e 0 por lo que o es cotiu por trmos e igú itervlo que coteg l orige y l itegrl o estrí defiid si 0. Tmbié debe teerse e cuet que si 0 < <, el logritmo debe clculrse usdo l coveció ξ dξ = ξ dξ Por supuesto, l primer propiedd de l fució que cbmos de defiir os l d el TFC prte 2. Teorem 5.. L fució l es diferecible pr todo e el itervlo (0, ) y d l = Demostrció. Pr poder plicr el TFC prte 2 es ecesrio dr u itervlo [α, β] dode l fució f () = se cotiu y por ede [α, β] o debe coteer l orige. Pero pr cd e (0, ) siempre es posible

2 2 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) ecotrr u itervlo [α, β] coteido e (0, ) y e el cul se ecuetre tto el puto como el puto. 0 α β Si plicmos el TFC prte 2 e el itervlo [α, β] se obtiee que, e efecto, d l = Como se recordrá, e el cpítulo terior vimos que ls fucioes de tipo f () = r tiee como primitiv F () = r+ r+ ecepto e el cso e el que r = y dejmos pediete el problem de ecotrr u primitiv pr l fució f () = =. El teorem terior os d l respuest pr este cso. Corolrio 5.2. E culquier itervlo cerrdo coteido e (0, ), F () = l es u primitiv de l fució f () = Dos hechos csi imeditos de l mer e que se defiió el logritmo turl so los siguietes: Proposició 5.3. l = 0. Problem 5.. Demuestre l iguldd l = 0 (Sugereci: Recuerde como se defie f () ) Proposició 5.4. ) Si >, l > 0 b) Si 0 < <, l < 0. Problem 5.2. Demuestre el iciso ). (Sugereci: Use el teorem??-b)) Demostrció. ) Pr > l = ξ dξ

3 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 3 y como f (ξ) = ξ es cotiu y estrictmete positiv e [, ], el teorem??-b) grtiz que l = ξ dξ > 0 b) Pr 0 < <, el mismo teorem os dice que ξ dξ > 0 pero, e este cso por lo tto cudo 0 < < l = ξ dξ = ξ dξ l = ξ dξ < 0 Puesto que f () = es u fució o egtiv, pr > el logritmo se puede iterpretr como el áre bjo l gráfic de l fució e el itervlo [, ] y De hecho u de ls propieddes más importtes del logritmo se bs e u culidd sobre ls áres de hipérbols como l descrit por l gráfic de f () =. Est propiedd os dice que si u itervlo se multiplic por u costte positiv ls áres compredids e los dos itervlo so igules

4 4 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) y b b U mer de formulr est propiedd es l siguiete Lem 5.5. Pr culesquier dos úmeros positivos y b se cumple l iguldd b b ξ dξ = ξ dξ Problem 5.3. Demuestre est iguldd pr el cso e el que b >. (Sugereci: Costruy l sucesió de sums de Riem uiformes, co ξ () k el etremo derecho de cd subitervlo, pr mbs itegrles y fctorice u pr verificr que so igules) Demostrció. L ide de l demostrció surge l comprr ls sums de Riem uiformes pr mbs itegrles. Pr b >, ls prticioes uiformes del itervlo [, b] so P U ([, b]) = { () k = + k k= ( b y ls correspodietes sums de Riem so + k ( ) b b ), co k =, 2,..., Mietrs que e el itervlo [, b] ls prticioes uiformes so { ( ) } P U ([, b]) = () b k = + k, co k =, 2,..., y ls sums de Riem tiee l form [ ( ) ] b + k ( ) b k= }

5 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 5 Al simplificr est sumtori se tiee que [ ( ) ] [ b + k ( ) = b k= k= [ = Por lo tto b dξ = ξ = [ k= [ k= k= + k ( b + k ( b [ + k ( b + k ( b ( ) ] b ) ( ) ] b b ) = ( ) ] (b ) )] ( ) ] b ) ξ dξ lo que muestr l iguldd e el cso b > E el cso b <, tmbié se tiee que b < (pues > 0) por lo que b ξ dξ = b ξ dξ y b ξ dξ = b ξ dξ Ls correspodietes sucesió de sums de Riem pr los itervlos [b, ] y [b, ] so [ ( [ b ( ) ] b k= b + k ( b ) ) ] y k= b + k ( b ) Nuevmete, se tiee que [ ( ) ] b b + k ( ) = b k= = [ k= [ k= [ b + k ( b ( b b + k ( ) b ( ) ] ( b) )] ) ] por lo tto b [ ξ dξ = ( ) ] b dξ = b ξ b + k ( ) b k= [ ( ) ] b = b + k ( b ) = b b ξ dξ = ξ dξ k= que es l iguldd desed

6 6 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 5... El Álgebr y el logritmo turl U cosecueci del lem 5.5 es l siguiete relció etre el producto de dos úmero y su logritmo. Teorem 5.6. Pr culesquier dos úmeros positivos y b l b = l + l b (5..) Problem 5.4. Muestre est iguldd (5..). (Sugereci: Use el teorem?? pr reescribir l itegrl b ξ dξ y use el lem.) Demostrció. Por defiició de cuerdo l teorem?? l b = b l b = b ξ dξ ξ dξ = b ξ dξ + ξ dξ pero el lem que cbemos de demostrr os dice que b ξ dξ = b ξ dξ por lo tto l b = b ξ dξ + ξ dξ = b ξ dξ + dξ = l + l b ξ A cotiució eucimos y demostrmos vris propieddes del logritmo turl que de desprede del teorem 5.6 y ls regls de los epoetes. Proposició 5.7. Pr todo y b e (0, ) se tiee que ( ) l = l l b (5..2) b Problem 5.5. Demuestre l fórmul (5..2) (Sugereci: Use el hecho de que ( b ) b = ) Demostrció. Puesto que ( ) b b es el producto de dos úmeros positivos, se sigue del teorem 5.6 que ( ) ( ) l b b = l + l b b Por otr prte, como ( ) b b =, se tiee que ( ) l = l b b

7 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 7 De ests dos igulddes obteemos que ( ) l = l + l b b y despejdo llegmos l fórmul ( ) l = l l b b Proposició 5.8. Pr cd etero positivo y pr cd e (0, ) l ( ) = l (5..3) Problem 5.6. Deduzc l iguldd (5..3). (Sugereci: Ve lo que ocurre l plicr el teorem 5.6 l 2, l 3, etc. y recuerde como se defie ) Demostrció. Como 2 =, l 2 = l ( ) y por el teorem 5.6 Pr l 3, se tiee que Pr l 4 se obtiee que l 2 = l ( ) = l + l = 2 l l 3 = l ( ) = l (( ) ) = l ( 2 ) = l 2 + l = 2 l + l = 3 l l 4 = l ( ) = l (( ) ) = l ( 3 ) = l 3 + l = 3 l + l = 4 l y uo podrí seguir sí y verificr que se cumple el resultdo pr cd ddo. Si embrgo, si uo quiere ser riguroso, debe usr u rgumeto iductivo. Es clro que pr = l = l = l Puesto que + =, el teorem 5.6 os dice que l + = l ( ) = l + l pero por hipótesis de iducció l = l por lo tto l + = l + l = l + l = ( + ) l Por lo que l propiedd se cumple pr + y l demostrció iductiv está complet El siguiete resultdo hce uso de ls proposicioes 5.3 y 5.7 y del hecho de que = = (. )

8 8 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Proposició 5.9. ) Pr culquier e (0, ) ( ) l = l b) Pr cd etero positivo l = l Problem 5.7. Deduzc mbs igulddes. Demostrció. ) De l proposició 5.7 ( ) l = l l pero sbemos que l = 0 (proposició 5.3) por lo tto ( ) l = l l = 0 l = l y b) Puesto que = = ( ) está e (0, ) podemos usr l proposició 5.8 pr cocluir que ( ) ( ) l = l = l y por lo demostrdo e el iciso ) ( ) l = l = ( l ) = l Observmos que todo etero egtivo m es de l form co u etero positivo, por lo tto l m = l = l = m l Así, ls proposicioes 5.8 y 5.9 muestr que Proposició 5.0. Pr cd etero m y culquier úmero positivo l m = m l (5..4) E lo que sigue itetremos eteder este resultdo l cso de epoetes frcciorios, por lo que es coveiete que el lector recuerde que pr u úmero positivo se tiee ls siguietes propieddes =, ( ) = ( ) = y m = ( ) m

9 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 9 Proposició 5.. Pr cd etero positivo y culquier úmero e (0, ) l = l = Problem 5.8. Demuestre (5..5). (Sugereci: Use l (5..5) ( ) = y l fórmul (5..3)) Demostrció. Puesto que ( ) =, (( ) ) l = l Por otro ldo usdo l iguldd (5..3) (( ) ) l = l Combido ests dos igulddes se obtiee que l = l y multiplicdo por como se querí demostrr llegmos l fórmul l = l Tods ls fórmuls pr los epoetes obteids se puede sitetizr e el siguiete resultdo Teorem 5.2. Pr todo epoete rciol q y culquier úmero positivo, se cumple que l q = q l (5..6) Problem 5.9. Demuestre el teorem 5.2. (Sugereci: Recuerde que todo rciol q se puede escribir e l form q = m co m y eteros y > 0.) Demostrció. Como todo rciol q se puede escribir e l form q = m co m y eteros y > 0, pr todo > 0 q = m = ( ) m y por ede l q = l m = l (( ) m ) Usdo l fórmul (5..4) se tiee que (( ) m ) l q = l = m l

10 0 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) y de (5..5) obteemos que l q = m l = m ( l ) = m l pero m = q por lo tto l q = q l Termimos este prtdo co u ejemplo de como se puede usr los resultdos que hemos visto pr desrrollr el logritmo de u epresió lgebric más o meos complicd. Ejemplo 5.. Vemos como se puede usr ls propieddes del logritmo pr llegr l iguldd l 5 2 y 4 ( 3 z) = l + l y l z co, y, z > y 2 z Empezmos usdo (5..2) pr ver que l 5 2 y 4 ( 3 ( z) 5 = l 2 y ( 4 3 z )) ( ) 3 l 25 y 2 z y 2 z 4 Ahor usmos (5..5) pr llegr l iguldd l 5 2 y 4 ( 3 z) = y 2 z 4 5 l ( 2 y 4 ( 3 z )) ( ) 3 l 2 5 y 2 z 4 Aplicdo el teorem 5.6 l 5 2 y 4 ( 3 z) = y 2 z 4 5 l ( 2 y 4 ( 3 z )) ( ) 3 l 2 5 y 2 z 4 = [ l 2 + l y 4 + l 3 z ] [l ] l y 2 + l z l fórmul (5..6) os d l 5 2 y 4 ( 3 z) = [2 l + 4 l y + 3 ] y 2 z 4 5 l z [ l ] l y + 4 l z 2 Filmete, simplificdo obteemos que l 5 2 y 4 ( 3 z) = l + l y y 2 z l z

11 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) El cálculo de ites y el logritmo turl Vemos hor como el Cálculo os yud obteer ites, derivds e itegrles relciods co el logritmo turl, sí como otrs propieddes de est fució. Empezremos co u resultdo uilir que ituitivmete se desprede de l siguiete ide: Cosideremos l gráfic de l fució f () = y Es clro que e el itervlo [, 2] l gráfic de l fució está por ecim de l gráfic de l fució costte h () = 2, esto es, 2. Pr el itervlo [2, 3] l fució está rrib de l costte h 2 () = 3, 3. E el itervlo [3, 4] es myor que l fució costte h 3 () = 4 y sí sucesivmete. De cuerdo co esto, el áre del rectágulo co bse e el itervlo [, 2] y ltur 2 es meor que el áre bjo l gráfic de f () = y por tto 2 2 El áre del rectágulo co bse e [2, 3] y ltur 3es meor que áre bjo l gráfic de f () = e ese mismo itervlo, sí que E el itervlo [3, 4] se tiee que E geerl, usdo el que l fució f () = es moóto decreciete, se puede ver que e culquier itervlo de l form [N, N] co N etero

12 2 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) positivo myor que se cumple l desiguldd N y, e cosecueci, N N N Sumdo ests desigulddes se lleg que N N N pero el teorem?? (ve el problem??), os dice 2 por lo que N N N = N N (5..7) Usdo est desiguldd se puede demostrr l siguiete propiedd Lem 5.3. Pr cd etero positivo N > y pr culquier > N se cumple N k l k=2 Note que, coveietemete, hemos cmbido el ombre de l vrible de itegrció. Problem 5.0. Demuestre el lem 5.3. (Sugereci: Recuerde l defiició del logritmo, use l desiguldd (5..7) y el hecho de que, pr > N, l itegrl N ξ dξ es positiv. Note que, coveietemete, hemos cmbido e ombre de l vrible de itegrció.) Demostrció. El rgumeto epuesto teriormete muestr que N k=2 N k ξ dξ Puesto que > N y l fució f (ξ) = ξ es positiv pr ξ > 0, se sigue que ξ dξ 0 por lo tto N N N ξ dξ ξ dξ + N ξ dξ = ξ dξ

13 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 3 y por l trsitividd de ls desigulddes cocluimos que pero N k=2 ξ dξ = l, por lo tton k=2 k ξ dξ k l El lem 5.3 es clve e l demostrció del siguiete resultdo. Proposició 5.4. Pr l fució logritmo se cumple que l = L demostrció de est proposició y l siguiete so u tto técics y hce uso del hecho de que l sucesioes de sums { } {s } = k diverge, por lo puede omitirse e u primer lectur. Demostrció. Recordemos que pr ver que u fució F () diverge +, cudo tiede ifiito hy que mostrr que pr cd R > 0 es posible ecotrr u úmero N tl que pr todo > N se cumple que R < F (). Como l sucesió de sums { } k=2 k diverge, pr cd R > 0 es posible ecotrr N tl que k=2 k=2 R pr todo N k e prticulr N k=2 k R y por el lem 5.3, podemos firmr que, e efecto, pr cd R > 0 eiste N tl que pr todo > N se cumple que y por lo tto l N k=2 k R l = Eiste u relció etre el comportmieto de logritmo turl e ifiito y su comportmieto cudo se proim 0. El cul está ddo por l iguldd l = l

14 4 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Como se sbe, si > 0 y se proim 0, etoces, su recíproco se hce cd vez ms grde. De cuerdo co esto, el comportmieto del l cudo se proim 0 por l derech, debe ser el mismo que el del logritmo turl cudo l vrible crece pero co u sigo meos. Proposició 5.5. Pr l fució logritmo se cumple que l = 0 + Demostrció. Nuevmete prtimos de que l serie lo tto, pr cd R > 0 eiste N tl que k=2 k diverge y, por N k=2 k R Ahor bie pr cd R > 0 elegimos δ = N, etoces, se tedrá que si 0 < < δ = N > N lo que implic, por l proposició 5.4 que l = l > R y por lo tto si 0 < < δ = N l < R lo que muestr que l = 0 + Puesto que el logritmo turl es u fució diferecible, tmbié es cotiu, por lo que los dos resultdos teriores podemos gregr uo más. Proposició 5.6. Pr cd e el itervlo (0, ) se cumple que l = l Estos resultdos juto co l regl de L Hôpitl permite clculr muchos ites relciodos co l fució logritmo. He quí lguos ejemplos. Ejemplo 5.2. Pr ver que l = 0

15 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 5 observemos que tto l como so diferecibles y mbs diverge cudo tiede ifiito, por lo que podemos plicr l regl de L Hôpitl pr cocluir que l = d l = = = 0 Ejemplo 5.3. Más ú, pr culquier etero positivo se tiee que l = 0 E efecto, plicdo L Hôpitl obteemos que l = Ejemplo 5.4. El verificr que = l = = 0 es u tto meos directo pues, e pricipio, o se tiee u cociete. Si embrgo, si uo observ que l se puede escribir e l form l = l y que tto l como diverge cudo se proim 0 por l derech, etoces, uo puede usr uevmete l regl de L Hôpitl pr cocluir que l l = = = = = Problem 5.. Muestre que pr culquier etero positivo 0 + l = 0 (Sugereci: Note que l = l, use l regl de L Hôpitl y recuerde que = 0 pr culquier epoete positivo r.) r Problem 5.2. Clcule el siguiete ite l3 0 + (Respuests: Usdo l regl de L Hôpitl vris veces debe llegr que 0 l3 = 6 = 0.) + + 0

16 6 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) L derivd y el logritmo turl Como se desprede de l defiició de l fució logritmo turl y del TFC prte 2, f () = l es diferecible e (0, ) y d l = Combido este resultdo co l regl de l cde se tiee que d l [u ()] = u () u () Uo uo teer cuiddo co los vlores de l fució u y que el logritmo turl solo está defiido pr ctiddes positivs. E todo cso uo tiee l siguiete proposició. Proposició 5.7. Pr culquier fució positiv y diferecible u (), l composició l [u ()] es diferecible y d l [u ()] = u () u () (5..8) Ates de ver lgus cosecuecis de est fórmul vemos lguos ejemplos Ejemplo 5.5. Pr clculr l derivd de l (sec ) Notemos primero que sec es positiv y diferecible pr e ( π 2, ) π 2, por lo tto, e ese itervlo podemos plicr l fórmul (5..8) pr cocluir que d l (sec ) = d sec sec = sec t sec = t Ejemplo 5.6. Co frecueci result coveiete usr ls propieddes lgebrics del logritmo tes de proceder clculr l derivd. Tl es el cso de fucioes como ( ) f () = l E este cso sbemos que ( ) l = l ( ) 7 l ( 2 + )

17 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 7 y por lo tto [ ( )] d l = d [ 3 l ( ) 7 l ( 2 + ) ] = d l ( ) d l ( 2 + ) 3 7 Ahor podemos usr l fórmul (5..8) y cocluir que [ ( )] d l = d l ( ) d l ( 2 + ) 3 7 = U hipótesis fudmetl pr poder hblr del logritmo de u fució es que se positiv, por lo que si e u itervlo l fució oscil etre vlores positivos y egtivos su logritmo o está defiido. Si embrgo, mietrs l fució o se ule siempre es posible hblr del logritmo turl de su vlor bsoluto. Pr este cso uo tiee el siguiete resultdo Proposició 5.8. Si u es u fució diferecible, etoces, l composició l [ u () ] es diferecible e todos los putos dode u () 0. Además d l [ u () ] = u () u () Demostrció. Si e u puto se tiee que u () < 0, por el teorem del vlor itermedio, u () es egtiv e u itervlo de l form ( δ, + δ) co δ > 0. E cosecueci u () = u () y l u () = l [ u ()] e ese itervlo. Ahor podemos usr l regl de l cde pr cocluir que d l [ u ()] = u () u () = u () u () Si e el puto l fució es positiv u rgumeto similr os llev l fórmul desed Corolrio 5.9. U primitiv de l fució f () = e culquier itervlo cerrdo que o coteg l cero es l fució F () = l Demostrció. Si el itervlo cerrdo o cotiee l 0, etoces, dicho itervlo está completmete coteido e (0, ) o está completmete coteido e (, 0). E el primer cso el corolrio 5.2 os dice que u

18 8 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) primitiv de es l, y como estmos e (0, ), se tiee que l = l. Si el itervlo cerrdo [, b] está coteido e (, 0), l proposició terior co u () = os dice que d l [ ] = pr todo e [, b]. Por lo tto, F () = l es u primitiv de e el itervlo cerrdo [, b]. L fórmul pr clculr l derivd del logritmo turl de u fució d l [u ()] = u () u () tiee sus cosecuecis. U de ells es que d u mer ltertiv de clculr l derivd de u fució. E efecto, u simple despeje muestr que u d l [u ()] () = u () (5..9) Así, u ltertiv pr clculr l derivd de u fució es clculr l derivd de su logritmo y multiplicrl por l fució. Esto, e pricipio, prece más complicdo que usr ls regls usules pr clculr l derivd. Si embrgo, hy csos e que est fórmul result más secill. Problem 5.3. Use ls regls básics de derivció pr clculr l derivd de l fució u () = (Sugereci: Primero debe usr l regl del cociete, luego debe recordr como se deriv ls fucioes + 3 v () y 7 w () y después hcer ) ls ( simplificcioes correspodietes pr obteer que u () = ( Ejemplo 5.7. De cuerdo co l fórmul (5..9) l derivd de u () = está dd por 2 + ( ) [ ( )] 3 u 4 + () = 2 + d l y usdo ls propieddes del logritmo se tiee que ( ) [ ( )] 3 u 4 + () = 2 + d l ( ) ( = 2 + d l ( ) 7 d l ( 2 + ) ) ( ) 3 ( 4 + = ) ) )

19 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 9 Problem 5.4. Use ls propieddes del logritmo pr clculr l derivd de ls siguietes fucioes ) 5 ( 2 +) ( ) b) 4 t2 +2 (Respuests: ) 5 ( 2 +) 3 4 ( ) 5 sec2 +6 ( ), b) 4 3 t sec 2 +6 ( 2 2 t sec 2 t ) sec 2 t +6 sec 2 +6.) Es clro e este ejemplo que el cálculo de ls derivds es mucho más simple usdo (5..9) que usdo directmete ls regls de derivció. Por supuesto, e muchos csos l situció es lo cotrrio y ls regls de derivció usules será el cmio más directo. Así, el lector debe desrrollr l hbilidd de discerir cudo es coveiete usr est ltertiv y cudo o. El método que se obtiee usdo l fórmul (5..9) tiee ombre. Defiició 5.2. Al cálculo de l derivd de u fució usdo l fórmul u () = u () d l [u ()] se le llm el método de l derivd logrítmic L itegrl y el logritmo turl Regresdo l proposició 5.8, uo debe observr que siempre que se teg el cociete de l form u () u(), este debe ser l derivd del logritmo de l fució o de su vlor bsoluto. E térmios del TFC prte esto os dice que u primitiv pr u cociete de l form f () = u () u() es l fució F () = l [ u () ]. E efecto, por l proposició tes meciod F () = d l [ u () ] = u () u () = f () Esto, juto co l primer prte del TFC, demuestr el siguiete resultdo. Teorem Si u fució u tiee derivd cotiu e [, b] y u () 0 e ese itervlo, etoces, b u () u () = (l u () b = l u (b) l u () y l correspodiete itegrl idefiid e ese itervlo es u () = l [ u () ] + c u () E prticulr, u primitiv de l fució u () u() es l [ u () ].

20 20 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Ejemplo 5.8. Pr clculr l itegrl Observemos primero que 2 es l derivd de 2 + por lo que el itegrdo es de l form u () u() y, demás, l fució u () = 2 + o se ul e el itervlo [, 2]. Así que podemos plicr el teorem pr cocluir que = ( l [ 2 + ] 2 = l [ ] [ ] ( ) l 2 + = l 5 l 2 = l 5 2 Al itegrr este tipo de cocietes, uo debe teer cuiddo de que e el itervlo e cosiderció l fució u () o se ule. E u cpítulo posterior veremos como se puede trbjr quells itegrles que cotiee putos dode el deomidor se ul. Problem 5.5. Clcule l itegrl π 3 π 6 t (Sugereci: Recuerde que t = se cos y que (cos ) = se. Debe llegr que π 3 π 6 t = (l cos π 3 π L gráfic del logritmo turl = l 3.) 2 El siguiete puto discutir es l form de l gráfic de l fució l. E primer lugr, puesto que el domiio es el itervlo (0, ), l gráfic debe estr e el ldo derecho del plo coordedo, demás, debe psr por el puto co coordeds (, 0) y que l = 0. Como d l = pr e (0, ) y l fució es estrictmete positiv e ese itervlo, l fució logritmo turl debe ser creciete. Más ú, puesto que d 2 l 2 = d ( ) = 2

21 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 2 es egtiv pr todo > 0, l gráfic debe ser cócv hci bjo. Si esto gregmos el que 0 + l = y l = podemos cocluir que l gráfic de l fució logritmo turl debe ser de l form y y =l Como l es estrictmete creciete, debe ser u fució iyectiv. Más ú, l fució logritmo debe ser sobreyectiv. E efecto, como 0 + l = y l =, pr cd úmero rel y debe eistir úmeros positivos m y M tles que l m y l M y como el logritmo es cotiu, el teorem del vlor itermedio grtiz que eiste u puto e el itervlo [m, M] tl que E coclusió l = y Teorem 5.2. L fució l co domiio (0, ) y cotrdomiio R es biyectiv L fució epoecil El hecho de que el logritmo turl se biyectiv grtiz que tiee u úic fució ivers defiid e todo R y co vlores e (0, ). Dich fució recibe el ombre de fució epoecil y, por el mometo, l deotremos por ep ().

22 22 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Si recordmos que l pricipl relció etre u fució f () y su ivers g () es que, e los domiios correspodietes, se cumple ls igulddes podemos cocluir lo siguiete f (g ()) = y g (f ()) = Teorem L fució l tiee u úic ivers defiid e todo R y co vlores e (0, ). Defiició 5.3. L fució ivers del logritmo turl es llmd l fució epoecil y l deotremos por ep (). Puesto que ep () es l ivers de l, teemos que Proposició L fució epoecil cumple ls siguietes propieddes ep (l ) = pr todo e (0, ) (5.2.) y l [ep ()] = pr todo e R (5.2.2) Más delte ecotrremos u mer mucho más coveiete de escribir l fució epoecil, por el mometo trtremos de estudir sus propieddes usdo lo que sbemos de l y ls relcioes (5.2.) y (5.2.2). L primer propiedd de l fució epoecil se desprede del teorem de l fució ivers pr fucioes cotiumete diferecibles. Proposició L fució epoecil es diferecible e todo puto e R y d ep () = ep () Problem 5.6. Prtiedo de que ep () es diferecible, muestre que d ep() = ep (). (Sugereci: Derive l iguldd (5.2.2) y use (5..8) pr reescribir l derivd del ldo izquierdo de l iguldd.) Demostrció. Puesto que d l = y es cotiu y diferete de 0 e (0, ), podemos plicr el teorem de l fució ivers pr cocluir que ep () es diferecible. Usdo esto y diferecido l idetidd (5.2.2) se tiee que Por otr prte, sbemos que d l [ep ()] d l [ep ()] = = = d ep() ep ()

23 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 23 De ests dos igulddes obteemos que d ep() ep () = y multiplicdo por ep () llegmos l fórmul d ep () El Álgebr y l epoecil = ep () Pr ver como ls propieddes lgebrics del logritmo turl se reflej e l fució epoecil, es importte teer clro que l ser l epoecil l ivers del logritmo ls igulddes l ξ = η y ξ = ep (η) so equivletes pr ξ > 0. Esto es, si se cumple que l ξ = η, etoces, tmbié se cumple l iguldd ξ = ep η. Y, recíprocmete, si se tiee que ξ = ep η, etoces, l iguldd l ξ = η se cumple. Proposició Si ξ es u úmero positivo, etoces, l ξ = η si y sólo si ξ = ep (η). Problem 5.7. Demuestre l proposició (Sugereci: Prtiedo de que l ξ = η plique l epoecil y use (5.2.) pr obteer que ξ = ep (η). Prtiedo de l iguldd ξ = ep (η), plique logritmo y use (5.2.2) pr llegr que l ξ = η.) Demostrció. Si se tiee que l ξ = η, etoces, tmbié se cumple que ep (l ξ) = ep (η) y usdo l idetidd (5.2.) del ldo izquierdo de l iguldd obteemos que ξ = ep (η). Recíprocmete, si se cumple l iguldd ξ = ep (η), sus logritmos tmbié so igules, esto es, l ξ = l [ep (η)] y si hor usmos (5.2.2) del ldo derecho de l iguldd se cocluye que l ξ = η U primer cosecueci de l proposició terior es que ep (0) =. E efecto, como sbemos l = 0 y, como cbmos de ver, esto implic que tmbié se cumple l iguldd = ep (0). Proposició ep (0) =. Como se vio teriormete u de ls propieddes lgebrics fudmetles del logritmo turl es que l b = l + l b

24 24 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Pr eteder lo que sigific est iguldd e térmios de l epoecil, recordemos que el logritmo es u fució sobreyectiv y, por ede, pr culesquier dos úmeros reles y y, eiste úmeros positivos y b tles que l = y l b = y De cuerdo co esto, l sum + y se puede escribir e l form + y = l + l b = l b Si hor plicmos l fució epoecil se tiee que ep ( + y) = ep (l b) y usdo (5.2.) del ldo derecho de l iguldd, llegmos l relció ep ( + y) = b dode l = y l b = y. Pero l proposició 5.25 os dice que ls igulddes l = y l b = y implic que = ep () y b = ep (y), por lo tto ep ( + y) = ep () ep (y) Así l idetidd l b = l + l b, se reflej e l siguiete propiedd pr l epoecil Teorem Pr culesquier úmeros reles y y se cumple l idetidd ep ( + y) = ep () ep (y) Como cosecuecis imedits teemos ls siguietes Proposició ) Pr culesquier úmeros reles y y se cumple l idetidd ep () ep ( y) = ep (y) b) Pr todo e R ep ( ) = ep () Problem 5.8. Demuestre l proposició (Sugereci: E el iciso ) escrib como y + ( y), plique l epoecil y use el teorem 5.27 pr obteer que ep () = ep (y) ep ( y) y despeje ep ( y) e est epresió. Pr b) escrib como 0 y use el iciso ) juto co l iguldd ep (0) =.)

25 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 25 Demostrció. ) Puesto que = y + ( y), se sigue que ep () = ep (y + ( y)) y por el teorem 5.27 se tiee que por lo tto ep (y + ( y)) = ep () ep ( y) ep () = ep (y) ep ( y) y despejdo ep ( y) se obtiee l idetidd b) Como = 0, y por el iciso ) ep ( y) = ep () ep (y) ep ( ) = ep (0 ) ep ( ) = ep (0 ) = Ls fucioes de l form ep (0) ep () = ep () Cudo es u úmero positivo y q es u úmero rciol, l epresió q tiee u defiició precis. Si embrgo, hst el mometo o es clro el sigificdo de epresioes como π o 2. U ltertiv pr defiir el vlor de cudo es positivo y es culquier úmero rel es ví el teorem 5.2 el cuál os dice que cudo es u rciol l = l Combido este resultdo co el hecho de que ep (l ) =, se tiee que = ep ( l ) Ahor bie, l epresió del ldo derecho de est iguldd está defiid pr todo úmero y se rciol o irrciol, e tto se positivo. Esto permite dr u sigificdo preciso l epresió pr todo úmero rel. Defiició 5.4. Ddo u úmero positivo, pr cd e R defiimos l fució como = ep ( l ) E este coteto, el úmero es llmdo l bse de l fució de tipo epoecil.

26 26 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Prtiedo de est defiició vemos que, e efecto, se cumple ls regls de los epoetes. Proposició Pr cd úmero positivo, l fució tiee ls siguietes propieddes: ) +y = y. b) =. c) ( ) y = y. Problem 5.9. Use l defiició de pr verificr l proposició (Sugereci: ) +y = ep [( + y) l ] = ep [ l + y l ] y plique el teorem Pr b) use el iciso b) de l proposició Pr c) uo tiee de l defiició que ( ) y = ep [y l ] y por ls propieddes del logritmo ep [y l ] = ep [y ( l )] = ep [(y) l ] = y.) Demostrció. ) Por defiició y por ede y por el teorem y = +y = ep [( + y) l ] +y = ep [ l + y l ] +y = ep [ l + y l ] = ep ( l ) ep (y l ) pero por defiició ep ( l ) = y ep (y l ) = y, por lo tto b) Por defiició +y = ep ( l ) ep (y l ) = y = ep (( ) l ) = ep ( ( l )) pero de l proposició 5.28-b) sbemos que ep ( ( l )) = y regresdo l defiició cocluimos que = ep ( l ) ep ( l ) = c) Puesto que l epoecil es positiv es positiv, sí que l está defiido y ( ) y = ep [y l ] pero l = l por lo tto ( ) y = ep [y ( l )] = ep [(y) l ] y como ep [(y) l ] es justo l defiició de y cocluimos que ( ) y = ep [(y) l ] = y

27 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 27 Problem Prtiedo de l defiició de, qué fució se obtiee cudo =? (Respuest: Por defiició = ep [ l ] y como l = 0, = ep [ 0] = ep (0) = pr todo úmero. Esto es, es l fució costte.) L iguldd e = ep () Hemos visto que l fució se puede defiir como = ep ( l ) Por otr prte sbemos que el logritmo turl, defiid e (0, ), es u fució sobreyectiv por lo que debe eistir u úmero positivo cuyo logritmo se justmete. Este úmero tiee u ppel distiguido e mtemátics. Defiició 5.5. El úmero cuyo logritmo turl es ectmete es llmdo el úmero e y se deot justmete co l letr e. E otrs plbrs, el úmero e es el úmero co l propiedd de que l e = U de ls rzoe que hce relevte este úmero es l siguiete Teorem Pr todo úmero rel se cumple que e = ep () Demostrció. E efecto, por defiició pr todo e R, y como l e =, se tiee que e = ep ( l e) e = ep ( l e) = ep ( ) = ep Así, l fució ivers del logritmo turl, ep (), se puede escribir e l form e. De hecho es más comú usr e que l epresió ep (). Puesto que e delte usremos el símbolo e pr deotr l fució epoecil, es coveiete reescribir ls propieddes que hemos discutido e est otció Propieddes de e :. e = ep () 2. e es l ivers del logritmo turl y e l = y l e =

28 28 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) de = e l ξ = η si y sólo si ξ = e η ) e +y = e e y, b) e y = e e y, c) e = e = e l U detlle curioso sobre el leguje que se us es que ls fucioes de l form se les llm tmbié fucioes epoeciles, pero se recooce que e es l fució epoecil. Tl vez lo correcto se llmr ls fucioes, fucioes del tipo epoecil y dejr el térmio fució epoecil eclusivmete pr l fució e. Hremos est distició lo lrgo de ests ots El cálculo de ites y l fució e Uo de los primeros resultdos que vimos sobre l epoecil es que es u fució diferecible y que de = e y como l epoecil es u fució positiv, tmbié lo es su derivd por lo tto e es u fució creciete. Más ú, l diferecibilidd grtiz l cotiuidd lo que implic el siguiete resultdo Proposició 5.3. Pr culquier puto e R e = e E cuto los ites l ifiito uo tiee el siguiete resultdo. Teorem Pr l fució epoecil se tiee que e = y e = 0 L demostrció de este resultdo es lgo técic y puede ser omitid e u primer lectur. Demostrció. Pr ver que e =

29 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 29 hy que mostrr que pr cd R > 0 se puede elegir M 0 tl que si > M, etoces, e > R. E este cso l elecció es M = l R. E efecto, si > M, etoes, > l R. y como l fució epoecil es creciete se sigue que e > e l R = R como se querí ver. E cuto l ite e meos ifiito, hy que ver que pr cd ε > 0 se puede elegir u M 0 tl que pr todo < M, se cumple que e 0 < ε Pr culquier úmero ε > 0 que se de, elegimos M = má { l ( ) } ε, 0. Etoces, si < M, tmbié se tiee que ( ) < l = l ε ε y usdo el que l epoecil es creciete cocluimos que e < e l ε = ε y como e es positiv, podemos firmr que si < M, etoces, lo que muestr que e 0 = e < ε e = 0 Uo puede usr este resultdo juto co ls propieddes de ites pr clculr otros ites relciodo co l fució epoecil. Prticulrmete útil es l regl pr el ite de u composició. Recordemos que e este cso uo tiee que si l composició f g, está defiid y g () = o g () =, etoces, e el primer cso f (g ()) = f () y f (g ()) = f () e el segudo. Ejemplo 5.9. U primer cosecueci es que e = 0 E efecto, si vemos l fució e como l composició de l fució f () = e co l fució g () =. Etoces, como =, se sigue de l regl de l composició que e = e y por el teorem 5.32 podemos cocluir que e = e = 0.

30 30 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Ejemplo 5.0. E el mismo orde de ides uo tiee que si α es u costte, etoces, eα = 0 si α < 0 y eα = si α > 0 Pr ver esto usmos l regl de l composició co f () = e y g () = α. Puesto que si α < 0, α =, se tiee que eα = e = 0 Mietrs que si α > 0, α = y, por lo tto Problem 5.2. Muestre que y eα = e =. eα = si α < 0 eα = 0 si α > 0 (Sugereci: Si α < 0, α = y si α > 0, α =.) Ejemplo 5.. Sbiedo como clculr los ites de fucioes de l form e α podemos clculr los ites de ls fucioes de tipo epoecil. E prticulr, pr >, se tiee que = y = 0 Pr ver esto, recordemos que por defiició = e l = e (l ), por lo tto es u fució de l form e α dode α = l. Y, puesto que pr >, = l > 0, podemos cocluir que y = e(l ) = ( > ) = e(l ) = 0 Problem Muestre que si 0 < <, etoces, = 0 y = (Sugereci: Recuerde que si está etre 0 y, l < 0 y que = e (l ) ) Otro resultdo útil e el cálculo de ites que ivolucr l fució epoecil es l regl de L Hôpitl

31 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 3 Ejemplo 5.2. Pr ver que otemos que e = 0 e = e y podemos plicr l regl de L Hôpitl este cociete pr cocluir que e = e = e = e = 0 Ejemplo 5.3. Uo puede usr l ide empled e el ejemplo terior pr cocluir que pr culquier etero positivo e = 0 E el cso del ite 2 e, escribimos 2 e como el cociete 2 e luego plicmos L Hôpitl pr obteer que 2 e 2 = e = 2 e = 2 e = 2 e y como y vimos e = 0, por lo tto Pr 3 e se tiee que y por L Hôpitl 2 e = 2 e = 2 0 = 0 3 e = 3 e 3 e 3 = e = 3 2 e = 3 2 e = 3 2 e pero cbmos de ver que 2 e = 0, e cosecueci De modo similr se puede ver que 3 e = 3 2 e = 3 0 = 0 4 e = 4 3 e = 4 0 = 0 Siguiedo este proceso iductivmete, podemos cocluir que e = 0

32 32 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) L derivd y l fució e Como vimos, u primer cosecueci de l defiició de l epoecil como ivers del logritmo turl, es que es diferecible y que su derivd, e térmios de l otció que hor usmos, es de = e Es importte observr que l derivd de l epoecil es ell mism, e otrs plbrs, l fució y () = e cumple l iguldd y () = y () pr todo e R. Otro specto importte es que, ví l regl de l cde, podemos clculr l derivd de culquier fució de l form e u() cudo u () es diferecible. E efecto, si F () = e, etoces, (F u) () = F (u ()) = e u() y por lo tto, l fució e u() es l composició de F () = e co l fució u. Así, l regl de l cde os d l iguldd de u() = df (u ()) = F (u ()) u () = e u() u () Proposició Si u es u fució diferecible, etoces, de u() = e u() u () Notemos que está iguldd os dice que pr fucioes de l form y () = e u() l derivd es l derivd del epoete por l l fució, esto es, ls fucioes del tipo y () = e u() cumple l siguiete iguldd y () = u () y () pr todo dode l ució u se diferecible. Ejemplo 5.4. U primer ejemplo de fucioes de l form e u() es y () = e α dode α es u costte. E este cso el epoete es, simplemete, l fució u () = α, cuy derivd es l costte α. Así de α = αeα E este ejemplo volvemos observr que l fució y () = e α cumple u iguldd de l form y () = αy () Ejemplo 5.5. Puesto que l fució e 2 es de l form e u() co u () = 2 y u () = 2, se tiee que de 2 = 2 2e

33 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 33 Ejemplo 5.6. Pr clculr l derivd de e se, observemos que est fució es de l form e u() doe u () = se. Como u () = cos, se tiee que de se = cos e se L derivd de ls fucioes de l form ( > 0) tmbié se puede clculr usdo l proposició Por defiició, = e l y como l derivd de u () = l es u () = l, se sigue que d = (l ) e l = (l ) Proposició Pr cd úmero positivo, se tiee que d = (l ) Ejemplo 5.7. L derivd de l fució y () = 2 es d2 = (l 2) 2 Problem ) Muestre que + 2 e 2 pr todo e R (Sugereci: Cosidere l fució f () = e 2 2 y use derivd pr ver que f es moóto creciete e [0, ). Esto implic que f (0) f () pr todo e el itervlo [0, ). Como f (0) = 0 se obtiee que 0 e 2 2 y de quí se sigue l desiguldd e [0, ). E el cso del itervlo (, 0], verifique que f () es decreciete e (, 0] por lo que f () f (0) pr todo e ese itervlo. Esto tmbié os llev l desiguldd desed.) b) Muestre que e 2 pr todo e R + 2 (Sugereci: Multiplique l desiguldd del iciso ) e 2 etre + 2.) y luego divid

34 34 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) L itegrl y l fució e Como vimos l fució e tiee l prticulridd de que su derivd es ell mism, por lo tto tmbié es u primitiv de si mism. De cuerdo co el TFC prte, esto implic lo siguiete Proposició E culquier itervlo [, b], se tiee que b e = (e b = eb e Además e = e + c Tmbié vimos que de α y multiplicdo l iguldd por α = αeα obteemos l iguldd e α = d α eα lo que muestr que pr α 0, α eα es u primitiv de e α. Proposició Pr α 0, u primitiv de e α es α eα y b ( e α = b α eα = α eαb α eα Además e α = α eα + c Siguiedo el mismo orde de ides podemos ecotrr u primitiv pr ls fucioes del tipo. E este cso sbemos que d = (l ) y por tto = d l siempre y cudo l 0, esto es, siempre y cudo.

35 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 35 Proposició Pr, u primitiv de es l fució l y Además d c ( = l d c = l + c = l d l c Note que hemos cmbido l otció pr los ites de itegrció. Esto se hce pr evitr cofusioes etre el vlor del ite iferior de l itegrl y l bse de l fució de tipo epoecil. Ejemplo 5.8. Cosidere l itegrl 0 2 E este cso el resultdo terior os dice que u primitiv de 2 es l fució F () = l 2 2 por lo tto 0 ( 2 = l = l 2 2 l 2 20 = 2 l 2 = l 2. Como cosecueci de l proposició 5.33 uo tiee que si u fució es de l form f () = u () e u() etoces l fució F () = e u() es u primitiv. Proposició Si u () es u fució co derivd cotiu, etoces, b u () e u() = (e u() b Además u () e u() = e u() + He quí u ejemplo de como usr este resultdo.

36 36 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Ejemplo 5.9. Pr clculr l itegrl 2e 2 otemos que 2 es l derivd de l fució 2 por lo que l itegrl es de l form u () e u() co u () = 2. Así que 2e 2 = e 2 + c Problem Clcule l derivd de ls siguietes fucioes ) 2 3 b) 4 c) se. (Respuests: Use derivd logrítmuc pr obteer ) 3 (l 2) 2 3, b) 4 ( (l 4) 2 ) (, c) se cos l + se ).) Problem Clcule ls siguietes itegrles ) 4 3 e 4 b) cos e se c) [ l ( ( 4 4 3)] 3) d) 2 (l 2) 2 2. (Respuests: ) 4 3 e 4 = e 4 + c, b) cos e se = e se + c c) [ l d) ( 4 3 )] ( 4 3 ) = [ l ( 4 3 )] e (l( 4 3)) = e (l( 4 3)) +c = ( (l 2) 2 2 = 2 (l 2) e (l 2)2 = e (l 2)2 + c = c.) ) +c L gráfic de ls fucioes del tipo epoecil Cso > : Empezremos estudido el comportmieto culittivo de ls fucioes de l form cudo >. Lo que sbemos e este cso es lo siguiete =, = 0 y que d = (l ) Puesto que l fució epoecil es estrictmete positiv, = e l tmbié es positiv. Más ú, puesto que >, l > 0 y por lo tto d = (l ) es estrictmete positiv Por lo que podemos firmr que es estrictmete creciete. Además l segud derivd d 2 2 = (l )2

37 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 37 tmbié es positiv, por lo que l gráfic debe ser u curv cócv hci rrib. El hecho de que = 0 os dice que l gráfic debe pegrse l eje X coforme se lej hci l izquierd. Mietrs que cudo se hce cd vez más grde, el ite =, os dice que l gráfic se v seprdo más y más del eje X. Si esto gregmos que 0 = y = podemos cocluir que l gráfic de cudo > es u curv de l form y Cso > y= Cso 0 < < : E este cso l < 0, por lo tto 0 d = (l ) es estrictmete egtiv lo que implic que es u fució decreciete. Como d 2 2 = (l )2 es positiv l gráfic debe ser u curv cócv hci rrib. Puesto que pr 0 < < = y = 0 l gráfic debe ir hci rrib coforme os movemos hci l izquierd y debe pegrse l eje X coforme os movemos l derech. Tmbié teemos que 0 = y = por lo que l gráfic debe ser u curv del siguiete tipo

38 38 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Cso < y y= 0 U álisis similr se puede hcer pr ls fucioes del tipo e α. Problem Trce l gráfic de e α e el cso α > 0. (Respuest: L gráfic es de l form y Cso α>0 y=eα α e 0 pero e este cso se tiee que l fució evlud e es e α >.) Problem Trce l gráfic de e α e el cso α > 0. (Respuest: L gráfic es de l form

39 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 39 y Cso α<0 y=eα α e 0 pero hor l fució evlud e es e α <.) Ls fucioes log Históricmete l primer fució de tipo logrítmico que se estudió fue el llmdo logritmo bse 0. E el siglo XVI el mtemático Joh Npier (550-66) defiió el logritmo de u umero como el epoete l que hy que elevr 0 pr obteer justmete el vlor. Así, por ejemplo, el logritmo del úmero 00 es 2 y que 0 2 = 00, el logritmo de 000 es 3 pues 0 3 = 000, etc. Prtiedo de esto y usdo u serie de ides igeioss pr clculr ls diferetes potecis de 0, costruye sus fmoss tbls de logritmos (Mirifici Logrithmotum Cois Descripto...de (64)). Refleiodo co cuiddo sobre l defiició del logritmo dd por Npier, os dremos cuet que su defiició es lo que hor llmmos l fució ivers de 0. Tl vez l rzó por l que eligió el úmero 0 como bse pr sus tbls, se que, como osotros, él usb el sistem deciml, pr escribir los úmeros. Pr eteder l ide de Npier otemos que ls fucioes de tipo epoecil pr y positivo so estrictmete moótos y por lo tto iyectivs. Más ú, el teorem del vlor itermedio grtiz que ests fucioes tom todos los vlores e el itervlo (0, ). E otrs plbrs, defiid e R y co vlores e (0, ) es u fució biyectiv y por ede tiee u úic ivers. Defiició 5.6. Pr cd úmero y positivo defiimos el logritmo bse como l fució ivers de y l deotremos por log. De cuerdo co est defiició, ls tbls que Npier costruyó so justmete ls de el logritmo bse 0, log 0. Puesto que el logritmo bse es l ivers de u propiedd imedit es

40 40 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Proposició Pr y positivo, l fució logritmo bse cumple ls siguietes propieddes y log = pr todo e (0, ) (5.2.3) log [ ] = pr todo e R (5.2.4) Como cosecueci de este resultdo tmbié se tiee lo siguiete Proposició Si ξ es u úmero positivo, etoces, log ξ = η si y solo si ξ = η. Problem Muestre l proposició (Sugereci: Sig ls misms ides que e el prtdo 5.2., pero hor use (5.2.3) y (5.2.4).) E cuto l derivd y sbemos que l derivd de es cotiu y diferete de 0 (cudo ) por lo que el teorem de l fució ivers grtiz que su ivers, log tmbié es diferecible. Pr clculr su derivd podemos diferecir l fórmul (5.2.3) pr obteer que d log = y usdo l regl de l cde se lleg l iguldd pero log = por lo tto (l ) log d log (l ) d log = = despejdo de quí d log cocluimos que d log = (l ) lo que muestr el siguiete resultdo. Proposició 5.4. Pr y positivo, l fució logritmo bse es diferecible y d log = (l ) L rzó por l que el trbjo de Npier fue relevte es el que el cálculo de multipliccioes, divisioes y potecis se reducí efectur sums, rests y cosultr sus tbls. L rzó de esto so ls siguietes propieddes.

41 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 4 Teorem Ddo u úmero y positivo l fució log tiee ls siguietes propieddes: ) log = 0 y log =. b) Si u, v > 0 log [uv] = log u + log v. c) Si u, v > 0 [ u ] log = log v u log v. d) Si u > 0 y r es culquier úmero rel log [u r ] = r log [u] Problem Demuestre ls propieddes eucids e el teorem (Sugereci: Sig ls misms ides que e el prtdo 5.2., pero hor use (5.2.3) y (5.2.4).) L ecució y () = αy () Hemos visto que l fució epoecil tiee l propiedd de ser igul su derivd y, más geerlmete, ls fucioes de l form y () = e α tiee como derivd l propi fució multiplicd por el coeficiete α. E otros térmios, tod ells stisfce u iguldd de l form y () = αy () (5.2.5) y uo podrí pregutrse como so tods ls fucioes que cumple u iguldd de este tipo? Co ls ides desrrollds e este cpítulo podemos dr u respuest est iterrogte. L ide es observr que si u fució stisfce u ecució de l form (5.2.5) y o se ul, etoces pr todo, el cociete y () /y () es l fució costte α y () y () = α Ahor bie, como vimos (teorem 5.20) u primitiv del cociete y () /y () es l fució l [ y () ]. Por otr prte como el cociete es l fució cotte α, tmbié l fució α debe ser u primitiv. Pero e el cpítulo 4 (teorem??) se mostró que culesquier dos primitivs difiere por u costte. Por lo tto si y () es u fució estrictmete positiv y cumple l ecució (5.2.5), etoces, tmbié debe cumplir l iguldd l [y ()] = α + c pr todo e R Usdo el que l epoecil es l ivers del logritmo turl podemos despejr y () de est ecució pr obteer que y () = e l[y()] = e α+c

42 42 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) L epresió e α+c se puede reescribir e l form e α e c, más ú, como e c es tmbié u costte, podemos cocluir que l fució y () debe ser de l form Ce α. E resume Si y () es u fució diferecible, positiv y cumple l ecució y () = αy () Etoces, l fució y () debe ser de l form dode C es u costte positiv. y () = Ce α Problem Muestre que si y () es diferecible, egtiv y cumple l ecució y () = αy () etoces, y () debe ser de l form y () = Ce α dode C es u costte egtiv. (Sugereci: Siguiedo el mismo rgumeto que llevó l iguldd y () = Ce α cudo y es u fució positiv, uo cocluye que l y () y α so primitivs del cociete y /y y por tto l y () = α + c. Puesto que y es egtiv y () = y (), Usdo esto y l epoecil se obtiee que y () = e c e α. Así pr C = e c, l fució cumple l iguldd y () = Ce α.) Co bse e est discusió u respuest l pregut plted es l siguiete Proposició Si y () es u fució diferecible, diferete de cero y stisfce l ecució y () = αy () Etoces, y () debe ser u fució de l form dode C es u costte. y () = Ce α Uo puede determir el vlor de l costte C si, demás de sber que l fució stisfce l ecució y () = αy (), tmbié se cooce el vlor de est e u puto. E efecto, si sbemos que el vlor de l fució e lgú puto 0 es u úmero y 0, esto es, si sbemos que y ( 0 ) = y 0,

43 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 43 etoces, como por otr prte y () debe ser de l form y () = Ce α, se tiee que y ( 0 ) = Ce α0 y, por lo tto Ce α0 = y 0 Podemos despejr C de est iguldd pr obteer que C = y 0 e α0 Sustituyedo este vlor de C e l epresió de y () os qued que y () = y 0 e α0 e α = y 0 e α0+α = y 0 e α( 0) Proposició Si y () es u fució diferecible y diferete de cero que cumple l ecució y demás se sbe que Etoces, y () debe ser l fució y () = αy () y ( 0 ) = y 0 y () = y 0 e α( 0) Ejemplo Ecuetre l form de ls fucioes diferecibles y diferetes de 0 que cumple l ecució y () = 4y () Como est ecució es de l form y () = αy () co α = 4, se sigue de l proposició 5.43 que l form de ls solucioes es y () = Ce 4 Ejemplo 5.2. Ecuetre u fució que stisfg l ecució y () = 2y () y que, demás, se cumpl l codició y () = 5 Nuevmete l ecució es de l form y () = αy () co α = 2 y como l codició y () = 5 es de l form y ( 0 ) = y 0 co 0 = y y 0 = 5, se sigue de l proposició 5.44 que u fució co ests propieddes es l fució y () = 5e 2( )

44 44 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) Ejemplo Ecuetre u fució diferecible y diferete de cero que stisfce u ecució de l form y que, cumple ls codicioes y () = αy () y (0) = 3 y y (2) = 2 Además determie el vlor de α. De cuerdo co l proposició 5.44 si se cumple l codició y (0) = 3, l fució debe ser y () = 3e α( 0) = 3e α E este cso se tedrí que y (2) = 3e α 2 = 3e 2α. Como demás se requiere que l fució tmbié cumpl l codició, y (2) = 2, uestr fució deberá stisfcer l iguldd lo que implic que y (2) = 3e 2α = 2 e 2α = 4 Aplicdo el logritmo turl pr despejr α llegmos 2α = l [ e 2α] = l 4 y por ede α = ] [4 2 l 4 = l 2 = l 4 = l 2. Problem 5.3. Se sbe que si u epidemi o es cotrold, l rpidez co l que crece el úmero de ifectdos e cd istte de tiempo es proporciol l úmero de ifectdos e ese mometo. E otros térmio, si deotmos por N (t) es el úmero de ifectdos l tiempo t, etoces, el crecimieto de l poblció ifectd stisfce l ecució dn (t) dt = αn (t) Si el úmero de ifectdos iicilmete es 20 y después de 2 dís hy 0 ifectdos Cuetos ifectdos hbrá los 30 dís? (Sugereci: Est ecució es del tipo y () = αy () co N (t) e lugr de y (). Así que l fució N (t) debe ser de l form N (t) = Ce αt Por otr prte, el hecho de que el úmero de ifectdos iicilmete se 20, os dice que N (0) = 20. Como demás sbemos que los 2 dís

45 5. Ls fucioes logritmo y epoecil (G.Izquierdo 02/207) 45 hy 60 ifectdos, teemos que N (2) = 60. Pero N (0) = Ce α 0 = C y N (2) = Ce α2 por lo tto 20 = C y 60 = Ce α2 De esto se obtiee que C = 20 y α = l 4 3 por lo que N (t) = 20e(l 4 3)t y el úmero de ifectdos los 30 dís es N (30) = 20e (l 4 3) )