Guía de trabajos Teórico- Práctico Nº 6. Los dos problemas del cálculo

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1 Mtemátic pr CPN- UNSE- Guí de trbjos Teórico- Práctico Nº 6 Los dos problems del cálculo UNIDAD VI: 6. Derivd de u Fució. Ts de cmbio. Derivd de u Fució e u puto: defiició. Iterpretció geométric. 6.. Algebr de derivds: demostrcioes. Derivd de fucioes compuests. Aplicció: Aálisis mrgil. Derivds sucesivs. 6.. Derivbilidd y cotiuidd. Teorem del Vlor medio. Diferecil de u fució. Tbl de derivds 7.. Atiderivd. Primitivs. Itegrl idefiid. Propieddes. Itegrcioes imedits. Tbl de itegrles 7.. Método de itegrció: sustitució y por prtes. 7.. Itegrl defiid. Itegrl de Riemm. Propieddes Teorem del vlor medio de itegrles. Teorem fudmetl del Cálculo itegrl: demostrció. Regl de Brrow: segudo teorem del cálculo itegrl. Áre bjo l curv Ejercicios Complemetrios. T.P. Nº 6 Pg Nº

2 Mtemátic pr CPN- UNSE- 6.: Derivd de u fució Muchs leyes de l Físic, l Biologí o l Ecoomí, so fucioes que relcio u vrible depediete y co otr vrible idepediete, lo que suele escribirse e l form y = f (). Si l vrible idepediete cmbi de u vlor iicil otro, l vrible y lo hce de f ( ) f ( ). Eiste u relció etre estos cmbios. Vemos el siguiete problem: Problem: Ls pérdids e milloes de dolres del Bco Thomso( debido los mlos prestmos otorgdos e gricultur, imuebles y comprs de utos) se estim medite: A = f(t) = -t + t + ( t ) Dode t, es tiempo e ños ( t = correspode l iicio de 994) A u icremeto de l vrible t le correspoderá u vricio de f, como se observ e l gráfic siguiete: Respode: ) Cuál es l pérdid promedio que se obtuvo etre 995 y 999? b) Co qué rpidez se icremet ls pérdids l iicio de 997? Y Al iicio del? Pr respoder ests cuestioes presetemos dos defiicioes: T.P. Nº 6 Pg Nº

3 Mtemátic pr CPN- UNSE- Rzo de cmbio o Ts de vricio medi: Defiimos icremeto como l difereci: = vlor fil vlor iicil Así: = f i y f = f ( f ) f ( i ) Defiimos Ts de vricio medi de est fucio f, l cociete etre estos icremetos. O se: f f ( t f ) f ( ti ) (tmbie llmdo Rzó o Cociete icremetl) f i Volvemos l problem: Respuest: ) E 995 t = f(t ) = E 999 t = f(t) = L pérdid promedio, l clculmos obteiedo el cociete icremetl de f co respecto t f t f ( t t ) f ( t) t Si llmmos co P (t,f(t )) y co P (t,f(t )), el cociete obteido represet geometricmete l pediete de l rect Secte que ps por esos dos putos. ( trz e form proimd e l gráfic de l pgi terior) b) Pr el iicio del ño 997, plicr l ts de vricio medi o es suficiete, puesto que se tiee u solo puto de refereci. Llmemos co P (t f(t ) ) el puto lizr. E ese cso se cosider u icremeto h muy pequeño e l vrible idepediete tl que h= t t y f = f (t +h) f (t ) y se plic el límite cudo h. O se si P (, f() ), pltemos: t f h = ( Ts istte de cmbio ) Comprdo este límte fiito obteido co el cociete icremetl clculdo, so diferetes. Dicho límite e relidd es l pediete de l Rect tgete P y se puede trzr e l curv. De form similr, clcul l rpidez de ls pérdids l iicio del ño : Trzr est rect tgete e u puto ddo e geerl es u problem e otrs fucioes cudo se descooce el vlor de l pediete de es rect.( si es que eiste) El deseo de medir y de cutificr el cmbio, l vrició de fucioes, y l rpidez de predecir esos cmbios, codujo e el siglo XVII hst l oció de Derivd T.P. Nº 6 Pg Nº

4 Mtemátic pr CPN- UNSE- Derivd de l fució e u puto: Defiició Se f u fució rel, u puto iterior de su domiio, l derivd de l fució f e es l epresió: f '( ) f ( ) f ( ) o bie f ( h) f ( ) f * '( ) h h Dode: h = deot el cmbio o vrició de l vrible ( si h > será el icremeto de ) f(+h) f() deot l vrició de f cudo h es el cmbio de (si es positiv l vrició de f se deomi icremeto de f). * Si este límite eiste e, se dice que f es derivble e y se escribe de culquier de ls siguietes forms df f ( ) ( ) d y ( ) D Ejemplo: Determir l derivd de l fució f() = 5 + e, plicdo l defiició. f ( ) = lím ( +h) 5 ( + h) + - ( 5 + ) h h f ( ) = lím ( + h + h ) 5-5 h h h f ( ) = lím + 4 h + h 5-5 h h h f ( ) = lím 4 h+ h - 5 h = lím h (4 + h - 5) h h h h f ( ) = lím (4 + h - 5) = 4 5 Así, si = etoces: f () h Diremos que f es derivble e, y 7 es l pediete de l rect tgete f e (, 6) Actividd : Hll l derivd de l fució f () = / e y luego liz si f es derivble e. Actividd : Hll l ts de vrició medi de l fució f () = e el itervlo [, ] Grfic l curv y trz l rect secte. T.P. Nº 6 Pg Nº 4

5 Mtemátic pr CPN- UNSE- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Si P y Q so los dos putos (, f()) y (+h, f(+h)) sobre l gráfic de f, etoces l rzó f ( h) f ( ) de cmbio h represet l pediete de l rect secte l curv e P y Q, o se que es igul l tgete trigoométric del águlo que form l rect co el semieje OX. Cudo h se hce cd vez más pequeño, el puto Q se proim cd vez más P y l rect secte tiede l rect tgete. Cudo h, l pediete de l secte PQ se proim l pediete de l rect tgete e P. Así se lleg : f ( h) f ( ) h h f '( ) úmero rel que represet l pediete de l rect tgete l gráfic de f e el puto P(, f() ). y f(+h) f() P Q +h f t s f ( h) h h, Q h f ( f `( ) tg f ( ) tg P, h) f ( ) h tg Actividd : L siguiete gráfic muestr el peso de u bebe promedio desde el istte de cimieto hst l edd de ños( t =4). Clculr ls pedietes de ls rects tgetes respectivs pr estimr l rzó de cmbio del peso del bebe promedio cudo t = y cudo t = 8 6,5 5 7,5 T.P. Nº 6 Pg Nº 5

6 Mtemátic pr CPN- UNSE- Actividd 4: Determir l derivd de f() = e = - y trzr l rect tgete por dicho puto e el gráfico que se imdic. Cuál será l rect tgete e =? Rect tgete L ecució de l rect tgete l gráfic de f e el puto (,f()), se obtiee plicdo: y f '( )( ) f ( ). Actividd 5: Dd l fució f () = ( ), e = se dese obteer: ) L derivd de l fució e ese puto, plicdo l defiició: b) Represet l fució f y l rect tgete l curv e ese vlor de. c) Determir l ecució de l rect tgete e. Actividd 6: E que putos de l curv l tgete es horizotl? Y cuáto es su pediete? T.P. Nº 6 Pg Nº 6

7 Mtemátic pr CPN- UNSE- Fució derivd: Se f derivble e todo puto de D, se defie l fució derivd como l fució que cd de D le sig l derivd de f e. E símbolos: f ': f '( ) Actividd 7: Hlle l fució derivd, plicdo l defiició: ) f() = 4 b) f() Derivd de fucioes especiles Derivd de l fució costte: L derivd de u costte es igul cero Se f() = k f ( h) f ( ) k k f '( ) h h h h Derivd de l fució idetidd: L derivd de es igul uo Se f() = f ( h) f ( ) h h f '( ) h h h h h h Derivd de u fució potecil: l derivd de f() = k es f () = k. Ejemplos: ) f() = 5, f () = 5 4 ) g() = 6, g () = 6. ÁLGEBRA DE DERIVADAS Se f y g derivbles e u puto iterior de sus domiios. Etoces: Derivd de l sum: L derivd de l sum de dos fucioes es igul l sum de ls derivds. (f +g) () = f () + g () Derivd de l rest: L derivd de l rest de dos fucioes es igul l rest de ls derivds. (f - g) () = f () - g () Derivd de u producto: (f.g) () = f ().g() + f().g () f f '. g f. g' Derivd de u cociete: g g ' (Pr l demostrció de ls propieddes, ver eo l fil de l crtill.) Ejemplo: f() = , su derivd es: f () = T.P. Nº 6 Pg Nº 7

8 Mtemátic pr CPN- UNSE- Actividd 8: Determie ls derivds de ls siguietes fucioes, plicdo el álgebr de derivds y ls derivds especiles: i) f() = ii) f() = (4-).( ) 5 4 iii) f ( ) iv) f() = 5 l Actividd 9: Si f y g so fucioes derivbles e, demostrr que : ( f + 4 g ) () = f () + 4 g () Derivd de fucioes compuests. ( Regl de l cde) Se f: A B y g: B C tles que, f es derivble e y g derivble e f(), etoces g o f es derivble e su derivd es : (g o f ) () = g (f()).f () Actividd : Obteer l derivd de ls fucioes compuests siguietes, supoiedo domiios posibles. ) y = se ( ) b) y = 4 c) y = l d) y = e Algus pliccioes de l derivd El vlor de l pediete de l rect tgete e u puto ddo de u curv de fució, demás de servir pr el trzdo de dich rect, os iform sobre los máimos o míimos reltivos que se preset e l curv, y si e ese itervlo es creciete o decreciete l fució, como se observ e ls siguietes : y y f () > f () = f () < f () < f () > f () = c b c b Actividd : Dd l fució t() = +. Determi: ) Putos e los que l derivd se ul. b) Pediete de l rect Tg si = T.P. Nº 6 Pg Nº 8

9 Mtemátic pr CPN- UNSE- Aálisis Mrgil: El álisis mrgil cosiste e l utilizció de l derivció de fucioes pr clculr tss de cmbio de us mgitudes respecto de otrs. Los álisis mrgiles más hbitules e ecoomí so: el cálculo del costo mrgil y el igreso mrgil. El Costo mrgil es l ts de cmbio isttáeo del costo de producció respecto l úmero de uiddes producids. Lo otmos co CMg dc CMg dode: C(q) es l fució de Costos y q es el º de uiddes dq El Igreso mrgil es l ts de cmbio isttáeo del Igreso respecto l úmero de uiddes producids. Lo otmos co IMg di IMg dode: I(q) es l fució de Igreso y q es el º de uiddes dq Actividd : Se ls fucioes de Costo e Igreso de u producto C(q) = q 5q I(q) = 6q + 8q Respode: ) Si e l ctulidd se produce uiddes Se obtiee pérdids o beeficios? b) Y si se produce 5 uiddes? c) Clcule ls fucioes de costo e Igreso mrgiles d) Si q = 7, lice utilizdo ls fucioes mrgiles, si iteres o o producir u uidd ms T.P. Nº 6 Pg Nº 9

10 Mtemátic pr CPN- UNSE- Derivds sucesivs Se f derivble e todo puto de D. Etoces eiste f (derivd primer de f ). Defiimos: Derivd segud: l derivd de l derivd primer de u fució. Se simboliz co f y se defie por f ' h f ' f ''( ) (e el cso de que eist). h h Derivd tercer: es l derivd de l derivd segud. Se simboliz co f y se defie por f '' h f '' f '''( ) h h Derivd de orde : E geerl se defie l derivd de f -. O se: f h f f ( ) h h Not: e el cso que l fució o se derivble e todo su domiio se defie el domiio de l fució derivd como el subcojuto del domiio de f, formdo por los elemetos del domiio de f pr los que el límite de l defiició de derivd eiste. Actividd : Hlle ls derivds sucesivs hst l de segudo orde de ls siguietes fucioes: ) f(). se b) g ( ) c) f() (- ) Actividd 4: Clculr los putos e que l derivd ª de f ( ) es igul 4. Problem: Cecili trbj e u tied de deprtmetos B&C dode e u di lborl recibe 8 pesos por hor por ls primers 8 hs y $ por cd hor etr. L fució 8 si 8 f ( ) 6 si 8 Proporcio ls gcis de Cecili e u dí lborl cudo h trbjdo hs. Trzr l grfic y lizr si f es diferecible e = 8 6. PROPIEDAD: DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si f es derivble e, etoces f es cotiu e Actividd 5: Alizr si fució vlor bsoluto f() = es cotiu y derivble e. T.P. Nº 6 Pg Nº

11 Mtemátic pr CPN- UNSE- Actividd 6: Estudir l derivbilidd de l fució siguiete e los putos ddos: DIFERENCIAL DE UNA FUNCION Dd l fució y = f(), su diferecil se defie como el producto de l derivd de l fució por el icremeto de l vrible idepediete. Es decir: dy = f () Si tommos el cso prticulr: y = d =. d = Por lo tto se puede redefiir el diferecil de u fució como el producto de l derivd de l fució por el diferecil de l vrible idepediete, es decir: Ejemplo: y = dy = (6 + ) d dy = f () d Teorem del vlor medio Se f cotiu e [, b] y derivble e (, b), etoces eiste c perteeciete (, b) tl que f ( b) f ( ) f '( c) b Iterpretció geométric Eiste u rect tgete l gráfic de f e u puto (c,f( c)), prlel l rect secte l mism e los putos (,f( )) y (b,f( b)) s Not: Por l iterpretció geométric de l derivd, f ( c) es l pediete de l rect tgete T l gráfic de f e ( c, f (c) y f ( b) f ( ) es l pediete de l rect S. b c t b L demostrció se ecuetr e l prte e de l crtill (Pg ) T.P. Nº 6 Pg Nº

12 Mtemátic pr CPN- UNSE- T.P. Nº 6 Pg Nº

13 Mtemátic pr CPN- UNSE- Problem : Costos de producció- L Atiderivció L compñí Hos Díz que fbric guitrrs profesioles estim que costo mrgil por l producció de sus guitrrs de l serie cocerto es: C '( ),. dólres por mes cudo el ivel de producció es de uiddes por mes. Los costos fijos so de U$ 4. por mes. Cuáles so los gstos totles mesules de l Compñí reltivos l producció de guitrrs por mes? L respuest este iterrogte está e plter y plicr el proceso iverso l derivció, puesto que se cooce l rzó de cmbio, pero o l relció etre l fució de Costo y ls ctidd de uiddes producids, o se C(). El proceso iverso l derivció recibe el ombre de tiderivd o primitiv de u fució. Prte B: 7. Primitivs o Atiderivds. Itegrles idefiids, Defiició: U fució F es u tiderivd o primitiv de f, e u cierto itervlo del D f si y solo si l derivd de F es igul f. F es u primitiv de f e D f D f : F () = f() Actividd : Complet obteiedo ls primitivs de cd u de ls fucioes: ) f() = F() = G() = + 7 b) f() = 4 F() = G() = c) f() = / F() = G() = Not: L primitiv de u fució o es úic; Por ejemplo G es otr primitiv de f Por qué? Tods ls primitivs de f está represetds por l epresió F + C, e l que C es u costte culquier y que se deomi costte de itegrció. L fmili de tods ls primitivs de f se deot: f ( ). d Epresió que recibe el ombre de itegrl idefiid de l fució f () d : es l diferecil de f E defiitiv l itegrl sobre f () es l fució F()+ C : f ( ). d F( ) C T.P. Nº 6 Pg Nº

14 Mtemátic pr CPN- UNSE- Propieddes: Si G es u primitiv de f, etoces G + C (co C R) es u primitiv de f Si F y G so primitivs de f, etoces F y G difiere e u costte. L primitiv de u sum o rest de fucioes es igul l sum o rest de ls respectivs primitivs : ( f g)( ) d f ( ) d g( ) d L primitiv de u costte por u fució es igul l costte por l primitiv de l fució. c. f ( ) d c. f ( ) d Algus itegrles imedits básics i) k d k C ii) d C iii) d C si iv) e d e C v) d l C vi) se d cos C Actividd : Clcule l fmili de primitivs de ls siguietes fucioes, itegrdo e form imedit: - ) (- ) d b) (5e 6 d ) c) 5 5 d 4 d) ( ) d Hy veces que pr itegrr e form imedit se debe epresr l fució de otr form: Actividd : Itegrr ls siguietes fucioes: 5 ) ( -).(- 5) d b) d ( - ) c) d T.P. Nº 6 Pg Nº 4

15 Mtemátic pr CPN- UNSE- Eiste ejercicios e dode o se puede itegrr e form imedit. Se utiliz métodos de itegrció. Nosotros desrrollremos: el de sustitució y el de itegrció por prtes Método de itegrció por sustitució El método cosiste e relizr u cmbio de vrible de mer de trsformr u itegrl que o es imedit e u imedit, uque co otr vrible. Ejemplo: ( + ) d sustituimos segú los cálculos uilires. : ( + ) d = u du u = + = u 4 + c du = d 4 d = du = ( + ) 4 + c 8 Actividd 4: Evlue ls siguietes itegrles idefiids utilizdo el método de sustitució: cos ) ( 5).( 5) d b) d cos c) d e) 4.e d se d) d 5 f) d 4 Método de itegrció por prtes Este procedimieto se bs e l fórmul de l derivd de u producto. Se plic l fórmul: Ejemplo: e d Desigmos e form coveiete cd fctor co u y dv. Luego derivmos e itegrmos c/u u = du = d dv = e d v = e u. dv u. v v. du Reemplzdo, segú fórmul: e d = e - e d = e - e + c Actividd 5: Evlur ls siguietes itegrles plicdo itegrció por prtes. ) cos. d b) e d c). l d d) l.( ) d T.P. Nº 6 Pg Nº 5

16 Mtemátic pr CPN- UNSE- 7. Itegrles defiids, Cálculo de äres Problem : Cuál es el áre etre l curv de u fució y el eje de ls bsiss? Vemos los siguietes ejemplos que represet curvs de demd de u fució E el primer cso podrímos plicr fórmuls del cálculo de áre de triágulos y de rectágulos. Pero e el segudo cso dode l gráfic o es u rect, o es t secillo el cálculo. Se f() u fució cotiu y positiv e u itervlo [,b] Cosideremos u prtició del itervlo [, b] ; o se, culquier cojuto de putos: P = {,,,..., / = < < <... < = b } De est mer [, b] qued dividido e subitervlos. E cd uo de ellos podemos ecotrr U míimo y u máimo (ddo que cd uo de ellos es tmbié cerrdo) los que deomiremos mi y Mi, respectivmete. Llmmos i l logitud del subitervlo [ i-, i ], o se, i = i i - Pretedemos clculr el áre ecerrd por l fució f e el itervlo [,b] U proimció por defecto de dich áre l obtedrímos l sumr el áre de los rectágulos de bse i y ltur m i. A est ire l deomimos Sum itegrl iferior L epresió que permite clculr est áre es: s i. m De igul form podemos clculr u proimció por eceso l sumr ls áres de los rectágulos de bse i y ltur M i. A est ire l deomimos Sum itegrl superior. S. M i i i i i T.P. Nº 6 Pg Nº 6

17 Mtemátic pr CPN- UNSE- Ddo que m i < M i etoces s < S E cd uo de los segmetos [ i-, i ] podemos elegir u puto iterior que desigremos co c i, y pr cd uo de estos putos es posible clculr su imge que llmremos co f(c i ). Desigmos co A l sum: A i. f ( c ) Si comprmos s, S y A, o se ls tres sums, se tiee: i m i. i i. f ( i c i ) i i i M i. i Por ser m i f( c i ) M i Si hcemos que ls diferecis i se pequeñs, podemos desigr co m i l myor logitud de los segmetos [ i-, i ] determidos y pliquemos el límite e los cules m i. E este cso. Si pr cd subdivisió elegid ese límite es fiito y el mismo pr cd subdivisió, diremos que f es itegrble e el itervlo [, b]. Defiició: Se llm itegrl de Riem o itegrl defiid l límite de l fució A cudo y se desig simbólicmete co: e [,b] b f ( ). d Es decir: i f ( c ). f ( ). d Observció: y b recibe el ombre de límite iferior y límite superior, respectivmete. Si clculmos l itegrl defiid b i i b () f ( ). d, se obtiee u úmero que represet el áre etre l curv de fució f y ls rects de ecucioes y =, = y = b. Ejemplo: Evlur l itegrl defiid de f() = 5 etre = y =, es decir: ( 5) d Dividimos [,] e subitervlos de logitud. Los putos etremos so: =, /, ( /), ( /),.., (-).( /),.( /). Usdo los etremos derechos, formmos l sumtori: S. f. f.. f.... f S Aplicdo prop. De sumtori y lguos resultdos coocidos:.( ) 9 9 S T.P. Nº 6 Pg Nº 7

18 Mtemátic pr CPN- UNSE- Al clculr el límite result: f ( c ) i i i 5 9 Luego : ( 5) d Teorem Si y = f() es u fució cotiu defiid e u itervlo [, b], etoces f() es Itegrble, es decir, eiste: Propieddes de l itegrl defiid: i) ii) ii) iii) b b f ( ). d k. f ( ). d k. f ( ). d b b b b [ f ( ) g( )]. d f ( ). d g( ). d b f ( ). d f ( ). d f ( ). d ( siempre que eist el límite () ) b b c b iv) Prop. Aditiv: Si c [, b], f ( ). d f ( ). d f ( ). d c Actividd 6: Aplicr propieddes ls siguietes itegrles: ) c) ( 6 4 ) d = b) ( 6 4) d = d) 4 4 d = 8 7 d = Actividd 7: 5 Sbiedo que: f ( ). d, f ( ). d 7 y 5 g ( ). d. Clculr: 4 ) 5 ( ) d ( ) d g ( ) d d) 5.( f ( ) g( )) d f b) f c) T.P. Nº 6 Pg Nº 8

19 Mtemátic pr CPN- UNSE- Teorem del vlor medio Si f es es u fució cotiu e [, b], etoces eiste Iterpretció geométric: b f ( ) d f ( c).( b ) [, b] tl que: Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl Si f es cotiu e [, b], etoces l fució itegrl F es derivble e [, b] y F () = f(), pr todo [, b] Demostrció: Por defiició de derivd : F'( ) Por defiició de fució itegrl: F( h) F( ) h h F'( ) Por propiedd ditiv del itervlo de itegrció: h h f ( ) d f ( ) d h h f ( ) d f ( ) d f ( ) d, etoces F'( ) h h f ( ) d h f ( ) d h f ( ) d, cceldo F'( ) h h f ( ) d h Aplicdo el teorem del vlor medio e el itervlo [, +h], eiste c perteeciete (, +h) / h f f ( ) d ( ) d f ( c). h f ( c). h Etoces F' ( ) f ( c) f ( ) h h h h h Puesto que cudo h, c y por l cotiuidd de f, f( c) tiede f(). h T.P. Nº 6 Pg Nº 9

20 Mtemátic pr CPN- UNSE- Segudo Teorem fudmetl del cálculo Regl de Brrow Si f es itegrble sobre [, b] y f = F' pr lgu fució F, etoces L itegrl defiid de l fució f () e el itervlo [, b] es igul l difereci etre los vlores de culquier de sus primitivs e los etremos superior e iferior del itervlo y l otmos de l form: Ejemplo: Actividd 8: Evlur ls siguietes itegrles defiids ) c) 4 d d d) b) se d d Tbl de vlores / 6 / 4 / / se,5 cos,5 Cálculo de áre: L itegrl de Riem de u fució positiv f e el itervlo [, b] geométricmete os permite clculr l medid del áre que ecierr l gráfic de f y el eje e el itervlo [, b]. Si u fució f es itegrble e [, b], etoces se defie el áre de l regió de plo determid por l gráfic de f y el eje etre = y = b, como: b A= f ( ) d F( b) F( ) Actividd 9: Clcule el áre de l zo sombred: ) b) y y T.P. Nº 6 Pg Nº

21 Mtemátic pr CPN- UNSE- Actividd : Clcule el áre bjo ls gráfics de ls fucioes, e el itervlo idicdo: ) f() = 4 - e [, ] b) f() = e [ -, ] c) f() = + - e [ -, ] Are etre dos curvs: El áre compredid etre ls gráfics de dos fucioes f y g e el itervlo [, b ], está dd por : Ejemplo: Actividd : Determie el áre etre ls dos fucioes dds segú se idic: Actividd : Determie el áre de ls figurs itds por ls gráfics de ls siguietes fucioes, relice previmete el gráfico: ) f() =- + 8 y g() = b) f() = ( + ) y g() = 4 c) f() = y g() = d) f() = ( + ).(-) y el eje OX. T.P. Nº 6 Pg Nº

22 Mtemátic pr CPN- UNSE- ANEXO : Ejercicios Complemetrios PARTE A TEMA: DERIVADAS. CALCULO DE PENDIENTES REGLAS DE DERIVACION ) L gereci de l compñí de llts Titá h determido que l fució de demd seml de sus llts Super Titá está dd por : P= f() = 44 Dode p se mide e dólres y e uiddes de mil ( ver figur) 5 5 Determi : ) L rzo promedio de cmbio e el precio uitrio de u llt, si l ctidd demdd est etre 5 y 6 llts; etre 5 y 5 ; y etre 5 y 5. b) Cuál es l rzó istte de cmbio del precio uitrio cudo l ctidd demdd es de 5 uiddes? ) Derivr ls siguietes fucioes plicdo l defiició de derivd e el puto que se idic. ) f() = -5 e f '() b) f() = + e c) f() e f '() d) f() e f (-) e) f() = e = f ) g) h) f : f : e f () i) k) f() f : f() 5 e = 5 e 4 e f (4) ) Dd pediete g ( ), hllr los putos de su gráfic dode l rect tgete tiee 9 T.P. Nº 6 Pg Nº

23 Mtemátic pr CPN- UNSE- 4) Obteg ls derivds de ls siguietes fucioes, plicdo ls regls de derivció ) f() = b) g( ) 4 c) f() = tg (*) d) g( ) (*) usr tg = e) g() = e g) f() = e se cos y plic derivd del cociete. f) f() = se - cos + ( 5) 5 h) f() = l( ) i) f() = j) f() = e se k) f() = m) i) g() = o) q) f(y) cos 4 9y - se 5 cos ii) f() = 4 f( ) tg s) f( ) se u) ) f() f(t) f() l se cos t t e y).l 4 f(y) p) f( ) se r) t) f() f() l y cos 5 w) f() e l l) ) f(y) f(t) y t t t y y 5) Obteer ls derivd de segudo orde de ls fucioes cuys regls de correspodeci: ) f() = se l c) f() = l () d) b ) g() = ( ). l f(). e 6) Clculr los putos e dode se ul l derivd de f() =. 7) Se l fució f() = 4 +6 Clculr los putos de f e los cules se ul l derivd ª. T.P. Nº 6 Pg Nº

24 Mtemátic pr CPN- UNSE- 8) Idic si es que eiste, los putos dode l rect tgete l curv es horizotl (máimos y míimos) : ) f(u) = u 6u + b) f() = 9-9) Cotest rzodmete si so cierts o flss ls siguietes firmcioes: () U fució cotiu e u itervlo es derivble e todos sus putos del iterior. (b) U fució es derivble e u puto si es cotiu y eiste sus derivds lterles e el puto. (c) Si u fució es cotiu e u puto, etoces es derivble e el puto. (d) Si u fució es derivble e u puto, etoces es cotiu e el puto. (e) L fució derivd es siempre cotiu. (f) Los poliomios dmite ifiits derivds. (g) Si u fució es derivble ifiits veces, etoces es u poliomio. Aplicció: ) L ctidd de cfeí e sgre, e miligrmos por cetímetro cúbico, ls t hors de hber igerido u cfé, viee dd por l fució c(t) Cul es l velocidd de eició de l cfeí l hor de hber igerido el cfé? Y ls cico hors? Como evolucio l velocidd co el tiempo? ) L curv de costo totl de u rtículo, está dd por y = 5 8 +, dode y es el costo, es l ctidd producid. Supog que ls codicioes del mercdo idic que debe producirse etre y rtículos. Determie l ctidd e ese itervlo por l cul el costo promedio es míimo. ) L fució igreso mrgil de u empres está dd por : R() =,5, Determie el icremeto del igreso totl de l empres, cudo el ivel de vets umet de uiddes. ) U empresrio h clculdo que el costo totl de reprtir uiddes del producto que fbric es: C() =. +78 / ) Si l uidd de reprto puede trsportr como máimo uiddes de producto, hll el úmero de uiddes que hrá míimo el costo del pedido. b) Qué ocurrirí si l uidd pudier trsportr hst 4 uiddes de producto? 4) U fbricte vede rtículos por sem u precio uitrio p que depede de segú l epresió: p()=, p e $. El costo totl de producció de rtículos es: C()= 5 + $ /sem. )Clcul el úmero de rtículos que el fbricte debe producir pr obteer máim gci y el correspodiete precio de vet por uidd. b) Supogmos que el estdo fij u impuesto de $ por cd uidd vedid permeciedo ivribles ls otrs codicioes. T.P. Nº 6 Pg Nº 4

25 Mtemátic pr CPN- UNSE- Qué prte del impuesto debe bsorber el fbricte y cuál debe trsmitir l comprdor pr obteer máim gci? Comprr ls gcis tes y después de estblecido el Impuesto. 5) U estudio sobre l eficieci de los trbjdores del turo mtutio de u fábric idic que el úmero N de rtículos esmbldos por u trbjdor promedio está dd por l relció: N(t) = - t + 6 t + 5 t siedo t el tiempo trscurrido desde el iicio del turo (8: : hrs.) ) Grfic l curv de producció N(t) pr t 5. b) A qué hor de mñ l ts de producció ( dn /dt) del trbjdor (eficieci) es máim?. c) A que hor es míim?. d) Grfic l ts de producció pr t 5. T.P. Nº 6 Pg Nº 5

26 Mtemátic pr CPN- UNSE- PARTE B TEMA: INTEGRALES. CALCULO DE AREAS. METODO DE SUSTITUCION ) Determie ls itegrles o primitivs de ls siguietes fucioes, plicdo los métodos estudidos: ) d c) d b) ( ) d d) d - e) se.cos d f) ( ) d 5 * g) d h) ( 5 6). 4 d l i).cos d j) d 5 7 k) d 8 l) d m). l d ) e d 4 o) d * p) 5 t dt q) e u du r) d 4 u s) l d t) d u) (tg ) d * Sugereci efectúe previmete l divisió ) Ecuetre el resultdo de ls siguietes itegrles: ) ( 5 - ) d b) ( e ) d c) 4 ( 7 ) ( 7) d T.P. Nº 6 Pg Nº 6 d) e d

27 Mtemátic pr CPN- UNSE- 6 e) 4 d f) d g) si f ( ) d, co f ( ) 6 si, grficr Sugereci: e los ejercicios c), d) y e) resolver primero l itegrl por sustitució. ) Determie y grfique el áre bjo l curv de ls fucioes, etre los vlores de ddos: ) f() = = - y = b) f() = - = - y = c) f() = = - y = 4 4) El áre de l figur ryd equivle : y y =- ) b) 4 c) d) e) Nigu - 5) Clcule el áre ecerrd por ls gráfics de ls siguietes fucioes, relice previmete el gráfico: ) f() = + y g() = b) f() = y g() = c) f() = - - y g() = - - d) f() = - + y g() = - e) f() = se y el eje de bsciss e el itervlo [, ] f) f() = y g () = ( + 4) 5 6) Trce u gráfic y obteg el áre itd por ls curvs de ls siguietes fucioes: ) y 4 b) y y y c) y y 5 5 d) y y T.P. Nº 6 Pg Nº 7

28 Mtemátic pr CPN- UNSE- APUNTE ANEXO TEOREMAS PARA LA DERIVACION DE FUNCIONES TEOREMA: L derivd de l sum de fucioes es igul l sum de ls derivds Si f y g so dos fucioes derivbles e, etoces (f +g) () = f () + g () DEMOSTRACION: Aplicmos defiició de derivd, lgebr de fucioes y de límites (f+g) ` () = lím (f+g) ( + h) (f+g) () = lím [f( + h) + g( + h)] [f() + g()] h h h h (f+g)` () = lím f( + h) + g( + h) f() - g() = lím [f( + h) f()] + [g( + h) - g()] h h h h (f+g)` () = lím f( + h) f() + g( + h) - g() h h h (f+g)` () = lím f( + ) f() + lím g( + ) - g() = f () + g () TEOREMA: L derivd del producto de dos fucioes es igul l derivd de l primer fució por l segud si derivr, más l primer fució si derivr por l derivd de l segud. Si f y g so dos fucioes derivbles, etoces se verific que [f().g()]` = f ().g() + f().g () DEMOSTRACION: cmbimos h por e l defiició (f.g) `() = lím (f.g) `() = lím h( + ) h() f( + ). g( + ) f().g() Restmos y summos l umerdor de est epresió f( + ). g(), co lo cul se tiee: (f.g) `() = lím (f.g) `() = lím (f.g) `() = lím f( + ). g( + ) f( + ). g() + f( + ). g() f().g() [f( + ). g( + ) f( + ). g()] + [f( + ). g() f().g()] f( + ). [g( + ) g()] + g() [f( + ) f()] T.P. Nº 6 Pg Nº 8

29 Mtemátic pr CPN- UNSE- (f.g) `() = lím f( + ). g( + ) g() + g() f( + ) f() (f.g) `() = lím f( + ). g( + ) g() + lím g() f( + ) f() (f.g) `() = lím f( + ). lím g( + ) g() + lím g() lím f( + ) f() (f.g) () = f() g () + g() f () Es decir: (f.g) () = f () g() + f() g () TEOREMA: L derivd del cociete de fucioes Si f y g so dos fucioes, etoces: [f() / g()] ` () = f () g() f() g () [g()] DEMOSTRACION: [f() / g()]` () = lím h( + ) h() f( + ) - f() [f() / g()] `() = lím g( + ) g() [f() / g()]`() = lím f( + ) g() - f() g( + ) g( + ) g() [f() / g()] `() = lím f( + ) g() - f() g( + ) g() g( + ) Restmos y summos l umerdor de est epresió f(). g(), co lo cul se tiee: [f() / g()] `() = lím f( + ). g() f(). g() f() g( + ) + f().g() g() g( + ) [f() / g()]`() = lím [f( + ). g() f(). g()] [f() g( + ) - f().g()] g() g( + ) [f() / g()] `() = lím g() [f( + ) f()] f() [g( + ) - g()] g() g( + ) [f() / g()] `() = lím g() [f( + ) f()] f() [g( + ) - g()] g() g( + ) g() g( + ) T.P. Nº 6 Pg Nº 9

30 Mtemátic pr CPN- UNSE- [f() / g()] `() = lím f( + ) f() f() g( + ) - g() g( + ) g() g( + ) [f() / g()] `() = lím f( + ) f() lím f() g( + ) - g() g( + ) g() g( + ) = lím f( + ) f(). lím lím f(). lím g( + ) - g() g( + ) g() g( + ) = f (). - f().g () = f () - f() g () g() [g()] g() g() g() [f() / g()] () = f () g() f() g () [g()] TEOREMA: L derivd de u costte por u fució es igul l costte por l derivd de l fució. Si f es u fució y c es u costte, etoces [c f()]` = c f () DEMOSTRACION: [c.f()]` () = lím [c.f()] ` () = lím h( + ) h() c f( + ) c f() [c.f()] ` () = lím [c.f()] ` () = c lím c [f( + ) f()] f( + ) f() = c.f () TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Se f u fució cotiu tl que: º) Es cotiu e el itervlo cerrdo [,b] º) Es diferecible e el itervlo bierto (,b) Etoces eiste u úmero c e el itervlo bierto (,b) tl que: f (c ) = f(b) f() b - T.P. Nº 6 Pg Nº

31 Mtemátic pr CPN- UNSE- DEMOSTRACIÓN: L derivd de u fució e u puto se iterpret geométricmete como l pediete de l rect tgete l gráfic de l fució e dicho puto. B y f(b) f() A c b - b Si Trzmos l gráfic de f, etoces [f(b) f()]/(b ) es l pediete del segmeto de rect que ue los putos A y B. El teorem del vlor medio estblece que eiste lgú puto sobre l curv etre A y B dode l rect tgete es prlel l rect secte que ps por A y B, es decir, eiste lgú úmero c e (,b) tl que: f (c ) = f(b) f() b - Si el eje estuvier lo lrgo del segmeto de rect AB, etoces el teorem del vlor medio serí u geerlizció del teorem del Rolle, el cul se us pr est demostrció. Pr demostrr este teorem cosidermos l fució uilir: F() = f() - f(b) f() ( ) f() b - Demostrremos que est fució F stisfce ls codicioes del teorem del Rolle L fució F es cotiu e el itervlo cerrdo [,b] y que está defiid como sum lgebric de fucioes cotius, por lo tto se cumple l primer codició del teorem del Rolle. L fució F es diferecible e el itervlo bierto (,b) pues está defiid como sum lgebric de fucioes diferecible, es decir que tmbié se cumple l segud codició del teorem del Rolle. Pr ver que F cumple l tercer codició del teorem, clculmos F() y F(b): F() = f() - f(b) f() ( ) f() = b F(b) = f(b) - f(b) f() (b ) f() = f(b) f(b) + f() f() = b Luego F() = F(b) =. T.P. Nº 6 Pg Nº

32 Mtemátic pr CPN- UNSE- Por lo tto l cumplirse ls tres codicioes del teorem del Rolle podemos decir que eiste u úmero c e el itervlo bierto (,b) tl que F (c ) =. Clculmos primero F (): Por lo tto O se: que es lo que se querí demostrr. F () = f () - f(b) f() b - F (c) = f (c) - f(b) f() = b - f (c ) = f(b) f() b - APLICACIONES DE LA DERIVADA MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION DEF.: U fució tiee u máimo reltivo e u puto de bscis = c f( c ) > f( ) [,b] DEF.: U fució tiee u míimo reltivo e u puto de bscis = c f( c ) < f( ) [,b] y y [, b] si verific: [, b],si verific que: c b c b Si l fució f tiee u vlor máimo reltivo o u vlor míimo reltivo e c, etoces se dice que f tiee u etremo reltivo e c. TEOREMA: Si f() eiste pr todos los vlores de e el itervlo bierto (,b) y si f tiee u etremo reltivo e c, dode < c < b, si f (c) eiste, f (c ) =. T.P. Nº 6 Pg Nº