CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADISTICA INFERENCIAL

Transcripción

1 CONCEPTO BÁCO DE ETADTCA NFERENCAL

2 Població N Muesra Parámeros Esadísico µ Esimador dividuo Cada parámero poblacioal le correspoderá u esadísico de la muesra que cosiuirá ua esimació del primero. Defiició U esimador es ua regla a meudo expresada como ua formula que idica como calcular el valor de ua esimació co base e las medicioes coeidas e ua muesra. TEOREMA DEL LÍMTE CENTRAL Cuado se seleccioa muesras aleaorias simples de amaño de ua població la disribució muesral de la media muesral puede aproximarse mediae ua disribució ormal a medida que el amaño de la muesra se hace grade.

3

4 Cosideremos ua caja co arjeas cada ua co u úmero. upoemos que la població iee μ 0 y 4. Exraemos muesras de amaño 9 (co reemplazamieo): Muesra i): Muesra ii): Tras ua serie de 0 muesras obeemos y Teorema del límie ceral se puede esablecer que ormal. seguirá ua disribució asióicamee

5 Esimació puual de parámeros La esimació de parámeros Cómo se puede realizar la esimació de las caracerísicas de ua població a parir del esudio de ua muesra aleaoria exraída de la misma. Queremos dispoer de u bue esimador e el seido de que proporcioe ua esimació lo más precisa posible del parámero poblacioal. Esimadores bueos y malos méodo de la máxima verosimiliud. Ua esimació puual es el valor cocreo que oma el esimador puual e ua muesra e paricular Propiedades que defie u bue esimador Diremos que u esimador A de u parámero poblacioal es isesgado o cerado si su media o esperaza maemáica coicide co el parámero poblacioal. Es decir E ( A) µ A La media ariméica es u esimador isesgado de la media de ua població. es u esimador isesgado de la variaza.

6 i se iee dos esimadores A A de u parámero poblacioal se dice que A es más eficiee que A si su variaza es meor. Es decir < A Eficiee A Para la esimació de la media poblacioal los esimadores media ariméica isesgados pero la media es más eficiee que la mediaa (su variaza es meor). y mediaa M e so e dice que u esimador es cosisee cuado al crecer el amaño muesral se aproxima asióicamee al valor del parámero poblacioal y su variaza se hace ula. Es decir lim A ; lim A 0 Cosisee La media ariméica (por ejemplo) es u esimador cosisee pues la variaza de su disribució muesral se puede expresar por. Bodad de u esimador puual Disacia ere u esimador y su parámero ε A ˆ A U esimador ideal ha de ser isesgado y co ua eficacia máxima

7 E ( ) es u esimador isesgado para El valor esperado de la variaza muesral es la variaza poblacioal Valores esperados y errores esádar de alguos esimadores puuales comues A Â Â

8 Esimació por iervalos de cofiaza Geeralmee ua esimació puual o proporcioa u valor exaco del parámero poblacioal a deermiar. E la mayoría de los casos o edremos iformació sobre la precisió de al esimació de forma que su valor úico o os iforma sobre la probabilidad de que se ecuere cerca o lejos del valor verdadero. E vez de calcular u úico esimador se deermia dos esimadores que será los límies iferior ( L ) y superior ( L ) (o límies de cofiaza) de u iervalo de cofiaza [ L L ]. A esa pareja de valores se le llama esimador por iervalo. L ( ) ; L f ( ). f Al valor cocreo que oma el iervalo aleaorio e ua muesra e paricular se le llama esimació por iervalo. El ivel de cofiaza es la probabilidad de que a priori el verdadero valor del parámero quede coeido e el iervalo.

9 Probabilidad de que el iervalo aleaorio cubra el verdadero valor del parámero poblacioal β P ( < β < ) L L se le llama ivel de cofiaza Es la probabilidad de seleccioar ua muesra cocrea que coduzca a u iervalo que coega al parámero poblacioal [ ] L L ( ) 00% ervalo de cofiaza del.

10 ervalos de cofiaza para la media upogamos e primer lugar que la població e esudio sigue ua disribució ormal esimador puual de la media poblacioal µ se usa la media muesral. N( µ ) y que como Variaza poblacioal coocida: i la població es ormal la media muesral sigue ua disribució ormal El iervalo de cofiaza del P El iervalo de cofiaza de ivel coocida es ( ) 00% para la media z < µ < z ( ) ± z µ µ y variaza para la media de ua disribució ormal de variaza. µ Z válido para u població ifiia o e u muesreo co reemplazamieo i el muesreo es si reemplazamieo e ua població fiia de amaño N ± z N. N

11 E cualquier libro de esadísica esas ablas se ecuera al fial de los mismos. Para uesros ejemplos he omado ua foografía de la regió de ierés.

12 Ejercicio: Cosideremos ua caja co arjeas cada ua co u umero. upoemos que la població iee µ0 y 4. Calcule el iervalo de cofiaza para la media de las dos primeras muesras (usar ivel de cofiaza de 0.95) Muesra i): z z ± z ±.96 ± 9 [ 9.9.6] 9.9 [ 6.4 ±.] Muesra ii): ±.96 ± 9 [ 9.3.6] [ 6.7.9] De cada 00 muesras e el 95% de ellas el iervalo de cofiaza así calculado icluiría al valor real.

13 Variaza poblacioal descoocida y 30 > Cuado la muesra es grade la desviació ípica muesral suele ser u esimador muy preciso de µ < < z z P. ± z Variaza poblacioal descoocida y 30 < Cuado las muesras so pequeñas la variaza muesral puede variar cosiderablemee de muesra a muesra por lo que la aproximació aerior o se cosidera válida. E esos casos el iervalo cofiaza se puede cosruir recordado que la variable sigue ua disribució de ude co grados de liberad. µ < < z P El iervalo de cofiaza de ivel para la media de ua disribució ormal de variaza coocida y muesra pequeña es ( ) ± es la abscisa de la disribució que deja a su derecha u área igual. ( ) N x x s s k i i

14 0 ( ) f β E cualquier libro de esadísica esas ablas se ecuera al fial de los mismos. Para uesros ejemplos he omado ua foografía de la regió de ierés.

15 Ejercicio : Calcular los iervalos de cofiaza para la media e el ejemplo aerior supoiedo que la variaza es descoocida. Muesra i): s s k ( x x) i i 9 ( ) N ±.306 i x i x ± [ 9.9 ±.9] 9 lo que os coduce a u iervalo mayor que e el ejemplo aerior (7.0.8) lo cual es lógico porque hemos iroducido ua ueva fuee de iceridumbre al haber eido que esimar la variaza (al o ser ahora coocida). Muesra ii): que ambié es u iervalo mayor (5.53.). [ 9.3 ± 3.8]

16 E virud del eorema del límie ceral la disribució muesral de la media iede asióicamee a la ormal cualquiera que sea la població de parida. Para muesras grades de cualquier població el iervalo de cofiaza para la media es aproximadamee ± z dode se ha supueso que es u bue esimador de si la muesra es grade

17 ervalos de cofiaza para la diferecia de medias upogamos que se iee dos poblacioes ormales N y N ( µ ) ( ) µ Vamos a esudiar cómo se puede deermiar u iervalo de cofiaza para la diferecia de medias µ µ a parir de muesras aleaorias idepediees de amaños y exraídas de cada població respecivamee. Variazas poblacioales y coocidas: Hemos viso que u bue esimador puual para la diferecia de medias es la diferecia de medias muesrales. P ( ) z < µ µ < ( ) z ( ) El iervalo de cofiaza de ivel ormales de variazas coocidas es para la para la diferecia de medias de dos disribucioes ( ) ± z.

18 Ejemplo: Deermiar el iervalo de cofiaza para la diferecia de medias de las dos primeras muesras del Ejemplo. upoer la variaza poblacioal coocida. Muesra i): Muesra ii): ( ) ± z. z ( ) ±.96. [ 0.6 ± 3.7]. 9 9 El iervalo de cofiaza es (3.4.3).

19 Variazas poblacioales y descoocidas y (co ) 30 > Geeralmee o se coocerá a priori los valores de las variazas poblacioales. i embargo cuado las muesras so grades ya se ha viso como las variazas muesrales so geeralmee ua buea aproximació a las variazas poblacioales. El iervalo de cofiaza ( ) ( ) µ µ < < z z P ( ). ± z P Variazas poblacioales y descoocidas y (muesras pequeñas ) ( ) ( ) µ µ < < P p p El iervalo de cofiaza de ivel para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales de variazas descoocidas pero iguales es ( ) ( ). ± p represea ua esimació puual de la variaza comú calculádose como ua media poderada co el úmero de grados de liberad de las dos variazas observadas p ( ) ( ) p ( ). ± z

20 Variazas poblacioales y descoocidas y (muesras pequeñas ) ( ) ( ) µ µ < < P f f ( ) ( ) µ µ. f El iervalo de cofiaza de ivel para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales de variazas descoocidas s es ( ) ( ). ± f Para calcular los iervalos de cofiaza aeriores se ha supueso que las poblacioes de parida so ormales. Como cosecuecia del eorema del límie ceral para cualesquiera disribucioes de parida la disribució muesral de la diferecia de medias puede aproximarse por ua ormal siempre que el amaño de las muesras sea suficieemee grade.

21 Calcular el iervalo de cofiaza para la diferecia de medias e dos méodos disios empleado por Michelso para deermiar la velocidad de la luz (expresamos la velocidad como c x km/s). Méodo i): ; 8 Méodo ii): ; Teemos < 30. upodremos ( ) ( ) p ( 8 ) 99. ( ) 33.5 p. 3 p 8 Por oro lado si usamos 0.05 eemos (ablas). El iervalo será eoces ( ) ±. ( ) p 908 ± 8 [ 5 ±6]. El iervalo de cofiaza soliciado es eoces (3668) km/s (99000).

22 Variazas poblacioales y descoocidas y (co ) 30 < e puede demosrar que la variable aerior sigue aproximadamee ua disribució de ude co f grados de liberad dode f es el eero más próximo a la aproximació de Welch ( ) ( ) µ µ f El iervalo de cofiaza de ivel para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales de variazas descoocidas es ( ) ( ) ± f Muesras pequeñas

23 Ejemplo: Repeir el ejemplo aerior supoiedo ahora que f f ( ) ± f ( ) ± El iervalo de cofiaza es ahora (436) km/s (99000). Tabla

24 ervalos de cofiaza para daos apareados E los aparados aeriores siempre que se ha rabajado co dos poblacioes se ha supueso que ésas era idepediees. Vamos a supoer ahora que se iee dos poblacioes ormales N( µ ) y N( µ ) de las que se exrae dos muesras que o so idepediees. Cosideraremos la siuació e la cual las muesras o se exrae de forma idepediee de cada població sio que cada muesra cosise e la medida de ua caracerísica e los mismos elemeos de ua població. Por ejemplo supogamos que sobre los elemeos de ua muesra se mide ciera variable después se aplica u deermiado raamieo a la muesra y sobre los mismos elemeos se vuelve a medir la misma variable (ej. Temperaura aes y después de aplicar u raamieo) A ese ipo de experimeos se le llama de observacioes pareadas. El objeivo e ese caso es calcular u iervalo de cofiaza para la diferecia de medias µ µ e dichas muesras. Para ello se cosidera las diferecias d x ere los valores de las variables i xi ( i ) e cada uo de los elemeos de la muesra. Para plaear el problema se asume que esas diferecias so los valores de ua ueva variable aleaoria D. d ( xi x ) d i i i d i ( d i d ). P D z D < < D z µ µ D

25 iervalo de cofiaza de ivel puede expresarse como ( ) > 30 para la diferecia de medias de observacioes pareadas co D ± z D. < 30 D ± D.

26 e aplica u proceso para aumear el redimieo e 0 fabricas muy diferees (o dejar omarse el bocadillo a media mañaa). Los redimieos (e cieras uidades como oeladas/día) aes y después so: Calcular el iervalo de cofiaza para el aumeo del redimieo. Aes : Después: Calcular el iervalo de cofiaza para el aumeo del redimieo. i defiimos las diferecias como D D i ( i ) d xi xi D D i i ( D ) i i D D D 3.08 Como el umero de daos es meor que 30 usamos (ablas). D D ± ±.6 0 [ 0.8 ±.] es decir (.43.0).

27 Deermiació del amaño de la muesra Hasa ahora siempre se ha supueso coocido el amaño de la muesra. E el diseño de experimeos e ocasioes el problema pricipal es la deermiació del amaño muesral requerido para obeer la esimació de los parámeros poblacioales co ua deermiada precisió. El iervalo de cofiaza vedrá eoces dado por ± z Logiud l del iervalo es l z. Es iversamee proporcioal al amaño de la muesra z. Es decir si se uiliza como ua esimació de µ puede eerse ua cofiaza del ( ) 00% de que e ua muesra del amaño aerior el error o excederá a u valor. Para poder aplicar la expresió aerior es ecesario coocer previamee

28 Ejercicio: Cosideremos ua caja co arjeas cada ua co u umero. upoemos que la població iee µ0 y 4. Calcule el iervalo de cofiaza para la media de las dos primeras muesras (usar ivel de cofiaza de 0.95) Cuál ha de ser el amaño de la muesra para poder deermiar la media co u error de 0.5? E ese caso z z