Métodos Numéricos - cap. 7. Ecuaciones Diferenciales PVI 1/8
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- Eugenio Gómez Chávez
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1 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Ecuacioes Difereciales Ordiarias (EDO Ua Ecuació Diferecial es aquella ecuació que coiee difereciales o derivadas de ua o más fucioes. Ua Ecuació Diferecial Ordiaria (EDO. Es aquella ecuació diferecial que coiee derivadas de ua o mas fucioes co respeco a ua sola variable idepediee. Permie modelar procesos diámicos como: vaciado de recipiees, reacores químicos, movimieos amoriguados, desarrollos poblacioales; y siuacioes esáicas como: deflexió de vigas y problemas geoméricos. A veces o ay ua solució aalíica, por lo que se ecesia aproximacioes uméricas. Solució umérica de problemas de valor iicial (PVI dy Dada ua ecuació diferecial = f(, y d mediae écicas de cálculo de primiivas se puede obeer la fució y( = y+c. Los méodos uméricos permiirá obeer valores aproximados de la solució φ( e puos igualmee espaciados. = y( φ( La curva elegida de la familia y+c se esablece a parir del valor de la fució y e el valor iicial de la variable idepediee (y(. = f (, y, d y( = y, m m caidad de puos a cosiderar Méodo de Euler o de la reca agee Se cooce:, = φ( y =φ ( = f(,φ( = f(, Se obiee u valor aproximado de φ ( moviédose a lo largo de ua reca agee desde acia φ' ( ' = = E geeral si = - - = + ( - φ' ( = = + ( - ' = + ( + = + f(, + ( - f (, - f (, = y + e, d y( =, =. = φ( = φ( = = + f (, = +.* f (, = E= = φ(.. Ejemplo =. =, =., =.,... La solució exaca es: y( = (e e φ(. =. (e.*.788 =.8.87 = e =.8 =.788 φ(. = + f (, = * f (.,.788 =.87 φ(. Ulima acualizació //
2 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Si =. =, =., =., =., =. Gráficamee = = + f(, = +. * f(, =.9 φ(. = + f(, =.9+. * f(.,.9 =.8 φ(. = + f(, =.8 +. * f(.,.8 =.997 φ(. = + f(, = * f(.,.997 =.799 φ( (,y (,y (,y (,y (,y E =. = φ(. = =.99. (,y (,y Error e la fórmula de Euler Ora forma de deducir la fórmula del méodo de Euler para ecorar ua aproximació de la solució y( del P.V.I. co solució úica es usado el desarrollo e serie de Taylor alrededor del puo, φ( + = φ( + Form. Euler Error acumulado + φ' ( + φ'! ( + L + φ! Error local e + = O( + ( ξ ( +! { f (, φ( ξ + ( + φ ( + m m T ET = e + = φ' ξ = mφ' ξ = mφ' ξ = = = m T = φ' ξ = O( Si se reduce a la miad el error se reducirá a la miad C Méodo de Euler mejorado o méodo Heu Méodo Euler = + f (, + Aproximado por la media ariméica de sus valores e los exremos del iervalo + = + [ f (, + f ( +, + ] No se cooce Como la icógia + aparece como uo de los argumeos e el segudo miembro de la ecuació (e ese caso el méodo se dice implício, se reemplaza + por el valor que se obuvo usado la fórmula de Euler secilla (el méodo se coviere e explício, obeiedo: + = + [ f(, + f( +, + f(, ] Por Euler Ulima acualizació //
3 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI / (,y Graficamee f(,y* f(,y (,y (,y* f(,y* (,y.... Error e el méodo Heu y = f(, y( e [ a, b] f(, y( d = y d = y( y( y( = y( + f(, y( d por rapecios y( y( + ( f (, y ( + f (, y ( error = y' ξ M b a e M pasos ET = y' ξ y ' ξ = O (. = Precisió: E el exremo fial del iervalo E(y(b, C Si se oma la miad del paso E(y(b,/ C / Si se reduce a la miad se espera que el error se reduzca a la cuara pare E Co Euler E Ejemplo = φ( = φ( = * = + f(, = +.* f(, =.*.788 =.788 = + *. [ f(, + f(, ] = + [ f(, + f(.,.788 ] * = + f(, = * f(.,.778 =.78 = + =. =. *. [ f(, + f(, ] = [ f(., f(.,.78 ] =.8.88 =.879 = φ(. =.8.87 =.8889 = y + e, d y( =, =. =..778 φ(. =.88 φ(. Méodo de la Serie de Taylor Si y=φ( es la solució exaca del P.V.I. co solució úica y φ( iee al meos las res primeras derivadas coiuas e el iervalo de ierés φ( + = φ( + + φ' ( + φ'! f (, φ( φ' = f(, φ( + fy (, φ( φ' ( f (, φ( Reemplazado φ(, φ (, φ ( por sus valores aproximados, = f(, y = f (, + f y (, f(, respecivamee + co error + φ! ''' ( { ξ ξ + + = + ' ' ' φ''' ( ξ Ulima acualizació //
4 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Ejemplo = y( = y( = = + ' + '' = + ' + '' + = f(, = + e ' ' f(, e.788 = = + = = y + e, d y( =, =. = f (, + f (, f(, = + e + e + '' ' = + e + e + = *.788 =.9 '' '. = + ' + '' = +.* =.97 Méodo de Ruge-ua El méodo de Ruge-ua se fudamea e el méodo de la serie de Taylor, buscado la exaciud de ese méodo pero si eer que calcular derivadas parciales y de orde superior de la fució y(. Exise méodos de Ruge-ua de diferees ordees, el orde lo defie el orde de la derivada e el érmio de la serie de Taylor dode ésa se core. R- de segudo orde La fórmula de los res primeros érmios de la serie de Taylor es + = + ' + '' = + f(, + = + f(, + La siguiee fórmula es ua geeralizació del méodo de Euler mejorado (Heu, dode a, b, y α, β so cosaes arbirarias. + = + af( [ f (, + f (, f(, ] [ f (, + f (, f(, ] [, + bf( + α, + βf(, ] y y La siguiee fórmula se cooce como la Fórmula geeral de Ruge-ua de segudo orde. + = + a + b = f(, co = f( + α, +β Se debe ecorar los valores a, b, y α, β ales que la fórmula ega la exaciud del méodo de los res primeros érmios de la serie de Taylor si eer que calcular derivadas de orde superior de la fució φ(. Para se ace el desarrollo e serie de Taylor de orde dos para ua fució de dos variables f( + α, +β = f(, + αf(, +βfy(, + + y [ α f (,y + ( α( β f (,y +β f (,y] yy Ulima acualizació //
5 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Susiuyedo y e la fórmula de R- de segudo orde: + R- de cuaro orde + b f + αf +βff + [ α f + αβ ff +β f f ] = + af y y b = + (a + bf + b ( αf +βffy + ( α f + αβffy +β f f Por Taylor + = + f(, + [ f(, + fy(, f(, ] α b =/ β b =/ a+b= Comparado co los res primeros érmios de Taylor se obiee u sisema de ecuacioes o lieales e las variables a, b, α y β Las solucioes al sisema de ecuacioes so ifiias depediedo del valor de b, ya que: a =-b, α = β = /(b. Si b =/, eoces a =/, α = β = que es el méodo de Euler mejorado. yy yy La fórmula de Ruge-ua que más se uiliza es equivalee a la fórmula de los cico primeros érmios de la serie de Taylor, o sea u méodo de Ruge-ua de orde cuaro. + = = y( + ( = y co Ese méodo o provee ua esimació del error = f(, = f( +, + = f( +, + = f( +, + Graficamee Ejemplo = y + e, = d y( =, =. = + ( = f(, =.f(, = = f( +, + =.f(., =.9.9 = f( +, + =.f(., =.79 = f( +, + =.f(.,.79 =.98 = + ( ((.9 + (( =.9 =.87 Error = y(. =.87.8 =.8 * Ulima acualizació //
6 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Tamaño del iervalo para el méodo R E el exremo fial del iervalo E(y(b, C Si se oma la miad del paso E(y(b,/ C / Si se reduce a la miad se espera que el error se reduzca a la e u facor de / pare. Se podría esimar u opimo para maeer u error meor que u ε dado. El valor C será depediee del problema. Cosiderado el error local E =C, y que co la miad de se ecesia evaluar puos para evaluar E = C / E - E / [ ] [ ] Si E - E = y y C = / = C - C = C / = = = ε Cosiderado ε E C op C ([ y] [ y ] / / (E E C = / Méodo R--Feldberg = f(x,y / ε = f(x +, y + s = z+ y+ 9 = f(x +, y ε = oleracia = f(x +,y + + s= paso ópimo = f(x +, y = f(x +,y y + = y z + = y E = Méodos predicores-correcores Sisemas de EDOs de primer orde Méodo de u paso Para obeer los valores aproximados de la solució, φ(, sólo se uiliza -. Méodos mulipaso Para obeer valores aproximados se uiliza dos o más valores previamee calculados, -, -,... y = f (,y,y ' ' y ( = y, y = f (,y,y, y ( = y, Ejemplo: Se aplica algú méodo (preferiblemee Ruge-ua de orde cuaro a cada ua de las ecuacioes del sisema. Los méodos predicores-correcores so méodos mulipaso. Los valores de los puos previos, se puede calcular co méodos de u solo paso. dx = x + y = f(,x, y d x( = dy y( = = x + y = g(,x, y d =. Ulima acualizació //
7 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI 7/8 = f(,x,y f f = f( + + f + g,x,y = g(,x,y g =.f(,, =.8 =.g(,, =. f = f( +,x + f,y + g g = g( +,x + f,y + g =.f(.,.,. =.9 =.g(.,.,. =.88 f = f( +,x + f,y + g g = g( +,x + f,y + g =.f(.,.,.9 =.97 =.g(.,.,.9 =.9 = g( +,x +,y + g f g =.f(.,.97,.9 =.7 =.g( x = x + ( f + f + f + f = + (.8 + (.9 + ( =.9 y = y + ( g + g + g + g = + (. + (.88 + ( =.9 EDOs de orde N Si la ecuació es de orde, se rasforma la ecuació e u sisema de EDOs de primer orde. Ejemplo: '' ' y y + y + * l( ' y( =, y ( =,. Se rasforma el P.V.I. e u sisema de EDOs de primer orde. Se despeja el diferecial de mayor orde. Se reemplaza las fucioes por oras equivalees, de maera de elimiar las difereciales de orde superior '' ' y = y y + * l( f = y' = g f = g' = g y + * l( y( =, g( = Se procede como e u sisema de EDO =. (El superídice ace referecia a la variable ( ( ( ( ( ( = f ( ( (,, ( ( (,, = f = f = f = f = f +, +, +, ( ( +, ( ( =. f(,, =. ( = =. f(,, =. ( + + l( =. ( ( ( +, +. (.,,.. * = f = ( ( ( +, + =. (.,,. = f ( ( ( +, + =. (.,.9987,.9999 = f =.9898 * ( +, ( ( + =. (.,.9987,.9999 = f =.988 ( ( ( ( = f ( ( ( ( (, +, + =.f (.,.997,.988 = ( ( ( ( (, +, + = f =.9799 ( ( ( ( ( = + ( = =. + ( + (. * + (.9898 * = * =.f (.,.997, ( ( ( ( ( = + ( = = + (. + ( ( =.9888 * Ulima acualizació //
8 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI 8/8 Comados Malab [ T,, S ] = comado ( F, spa, y, opcioes, p, p,... comado: Ode: Compara resulados de Ruge-ua de orde y. Dormad-Price Ode: Compara resulados de Ruge-ua de orde y. Bogaci ad Sampie. Ode: Mulipaso, Adams-Basfor-Moulo Los comados Odexxs, Odexx y Odexxb, : Compara resulados de Ruge-ua co disios iveles de oleracia. Comados Malab (co. Parámeros de erada: F : fució coeiedo dy/d, o vecor columa de fucioes dy i /d spa:vecor coeiedo el iervalo de iegració [, fial] ó puos a evaluar [,,,..., fial] ó [::fial]. y: vecor de codicioes iiciales. opcioes:creadas co odese. p, p, p,... : opcioes pasadas a la fució/es. Parámeros de salida: T: vecor de puos. : mariz solució, cada fila correspode a cada valor, cada columa a y i. S: esadísicas de los cálculos Ulima acualizació //
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