José Morón SEÑALES Y SISTEMAS

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3 SEÑALES Y SISTEMAS

4 José Moró SEÑALES Y SISTEMAS

5 Uiversidad Rafael Urdaea Auoridades Recorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Recor Ig. Maulio Rodríguez, Vicerrecor Académico Ig. Salvador Code, Secreario Lic. Nacy Villarroel M.L.S. Direcora de Biblioeca Fodo Ediorial Biblioeca Uiversidad Rafael Urdaea Porada: Luz Elea Herádez Uiversidad Rafael Urdaea, Fodo Ediorial Biblioeca Vereda del Lago, Maracaibo, Veezuela. ISBN: Deposio Legal:lfi3865

6 CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció. Señales y Clasificació de Señales.3 Señales Periódicas y No Periódicas 6.4 Señales de Poecia y de Eergía 8.5 Trasformacioes de la Variable Idepediee.6 Escalamieo e el Tiempo 6.7 Señales Pares e Impares 8.8 Señales de Tiempo Coiuo Básicas.8. Señales Expoeciales Complejas.8. Señales Expoeciales Complejas Geerales La Fució Escaló Uiario La Fució Impulso Uiario 7.9 Señales de Tiempo Discreo Básicas Secuecias Expoeciales Complejas Geerales Secuecias Expoeciales Reales Señales Siusoidales Señales Expoeciales Complejas Geerales Periodicidad de las Expoeciales Complejas Periodicidad de la Expoecial Compleja La Secuecia Escaló Uiario La Secuecia Impulso Uiario 38. Sisemas y Clasificació de Sisemas 39.. Sisemas e Tiempo Coiuo y e Tiempo Discreo 4.. Sisemas Co y Si Memoria 4..3 Iveribilidad y Sisemas Iversos 43

7 ii..4 Sisemas Causales Sisemas Esables Ivariabilidad e el Tiempo Sisemas Lieales 49. Iercoexió de Sisemas 5 Problemas 53 CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció 6. Sisemas LIT e Tiempo Discreo 6.. La Represeació de Señales de Tiempo Discreo Mediae Impulsos Uiarios 6.3 Sisemas LIT Discreos: la Suma de Covolució Propiedades de la Suma de Covolució Respuesa al Escaló 77.4 Sisemas de Tiempo Coiuo: la Iegral de Covolució Propiedades de la Iegral de Covolució Evaluació de la Iegral de Covolució Respuesa al Escaló 83.5 Propiedades de los Sisemas LIT Sisemas LIT Co y Si Memoria Causalidad Esabilidad Iveribilidad 89.6 Fucioes Propias de Sisemas LIT de Tiempo Coiuo 9

8 iii.7 Fucioes Propias de Sisemas LIT de Tiempo Discreo 9.8 Sisemas Descrios por Ecuacioes Difereciales 9.8. Ecuacioes Difereciales Lieales co Coeficiees Cosaes Liealidad Causalidad Ivariabilidad e el Tiempo Respuesa al Impulso 96.9 Sisemas Descrios por Ecuacioes e Diferecias.9. Solució Homogéea de la Ecuació e Diferecias 4.9. La Solució Paricular Deermiació de la Respuesa al Impulso 9. Simulació de Sisemas.. Compoees Básicas: Sisemas de Tiempo Coiuo.. Diagramas de Simulació: Sisemas de Tiempo Coiuo 4..3 Compoees Básicas: Sisemas de Tiempo Discreo 6. Represeació Mediae Variables de Esado: Tiempo Coiuo.. Defiicioes.. Solució Geeral de la Ecuació de Esado..3 Solució de la Ecuació de Esado Mediae Iegració 5..4 Méodo de los Valores y Vecores Caracerísicos 7..5 Solució Mediae Diagoalizació de Marices Solució por Reducció a la Forma Caóica de Jorda 38 Problemas 47 CAPÍTULO TRES Iroducció 6 ANÁLISIS DE FOURIER (TIEMPO CONTINUO) 3. Respuesa de Sisemas LIT a Expoeciales Complejas 63

9 iv 3. Represeació de Señales Usado Series de Fourier Señales Periódicas y Combiacioes Lieales de Expoeciales Complejas Series de Fourier Codicioes para la Covergecia de las Series de Fourier Propiedades de las Series de Fourier Efecos de la Simería Liealidad Difereciació Teorema de la Poecia de Parseval Iegració e el Tiempo Maipulació de Señales Trasformadas de Fourier y Especros Coiuos La Trasformada de Fourier Covergecia de las Trasformadas de Fourier Ejemplos de Trasformadas de Fourier e Tiempo Coiuo La Trasformada de Señales Periódicas Los Coeficiees de la Serie de Fourier como Muesras de la Trasformada La Trasformada de Fourier de Señales Periódicas Propiedades Adicioales de la Trasformada de Fourier 3.6. Reardo e el Tiempo y Cambio de Escala 3.6. Difereciació e el Domiio del Tiempo Iegració e el Domiio del Tiempo Dualidad La Relació de Parseval La Propiedad de Covolució Las Fucioes Escaló y Sigo 3.8 Modulació Geeració de Oros Pares de Trasformadas 5

10 v 3. Desidad Especral de Poecia 7 Problemas CAPÍTULO CUATRO ANÁLISIS DE FOURIER (TIEMPO DISCRETO) 4. Iroducció Señales Periódicas Serie de Fourier Discrea Secuecias Periódicas Represeació e Serie de Fourier Discrea Covergecia de la Serie de Fourier Discrea PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER DISCRETA Periodicidad de los Coeficiees de Fourier Dualidad Oras Propiedades Secuecias Pares e Impares Teorema de Parseval La Trasformada de Fourier Discrea Trasformació de la Serie de Fourier Discrea e la Trasformada de Fourier Par de Trasformadas de Fourier Especros de Fourier Covergecia de X(Ω) Propiedades de la Trasformada de Fourier Periodicidad Liealidad 53

11 vi Desplazamieo o Corrimieo e el Tiempo Desplazamieo e Frecuecia Cojugació Iversió e el Tiempo Escalamieo e el Tiempo Dualidad Difereciació e Frecuecia Diferecias Acumulació Covolució Muliplicació o Modulació Propiedades Adicioales Relació de Parseval La Respuesa de Frecuecia de Sisemas LIT Discreos Sisemas LIT Caracerizados por Ecuacioes de Diferecias Nauraleza Periódica de la Respuesa de Frecuecia Respuesa del Sisema a Muesras de Siusoides de Tiempo Coiuo Respuesas del Sisema La Trasformada de Fourier Discrea Defiició Relació ere la TFD y la Serie de Fourier de Tiempo Discreo Relació ere la TFD y la Trasformada de Fourier Propiedades de la TFD 7 Problemas 76 CAPÍTULO CINCO LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE 5. Iroducció 8 5. Defiició de la Trasformada de Laplace 8

12 vii 5.3 Codicioes para la Exisecia de la Trasformada de Laplace Fucioes Seccioalmee Coiuas Regió de Covergecia de la Trasformada Teoremas de la Derivada y de la Iegral La Trasformada de Laplace Bilaeral La Fució Impulso El Teorema de la Derivada El Teorema de la Iegral Traslació Compleja El Problema de Iversió Iversió de Trasformadas Racioales (Fraccioes Parciales) Iversió de Fucioes Impropias Los Valores Iicial y Fial de f() a parir de F(s) El Teorema del Valor Iicial El Teorema del Valor Fial Teoremas Adicioales El Teorema de Traslació Real o de Desplazamieo El Teorema de Escala Derivadas de Trasformadas La Trasformada de ua Fució Periódica Aplicació de la Trasformada de Laplace a Ecuacioes Difereciales Ordiarias La Covolució Propiedades de la Iegral de Covolució 3 5. Ecuacioes Difereciales e Iegrales 3 5. Polos y Ceros de la Trasformada 37 Problemas 39

13 viii CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Iroducció La Trasformada Z Defiició La Regió de Covergecia de la Trasformada Z Propiedades de la Regió de Covergecia Trasformadas Z de Secuecias Imporaes Secuecia Impulso uiario δ[] Secuecia Escaló Uiario u[] Fucioes Siusoidales Tabla de Trasformadas Z Propiedades de la Trasformada Z Liealidad Desplazamieo (Corrimieo) e el Tiempo o Traslació Real Iversió e el Tiempo Muliplicació por z o Corrimieo e Frecuecia Muliplicació por (o Difereciació e el Domiio de z) Acumulació Covolució La Trasformada Z Iversa Fórmula de Iversió Uso de Tablas de Pares de Trasformadas Z Expasió e Series de Poecias Expasió e Fraccioes Parciales La Fució del Sisema: Sisemas LIT de Tiempo Discreo La Fució del Sisema Caracerizació de Sisemas LIT de Tiempo Discreo 359 Causalidad 359

14 ix Esabilidad 36 Sisemas Causales y Esables Fució del Sisema para Sisemas LIT Descrios por Ecuacioes de Diferecias Lieales co Coeficiees Cosaes Iercoexió de Sisemas La Trasformada Z Uilaeral Defiició Propiedades Básicas La Fució del Sisema Valores Iicial y Fial 367 Teorema del Valor Iicial 367 Teorema del Valor Fial La Trasformada de Laplace y la Trasformada Z 37 Pares Ordiarios de Trasformadas Z 37 Problemas 373 CAPÍTULO SIETE 7. Iroducció 379 MODULACIÓN DE AMPLITUD 7.. Necesidad de la Modulació 8 7. Tipos de Modulació Aalógica Trasmisió de Señales de Bada Base Aalógicas Disorsió de la Señal e la Trasmisió e la Bada Base Disorsió Lieal Compesació Disorsió No Lieal y Compasió Esquemas de Modulació Lieales OC Modulació de Bada Laeral Doble (DSB) 387

15 x 7.4. Modulació de Ampliud Ordiaria Ídice de Modulació Poecia y Acho de Bada de la Señal Trasmiida Demodulació de Señales AM Modulació de Bada Laeral Úica (SSB) Modulació de Bada Laeral Residal (VSB) Coversió de Frecuecias (Mezclado) Mulicaalizació por Divisió de Frecuecias 43 Problemas Referecias 45

16 CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció Los cocepos de señales y sisemas surge e ua gra variedad de campos y las ideas y écicas asociadas co esos cocepos juega u papel imporae e áreas a diversas de la ciecia y la ecología como las comuicacioes, la aeroáuica, sisemas de geeració y disribució de eergía, diseño de circuios, acúsica, ec. E ese capíulo iroducimos la idea básica sobre la descripció y represeació maemáica de señales y sisemas y sus clasificacioes. Tambié se defie varias señales básicas imporaes, especialmee sobre sisemas lieales, las cuales so eseciales para uesros esudios poseriores. El aálisis de u sisema lieal se facilia frecueemee uilizado u ipo específico de señales de exciació o ua deermiada represeació de señales. Por esa razó, es coveiee icluir el aálisis de señales y sus propiedades e u esudio de sisemas lieales. Además del aálisis os ieresa ambié la síesis de sisemas. De hecho, la síesis o diseño de sisemas cosiuye la pare creaiva de la igeiería. De aquí que para abordar el diseño de sisemas primero se debe apreder a aalizarlos. Ese exo esá orieado pricipalmee al aálisis de cieros ipos de sisemas lieales; si embargo, debido a que los ópicos de diseño y aálisis esá íimamee relacioados, ese esudio proporcioa las bases para u diseño elemeal. El aálisis de sisemas puede dividirse e res aspecos:. El desarrollo de u modelo maemáico apropiado para el problema físico bajo cosideració. Esa pare del aálisis se dedica a la obeció de ecuacioes diámicas, codicioes iiciales o de froera, valores de parámeros, ec. E ese proceso es dode el juicio, la experiecia y laa experimeació se combia para lograr el desarrollo de u modelo apropiado. E esa forma, ese primer aspeco es el más difícil de desarrollar formalmee.. Después de obeer u modelo apropiado, se resuelve las ecuacioes resulaes para ecorar solucioes de diversas formas. 3. Luego, la solució del modelo maemáico se relacioa o ierprea e fució del problema físico. Es coveiee que el desarrollo del modelo sea lo más exaco posible de maera que se pueda hacer ierpreacioes y prediccioes sigificaivas coceriees al sisema físico. No obsae, se debe señalar que mieras más exaco sea u modelo, mayor es la dificulad para obeer ua solució maemáica y ua realizació física.

17 . Señales y Clasificació de Señales Los érmios señales y sisemas, e la forma e que se usa geeralmee, iee diferees sigificados. E cosecuecia, cualquier ieo para dar ua defiició geeral precisa, o ua defiició e el coexo de la igeiería o sería muy producivo. Normalmee el sigificado de esos érmios se exrae del coeido del exo. Ua señal es ua fució de ua variedad de parámeros, uo de los cuales es usualmee el iempo, que represea ua caidad o variable física, y ípicamee coiee iformació o daos sobre la coduca o auraleza de u feómeo. Las señales puede describir ua variedad muy amplia de feómeos físicos. Auque las señales puede represearse e muchas formas, e odos los casos, la iformació e ua señal esá coeida e u paró que varía e algua maera. Por ejemplo, el mecaismo vocal humao produce soidos creado flucuacioes e la presió acúsica. Diferees soidos, usado u micrófoo para coverir la presió acúsica e ua señal elécrica, correspode a diferees paroes e las variacioes de la presió acúsica; el sisema vocal humao produce soidos ieligibles, geerado secuecias pariculares de esos paroes. Oros ejemplos so ua image moocromáica; e ese caso es imporae el paró de variacioes e el brillo y los diferees maices exisees ere los colores blaco y egro. Maemáicamee, ua señal se puede represear como ua fució de ua o más variables idepediees. Por ejemplo, ua señal de audio puede represearse mediae la presió acúsica e fució del iempo, y ua image como ua fució del brillo de dos variables espaciales. E esas oas sólo cosideraremos señales que ivolucra ua sola variable idepediee. Ua señal se deoará por x(). Por coveiecia, geeralmee os referiremos a la variable idepediee como el iempo, au cuado ella o represee al iempo e operacioes específicas. Por ejemplo, las señales que represea variacioes de caidades físicas co la profudidad, ales como la desidad, porosidad y resisividad elécrica, se usa e geofísica para esudiar la esrucura de la ierra. Tambié, el coocimieo de las variacioes e la presió del aire, la emperaura y la velocidad del vieo co la aliud so de exrema imporacia e ivesigacioes meeorológicas. Has dos ipos básicos de señales: señales e iempo coiuo o señales aalógicas y señales e iempo discreo o digiales. Ua señal x() es ua señal e iempo coiuo si la variable idepediee es ua variable coiua y, por ede, esas señales esá defiidas para u coiuo de valores de esa variable; es decir, el valor de x() es especificado e odo isae de u iervalo de iempo dado, ya sea mediae ua expresió maemáica o gráficamee por medio de ua curva; e oras palabras, la variable idepediee puede omar cualquier valor real. Si la variable idepediee es ua variable discrea, es decir, x() esá defiida e puos del iempo discreos, eoces x() es ua señal e iempo discreo, a meudo geerada por muesreo de ua señal de iempo coiuo. Como ua señal de iempo discreo esá defiida solamee e iempos discreos, co frecuecia se ideifica como ua secuecia de úmeros, deoada por {x } o x[], dode, para uesros propósios, es u eero. E la Fig.. se ilusra ua señal de iempo coiuo y ua de iempo discreo. La música proveiee de u disco compaco es ua señal aalógica, pero la iformació almaceada e el disco compaco esá e forma digial. Ésa debe procesarse y coverirse e forma aalógica aes de que pueda escucharse. Ua señal de iempo discreo x[] puede represear u feómeo para el cual la variable idepediee es ihereemee discrea. Por ejemplo, el promedio diario de los valores de cierre de la bolsa de valores es, por su auraleza, ua señal que evolucioa e puos discreos e el iempo (es decir, el cierre del día). Ua señal de iempo discreo, x[], ambié puede obeerse mediae el muesreo de ua señal de iempo coiuo x() para obeer los valores

18 3 x( ) x[] (a) (b) Figura.. Señales de iempo coiuo y de iempo discreo. o e ua forma abreviada como o x x x ( ), ( ),, ( ), x [], x [],, x [ ], x x x,,,, y a los valores x se les deomia muesras; el iervalo de iempo ere muesras se llama el iervalo de muesreo. Cuado esos iervalos so iguales (muesreo uiforme), eoces x x [ ] x [ T ] dode la cosae T s es el iervalo de muesreo. U disposiivo que coviera iformació aalógica a forma digial mediae cuaizació (redodeo) se deomia u coveridor aalógico-digial. Ua señal de iempo discreo co muesreo uiforme puede ser especificada de dos maeras:. Podemos especificar ua regla para calcular el -ésimo valor de la secuecia. Por ejemplo, o x[ ] x s { x },,,,,,,, 4. Podemos dar ua lisa explícia de los valores de la secuecia. Por ejemplo, la secuecia mosrada e la Fig..b puede escribirse como o { x } {,,,,3,3,,,,, } { x } {,3,3,,} Se usa la flecha para idicar el érmio correspodiee a =. Se usará la coveció de que si o aparece la flecha, eoces el primer érmio correspode a = y odos los valores so iguales a cero para <.

19 4 Ejemplo. Dada la señal e iempo coiuo especificada por x () Deermie la secuecia de iempo discreo resulae obeida mediae muesreo uiforme de x() co u iervalo de muesreo de (a).5 s; (b).5 s. Solució: Es más fácil resolver ese problema gráficamee. La señal x() se grafica e la Fig..a. Las Figs..b y c muesra gráficos de las secuecias de las muesras resulaes obeidas para los iervalos de muesreo especificados. x() x[) = x(/4) (a) (b) x[) = x(/) 4 4 (c) Figura.. Las señales para el Ejemplo. (a) T s =.5 s. De la Fig..b obeemos (b) T s =.5 s. De la Fig..c, obeemos x [ ] {,,.5,.5,.75,,.75,.5,.5,, } x [ ] {,,.5,,.5,, } Co frecuecia, se procesa señales para producir uevas señales para diferees propósios. A coiuació se da u ejemplo de cómo se geera uevas señales a parir de señales coocidas.

20 5 Ejemplo. Usado las señales de iempo discreo x [] y x [] mosradas e la Fig..3, represee cada ua de las siguiees señales mediae ua gráfica y mediae ua secuecia de úmeros. (a) y [ ] x [ ] x [ ] ; (b) y[ ] x[ ] ; (c) y3 [ ] x [ ] x [ ]. 3 x [] x [] Figura.3. Señales para el Ejemplo Solució: (a) y [] se dibuja e la Fig..4a. A parir ella obeemos y [ ] {,,,,3,4,3,,,,,, } (b) y [] se dibuja e la Fig..4b. De ella obeemos y [ ] {,,,4,6,,,4,4,, } (c) y 3 [] se dibuja e la Fig..4c. De ella obeemos y [ ] {,,,4,, } 3 y [] y [] y 3[] (a) (b) (c) Figura.4

21 6.3 Señales Periódicas y No-Periódicas Ua señal periódica de iempo coiua x() iee la propiedad de que exise u úmero posiivo T para el cual x x T para odo (.) x() T T Figura.5 E ese caso decimos que la señal x() es periódica co período T. E la Fig..5 se ilusra u ejemplo de esa clase de señales. Observe que ua señal periódica repie u mismo paró durae u iempo múliplo de T y coiúa haciédolo por iempo ifiio. De la figura se deduce que si x() es periódica co período T, eoces x( ) x( mt ) (.) para odo T y cualquier eero m. Por ello, x() ambié es periódica co período T, 3T,. El período fudameal T es el míimo valor de T para el cual se cumple la Ec. (.). Observe que esa defiició de T fucioa excepo cuado x() es ua cosae. E ese caso, el período fudameal o esá defiido pueso que x() es periódica para cualquier selecció de T (es decir, o hay u valor posiivo míimo). La Ec. (.) dice simplemee que si la señal se desplaza u úmero eero de períodos hacia la derecha o hacia la izquierda o cambia la forma de la oda. La frecuecia fudameal (cíclica) f es el recíproco del período fudameal, f = /T, y se mide e herz (ciclos por segudo). La frecuecia fudameal e radiaes por segudo es = f = /T. Fialmee, a ua señal que o exhiba periodicidad se le referirá como ua señal o periódica o aperiódica. Ejemplos coocidos de señales periódicas so las señales siusoidales; como ejemplo esá la señal dode x( ) Ase ( ) A = ampliud. ω = frecuecia agular (rad/s). = águlo de fase iicial co respeco al orige del iempo (rad). Observe que se[ ( T ) ] se( T ) se( )

22 7 si o T m Así que el período fudameal T de x() esá dado por T m, m u eero posiivo T Ejemplo 3. Sea x () y x () dos señales periódicas co períodos fudameales T y T, respecivamee. Cuáles so las codicioes para que la suma z() = x () + x () sea periódica y cuál es el período fudameal de z()? Solució: Pueso que x () y x () so periódicas co períodos fudameales T y T, respecivamee, se iee que Eoces, x ( ) x ( T ) x ( mt ), m u eero posiivo x ( ) x ( T ) x ( T ), u eero posiivo z( ) x ( mt ) x ( T ) Para que z() sea periódica co período T, se ecesia que y eoces se debe cumplir que o z( ) z T x ( T ) x ( T ) x ( mt ) x ( T ) T T mt T T (.3) úmero racioal (.4) m E oras palabras, la suma de dos señales periódicas es periódica solamee si la relació ere sus periodos respecivos es u úmero racioal. El período fudameal es eoces el míimo comú múliplo de T y T, y esá dado por la Ec. (.3) si los eeros m y so primos relaivos. Si la relació T /T es u úmero irracioal, eoces las señales x () y x () o iee u período comú y z() o puede ser periódica. Las señales periódicas de iempo discreo se defie e forma similar. Específicamee, ua señal de iempo discreo x[] es periódica co período N, si exise u eero posiivo N para el cual x x N para oda (.5)

23 8 E la Fig..6 se ilusra u ejemplo de ese ipo de señal. x[] Figura.6. Ua señal de iempo discreo periódica. El período fudameal N de x[] es el meor eero posiivo N para el cual se cumple la Ec. (.5). cualquier secuecia (señal de iempo discreo) que o sea periódica se cooce como ua secuecia operiódica (o aperiódica)..4 Señales de Poecia y de Eergía E muchas aplicacioes, o e odas, las señales que cosideraremos esá direcamee relacioadas co caidades físicas que represea poecia y eergía. Por ejemplo, si v() e i() so, respecivamee, el volaje y la corriee e u resisor de resisecia R, eoces la poecia isaáea p() viee dada por p( ) v( ) i( ) v ( ) Ri ( ) (.6) R La eergía oal disipada e el iervalo de iempo esá dada por y la poecia promedio e ese iervalo es (.7) p( ) d v ( ) d R i ( ) d R p( ) d v ( ) d R i ( ) d R (.8) E ua forma similar, la poecia disipada por fricció es p( ) bv ( ), dode v() es la velocidad, y podemos defiir la eergía y la poecia promedio e u iervalo de iempo dado e la misma forma que e las Ecs. (.7) y (.8). Se acosumbra usar ua ermiología parecida para cualquier señal, ya sea de iempo coiuo x() o de iempo discreo x[], ormalizado la eergía y la poecia promedio de ua señal arbiraria (e el caso de señales elécricas, eso se hace omado u valor de R = ). Adicioalmee, co frecuecia

24 9 será coveiee cosiderar señales de valores complejos. E ese caso, la eergía oal ormalizada e el iervalo se defie como x d (.9) La poecia promedio ormalizada se obiee dividiedo la Ec. (.9) por la logiud o duració del iervalo. E la misma forma, la eergía oal ormalizada para ua señal de iempo discreo x[] e el iervalo, se defie como x[ ] (.) y al dividir la Ec. (.) por el úmero de puos e el iervalo, ( ), se obiee la poecia promedio e ese iervalo. Adicioalmee, e muchos sisemas os ieresa examiar la poecia y la eergía de señales e u iervalo de iempo ifiio. E esos casos, defiimos la eergía oal ormalizada E como los límies de las Ecs. (.9) y (.) coforme el iervalo de iempo aumea idefiidamee. Para iempo coiuo, eemos y e iempo discreo, T E lím x ( ) d x ( ) d T T (.) N E lím x[ ] x[ ] (.) N N De la misma forma se puede defiir la poecia promedio ormalizada e u iervalo ifiio como para iempo coiuo y para iempo discreo. P T P lím x ( ) d T T (.3) T N lím x[ ] (.4) NN Co base e las defiicioes dadas por las Ecs. (.) a (.4), se puede defiir res clases imporaes de señales:. Se dice que x[] o x[] es ua señal de eergía si y sólo si < E < (eergía fiia). Ua señal de ese ipo debe eer ua poecia promedio igual a cero, ya que, e el caso de iempo coiuo, por ejemplo, de la Ec. (.3) vemos que N E P lím T T

25 . Se dice que ua señal x() o x[] es ua señal de poecia si y sólo si < P < (poecia promedio fiia). Eoces, si P >, por ecesidad E. Eso iee seido, ya que si se iee ua eergía promedio por uidad de iempo diferee de cero (es decir, poecia promedio diferee de cero), eoces iegrado o sumado e u iervalo de iempo ifiio produce ua caidad de eergía ifiia. 3. Las señales que o saisface igua de las dos propiedades aeriores se cooce, por supueso, como señales que o so i de eergía i de poecia. Se debe señalar las propiedades que coempla ua eergía ula. Es claro que si x() =, la eergía E es cero, pero lo corario o es esricamee ciero. Sólo es posible decir que si E =, eoces x() es igual a cero casi e odas pares. Desde u puo de visa puramee maemáico, la propiedad E = o defie ua sola señal sio ua clase de señales equivalees. E esas oas o cosideramos ese puo de visa, y odos los elemeos de esa clase de señales equivalees so cosiderados como ua sola señal. Por lo ao, ua señal de eergía ula es ambié cosiderada como ua señal igual a cero. Ejemplo 4. Si x() es ua señal periódica co período fudameal T, eoces la iegral e la Ec. (.3) iee el mismo valor para cualquier iervalo de logiud T. Tomado el límie e ua forma al que T sea u múliplo eero del período, es decir, T = mt, eoces la eergía oal e u iervalo de logiud T es m veces la eergía e u período. Como cosecuecia, la poecia promedio es T T P lím m x ( ) d x ( ) d m mt T Observe que ua señal periódica es de poecia si su coeido de eergía por período es fiio. EJEMPLO 5. Cosidere las señales e la Fig..7. Se quiere clasificar cada señal calculado la eergía y la poecia e cada caso. A x () Aexp( ) x () A T Figura.7. Señales de eergía y de poecia. Solució: La señal e la Fig..7a es aperiódica y su eergía oal es

26 la cual es fiia. La poecia promedio es E A exp( ) d A T A P lím A exp( ) d lím TT T T E cosecuecia, la señal e la Fig..7a es ua señal de eergía co ua eergía igual a A / y poecia promedio cero. La señal e la Fig..7b es periódica co período T. Su poecia promedio es T A P x () d A d A d T T T Así que x () es ua señal de poecia co eergía ifiia y poecia promedio igual a A T. Ejemplo 6. Cosidere las dos señales aperiódicas mosradas e la Fig..8. Esas dos señales so ejemplos de señales de eergía. x () A x () A Aexpa / / (a) (b) Figura.8. Ejemplos de señales de eergía. La fució pulso recagular rec(/) mosrada e la Fig..8a esá esricamee limiada e el iempo, ya que x () es igual a cero para fuera de la duració del pulso. La ora señal esá asióicamee limiada e el seido de que x() coforme. E cualquiera de los casos, la poecia promedio es igual a cero. La eergía para la señal x () es y para x () es T E lím x ( ) d A d A T T

27 T A A lím exp( ) lím [ exp( )] T T a a T E A a d at Pueso que E y E so fiias, las señales x () y x () so señales de eergía. Aquí se debe señalar que la eergía como la defie la Ec. (.) o la Ec. (.) o idica la eergía real de la señal a que la eergía de la señal depede o sólo de la señal sio ambié de la carga. La ierpreamos como la eergía ormalizada disipada e u resisor de ohmio si a ése se le aplicase u volaje x() o si por el pasase ua corriee x(). Observacioes similares aplica a la poecia de la señal defiida e la Ec. (.3) o e la Ec. (.4). Por lo plaeado, las ecuacioes para la eergía o la poecia o iee las dimesioes correcas. Las uidades depede de la auraleza de la señal. Por ejemplo, si x() es ua señal de volaje, eoces su eergía E iee uidades de V s (volios al cuadrado-segudos) y su poecia P iee uidades de V (volios al cuadrado).5 Trasformacioes de la Variable Idepediee E muchas ocasioes es imporae cosiderar aalíica y gráficamee señales relacioadas por ua modificació de la variable idepediee, mediae operacioes ales como desplazamieo o corrimieo e iversió. Por ejemplo, como se ilusra e la Fig..9, la señal x[] se obiee a parir de la señal x[] por ua reflexió o iversió e = (es decir, ua iversió de la señal). x[] x[ ] (a) (b) Figura.9. Iversió e iempo discreo. De igual forma, como se muesra e la Fig.., x() se obiee a parir de la señal x() por reflexió e =. Eoces, si x() represea ua señal de audio e u grabador de cia, la señal x() es la misma grabació reproducida e reversa. Esa operació se cooce como reflexió y es equivalee a doblar la señal (roació de 8º) e oro a la líea o simplemee a iercambiar el pasado y el fuuro de la señal de iempo. Observe que cualquier cosa que suceda e la Fig..(a) e el isae ambié ocurre e la Fig..(b) e el isae. Como esa operació sigifica iercambiar el pasado y el fuuro, es obvio que igú sisema físico puede ejecuarla.

28 3 x() x( ) (a) (b) Figura.. Iversió e iempo coiuo. Ora operació es la de desplazamieo. La señal x( ) represea ua versió desplazada de x(), Fig... El desplazamieo e el iempo es, dode es u úmero real. Si >, eoces la señal es rerasada e uidades de iempo. Físicamee, o puede omar valores egaivos, pero desde u puo de visa aalíico, x( ), <, represea ua réplica adelaada de la señal x(). Las señales que esá relacioadas e esa forma ( > ) surge e aplicacioes ales como el radar, soar, sisemas de comuicació y procesamieo de señales sísmicas. U sisema cuya señal de salida es idéica a la de su erada pero rerasada por ua cosae se deomia ua uidad de reardo. Por ora pare, si la señal de salida es idéica a la de erada pero avazada por ua cosae, el sisema se deomia u predicor. Si embargo, u sisema que prediga (adivie) es físicamee imposible de cosruir. x() x( ) + (a) (b) Figura.. Desplazamieo de ua señal de iempo coiuo. Ejemplo 7. Cosidere la señal x() mosrada e la Fig... Se desea graficar x( ) y x( + 3). x() 3 Figura. Solució: Es fácil verificar que

29 4 x() 3 3 oros valores de Para realizar la operació de desplazamieo, se reemplaza por e la expresió para x(): o, equivaleemee, ( ) x( ) ( ) 3 3 oros valores de 4 x ( ) oros valores de x( ) x(+3) (a) (b) Figura.3 La señal x() se grafica e la Fig..3a y puede describirse como la fució x() desplazada dos uidades hacia la derecha. E la misma forma se puede demosrar que x( 3) oros valores de Esa úlima señal se grafica e la Fig..3b y represea ua versió de x() desplazada res uidades hacia la izquierda.

30 5 Ejemplo 8. Se desea dibujar x() y x(3 ) si x() es como se muesra e la Fig..4. x() Figura.4 Solució: La señal x() se puede escribir como Reemplazado ahora por, se obiee x( ) oros valores de x( ) oros valores de oros valores de La señal x() se muesra e la Fig..5a. x( ) x(3 ) (a) 3 4 (b) Figura.5 E la misma forma se puede demosrar que x(3 ) 3 oros valores de y x(3 ) es como se muesra e la Fig..5b. La figura es primero reflejada y luego rasladada. Ese resulado se obiee escribiedo la operació complea como

31 6 x(3 ) x 3 Observe que si primero desplazamos la señal y luego reflejamos la señal desplazada, se obiee como resulado la señal x( 3) (Fig..6). De lo aerior se deduce que las operacioes de iversió y desplazamieo o so comuaivas. No obsae, ua señal puede ser iverida y reardada simuláeamee. Las operacioes so equivalees a reemplazar o por + o. Para ver eso, cosideramos ua señal de iempo coiuo x() que se desea iverir y rasladar por uidades de iempo. Para producir la señal iverida reemplazamos por e x(), lo que resula e x( ). La señal iverida x( ) es eoces rerasada por uidades para obeer x[ ( )] x( ), como se afirmó. x( 3) Figura.6.6 Escalamieo e el Tiempo La operació de compresió o expasió e el iempo se cooce como escalamieo e el iempo. Cosidere, por ejemplo, las señales x(), x(3) y x(/), mosradas e la Fig..7. Como se puede ver, x(3) puede describirse como x() comprimida por u facor de 3. E forma similar, x(/) puede describirse como expadida por u facor de. Se dice que ambas fucioes, x(3) y x(/), so versioes de x() escaladas e el iempo. E geeral, si la variable idepediee es escalada por u parámero, eoces x() es ua versió comprimida de x() si y es ua versió expadida de x() si. Si cosideramos a x() como si fuese la señal de salida de u grabador de video, por ejemplo, eoces x(3) se obiee cuado la grabació se reproduce a res veces la velocidad co la cual fue grabada, y x(/) se obiee cuado la grabació se reproduce a la miad de esa velocidad. Tambié se puede decir, por ejemplo, que lo que le pase a x() e el isae, ambié le sucederá a x(/) e el isae /. A x() x(3) x(/) A A /3 /3 Figura.7. Ejemplos de escalamieo e el iempo.