Intervalos de confianza Muestras pequeñas. Estadística Cátedra Prof. Tamara Burdisso

Transcripción

1 Iervalos de cofiaza Muesras pequeñas

2 Qué ocurre cuado <30? No siempre se iee la posibilidad de coar co ua muesra grade. Vamos a focalizaros e muesras pequeñascuado el esadísico es la media muesral Recordemos porque ecesiábamos ua muesra grade Siempre y cuado las observacioes sea i.i.d., y la disribució poblacioal o demasiado asimérica, ua muesra grade os aseguraba que La disribució muesral de la media se aproximaba a la ormal a medida que (amaño de la muesra) crecía s Y el esimador del error esádar: SE = es cofiable dode s es el esimador de σ, el desvío poblacioal que por lo geeral es descoocido. Uidad 4 Iervalos de cofiaza 2

3 Qué ocurre cuado <30? El TCL asevera que la disribució muesral de X es aprox. Normal cualquiera sea el amaño de la muesra siempre y cuado la disribució poblacioal sea aprox. ormal. Si embargo, o es fácil de verificar e muesras pequeñas la codició de ormalidad. Ambas muesras (=10 y =1000) proviee de ua N(0,1) Es difícil deermiar a parir de ua muesra pequeña cual es la disribució de la que proviee. Uidad 4 Iervalos de cofiaza 3

4 Qué ocurre cuado <30? σ σ s σ σ Vimos que si 30, y es descoocido, esimamos co Si embargo, cuado <30 y es descoocido (casi siempre), ambié podemos uilizar s como el esimador aural de, pero el hecho de que sea pequeño ora a s meos cofiable. Para miigar esa mayor iceridumbre e y coiuar reeiedo la cofiaza del 95% e la cosrucció de los iervalos de cofiaza, deberíamos eoces aumear el acho del iervalo. Luego deberíamos rabajar co ua disribució que de cuea de la ecesidad de u iervalo más acho. Por lo ao, la disribució ormal esadarizada Z es reemplazada por la de Sude. Uidad 4 Iervalos de cofiaza 4 s

5 La disribució de Sude La de Sudeambié es simérica alrededor de la media=0, co forma de campaa, pero co colas más pesadas, i.e. es más probable eer más observacioes más alláde 2 desvíos esádar respeco de la media si se la compara co la disr. Normal esádar. Las colas más pesadas so las que va a miigar la mayor iceridumbre origiada e el cálculo del SE Uidad 4 Iervalos de cofiaza 5

6 La disribució de Sude La de Sudeiee u solo parámero, llamado grados de liberad, que deermia cua pesadas so las colas de la disribució. Quéocurre co la forma de la disribució cuado los grados de liberad se icremea? N(0,1) de Sude co 1,2 y 5 grados de liberad Uidad 4 Iervalos de cofiaza 6

7 Cuádo y cómo se uiliza la de Sude? Cuado deseamos cosruir u iervalo de cofiaza para la media y el σ es descoocido Tamaño de la muesra <30 El iervalo de cofiaza (regió de cofiaza=1-α) se calcula de la misma maera pero e lugar de Z uilizamos Uidad 4 Iervalos de cofiaza 7 S X ± ivel de cofiaza * P( > ivel de cofiaza= α / 2) = α P( > ivel de cofiaza=α / 2) = α 2

8 Comparado la N(0,1) y la Calcular a. b. P ( Z z ) 0 = ( ) 50 = P,0.025 c. ( ) 10 = P,0.025 Uidad 4 Iervalos de cofiaza 8

9 La de Sude Uidad 4 Iervalos de cofiaza 9

10 El orige de la de Sude William Gosse, Esudióquímica y maemáica. Se uióa la cervecería Guiess, dode llegóa ocupar la posició más ala e el área de ivesigacioes de la compañía. Su preocupació era esudiar los ipos de cebadas para mejorar la calidad de la cerveza. Rara vez dispoía de muesras grades. Eso lo llevóa esudiar ua disribució para muesras pequeñas. Llega a u acuerdo co la compañía para publicar sus rabajos esadísicos bajo el seudóimo de Sude. Uidad 4 Iervalos de cofiaza 10

11 Ejemplo Ciera empresa esáimplemeado u programa de adiesramieo por compuadora para sus empleados. La empresa decide adiesrar a 15 empleados. La abla muesra los iempos de adiesramieo. Tiempo de adiesramieo e dias Empleado Tiempo Empleado Tiempo Empleado Tiempo Calcular el iervalo de cofiaza al 95% para la media poblacioal. Uidad 4 Iervalos de cofiaza 11

12 Resumiedo Parámero Muesra Disribució σ Poblacioal Media 30 Cualquiera Coocida Media 30 Cualquiera Descoocida Media < 30 Media < 30 Proporció p 10 (1 p) 10 Debe ser aproximadamee ormal Debe ser aproximadamee ormal Coocida Descoocida Iervalo de cofiaza X ± zc X ± zc X ± zc σ S σ S ± gdl = 1 X c pˆ ± zc pˆ(1 pˆ) Uidad 4 Iervalos de cofiaza 12