UNIDAD 3 Transformadas de Laplace

Transcripción

1 Traformada de aplace 3. Defiicioe a raformada de aplace de ua fució () f, repreeada co el ímbolo, e la operació maemáica defiida mediae la iguiee iegral impropia: { ()} lim b f e f () d b Por lo geeral, e acoumbra coiderar implíciamee el límie y implemee ecribir la fórmula como: { f () } e f () d a raformada de aplace e u ipo de raformació iegral. Al evaluar la iegral, (que e realidad e ua variable compleja) e raa como coae, y deaparece al uiuir lo límie de la iegral, por lo que la expreió maemáica reulae e ólo fució de. Por ea razó, e dice que e ha raformado la fució del iempo (domiio de ) al domiio de aplace (domiio de o frecuecia compleja). Ua de la oacioe habiuale para la fucioe raformada e emplear la mima lera de la fució origial, pero mayúcula, para deigar la fució raformada; e decir, que F ( ) e la raformada de f (). { f () } F( ) a raformada de aplace e ua operació lieal, por lo que cumple co la iguiee propiedad: dode c, c,, { cf() + cf() + + cf() } { cf() } + cf() + + cf { } { ()} { ()} { ()} { ()} c f c f c f cf( ) + cf ( ) + + cf ( ) c o coae y f (), f (),, f () F ( ), F ( ),, F (), repecivamee. o fucioe cuya raformada o a raformada ivera, del domiio de aplace al domiio del iempo, e repreea co el ímbolo y eá defiida por la iguiee iegral impropia: { ( )} γ+ ir F lim e F( ) d R πi γir dode γ e u valor real eleccioado de al forma que odo lo odo lo polo de F ( ) quede a la izquierda de la reca verical que paa por γ. E íei, la raformada de aplace y u raformada ivera repreea u par de operacioe que permie paar ua fució del iempo a ua fució de y vicevera: f () F( ) Prácicamee uca e emplea ea fórmula de iverió, io que e emplea abla de raformada. REVISIÓN Págia 3-

2 TRANSFORMADA DE APACE 3. Codicioe uficiee de exiecia Para que la raformada de aplace de ua fució f () exia, baa co que cumpla la iguiee codicioe:. Que f () ea coiua por pare para. f ea de orde expoecial, e decir que ea poible ecorar coae c y M f Me para cualquier.. Que () c ale que () 3.3 Traformada de aplace de fucioe báica Aplicado la fórmula iegral para la raformada de aplace, e puede verificar lo iguiee reulado: c {} {} c {} 6 { 3 } { e } 4 { } 3 { } e + { } co + Ea raformada e puede geeralizar y reumir e ua abla de raformada de aplace, dode e lia e ua columa la fució del iempo y e la ora columa u correpodiee raformada. Tabla má exea puede coulare e libro y formulario de maemáica. Ejemplo de ua abla de raformada de aplace { } f () f ()! + a e a e k k + k cok + k 3.4 Traformada de fucioe defiida por pare Si la fució () f defiida por pare, por ejemplo f () < f () f () > Eoce puede ecorare la raformada de ea fució aplicado la fórmula iegral, eparado la iegral e do pare: { f () } e f () d e f () d+ e f () d Ea idea e exiede direcamee para fucioe defiida e má de do iervalo. REVISIÓN Págia 3-

3 TRANSFORMADA DE APACE 3.5 Fució ecaló uiario a fució ecaló uiario, ambié llamada fució de Heaviide, eá defiida como: U, < a ( a), a Ea fució ecaló puede empleare para acivar o deacivar fucioe e ciero iervalo, por lo que puede empleare para repreear ua fució defiida por pare como ua ola expreió maemáica. 3.6 Teorema de ralació 3.6. Primer eorema de ralació Ee eorema permie ecorar la raformada de ua fució muliplicada por ua fució expoecial a e. Si ( ) F e la raformada de f (), eoce el primer eorema de ralació idica que: { e a f () } f () F F a { } ( ) ( ) a E decir, e cambia el expoecial por la codició de uiuir raformada. a Al aplicar el primer eorema de ralació a la raformada ivera e iee que: a a { F ( a) } e F( ) e f E decir, e ua fució dode iempre aparezca a fució expoecial e. a a dode ea que aparezca e la { } (), e puede hacer el cambio a, y aparece ua 3.6. Segudo eorema de ralació Ee eorema permie raformar fucioe dode aparezca la fució ecaló uiario. Si F ( ) e la raformada de f (), eoce el egudo eorema de ralació idica que: a a { f ( a) ( a) } e { f () } e F( ) U E decir, la fució ecaló uiario e coviere e ua fució expoecial de y a cambia a. E imporae oar que iempre debe aparecer e la forma a para poder aplicar ee eorema. Co repeco a la raformada ivera, el egudo eorema de ralació e exprea como: a { e F( ) } { F( ) } U ( a) f ( a) U ( a) a E decir, que cuado e buque la raformada ivera de ua fució dode aparezca ua fució expoecial de, dicha fució expoecial e coviere a ua fució ecaló uiario co la codició de uiuir a dode ea que aparezca e la raformada ivera. REVISIÓN Págia 3-3

4 TRANSFORMADA DE APACE 3.7 Traformada de fucioe muliplicada por o dividida ere f e ua fució cuya raformada e F ( ), eoce la raformada de f () muliplicada por Si () ua poecia eera poiiva de eá dada por: dode e u eero poiivo. d { f () } ( ) ( ) F d Por oro lado, i la fució eá dividida ere, eoce u raformada e: f () F ( ) d Ea fórmula e cooce ambié como derivada de ua raformada e iegral de ua raformada, repecivamee. 3.8 Traformada de derivada Al aplicar la raformada de aplace para reolver ecuacioe difereciale, e eceario raformar la derivada de ua fució. Si F ( ) e la raformada de f (), eoce la raformada de la -éima derivada de f () e: dode f ( ), f ( ) evaluada e. d f ( ( ) ( ) ( ) ) ( F f f f ( ) f ) ( ) d,, ( f ) ( ) E paricular, para la primera y eguda derivada, e iee que: o lo valore de f y u primera derivada, repecivamee, 3.9 Traformada de iegrale df F ( ) f ( ) d d f F( ) f( ) f ( ) d Coiderado la iegral de ua fució, evaluada dede cero haa, u raformada de aplace e: 3. Teorema de covolució Coidéree do fucioe () defiida mediae la iguiee iegral: F ( ) { f () d} f y g (). a covolució de f y g, que e repreea como f * f * g f ( τ) g( τ) dτ g, eá REVISIÓN Págia 3-4

5 TRANSFORMADA DE APACE a iegral de covolució iee imporae aplicacioe e maemáica e igeiería, icluyedo probabilidad y eadíica, aálii y proceamieo de imágee, aálii de circuio y de iema co ua diribució co repeco al iempo. a iegral de covolució e comuaiva, por lo que f * g g* f. a raformada de aplace de ua covolució eá dada por: { f * g} { f () } { g() } F( ) G( ) E decir, la raformada de la covolució de do fucioe e igual al produco de la raformada de amba fucioe. 3. Traformada de ua fució periódica Ua fució periódica de periodo T e aquella que cumple co la codició f ( + T) f ( ). a raformada de ua fució de ee ipo eá dada por la iguiee iegral: 3. Fució dela de Dirac T { f () } e f () d T e a fució dela de Dirac, auque o e ua fució e el eido erico, puede defiire como: co la propiedad adicioal de que a b δ,, ( ), ( ) a, b δ( ) d, ( a, b) E decir, que el reulado de la iegral e igual a uo i igual a cero i o e ecuera e ( ab, ). e ecuera icluido e el iervalo (, ) ab y e a fució dela ambié e cooce como impulo uiario y uele aparecer al modelar maemáicamee feómeo fíico e lo que hay u cambio repeio, como al golpear u objeo. Su raformada de aplace e: { δ( )} e Comparado co el egudo eorema de ralació, e puede ver que lo problema que ivolucra la fució dela geeralmee produce reulado e lo que aparece la fució ecaló uiario. 3.3 Ora raformacioe iegrale E geeral, e puede defiir ua raformació lieal como la operació maemáica defiida de forma geeral como: F ( u) K(, u) f ( ) d Ea ecció coiee iformació que va má allá del emario oficial y e puede omiir i perjuicio del curo. REVISIÓN Págia 3-5

6 TRANSFORMADA DE APACE dode ua fució de ua variable e coverida e ora fució de ua variable diferee u. a fució de do variable K ( u, ) e deomia úcleo (e iglé kerel) y e caraceríica de cada ipo de raformació iegral. Por coveiecia, e emplea algú ímbolo (por ejemplo para la raformada de aplace) para repreear de forma compaca la defiició de la raformació iegral. a raformació ivera, cuado exie, eá defiida como: dode K ( u), u f () K ( ) ( ) u, f u du e el úcleo de la raformació ivera. u Exie mucha raformacioe iegrale, cada ua co aplicacioe e la olució de problema epecífico de ciera área del coocimieo. Apare de la raformada de aplace, probablemee la má imporae ea la raformada de Fourier. a iguiee abla reume algua de la raformacioe iegrale má comue. Traformada Traformació direca Traformació ivera Fourier f () F( ω) Seoidal de Fourier f () F( ω) Coeoidal de Fourier f () F( ω) aplace f () F() Melli f () F() Hakel f ( r) F( k) i { f () } e ω iω F f () d ( ) π F { F ω } e F( ω) dω π F { ()} e( ) ( ) S f ω f d π { ( )} e( ) ( ) S F ω ω F ω dω F π F { ()} co( ) ( ) C f ω f d π { ( )} co( ) ( ) C F ω ω F ω dω F π { f () } e f () d F ( ) σ+ i { } ( ) e F d πi σ i { f () } σ+ i M f () d M { F ( ) } F( ) d πi σ i H { f ( r) } f ( r) J ( k) ν rdr H { F ( k) } F( k) J ( k) ν kdk dode J ν e la fució de Beel del primer ipo de orde ν / Tabla de pare de raformada/raformada ivera para cada ipo de raformació puede coulare e libro de maemáica avazada. Relacioada co ea raformacioe iegrale, exie raformacioe dicrea (e decir, o coiua) de gra imporacia e ciecia e igeiería, deacádoe pricipalmee la raformada rápida de Fourier y la raformada zea. REVISIÓN Págia 3-6