15. MOVIMIENTO OSCILATORIO.

Transcripción

1 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 5. MOVIMINTO OSCIATORIO. Concepo de movimieno amónico simple. Movimieno amónico simple (M.A.S.). Movimieno peiódico en el que el móvil esá someido en odo insane a una aceleación angencial a k x siendo k una consane posiiva y x el veco de posición de la paícula especo de un puno denominado posición de equilibio. longación. s el módulo de x en cada insane. Ampliud. s el valo máximo de la elongación. Se noa po A. Cinemáica del M.A.S. a ecuación del movimieno amónico simple es del ipo: x () A sen( ) o x ( ) A cos( ) siendo A la ampliud una consane posiiva denominada pulsación o fecuencia angula y ϕ una consane denominada fase inicial. a unidad de pulsación S.I. es el adián po segundo y la de fase inicial el adián. l agumeno de la función seno o coseno empleada en la ecuación del movimieno se denomina fase. Su unidad S.I. es el adián. l movimieno amónico simple es peiódico. l peíodo viene dado po: y la fecuencia po: T π ν a ecuación de la velocidad se obiene deivando la ecuación del movimieno especo del iempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimieno se obiene: v π ( ) A cos( ) A pai de la ecuación del movimieno y la ecuación de la velocidad puede obenese la elación ene la velocidad y la elongación: v () A x() Como puede compobase el módulo de la velocidad es máximo cuando la paícula pasa po la posición de equilibio ( x ) y se anula cuando pasa po los punos más alejados de dicha posición ( x ±A ). a elongación inicial y la velocidad inicial se obienen a pai de la ecuación del movimieno y de la ecuación de la velocidad. Si la ecuación del movimieno coniene a la función seno se obiene: A pai de esas dos ecuaciones se iene que: x A senϕ v A cos ϕ.

2 Física. 5. Movimieno oscilaoio. v A x + y x ϕ acg. a ecuación de la aceleación angencial se obiene deivando la ecuación de la velocidad especo del iempo. Si empleamos la función seno en la ecuación del movimieno se obiene: nonces: a () A sen( ) a ( ) x( ) expesión que esá de acuedo con la definición de movimieno amónico simple dada aneiomene. a aceleación angencial po ano es nula cuando la paícula pasa po la posición de equilibio ( x ) y alcanza su módulo máximo cuando esá más alejada de dicha posición ( x ±A ). v Relación ene el M.A.S. y el movimieno cicula unifome. l movimieno amónico simple esá elacionado con el movimieno cicula unifome. Consideemos un móvil P que ecoe una cicunfeencia de adio A en senido anihoaio con velocidad angula consane y un sisema de efeencia con oigen en el ceno de dicha cicunfeencia como se indica en la figua. lamaemos al veco de posición de P. Consideemos oo móvil Q que ecoe el eje OX del sisema de efeencia de modo que su veco de posición al que llamaemos x coincida en cada insane con la poyección de sobe el eje OX. Obviamene el movimieno de Q es peiódico y dicho peíodo coincide con el de P. n esas condiciones el móvil Q ealiza un movimieno amónico simple en el que la ampliud epesena el adio de la cicunfeencia descia po P la pulsación coincide con la velocidad angula de P y la fase inicial (si se emplea la función seno en la ecuación del movimieno π amónico simple) es θ + que epesena el ángulo fomado en el insane inicial ene el semieje posiivo OY y el veco de posición de P.

3 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 3 Dinámica y enegía del M.A.S. De acuedo con la ª ley de Newon si una paícula de masa m ealiza un M.A.S. esaá someida en odo insane según la diección del movimieno a una fueza dada po: F m. sa fueza se denomina fueza ecupeadoa. nonces: K a F m x m se denomina consane ecupeadoa. a fueza ecupeadoa es consevaiva ya que se aa de una fueza cenal. nonces paa cada puno x de la ayecoia se puede defini a pai de ella una enegía poencial: x F dx donde se ha omado la posición de equilibio como oigen de enegía poencial. Resolviendo la inegal se obiene: P P K x Si el móvil esá someido únicamene a la fueza ecupeadoa su enegía mecánica pemaneceá consane. Dicha enegía mecánica viene dada po: M C + P m [ A cos( ) ] + m [ A sen( ) ] m A nonces: M K A a enegía mecánica es igual al valo máximo de enegía cinéica que se alcanza cuando la paícula pasa po la posición de equilibio y al valo máximo de la enegía poencial que se alcanza cuando la paícula se halla en los punos de máxima elongación. Si el móvil esá además someido a oas fuezas consevaivas hay que ene ambién en cuena sus coespondienes enegías poenciales en el cálculo de la enegía mecánica. Análisis enegéico paa una paícula unida a un esoe en posición hoizonal: Si una paícula se encuena unida a un esoe de longiud naual l y ése se esia o compime hasa alcanza una longiud la fueza que acúa sobe la paícula viene dada po la ley de Hooke: F k x siendo x la posición ocupada en cada insane po la paícula omando como oigen la posición de equilibio en la cual la longiud del esoe es l. a paícula efecúa un M.A.S. ecilíneo de elongación x descio po las ecuaciones ya visas del movimieno velocidad y aceleación angencial que coincide con la aceleación oal. n el insane en que el esoe esá esiado al máximo: C ya que al ocupa la paícula la posición de elongación máxima su velocidad es nula;

4 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 4 P k l que es su valo máximo. n la posición de equilibio: C k l. P. s deci la enegía poencial alcanza su valo mínimo y la enegía cinéica su valo máximo ya que la elongación se hace ceo y la velocidad se hace máxima. n el insane en que el esoe esá esiado al máximo: C ; P k l. s deci la enegía poencial vuelve a alcanza su valo máximo a cosa de que se anule la enegía cinéica de la paícula. Análisis enegéico paa una paícula unida a un esoe en posición veical: Consideemos un esoe de longiud l y consane amoiguadoa k que cuelga veicalmene de un echo. Si se cuelga de su emo libe una paícula de masa m ése se esiaá una longiud d hasa alcanza una nueva posición de equilibio en la que endá una longiud l l + d. De acuedo con la ª ley de Newon: m g k d Si ahoa se esia o compime el esoe hasa que alcanza una longiud la paícula se enconaá a una disancia d + l de la longiud naual del muelle. Si en esa siuación se deja libe el esoe la paícula efecuaá un movimieno al que la fueza nea a la que esaá someida en cada puno seá: ( y d) F k y + mg k donde y epesena la posición de la paícula en cada insane medida desde la longiud naual del muelle y se ha omado el semieje posiivo OY hacia abajo. a paícula lleva a cabo po ano un M.A.S. en el que la elongación vale y d y la ampliud es l. as ecuaciones del movimieno velocidad y aceleación son: k y d + l sen + ϕ k k V l cos m k l k a sen m n el análisis enegéico seá necesaio ene en cuena la enegía poencial gaviaoia: + +. C Pe Pg

5 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 5 Tomaemos la longiud naual del muelle como oigen de las enegías poenciales elásica y gaviaoia. nonces: k k k C m v m l cos k l cos + ϕ m. Pe k y k [ d + l ] k d + k d l sen k + k l sen k Pg m g y k d k d l sen k m + donde el signo menos se debe a que se ha omado el semieje posiivo OY hacia abajo. nonces la enegía mecánica viene dada po: [( ) d ] M k l Al esa someida la paícula únicamene a las fuezas elásica y gaviaoia su enegía mecánica se maniene consane. n el puno más bajo de su ayecoia ( y d + l ) C ya que en ese momeno v ; Pe k ( d + l ) ; ( d + l ) Pg k d. cada enegía viene dada po: s deci la enegía poencial elásica alcanza su valo máximo y las enegías cinéica y poencial gaviaoia sus valoes mínimos. n la posición de equilibio ( y d) : C k l ; Pe k d ; k d. Pg s deci la enegía cinéica alcanza su valo máximo y la enegía poencial gaviaoia ha aumenado mienas que la enegía poencial elásica ha disminuido peo no se hace ceo debido a que el muelle esá esiado. y d l : n el puno más alo de la ayecoia ( ) C ya que en ese momeno v ; ( ) Pe k d l ; Pg k d d l. ( )

6 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 6 s deci la enegía poencial gaviaoia alcanza su valo máximo mienas que las enegías cinéica y poencial elásica alcanzan sus valoes mínimos. l péndulo simple. Péndulo simple. Paícula suspendida de un hilo inensible sin masa. Consideemos un péndulo simple de masa m y longiud que se desplaza un ángulo θ de su posición de equilibio y a coninuación se suela: a paícula se desplazaá a ambos lados de su posición de equilibio. Consideaemos posiivos los ángulos siuados al lado deecho de la posición de equilibio y negaivos los del lado izquiedo. a velocidad de la paícula puede expesase: dθ v d as fuezas que acúan sobe la paícula son el peso y la ensión. Si omamos un sisema de efeencia en el que uno de los ejes sea angene a la ayecoia y el oo pependicula enemos que: m g senθ m a T m g cos θ m an Paa valoes de θ pequeños senθ θ en odo insane (si θ ' ad. senθ y θ difieen en menos de un %). Teniendo eso en cuena la pimea ecuación se ansfoma en: a g θ Si llamamos x a la longiud del aco desde la posición de equilibio hasa la posición que ocupe la paícula consideándola posiiva hacia la deecha y negaiva hacia la izquieda se iene que: g a x De acuedo con esa ecuación el péndulo simple efecúa un M.A.S. de ampliud: fecuencia angula: A θ y consane ecupeadoa: g

7 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 7 l peíodo del péndulo es: m g K T π Se dice que un péndulo bae segundos si T s. a velocidad máxima del péndulo que alcanzaá al pasa po la posición de equilibio seá: Péndulo compueso. v máx g g θ Péndulo compueso. Sólido ígido que puede oscila en ono a un eje que no pase po su ceno de gavedad. l peíodo de oscilación de un péndulo compueso es: siendo: I T π m g d I momeno de inecia del sólido especo del eje de suspensión; m masa del sólido; d disancia del ceno de masas al puno de suspensión. Se define la longiud equivalene de un péndulo compueso como: l peíodo puede expesase ambién como: e I m d T π e g Movimieno oscilaoio amoiguado. s el movimieno que efecúa una paícula que esá someida en odo insane en la diección de su movimieno a una fueza ecupeadoa F k x y a una fueza de ozamieno popocional a su velocidad λ v siendo λ una consane posiiva. F De no se po la fueza de ozamieno la paícula llevaía a cabo un M.A.S. Al aplica la º ley de Newon se obiene: m a k x λ v λ γ se denomina coeficiene de amoiguamieno y m oscilado sin amoiguamieno. nonces la ecuación aneio puede escibise: k fecuencia angula del m

8 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 8 d x dx + γ + x. d d Una solución de esa ecuación difeencial es: siendo A una consane posiiva y a ampliud del movimieno A e x γ () A e sen( ) γ. γ va disminuyendo exponencialmene: x so se debe a que la enegía mecánica de la paícula va disminuyendo ya que la fueza de ozamieno no es consevaiva. Movimieno oscilaoio fozado. s el que lleva a cabo una paícula someida en odo insane a una fueza peiódica en la diección de su movimieno F F cos ( ) además de a una fueza ecupeadoa F k x. Puede exisi ambién la fueza de ozamieno F λ v. Si no exisiea la fueza peiódica la paícula efecuaía un M.A.S. o un movimieno oscilaoio amoiguado. n el movimieno oscilaoio fozado as un cieo inevalo de iempo la paícula emina po oscila con ampliud consane y con la fecuencia angula de la fueza peiódica. Al aplica la ª ley de Newon obenemos: m a k x λ v + F cos a solución de esa ecuación difeencial es: siendo: A y m ( ) + 4 γ F () A sen( ϕ) x ϕ acg. γ ( ) a ampliud depende po ano de paámeos caaceísicos del oscilado y ambién de la fecuencia de la fueza peiódica aplicada. Se denomina fecuencia de esonancia a la fecuencia de la fueza aplicada paa la cual la ampliud del oscilado es máxima. Viene dada po:

9 Física. 5. Movimieno oscilaoio. 9 a ampliud máxima es enonces: A γ F m γ Po ano en el movimieno amónico fozado el oscilado puede alcanza gan ampliud aunque la fueza peiódica que se le aplica sea de pequeña ampliud. γ