Capitulo II. II.2 Teoría de curvatura. Universidad de Cantabria Departamento de Ing. Estructural y Mecánica
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- Eugenia Benítez Piñeiro
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1 Capiulo II II.2 Teoría de curvaura 1
2 Capiulo II Movimieo Plao II.1 Aspecos geerales del movimieo plao. II.2 Teoría de la curvaura. 1. Teorema de Harma. 2. Euler-Savary. 3. Circuferecia de iflexioes y circuferecia de Bresse. 4. Cosruccioes gráficas. 5. Teorema de Bobillier y cosrucció de Arohold. 6. Geeralizació de la fórmula de Euler-Savary. 7. Aplicacioes de la fórmula de Euler-Savary. II.3 Esudio del mecaismo cuadriláero ariculado. 2
3 Capiulo II: Tema 2 Teoría de curvaura 1. Teorema de Harma. 1. Aspecos previos del Teorema de Harma. 2. Euciado y demosració del Teorema de Harma. 2. Euler-Savary. 1. Fórmula de Euler-Savary. 2. Crierio de sigos. 3. Circuferecia de iflexioes y circuferecia de Bresse. 1. Circuferecia de las iflexioes. 2. Circuferecia de Bresse y polo de aceleracioes. 4. Cosruccioes gráficas. 1. Cosrucció gráfica Cosrucció gráfica Teorema de Bobillier y cosrucció de Arohold. 1. Teorema de Bobillier. 2. Teorema de Arohold. 6. Geeralizació de la fórmula de Euler-Savary. 1. Iroducció. Perfiles cojugados. 2. Euler-Savary geeralizado. 3. Fórmula de E-S geeralizado. 7. Aplicacioes de la fórmula de Euler-Savary. 3
4 Capíulo II: Tema 2 1. Teorema de Harma. 1. Aspecos previos del Teorema de Harma. 2. Euciado y demosració del Teorema de Harma. 4
5 Aspecos previos del eorema de Harma E ese aparado vamos a esudiar el eorema de Harma que os permiirá obeer la relació ere u puo del plao móvil, el polo de dicho plao móvil y el cero de curvaura de la rayecoria recorrida por el puo. Pero aes iroducimos e el eorema de Harma exise alguas cuesioes prelimiares que os ayudará a eeder dicho eorema. E esa iroducció al eorema de Harma vamos a cosiderar 3 plaos e el movimieo: El plao fijo (0). El plao móvil (1) que coiee el puo A el cual recorre la rayecoria m sobre el plao fijo (0). El plao móvil (2) compueso por la ormal () y la agee () a la rayecoria y que iee u puo de coicidecia co el plao (1) que es el puo A. 5
6 Aspecos previos del eorema de Harma El plao fijo (0) El plao móvil (1) El plao móvil (2) m A (2) (0) (1) 6
7 Aspecos previos del eorema de Harma Movimieo del plao 1 sobre el plao 0 Codició: : que el puo A del plao 1 recorra la rayecoria m del plao 0. A coiuació se muesra dos casos y se compara. 7
8 Aspecos previos del eorema de Harma A V A A V A m m P 10 P 10 ω 1 ω = 0 (1) (1) (0) (0) 8
9 Aspecos previos del eorema de Harma Movimieo del plao 1 sobre el plao 0: 1. La codició de que u solo puo, el A, recorra la rayecoria m o codicioa compleamee el movimieo del plao 1 sobre el cero, ya que puede darse ifiios desplazamieos ere posicioes cumpliedo co esa codició. 2. Por ao, la posició del polo P 10 o esá defiida. Si embargo, sí coocemos la direcció e la que se ecuera ese polo, ya que debe esar siuado e la ormal a la rayecoria. La codició de que el puo A recorra la rayecoria defie la direcció de la ormal. 9
10 Aspecos previos del eorema de Harma Movimieo del plao 2 sobre el plao 0 Codicioes: 1. El puo de core ere agee y ormal debe coicidir co el movimieo del puo A. 2. La reca debe ser siempre agee a la rayecoria y la reca debe ser ormal a la misma. 10
11 Aspecos previos del eorema de Harma m (2) (0) 11
12 Aspecos previos del eorema de Harma m (2) (0) 12
13 Aspecos previos del eorema de Harma Movimieo del plao 2 sobre el plao 0: E ese caso, la codició de ormal y agee a la rayecoria resrige compleamee el movimieo y, por ao, la posició del plao 2 co respeco al plao 0 es coocida e cualquier isae. Al esar compleamee resrigido el movimieo la posició del polo P 20 ambié lo esá. 13
14 Aspecos previos del eorema de Harma ds (2) (2) P 20 = cdc 14
15 (2) Uiversidad de Caabria Aspecos previos del eorema de Harma m P 20 1 (0) 15
16 Aspecos previos del eorema de Harma m P 20 2 (2) (0) 16
17 Aspecos previos del eorema de Harma m P 20 3 (2) (0) 17
18 Aspecos previos del eorema de Harma m P 20 4 (2) (0) 18
19 Aspecos previos del eorema de Harma m P 20 5 (2) (0) 19
20 Aspecos previos del eorema de Harma Rulea m P 20 6 (2) Base (0) 20
21 Aspecos previos del eorema de Harma Coclusioes sobre el movimieo del plao 2 sobre el plao 0: El movimieo esá perfecamee defiido. El polo P 20 puede deermiarse como iersecció de dos recas ormales separadas por u ds. El polo P 20 es a la vez el cero de curvaura de la rayecoria para esa posició. La base del movimieo del plao 2 sobre el plao 0 coicide co la evolua de la rayecoria. 21
22 Aspecos previos del eorema de Harma Movimieo de los res plaos. Ahora hacemos coicidir el movimieo de los res plaos: el plao fijo (1), el móvil (1) y el móvil (2). Durae el movimieo se maedrá las codicioes aeriormee ciadas y además el puo de core de las recas y coicidirá co el puo A. La úlima de esas codicioes implica que el polo del movimieo del plao 1 co respeco al (2) coicide co el puo A, ya que iee que eer las misma velocidad e el plao (1) y (2). 22
23 Aspecos previos del eorema de Harma A P 21 3 P 10 3 m P 20 3 (2) (1) (0) 23
24 Aspecos previos del eorema de Harma Coclusioes geerales: Como puede observarse, los res polos: P 10, P 12 y P 20 esá permaeemee alieados (lo que esá de acuerdo co el eorema de Arohold). Co los daos del problema, de los res polos se cooce la posició exaca de dos de ellos (P 21, P 20 ) y la direcció e la que se ecuera el ercero (P 10 ). Además, el cero de curvaura de la rayecoria que recorre u puo A es el polo del plao asociado a la ormal y agee a la rayecoria e la que se mueve dicho puo. La evolua de la rayecoria es la base del movimieo del plao (2) co respeco al plao (0). 24
25 Euciado y demosració del Teorema de Harma Euciado del eorema de Harma: El exremo del vecor velocidad de u puo, el cero de curvaura de la rayecoria y la compoee paralela a la velocidad del puo del vecor velocidad de cambio de polo, esá alieados. Para demosrar ese eorema veremos dos demosracioes: A y B. La primera de ellas, la A, es ua demosració más iuiiva y la seguda, la B, más maemáica. cdc P u A 25
26 Euciado y demosració del Teorema de Harma Demosració A V A A V B V C B C P 26
27 Euciado y demosració del Teorema de Harma V A perp A V B V Brel V BBarra V C perp B C P 27
28 Euciado y demosració del Teorema de Harma A P u cdc 28
29 Euciado y demosració del Teorema de Harma p A V A A V A r 1 ρ O 1 Ψ ω A p (1) p P Ψ u p P u (0) C C p r 0 O 0 29
30 Capíulo II: Tema 2 2. Euler-Savary. 1. Fórmula de Euler-Savary. 2. Crierio de sigos. 30
31 Fórmula de Euler-Savary (E-S) p O 1 V O1 r 1 (1) ω p P u p (0) 1 r o + 1 r 1 ω = = ce u O 0 p r 0 31
32 Fórmula de Euler-Savary (E-S) p A V A O 1 V O1 r 1 (1) ω p P ϕ u u p 1 PA + 1 CP seφ = 1 r o + 1 r 1 ω = = ce u (0) C r 0 O 0 p 32
33 Capíulo II: Tema 2 3. Circuferecia de iflexioes y circuferecia de Bresse. 1. Circuferecia de las iflexioes. 2. Circuferecia de Bresse y polo de aceleracioes. 33
34 Circuferecia de las iflexioes (circuf circuf. de I Hire) Defiició: : los puos del plao móvil (1) que o iee aceleració ormal por esar e u puo de iflexió de la rayecoria (curvaura ). r = δseφ A ϕ A r P δ ω u w δ PA 2 = WA CA ϕ P ω u C 34
35 Circuferecia de Bresse. Polo de aceleracioes Defiició: : Es el lugar geomérico de los puos del plao móvil que iee aceleració agecial ula. Q r b A p P ψ u A r = bcosψ 35
36 Capíulo II: Tema 2 4. Cosruccioes gráficas. 1. Cosrucció gráfica Cosrucció gráfica 2. 36
37 Cosrucció gráfica 1 Euciado: Dada la circuferecia de las iflexioes y coocido el polo, calcular el cdc de la rayecoria del puo A: P A 37
38 Cosrucció gráfica 1 A PA = WA CA = PA DA BA DA BA PA = WA CA PA P W B PA 2 = WA CA C D 38
39 Cosrucció gráfica 2 Euciado: Hallar res puos de la circuferecia de las iflexioes, coocidos dos puos (A y B) y sus respecivos ceros de curvauras (O A y O B ). A O B O A B 39
40 Cosrucció gráfica 2 Coocidos res puos de la circuferecia de las iflexioes se puede obeer dicha circuferecia. H A W A W B P B Eje de colieació (EC AB ) Q O B O A 40
41 Cosrucció gráfica 2 A W B A P B H W A P W B Eje de colieació (ECAB ) Q O B O A C D 41
42 Capíulo II: Tema 2 5. Teorema de Bobillier y cosrucció de Arohold. 1. Teorema de Bobillier. 2. Teorema de Arohold. 42
43 Teorema de Bobillier La bisecriz del águlo que forma las ormales a la rayecoria de dos puos coicide co la bisecriz del águlo que forma la direcció de la velocidad de cambio de polo (o agee polar) y el eje de colieació. 43
44 Teorema de Bobillier B A O A O B 44
45 Teorema de Bobillier P EC AB β B β A W B Q O A O B p Bisecriz β W A 45
46 Cosrucció de Arohold Euciado: Dados dos puos, A y B, y sus respecivos ceros de curvaura, OA y OB, se desea hallar el cero de curvaura de u ercer puo C del mismo plao móvil. A O A O B B C P 46
47 Cosrucció de Arohold C A B p Q AC Q AB EC AB EC AC O A α O B α β O C β P 47
48 Capíulo II: Tema 2 6. Geeralizació de la fórmula de Euler-Savary. 1. Iroducció. Perfiles cojugados. 2. Euler-Savary geeralizado. 3. Fórmula de E-S geeralizado. 48
49 Iroducció.. Perfiles cojugados Hasa ahora hemos cosiderado que la base es ua curva fija (uesro sisema de referecia). Eso implica que e el polo P exisa 3 puos: A P 0 : puo del plao fijo (Base) y por ao de velocidad ula. ω Rulea (1) P 1 : puo del plao móvil (rulea) y velocidad ula por codició de polo. p P 1 P P P 0 u p Base (0) = Fija P: puo maemáico que represea las sucesivas posicioes del polo sobre el plao fijo. Sus velocidad u, se deomia velocidad de cambio de polo. C 49
50 Iroducció.. Perfiles cojugados Ahora cosideramos u plao fijo (0) y oro móvil (1) e el que eemos e odo isae ua agee e comú. Pero a diferecia del caso aerior e el coaco exise rodadura y deslizamieo. Posició 1 Perfil (0) Evolvee (0) Posició 2 Perfil (0) Evolvee: se dice que ua curva e u plao fijo es la evolvee de ora curva e el plao móvil (deomiada perfil) si e odo isae iee ua agee e comú. A ambas curvas (perfil y evolvee) se las deomia perfiles cojugados. 50
51 Iroducció.. Perfiles cojugados E el puo H de uevo exise res puos: H 0 : Pereeciee a la evolvee (plao fijo) y de velocidad ula. H 1 : Pereeciee al perfil (1) y de velocidad la velocidad de deslizamieo del perfil sobre la evolvee (V Hdes ). H: Puo maemáico de coaco. Su velocidad es disia de cero. Perfil (0) Posició 1 H V Hdes El polo del movimieo relaivo de ua curva y su evolvee esá siuado sobre la ormal a la agee e el puo de coaco (H), ya que la velocidad de H 1 debe esar e la direcció de la agee (de lo corario el perfil peera o se aleja de la evolvee). Evolvee (0) P 10 51
52 Euler-Savary Geeralizado De forma similar a como se realizó e el eorema de Harma vamos a cosiderar 3 plaos e el movimieo: El plao (0): es el plao fijo y e el se ecuera siuados ao la evolvee como la base. El plao (1): es el plao móvil al que pereece la rulea, el perfil y el puo A. El plao (2): que es el segudo plao móvil compueso por la ormal () y la agee () al perfil y la evolvee e el puo de coaco ere ambas curvas. A coiuació se seguirá los pasos siguiees: Localizació de los 3 polos del movimieo relaivo. Velocidades de cambio de polo e los res casos. Bases y ruleas e los movimieos relaivos. 52
53 V A (2) Perfil (1) A (2) (2) Evolvee (0) P 10 : como se ha explicado aeriormee ese polo debe esar siuado sobre la reca ormal e el puo de coaco ere perfil y evolvee. Supoemos su localizació así como las curvas Base y Rulea. p (2) ϕ ω P 10 u 10 Rulea (1) p Base (0) = Fija La velocidad de cambio de polo u 10 debe esar sobre la agee polar. 53
54 V A (2) Perfil (1) A (2) P 20 : Como se ha demosrado (eorema de Harma) u plao móvil formado por agee y ormal a ua rayecoria iee su polo e el cero de curvaura de la rayecoria. E ese caso la rayecoria es la superficie de la curva evolvee. p (2) ϕ ω P 10 u 10 Rulea (1) p (2) Evolvee (0) Además, la base del movimieo 20 será la evolua de la evolvee y por ao la velocidad de cambio de polo u 20 edrá la direcció de la reca ormal. u 20 Base (0) = Fija Evolua de la evolvee (2) P 20 54
55 V A Evolua del perfil (1) (2) P 21 : Si iverimos el movimieo y la curva fija es el perfil y la móvil la evolvee, siedo el perfil la rayecoria descria por el puo de core ere ormal y agee. Por la misma razó que e el caso aerior el polo P 21 debe esar siuado e el cdc del perfil. Perfil (1) (2) u 21 (2) u 21 rel A = P 21 (2) Evolvee (0) Además, igual que aes, la base del movimieo relaivo 21 será la evolua del perfil y la velocidad de cambio de polo u 21 será agee a esa curva. Si embargo, esa velocidad será relaiva, es decir u 21 rel, ya que es la velocidad que observa el observador siuado sobre el perfil. p ϕ ω P 10 u 10 Rulea (1) p Base (0) = Fija Para obeer la velocidad de cambio de polo oal es ecesario compoerla co la velocidad del puo V A. Evolua de la evolvee (2) P 20 55
56 V A Evolua del perfil (1) (2) Como puede observarse, P 20, P 21 y P 10 so res puos que se mueve permaeemee alieados. Perfil (1) (2) u 21 u21 rel A = P 21 Por ao, como se demosró aeriormee, se debe cumplir que los exremos de la compoees de la velocidad perpediculares a la reca que ue los res puos debe esar alieadas. ϕ (2) ω Rulea (1) (2) Evolvee (0) Coclusió: : p u P 10 p Si los res puos esá permaeemee alieados se puede aplicar el eorema de Harma y la fórmula de Euler-Savary. E ese caso se deomia a la fórmula: Euler- Savary geeralizado: Base (0) = Fija P 20 1 P se = P10A φ ce P 20 Evolua de la evolvee (2) 56
57 Fórmula de E-S Geeralizado E-S Esádar E-S Geeralizado A Perfil A 1 Evolvee P u ϕ Rulea p P p C 1 PA 1 + seφ = ce CP 1 A0P A 0 Base 1 + se = ce PA φ 1 A 0 : cdc de la evolvee. A 1 : cdc del perfil. P: Polo ere el plao del perfil y la evolvee. 57
Capitulo II. Capitulo II
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