Curvas MOISES VILLENA

Transcripción

1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL DOMINIO 6.1. LIMITE 6.1. CONTINUIDAD 6.. TRAYECTORIA (CAMINO) 6.. GRAFICA. DEFINICIÓN 6.4. TRAZA 6.5. CURVA 6.6. DERIVADA 6.7. CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA Objeivos. Se persigue que el esudiae: Describas curvas de R. Calcule velocidad, rapidez, aceleració, ecuació de reca agee, ecuació de plao agee (Recificae), ecuació de plao Normal, ecuació del plao Osculador, Curvaura, aceleració ormal, aceleració agecial. 9

2 6.1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL Defiició. Ua FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL, es ua fució del ipo F: I al que F () = x(), x(),, x() 1 Dode xi : I, i = 1,,, ; so fucioes reales de variable real, llamadas Fucioes Coordeadas de F. Ejemplo1 Sea F : I al que F () = ( 1, +, 1+ ) Ejemplo Sea F : I al que F() = ( acos, bse, ).. Ejemplo Sea F : I 4 al que F () = (,,,+ 1) Ejemplo 4 Sea F : I 4 F () = (,, ) 6.1. Domiio Sea F: I, el domiio de F es el subcojuo de úmeros reales I. E decir, el cojuo de valores para, que da seido a la regla de correspodecia. Ejemplo1 Para F() = ( 1, +, 1+ ), Dom F = Ejemplo Para F() = ( acos, bse, ), Dom F = 1

3 Ejemplo Para F() = (,, ), Dom F = Ejemplo 4 4 Para F () = (,, ), { } Dom F = / LIMITE Defiició. Sea F: I ua fució defiida e el iervalo abiero I de y sea u puo de I o u puo de froera de I. Eoces lim F = L, si y sólo si: ξ >, > / < < F L < ξ Teorema Sea F: I, al que F () = ( x1(), x(),, x () ). F L l l l Eoces = = lim 1,,, lim x = l; i = 1,,, Ejemplo. Sea F() = ( + 1,, se) i i Hallar lim F. SOLUCIÓN: lim F = lim + 1, lim, lim se ( ) = ( 1,, ) Ejercicios Propueso 6.1 Calcular: a) 4 1,, lim,, 1 Resp. a) se b) lim e,, e b) (, 1, 1) si y solo si c) lim 1 1 c) ( 1, 1, ) l,, 1 11

4 6.1.4 CONTINUIDAD. Sea F: I. Eoces F es coiua e I si lim F = F( ) Teorema F I Sea :., al que F () = x1(), x(),, x () Sea I. Eoces F es coiua e si y sólo si sus fucioes coordeadas x i lo so. Ejemplo 1 F() = + 1,, se es coiua e odo. Ejemplo se F () = (,, ) ; =,, ; No es coiua e F () =,, = debido a que lim,, (,,1) se = que es diferee de Ejemplo 1 F(), ( + 1) = o es coiua e = 1. Ejercicios Propueso 6. Aalice la coiuidad de: a) r =, 1 b) r =, arcse, 1 c) r = 8,, Resp. a) Dom r() = [ 1,+ ] b) Dom r = [ 1,1 ] c) Dom r() = [,+ ] 1

5 6. TRAYECTORIA (CAMINO) Ua fució F: I coiua se la llama rayecoria o camio e si F esá defiida e u iervalo cerrado. I = ab, eoces F( a) F b es el puo fial. F a = F b eemos ua TRAYECTORIA CERRADA. Supoga que el iervalo sea [ ] iicial de la rayecoria y Si SIMPLE. es el puo Si F es iyeciva es ua TRAYECTORIA SIMPLE. F a = F b y F es iyeciva eemos ua TRAYECTORIA CERRADA Si 6. GRAFICA. DEFINICIÓN Sea F: I. Se deomia gráfica de F al cojuo de puos de + 1 de la forma F, ales que I. ( ()) Se ha dado esa defiició siguiedo la líea de la defiició de gráfica que se eució e el capíulo aerior. La defiició siguiee permie darle ua ierpreació geomérica a ua fució vecorial de variable real. 6.4 TRAZA Se llama TRAZA de la rayecoria F al cojuo de imágees de F, es decir: Traza F = F / I { } 6.5 CURVA Se deomia CURVA a la raza de ua rayecoria F. Coozcamos alguas curvas de. 1

6 Ejemplo 1 Sea F : I al que F() = ( acos, bse, ) Esa curva es llamada HELICE. x = acos Noe que y = bse z = Se la pude observar como la raza que hace la superficie x y + = 1 a b. x = acos z al cilidro z F() = acos, bse, ( a,, π ) = π (, b, π ) π = ( a,, = π ) (, b, π ) = π ( a,,) = y x Ejemplo Sea F : I x = Aquí eemos y = z = al que F() = (,, ) Esa curva la podemos observar como la iersecció ere las superficies y = x z = x 14

7 z F() =,, y x Ejemplo Sea F : I 4 al que F () = (,, ) E ese caso la curva será la iersecció ere el elipsoide cilidro y = x x y z + + = 1 co el z y 4 ( 5 16 ) F () =,, 1 x 15

8 Ejercicios Propueso Dibujar las siguiees curvas represeadas por las fucioes vecoriales propuesas. a) r () = î + ( 1) ˆj + k b) r() = cosî + 4se j ˆ + kˆ c) r() = cosî + 4se ˆj. Hallar rayecorias r que represee las siguiees curvas. x a) ( x, y) / y = e { } { x, y / 4x + y = 1} b) c) Ua reca e IR que coiee al orige y al puo ( a, b, c). { / 9x + 16y = 4} d) ( x, y) e) {( ρ, θ, φ )/( ρ = 6cscφ) ( θ = π )} 4 f) {( ρ, θ, φ) /( ρ = 4cscφ ) ( θ = π )} 4. Dibujar las curvas e el espacio represeada por la iersecció de las superficies propuesas, y represéese la curva mediae la fució vecorial usado el parámero dado. Superficies Parámero a) z = x + y, x + y = x = b) 4x + 4y + 4z = 16, x = y y = c) x + y + z = 1, x + y = 4 x = + se d) x + z = 4, y + z = 4 x = 4. Muesre que la iersecció de la superficie x 4y 9z = 6 y el plao x + z = 9 es ua elipse. 5. Escriba ua ecuació vecorial para la curva de iersecció de las superficies: x 5x e = z +, y + y = xz 6. La curva cuya ecuació vecorial es r () = cos, se, 1, 1 se defie sobre ua superficie cuádrica. Hallar la ecuació de dicha superficie. x y Resp. + + z = Hallar la fució vecorial para la curva de iersecció de las superficies z = 1 + x y, y y = x + x. Resp. r = ( 1, 1, ) DERIVADA. Ua fució F: I ua rayecoria. Sea I. Eoces la derivada de F e, deoada como F ( ), se defie como: F( + h) F( ) F ( ) = lim h h si ese límie exise. 16

9 E al caso se dice que F es DIFERENCIABLE e. Si F ( ) = ( x1( ), x( ),, x ( ) ) eoces F ( + h) = x1( + h), x( + h),, x ( + h). Aplicado la defiició de derivada F( + h) F( ) F ( ) = lim h h ( x1( + h), x( + h),, x( + h) ) ( x1( ), x( ),, x( ) ) = lim h h x1( + h) x1( ) x( + h) x( ) x( + h) x( ) = lim,lim,,lim h h h h h h Es decir: F ( ) = ( x ( ), x ( ),, x ( )) 1 Ejemplo Sea F () = (,, se) eoces F = (,1,cos) Teorema Sea F ua rayecoria difereciable. El vecor F es agee a la rayecoria e el puo. Observe la gráfica z F ( + h) F( ) F h F ( + ) F ( x, y, z) y x 17

10 Ejemplo Sea F () = ( cos, se, ) π ormal e =. 4 SOLUCIÓN:. Hallar la ecuació de la reca agee y la del plao U vecor direcriz de la reca agee seria F ( π 4 ), que ambié sería u vecor perpedicular al plao ormal. Como F () = ( cos, se, ) eoces F = ( se,cos,1) Teemos u puo: F π = cos π, se π, π =,, π Y u vecor paralelo a la reca o perpedicular al plao ormal: F ( 4) ( se,cos,1 4 4 ) (,,1 ) π = π π = Por ao, la ecuació de la reca agee sería: x = l: y = + π z = 4 + Y la ecuació del plao ormal sería: π x + y + 1 z = 6.6. Trayecoria Regular 4 Sea F : I. Eoces F es ua F para odo rayecoria regular e I, si I Propiedades Sea F y G dos rayecorias difereciables. Sea f ua fució escalar difereciable. Eoces: 1. D ( F() ± G() ) = F ± G. D ( f F() ) = f F + f F. D ( F() G() ) = F G + F G D F G = F G + F G 4. () () 18

11 6.7 CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA. Sea F: I. Tal que F () = ( x1(), x(),, x () ) Se defie: Vecor Posició: r () = F () = ( x1(), x(),, x () ) Vecor Velocidad: v () = r () = ( x1 (), x (),, x () ) r' Vecor Tagee Uiario: Τ= r' Logiud de u camio: () s = [ x1 () ] + [ x () ] + + [ x () ] d 1 d = = a = v = r = x, x,, x Rapidez: v() r' () Aceleració: ( 1 () () () ) Τ' Vecor Normal Uiario: Ν= Τ ' () Vecor Biormal: Β =Τ Ν Plao Osculador: Defiido por Τ y Ν y orogoal a B Plao Recificae: Defiido por Τ y B y orogoal a Ν Plao Normal: Defiido por Ν y B y orogoal a Τ z r a ( ) Ν r( ) Τ ( x, y, z) v ( ) y x 19

12 El vecor agee es uiario, eoces: Τ Τ= 1, derivado miembro a miembro d d ( Τ Τ ) = () 1 d d Τ Τ+Τ Τ= Τ Τ= Τ Τ= Por ao se cocluye que el vecor Τ y Τ so orogoales, lo cual demuesra la defiició del Vecor Normal Uiario. Ejemplo Hallar la ecuació del plao osculador para r = ( cos, se, ) SOLUCIÓN: ( π ) ( π ) ' + cos = π e Para hallar la ecuació de u plao ecesiamos u puo y u vecor ormal. El puo sería: r( π ) = ( cos π, seπ, π) = ( 1,, π) Y el vecor ormal es el vecor Biormal: Β =Τ Ν Hallemos Τ : r' ( se,cos,1) (, 1,1) Τ= = = r se Hallemos Ν : Ν= 1 Τ' ( π ) ( cos, se,) = = 1 Τ '( π ) cos + se = π Eoces i j k Β=Τ Ν= 1 1 =, 1, 1 1 Fialmee la ecuació del plao osculador sería: 1 1 x+ 1 + y + z π = ( 1,, ) = π Teorema. Formulas de Free- Serbe Sea r ua rayecoria difereciable, eoces: Β=Τ Ν= Ν Τ Ν =Β Τ= Τ Β Τ=Ν Β= Β Ν

13 6.7. Curvaura y radio de curvaura. Es decir, Sea r ua rayecoria difereciable. La CURVATURA, deoada por κ, esá defiida e dτ la expresió: = κ Ν. dτ Es decir: κ = El radio de curvaura, deoado por ρ, es: 1 ρ = κ Observe que dτ dτ dτ d κ = = = d d d Τ () κ = r () Ejemplo Hallar κ para r = ( cos, se, ) e SOLUCIÓN: Τ La curvaura e ese puo sería: κ = r = π. ( π ) ( π ) 1 r ' π = 1 Τ 1 κ = = = r E el ejemplo aerior se obuvo Τ ( π ) = y ( π ) ( π ) 6.7. Torsió. Sea r ua rayecoria difereciable. La TORSIÓN, deoada por τ, esá defiida e la expresió: d Β = Ν. τ Es decir: τ = db 1

14 6.7.4 ACELERACIÓN NORMAL Y ACELERACIÓN TANGENCIAL. E cuesioes físicas, se hace ecesario presear la aceleració e érmios de sus compoees agecial y orogoal e u puo de la rayecoria. z r a N Ν a a T Τ ( x, y, z) y x a = at + an = aτ+ a Ν La aceleració es la derivada de la velocidad: a = v v d = Τ = Τ = Τ+ Τ d d d d d Deduzcamos Τ : d d d d s d Τ dτ E la expresió = κ Ν, rasformado dτ d = κν d dτ d = κν d Es decir: Τ= κ Ν d

15 Reemplazado: Por ao: a a = Τ+ Τ d d d d s κ d d d = Τ+ Ν = Τ+ κ Ν d d = y a = κ d Ejemplo Sea r() = ( cos, se, ) SOLUCIÓN:. Hallar a y a = π. Empleado los resulados aeriores d s 1. = r ( π ) = eoces a = = d d. La curvaura ya la obuvimos e el ejercicio aerior, por ao: a 1 = κ = = 1 d E ocasioes deermiar los parámeros aeriores o es a secillo debido a la ecuació de la rayecoria. Podemos darles ora forma a las formulas aeriores. Observe la figura: r = a a h= a r = v

16 Por eoría de vecores: El área del paralelogramo suseado por los vecores r esá dada por: Area = r r Pero, por geomería ambié eemos: Area = ( base) ( alura) = r a Igualado y despejado resula: a = r r r = v y r = a Para la curvaura eemos: r r a r r r κ = = = r r d r r κ = r Ejemplo Sea r() = ( 4,cos, se). Hallar v, a, a, a, κ, para cualquier. Solució: v = r = ( 4, se,cos) a = r = (, cos, se) r () 16 9se cos d = = + + i j k r r = 4 se cos = se + cos, 4 se, 1cos =, 4 se, 1cos cos se r r 9+ 16se + 144cos a = = r se + cos r r 9+ 16se + 144cos κ = = r se + cos 4

17 Fialmee, ambié se podría uilizar el eorema de Piágora para deermiar la magiud de ua de las aceleracioes: a = a + a Ejercicios Propuesos Halle σ () y ( ) σ e cada uo de los casos siguiees: a) σ () = ( se π,cos π, ) c) σ = (, 4,) b) () = ( e,cos,se ) σ =,log 1 σ d) ( ) ( se ( + ), ) Resp. a) σ ( ) = ( π,,) b) σ ( ) = ( 1,,1 ) c) σ ( ) = (, 4,) 1 d) σ () =,, 1 l1. U puo siuado e la rosca de u orillo, que se erosca e ua viga describe ua hélice circular, siedo el águlo de giro del orillo, a el radio del orillo y b la elevació correspodiee al giro de ua vuela. Deermie la velocidad y el vecor aceleració del movimieo del puo. b Resp. = ase, acos, π r r = ( acos, ase,). El movimieo de ua parícula esá defiido por R a( cosî se j ˆ) =. Hállese su velocidad, las compoees agecial y ormal de la aceleració e = π. r = 6 î + 5ˆ. Calcule el isae e que la rapidez de la parícula es míima. Resp. = 5. Deermiar los vecores velocidad y aceleració, y la ecuació de la reca agee para cada ua de las curvas siguiees e el valor especificado de. 4. La posició de ua parícula móvil e el iempo viee dada por () j a) r () = 6,,, = b) r () =,cos,, = 1 se Resp. a) r ( ) = ( 6,,) ; r ( ) = (,6,) ; x = 6 l : y = z = b) =, co uidades e segudos y ceímeros. Qué fuerza acúa sobre ella e =? Noa: F = m. a 6. Sea ua parícula de 1 gramo de masa, que sigue la rayecoria r cos,se, 7. Sea σ () ua rayecoria e puo. Resp. F = 1 5 ( 1,, ) IR co aceleració cero. Probar que σ es ua reca o u 8. Supoer que ua parícula sigue la rayecoria r ( e, e,cos) = hasa que sale por ua rayecoria agee e = 1. Dóde esá e =? Resp. ( e,, cos1 se1) 9. Ua parícula se mueve sobre la curva C que se obiee de la iersecció de la esfera x + y + z = 1 y el plao z = y. Obeer la ecuació de la rayecoria que describiría la parícula si se separase de la curva C e el puo, 1, 1 N 5

18 ( π ) 4 ( π ) + 4 ( π ) + x = + Resp. l : y = 1 1 z = Calcular la curvaura y la compoee ormal de la aceleració de la curva r = cos, e, + 1, para = () 1 Resp. k = a N = ( 1,, ) Ecorar las ecuacioes de la reca agee y el plao ormal a la curva x = 6 se, y = 4 cos, z = se 5 e el puo = π 4 Resp. 1. El movimieo de ua parícula esá represeado por la fució () 5 r = 1,,,. E el iempo = 1, la parícula es expulsada por la agee co ua rapidez de 1 uidades por segudo. A qué iempo y por qué puo araviesa al paraboloide z + y = 4x? Resp. =, 89 seg. 1. Dada la curva r() e, e,, P 69 +,, = Ecorar la curvaura y las ecuacioes de las recas agee y ormal e = Resp. 14. Hallar la fució vecorial para la curva de iersecció ere el cilidro x + y = y el 4 5 plao y = 5z. Ecorar la curvaura e el puo (,5,1). Resp. r ( cos, 5 se, se) = ; k = 15. Ua parícula se mueve supoiedo la rayecoria r(), 4, = e = seg sale por la agee. Calcular la posició y la velocidad de la parícula e = seg. = 4,8, l = 8,8, Resp. r 16. Calcular la logiud de arco descrio por el vecor r = cos, se,,. () Resp. L = l σ = cos, se, se desde 17. Ua parícula se mueve por la rayecoria = 1seg hasa = π seg. E = π seg la aceleració ormal deja de acuar, y la parícula sale disparada agecialmee a σ. Calcular la posició de la parícula 1 seg después que deja de acuar la aceleració ormal. Resp. ( 1, π, π ) 6