CAPITULO 2. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDAD.

Transcripción

1 CAPITULO. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDAD. La elocidad e ua fució coiua del epacio, e deci u campo. La popiedade ciemáica del campo de elocidad o deemiada po u diegecia,, po el oo,. Se adopaá u iema de coodeada co e el eje poiio hacia el ee, eje poiio hacia el oe el eje z hacia aiba e diecció de la líea de acció de la fueza gaiacioal. Como el plao e agee a la upeficie de la iea, la coodeada z e cooce como coodeada del plao agee. Peo e aplica ólo localmee, e u puo. COORDENADAS NATURALES. E u iema de coodeada úil paa decibi la diámica del moimieo de u fluido. Auque e puede fomula e e dimeioe, eemo ólo lo apeco e do dimeioe. Uado la coodeada auale, e puede diigui ee aecoia líea de coiee de ua pacela de fluido. Taecoia: E la cua decia po la poicioe uceia de ua pacela de fluido e moimieo. E u iae dado, el eco elocidad e agee a la aecoia. Líea de coiee: E ua líea cua agee e cualquie puo del fluido e moimieo e paalela a la elocidad iaáea. La aecoia la líea de coiee geealmee o coicide, ecepo e el cao de flujo eacioaio. E la figua e ilua amba líea 1

2 VA FIGURA E la hoizoal e ua ua coodeada a lo lago de la aecoia o de la líea de coiee. La elocidad que e agee a la líea e P defie u eco uiaio agee e P. Paa maee el iema oogoal deecho, e elige ua coodeada omal e P, co eco uiaio. La ecea coodeada puede e la eical local z co eco uiaio k. VA FIGURA Lo ecoe uiaio e elacioa co la egla: k, k ; k Coideado ua pacela de fluido que e u pequeño d e muee d dede P 1 a P, dode gia u águlo dθ, que po coeció e coidea poiio i la oació e aihoaio. VA FIGURA De la figua: d Rdθ, co R adio de cuaua de la aecoia. Se defie d θ d 1 R K cuaua de la aecoia.

3 dθ d e ua deiada maeial, e deci que decibe lo cambio de la diecció de iguiedo la aecoia de la pacela de fluido. Si la cua fuea ua líea de coiee, lo puo P 1 a P mimo iae. E ee cao e iee: eía paa u θ 1 R K de la líea de coiee. Segú la coeció cuaua de la líea de coiee, R el adio de cuaua K, K, R, R > 0 i dθ > 0 gio aihoaio < 0 i dθ < 0 gio hoaio El eco uiaio o e coae. Se puede demoa que u deiada e omal a. Po ejemplo i (ε, como e uiaio 1 d dε ( 0 d dε d d d 0 0 dε dε dε Como eá e el plao hoizoal, d /dε debe e u eco e diecció ± Se deja como ejecicio demoa que i cambia a d cuado gia u dθ, eoce ( pag, de Riegel d dθ θ paa aecoia paa líea de coiee Ieea ambié la deiada de epeco de, e deci omal a lo lago de la líea de coiee o aecoia. Po la egla de la cadea 3

4 d d dθ d K K aecoia d dθ d d ó K líea de coiee De la mima foma: d dθ aecoia d d θ líea de coiee Tambié ieea la deiada de epeco al iempo: E la abla e da eume: d d d d V VK d d d d d K aecoia d θ líea de coiee Taecoia dθ K d d dθ d K d d dθ d d d K d 1 R Líea de coiee θ 1 K S R θ K S θ θ S 4

5 5 DIVERGENCIA. E ua impoae popiedad del campo de elocidad. La diegecia del campo de elocidad e el epacio e: z w u di La elocidad iaáea, i e el ieo hoizoal, e puede ecibi e coodeada auale como: El opeado abla e coodeada auale e: Eoce la diegecia e ecibe: ( ( Reemplazado la defiicioe de e llega a: θ Idica que la diegecia hoizoal del ieo e debe a la coibució de do efeco: 1. Al émio / llamado diegecia logiudial, co / > 0 i el ieo aumea coiee abajo a lo lago de la líea de coiee.

6 . Al émio θ/ llamado diegecia aeal, co θ/ > 0 i la líea de coiee diege e diecció omal al flujo. Eo efeco e ilua e la figua: E poible que el flujo ea o diegee, auque la líea de coiee paezca idica coegecia o diegecia. El flujo e o diegee cuado el campo de ieo e ajua de maea que / e balacea co θ/. Geoméicamee, la diegecia e aocia co la aa de cambio del áea po uidad de áea ee líea de coiee, eo e: 1dA Ad Si el moimieo e al que el áea o cambia u alo uméico, auque cambie u foma, el flujo e o diegee, como e ilua e la figua: 6

7 VORTICIDAD. Maemáicamee e el oo del eco elocidad. E diámica de fluido, paa el campo de elocidad, e llama oicidad. E ua eeió del cocepo de elocidad agula de ua pacela de fluido que oa e oo a algú eje. Si ui j po el eco q, wk, la epeió maemáica de la oicidad e defiida q w i z u z w j u k La oicidad e u campo ecoial e puede dibuja cua que o agee al eco q e cada puo. Se defie líea de óice a ua cua agee e cada puo al eco oicidad e ee puo. De paicula ieé e la edecia de la pacela de fluido geofíico a oa e oo a la eical local. Ea e epeea po la compoee eical de la oicidad, e deoa co el ímbolo ζ ζ k u E meeoología cuado e habla de oicidad e efiee fecueemee ólo a la compoee eical ζ. Como o e el ieo elaio, e deci el ieo elaio a u puo obe la upeficie de la Tiea que gia, ζ coepode a la oicidad elaia. A meo que e diga lo coaio e hablaá de oicidad efiiédoe a ζ. La oicidad iee igo; e el hemifeio u e iee (NOTA: eido ciclóico e efiee al mimo eido de la oació eee: 7

8 ζ > 0: ζ aiciclóica, oacióaihoaia ζ < 0: ζ ciclóica, oació hoaia E coodeada auale, coidea ua líea de coiee dode e u puo e ega: La oicidad e coodeada auale eá: ( Deaollado ea epeió uado la defiicioe apopiada, e llega a la elació: K S k paa la compoee eical de la oicidad, calculado ζ k, ζ K S R S El pime émio e llama de cuaua el egudo e llama émio de la coae (del ieo. Po lo ao la oicidad (o la oació de la pacela de fluido e oo a u eje a aé de u ceo de maa e debe a la 8

9 upepoició de do efeco: el efeco de la cuaua de la líea de coiee el de la coae de la elocidad omal al flujo. Eo eplica poque, como e ilua e el equema de má abajo: 1. U flujo e líea eca puede ee oicidad; ee flujo o iee cuaua, peo i eie ua aiació de la elocidad omal a la diecció del flujo, la oicidad o e ceo.. U flujo co cuaua puede e ioacioal (ζ 0 cuado el efeco de cuaua e balacea eacamee co el efeco de la coae. E u equema de u flujo cicula como u ejemplo de flujo cuado, i la pacela e diecció A iee ζ > 0 e el hemifeio u, peo i la elocidad e ajua adecuadamee, la pacela egú la diecció B edá ζ < 0, eulado ζ 0 e oal. S 9

10 E el hemifeio u, la diibució de elocidad la cuaua alededo de lo iema de baja (ala peió e al que ζ < 0 (ζ > 0, que llamamo oicidad ciclóica (aiciclóica. E el N cambia de igo. Equema: FUNCIÓN CORRIENTE. Si e u flujo hoizoal e iee di 0, e dice que e o diegee. Paa eo flujo la compoee de la elocidad o al que: 0 u u Maemáicamee, ea elació equiee que la difeecial d ud ea eaca, e deci eie ua fució (, al que: 10

11 11 ud d d d d Eoce, la compoee de la elocidad e puede epea e émio de la fució po: u, La fució e llama fució coiee, u dimeioe o m /. La elocidad e puede ecibi ahoa como: k j i j ui La diegecia la oicidad e émio de la fució coiee, e epea de la iguiee foma: ζ 0 k La iolíea de ce o iempe agee al eco elocidad, aí que po defiició la iolíea ce o líea de coiee. Peo o e debe olida que la líea de coiee eie iempe, aú paa flujo diegee, e cambio la líea ce ólo eie cuado el flujo e o diegee. VELOCIDAD POTENCIAL. Coideado ahoa el cao de u flujo ioacioal, e deci co ζ 0, e iee: u k 0 ζ

12 1 de dode e deduce que la compoee de la elocidad aiface la elació u Ee cao e da cuado el campo de ieo e al que eie u balace ee lo efeco de cuaua de la coae del ieo. Maemáicamee e obiee u flujo ioacioal cuado el campo de elocidad hoizoal e puede obee e émio de ua fució ecala al que, aí e iee: u eoce j i, : La fució e llama elocidad poecial, e mide e m /. De ea foma e cumple que ζ 0, a que: 0 k k ζ Paa la diegecia e obiee: La iolíea de ce e llama equipoeciale o pepediculae al flujo (que e ioacioal. Se dibuja e la figua.

13 E el cao epecial e que flujo ea o diegee e ioacioal, e puede epeea e émio ólo de ó de. E ee cao: ζ 0 0 e deci la fucioe coiee poecial aiface la ecuació de Laplace, po lo que e llama u flujo laplaciao. E ee cao o fucioe amóica, oogoale que aiface la ecuacioe de Cauch-Riema: u ; u La maoía de lo flujo eale e puede apoima co diio gado de ealimo a lo e cao aeioe. Peo e geeal lo flujo (epecialmee el amoféico o o i puamee diegee i puamee ioacioal, ademá ieea ee e cuea la diegecia oacioe del flujo. Paa hace eo podemo elegi ua fució F ecoial que e eciba e la foma: F h dode h e llama poecial ecoial Φ poecial ecala de F. Ecia F de ea foma, el pime émio coiee odo el oo de F el egudo oda u diegecia. Si e elige h z Ψ, eoce: h k Φ Ψ lo que pemie ecibi la elocidad e la foma k Ψ Φ 13

14 que e cooce como el eoema de elmholz, que dice que el campo de ieo e puede decompoe e u pae oacioal diegee. De ea foma e puede coidea el campo de elocidad puamee ioacioal, puamee o diegee, o ambo o iguo. Tambié e llama a Ψ Φ fució coiee elocidad poecial, peo u foma fucioal difiee de. El émio k Ψ e llama pae oacioal del ieo e deoa po, el émio Φ e llama pae diegee del ieo e deoa po, aí e ecibe: LINEAS DE CORRIENTE. E odo puo e agee a la líea de coiee, e do dimeioe dr dr ambié e agee. Ademá, como e paalelo a dr, eoce d dr 0, eoce: ( ui j ( di dj 0 ( ud d k 0 d (,, d (,, e la ecuació difeecial de la líea de coiee. Si e do dimeioe e ecibe e la foma d ud 0 i el flujo e o diegee, eoce eie al que u -/, /, eemplazado e iee 14

15 d d d 0 ce. lo que idica que la fució coicide co la líea de coiee. TRAYECTORIAS. E la cua que e foma al ui la poicioe uceia de ua pacela de fluido e moimieo, que e puede defii maemáicamee po la ecuació d (, d co e e dimeioe. Cuado e deemia ( paa algua codició iicial o, eoce e cooce la aecoia de la pacela de fluido. E la maoía de lo cao, la olució de la ecuació difeecial e dificil, debe implificae co upoicioe o ua méodo de olució uméica. Ejemplo. Paa u flujo co compoee zoal coae meidioal co pefil iuoidal de la foma: u U ce > 0, o, k c ce. cok( c La ecuació de la líea de coiee e: Iegado e obiee: o d o cok( c d u U Uk o k c e ( o 15

16 co o ce de iegació. La líea de coiee o iuoidale, de ampliud o /Uk. Paa deemia la fució coiee : d d ud d o cok( c d Ud o e k( c d U k Reoliedo paa e obiee: o e k( c Uk U que coepode a la líea de coiee, po compaació e iee que - U o ambié e líea de coiee. El cálculo de la aecoia da: d u U d d co o k( c d ( U o 16

17 Si 0 paa 0, eoce o 0, ( U Se eemplaza e d/d: d cok( U c cok( U c o o d o ( e k( U c o k( U c Paa 0 e 0, eoce o 0, la ecuacioe paaméica de la aecoia i la pacela de fluido eá e el oige cuado 0 o: ( U o ( e k( U c k( U c Si e depeja de e eemplaza e, e obiee: o ( e k k( U c 1 de dode e obea que la aecoia o coicide co la líea de coiee. E la figua e dibuja paa el cao e que la líea de coiee e muee co elocidad de fae c U/. c U 17