Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física

Transcripción

1 Univesidad Cenal de Venezuela Faculad de Famacia Maemáica - Física. Resumen de la Teoía Guía de Tabajo y Enegía (Caso unidimensional).0 Poblema Fundamenal de la Mecánica El poblema fundamenal de la mecánica clásica consise en, dadas las fuezas que acúan sobe una paícula y las condiciones iniciales, descibi el movimieno fuuo de la paícula. Es deci, deemina la función posición en éminos del iempo. Desde un puno de visa maemáico, ese poblema consise en esolve una ecuación difeencial someida a condiciones iniciales. Más específicamene, había que esolve el siguiene poblema de valoes iniciales o poblema de Cauchy: m. ( ) F (0) 0 0) v0 donde la fueza F, en geneal, podía depende del iempo, la posición y la velocidad v. O sea, F F(,, v). Ese poblema es muy complejo desde el puno de visa maemáico, ya que la ecuación difeencial aneio es una ecuación difeencial vecoial que equivale a es ecuaciones difeenciales escalaes, una po cada componene, en el caso idimensional. Si nos esingimos al caso en el cual la fueza depende únicamene de la posición, es deci, F F( ), eise una meodología que pemie esolve el poblema de una foma elaivamene sencilla. Esa meodología conduce a las nociones de abajo y enegía. En esa guía aaemos el caso unidimensional.. Tabajo y enegía cinéica en el caso unidimensional: Supongamos una paícula de masa m que se mueve a lo lago de una línea eca bajo la acción de una fueza F que depende únicamene de la posición, digamos una fueza del ipo F F( ( )), donde () designa la función posición de la paícula en el insane y sea ( ) y ( ).

2 Enonces, la ecuación de movimieno, de acuedo a la segunda ley de Newon, es: m. ( ) F( ( )) Si muliplicamos ambos miembos de esa ecuación po la velocidad v obenemos: m. ( ). ) F( ( )). ) Si inegamos ambos miembos con especo al iempo ene y, obenemos: [ m. ( ). ) ] d [ F( ( )). ) ] Tabajando la inegal del lado izquiedo, podemos escibi el inegando de la siguiene foma: m. ( ). ) m. v ( ). ) ya que ()). demás, po Regla de la Cadena se iene que: [ v ( ) ] v ( ). ) Luego, la inegal del lado izquiedo puede escibise así: d [ m. ( ). ) ] d m [ ) ] d m[ ) ] Si a la canidad m [ ) ] la llamamos K (enegía cinéica de la paícula), enonces la inegal aneio puede escibise así: [ m ( ). ) ]. d K( ) K( ) K

3 3 Tabajando la inegal del lado deecho, podemos hace el cambio de vaiable () de donde se iene que: Luego, la inegal queda así: d ( ) d ) d [ F ( ( )). ) ] d F( ) d Si llamamos a la inegal F ( ) d el abajo ealizado po la fueza F paa move la paícula desde hasa, la inegal del lado deecho puede escibise así: [ F ( ( )). ) ] d Combinando las dos epesiones, obenemos: K lo cual nos dice que: La vaiación de la enegía cinéica ene dos insanes de iempo es igual al abajo ealizado po la fueza paa move la paícula desde la posición inicial hasa la posición final El enunciado aneio se conoce con el nombe de Teoema del Tabajo y la Enegía, el cual es válido paa cualquie fueza dependiene de la posición... Fuezas consevaivas y enegía poencial: Una fueza F, dependiene de la posición, se denomina consevaiva si eise oa función U() asociada a F al que:

4 4 F( ) du d Luego, si F es consevaiva, podemos sepaa vaiables en la ecuación difeencial aneio y obene lo siguiene: F( ) d du Inegando ambos miembos desde hasa, obenemos F ( ) d du U ( ) + U ( La función U(), cuando eise, se denomina enegía poencial asociada a la fueza F. ).3. Teoema de consevación de la enegía mecánica Supóngase una paícula de masa m someida a una fueza consevaiva F() con F( ) du d paa alguna función U(). Si K designa a la enegía cinéica de la paícula, enonces la canidad EK+U se llama enegía mecánica de la paícula. Teoema (de consevación de la enegía mecánica): Considéese una paícula de masa m someida a una fueza consevaiva F () con enegía poencial U y enegía cinéica K. Enonces, la enegía mecánica E de la paícula se conseva. Pueba: Sean ( ) y ( ), paa, cualesquiea. Po el Teoema del Tabajo y la Enegía, sabemos que: K K( ) K( ) Como F() es consevaiva, se iene que:

5 5 F( ) d du U ( ) + U ( ) Enonces, podemos conclui que: K ) K( ) U ( ) + U ( ) K ) + U ( ) K( ) + U ( ) ( ( O sea, E ( ) E( ) Paa cualesquiea insanes de iempo,. Lo cual dice que la enegía mecánica oal se conseva a avés del iempo..4. Casos paiculaes paa la enegía poencial: i) Enegía poencial gaviaoia: En ese caso, F ( y) m. g. Po lo ano: U ( y) siempe que se escoja U(0)0. iii) Enegía poencial de un esoe: y F( y) dy + U (0) ( mg) dy + U (0) y mgy Po la Ley de Hooke, F ( ) k., donde k es la consane del esoe. Luego, U ( ) F( ) d + U (0) ( k) d + U (0) k si escogemos U(0)0. Obsevaciones: Nóese que lo único que podemos calcula aceca de U son los cambios en U y no la U popiamene dicha. Po lo geneal, lo que se hace es asigna abiaiamene el valo ceo a la enegía poencial del cuepo cuando esá en la posición de efeencia 0 y se escoge como posición de efeencia aquella en la cual la fueza que acúa sobe el cuepo es ceo.

6 6 Univesidad Cenal de Venezuela Faculad de Famacia Maemáica - Física. Resumen de la Teoía.0 Peliminaes maemáicos Guía de Tabajo y Enegía (Caso Geneal) i) Definición de la inegal de línea: Definición : Una función α : [a, b] R coninua se llama una cuva en R. Definición : Sea α : [a, b] R una cuva en R y sea una función f:r R (es deci, un campo vecoial) definida y acoada sobe la gáfica de α. La inegal de línea de f a lo lago de α, noada po el símbolo f d α, se define así: b f d α f ( α ( )) α '( ) d a si la inegal del segundo miembo eise. Si α (a) y α (b) epesenan los punos eemos de la cuva, a veces la inegal de línea se epesena po el símbolo: f d α y se denomina la inegal de línea de f desde hasa a lo lago de α. ii) Deivadas paciales y gadiene: Definición 3: Sea una función ϕ:r R (es deci, un campo escala). Se definen las deivadas paciales de ϕ especo a e y, especivamene, así: ϕ lim ϕ( + h, y) ϕ(, h 0 h ϕ lim ϕ(, y + h) ϕ(, y h 0 h y) y)

7 7 sí, una deivada pacial se obiene maneniendo fija una vaiable (consideándola como consane) y omando la deivada odinaia especo a la oa vaiable. Definición 4: Sea ϕ un campo escala ϕ: R R. Se define el gadiene de ϕ, noado ϕ, así: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (, y) iˆ + ˆj, y y sí, el gadiene ϕ de una función ϕ asocia un veco a un puno (, y). iii) Teoema Fundamenal del Cálculo (paa inegales de línea) Teoema: Sea f:r R un campo vecoial coninuo y supongamos que f ϕ paa algún campo escala ϕ deivable. Sea α una cuva sobe R que une los punos y. Enonces: f d α ϕ( ) ϕ( ) y además la inegal de línea de f es independiene de la cuva α que une los punos y. (Lo acepaemos sin pueba). Tabajo: Definición 5: Supongamos una paícula de masa m que se mueve a lo lago de una cuva en el plano bajo la acción de un campo de fuezas f. Designemos po () la función posición de la paícula en el insane y sea ( ) y ( ). Enonces se define el abajo ealizado po f duane el inevalo de iempo [, ] como: Casos paiculaes: f d i) Fueza consane: en ese caso enemos que f(())f (veco consane) y enonces f d f ( ( )) '( ) d f '( ) d f ( ) f [ ( ) ( )] O sea, f d

8 8 donde ) ( ) es el veco desplazamieno ene y. d ( ii) Fueza vaiable en una dimensión: en ese caso, f f ( ) iˆ ( ) ( ) iˆ. Supongamos además que ( ) y que ( ). Luego, y f d [ f ( ( ))ˆ i '( ) iˆ] d f ( ( )) '( )(ˆ i iˆ) d f ( ( )) '( ) d O sea, f ( ) d.. Teoema del abajo y la enegía: Definición 6: Supongamos una paícula de masa m que se mueve de al manea que su apidez en el insane es ). Enonces su enegía cinéica K se define así: K m v ( ) Teoema (del abajo y la enegía): si una paícula de masa m se mueve a lo lago de una cuva en el plano bajo la acción de un campo de fuezas f enonces la vaiación de la enegía cinéica en cualquie inevalo de iempo es igual al abajo ealizado po f duane dicho inevalo, o sea, K donde ( ) y ( ). Pueba: Po segunda ley de Newon, f ( ( )) m ''( ) f ( ( )) '( ) m ''( ) '( ) Luego, inegando ambos miembos especo a, enemos f ( ( )) '( ) d m hoa bien, nóese que ''( ) '( ) d ( ' ')' '' ' + ' '' '' ' Luego,

9 9 '' ' Enonces, ( ' ' ) ' ( ') ) ' ( v ) ' m m ''( ) '( ) d ( ') )' d m( ') mv K.3. Teoema de consevación de la enegía mecánica Definición 7: un campo vecoial f:r R se llama consevaivo si eise un campo escala ϕ:r R al que f ϕ. Una al función ϕ se llama una función poencial paa f. Definición 8: Supóngase una paícula de masa m someida a una fueza consevaiva f con f ϕ, paa alguna función poencial ϕ. Enonces: U ( ) ϕ( ) se llama la enegía poencial de la paícula. La canidad EK+U se llama enegía mecánica de la paícula. Teoema (de consevación de la enegía mecánica): Considéese una paícula de masa m someida a una fueza consevaiva f con f ϕ, paa una función poencial ϕ. Enonces, la enegía mecánica de la paícula se conseva. Pueba: Sean ( ) y ( ), paa, cualesquiea. Ya sabemos que: K K( ) K( ) Po Teoema Fundamenal del Cálculo paa inegales de línea, se iene: Enonces, podemos conclui que: K ( f d ϕ( ) ϕ( ) ) K( ) ϕ( ) ϕ( ) K ) ϕ( ) K( ) ϕ( ) ( O sea, K ) + U ( ( )) K( ) + U ( ( )) E( ) E( ) ( Lo cual dice que la enegía mecánica oal se conseva a avés del iempo.

10 0 Univesidad Cenal de Venezuela Faculad de Famacia Maemáica - Física Guía de Tabajo y Enegía (Poblemaio). Un hombe que va coiendo iene la miad de la enegía cinéica de un niño que iene la miad de su masa. El hombe aumena su apidez en.0 m/s y enonces iene la misma enegía cinéica que el niño. Cuáles ean las velocidades iniciales del hombe y del niño? (Soluc. Hombe:.4 m/s, niño: 4.8 m/s). Un auomóvil de 000 kg esá moviéndose a 60 Km/h sobe una caeea a nivel. Se aplican los fenos con la fueza suficiene paa efecua un abajo de Joules. a) Cuál es la apidez final del auomóvil? b) Qué abajo debe efecuase po los fenos paa deenelo? (Soluc. a) 40 km/h b) J) 3. Un cuepo de 0.0 kg de masa cae de una alua de 3 m sobe un monón de aena. Si el cuepo penea 3 cm anes de deenese, qué fueza consane ejeció la aena sobe él? (Soluc. 98 N) 4. Una bola de 0.40 kg es lanzada hoizonalmene desde la cima de una colina, a 0 m de alua, con una velocidad de 6 m/s. Calcula: a) la enegía cinéica inicial de la bola, b) su enegía poencial inicial, c) su enegía cinéica al choca con el suelo y d) su velocidad al choca con el suelo (Soluc. a)7. J b) J c) J d) 48.8 m/s) 5. Un cuepo de 0.5 kg de masa es solado desde una alua de m sobe un pequeño esoe veical sujeo al suelo y cuya consane es k000 N/m. Calcula la máima defomación del esoe. (Soluc m) 6. Se apoya una cadena sobe una mesa sin ficción con un quino de su longiud colgando desde el bode. Si la cadena iene una longiud l y una masa m, Qué canidad de abajo se equeiá paa jalala hasa apoyala de nuevo oalmene sobe la mesa? (Soluc. mgl/50) 7. Un poyecil de 0 kg se dispaa diecamene hacia aiba con una velocidad inicial de 500 m/s a) cuál es la enegía poencial del poyecil en el máimo de su ayecoia? b) cuál seía la máima enegía poencial si el poyecil hubiese sido dispaado con un ángulo de 45 en luga de habelo hecho diecamene hacia aiba?(soluc. a).30 6 J b) J) 8. Desde una venana se aoja una peloa de 50 g con una velocidad inicial de 8.0 m/s y con un ángulo 30 po encima de la hoizonal. Deemina: a) la enegía cinéica de la peloa en el máimo de su vuelo y b) su apidez cuando esá a 3.0 m po debajo de la venana. (Soluc. a). J b) m/s)

11 9. Dos niños esán jugando a un juego en el cual aan de pegale a una cajia en el suelo, usando una pisola de balines accionada po un esoe y que esá colocada hoizonalmene sobe una mesa sin ficción (ve figua). El pime niño compime el esoe en.0 cm y el balín cae a 0 cm po delane del blanco, cuya disancia hoizonal al bode de la mesa es de.0 m. Cuáno debeá compimi el esoe el segundo niño paa que el mismo balín caiga deno de la caja? ( Soluc.. cm).0 m 0. El esoe de una pisola auomáica iene una consane elásica de 7.79 Nw/m. Cuando la pisola se inclina un ángulo de 30, se poyeca una bala de gamos hasa una alua de.83 m. En cuáno se habá compimido inicialmene el esoe? (Soluc. 38. cm)