UNIDAD 11. ESPACIOS VECTORIALES.

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1 Unidad. Espacios vecoiales UNIDAD. ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios vecoiales.. Definición.. Ejemplos. Subespacio Vecoial.. Definición.. Condición necesaia y suficiene.. Combinación Lineal. Sisema Geneado. Dependencia e Independencia Lineal. 5. ase de un Espacio Vecoial. Teoema de la ase. 6. Coodenadas de un veco. José Luis Loene Aagón

2 Conexo con la P.A.U. Unidad. Espacios vecoiales Ése es un ema que aunque en el índice se ha incluido en el loque de Álgeba lineal, podía ambién incluise en el loque de Geomeía. Peende así sena las bases eóicas de los dos siguienes emas. Aunque en los exámenes de maemáicas de PAU no suele habe ningún ejecicio elacionado con ese ema he consideado impoane incluilo, ano po esa en el emaio de la asignaua como po su impoancia en las caeas de índole ecnológica como ingenieías, maemáicas, químicas o físicas.. Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

3 Unidad. Espacios vecoiales. Espacios vecoiales.. Definición. Definición : Sea V un conjuno; se llama opeación inena de V a una aplicación que nos elaciona dos elemenos de V con oo de V. El ejemplo más uilizado es el de la suma: : VxV V u, v uv Ejemplo: sea VR el conjuno de los vecoes en el plano( R {(x,y): x,y R});veamos como la suma de vecoes en el plano es una opeación inena: : R x R R u ( x, y), v ( x', y' ) u v ( x x, y y') Definición : Sea V un conjuno, se llama opeación exena de V sobe R a una aplicación que nos elaciona un elemeno de V y oo de R con oo de V. El ejemplo más uilizado es el del poduco escala: : RxV V, v v Ejemplo: sea R el conjuno de los vecoes en el plano, veamos como el poduco de un escala y un veco en el plano es una opeación exena: : Rx R R, v ( x, y) v ( x, y) Definición: Un conjuno V es un espacio vecoial sobe R si cumple:. Tiene una opeación inena (suma) al que cumple las siguienes popiedades: u,v,w V :VxV i) conmuaiva: uvvu ii) asociaiva (uv)wu(vw) V iii) elemeno neuo:exise un elemeno de V,que denoamos,al que uu iv) elemeno opueso: paa odo elemeno u exise oo, -u, al que u(-u). Tiene una opeación exena (poduco escala) al que cumple las siguienes popiedades:, µ R, u,v V :RxV i) Disibuiva con R: (µ) u uµ u ii) Disibuiva con V: (uv) u v iii) Asociaiva: ( µ) u (µ u) iv) Elemeno neuo: uu V José Luis Loene Aagón

4 Unidad. Espacios vecoiales Al conjuno V, con las aneioes opeaciones y popiedades se le denomina espacio vecoial, y se epesena po la ena (V,, R). Los elemenos peenecienes a V se les llama vecoes, siendo escalaes los peenecienes a R (se suelen uiliza las leas giegas minúsculas)... Ejemplos de Espacios Vecoiales En ese apaado vamos a ve vaios ejemplos de espacios vecoiales. El oigen de la esucua maemáica del espacio vecoial son el conjuno de los vecoes en el plano, R, y el conjuno de los vecoes en el espacio, R, anas veces uilizados en la física (velocidad, aceleación, posición ), si bien exisen muchos oos espacios vecoiales como veemos a coninuación.. Conjuno de los vecoes en el plano con las opeaciones de la suma de vecoes y el poduco escala (R,, R). Demosación. Opeación inena: u (x,y), v (x,y ), w ( x' ', y' ') : R x R R u ( x, y), v ( x', y' ) u v ( x x, y y') i) Conmuaiva: u v ( x x', y y' ) ( x' x, y' y) v u ii) Asociaiva: ( u v) w (( x x' ) x'',( y y') y'' ) ( x ( x' x' '), y ( y y')) u ( v w) iii) Elemeno neuo: u ( x, y) (,) ( x, y) u iv) Elemeno opueso: u ( u) ( x, y) ( x, y) (,). Opeación exena: : Rx R R, v ( x', y' ) v ( x, y ) i) Disibuiva en R: ( µ ) u (( µ ) x,( µ ) y) ( x µ x, y µ y) ( x, y) µ ( x, y) u µ u ii) Disibuiva en R : ( u v) ( x x', y y') ( ( x x'), ( y y')) ( x, y) ( x', y') u v iii) Asociaiva: ( µ ) u (( µ ) x,( µ ) y) ( µ x, µ y) ( µ u) iv) Elemeno neuo u ( x, y) ( x, y) u Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

5 Unidad. Espacios vecoiales. El conjuno de los vecoes en el espacio, R {(x,y,z):x,y,z R} con las opeaciones de la suma de vecoes y el poduco escala (R,, R). Demosación: La demosación es equivalene a la visa pa los vecoes en el plano, con la salvedad de que hay que añadi una coodenada más.. El conjuno de los polinomios con gado n con coeficienes eales, P n (R), con las opeaciones de la suma de polinomios y el poduco escala (P n (R),, R). Demosación:. Opeación inena: p(x)a n x n a xa ; q(x) a n x n a xa, h(x) a n x n a xa : Pn(R)xPn(R) Pn(R) p(x),q(x) p(x)q(x)(a n a n )x n (a a ) i) Conmuaiva: p(x)q(x) (a n a n )x n (a a ) (a n a n )x n (a a )q(x)p(x) ii) Asociaiva: (p(x)q(x))h(x) ((a n a n )a n )x n ((a a )a ) (a n (a n a n ))x n (a (a a ))p(x)(q(x)h(x)) iii) Elemeno neuo: p(x)(x)(a n )x n (a ) a n x n a p(x) iv) Elemeno opueso: p(x)(-p(x)) (a n - a n )x n (a ) x n (x). El conjuno de las maices en cualquie dimensión, M nxm (R), con las opeaciones de la suma y del poduco escala (M nxm (R),, R). Demosación: La demosación es ivial, aplicando las popiedades de la suma y el poduco de númeos eales en cada coeficiene de las maices. A ealiza po el alumno en casa. Ejecicio : deci si son espacios vecoiales los siguienes conjunos con las opeaciones indicadas. a) Las maices cuadadas con opeación inena el poduco de maices y el poduco escala, como opeación exena b) R con el poduco escala como opeación exena y la siguiene suma como opeación inena: : R xr R (x,y),(x,y ) (xx -(yy ),) a) Veamos si el conjuno de las maices cuadadas con el poduco de maices como opeación inena es espacio vecoial:. Opeación inena: : M nxn (R)x M nxn (R) M nxn (R) A, A José Luis Loene Aagón 5

6 Unidad. Espacios vecoiales i) Conmuaiva A A (po lo geneal las maices no conmuan), luego no es espacio vecoial con el poduco como opeación inena (sí es espacio cuando la opeación inena es la suma de maices, como vimos). b) Veamos si R, con la suma aneiomene definida como opeación inena, es espacio vecoial:. Opeación inena: i) Conmuaiva: enemos que ve si se cumple que u vv u : u v ( x x' ( y y'),) v u ( x' x ( y' y),) ii) Asociaiva: enemos que ve si (u v) wu (v w): v u v w ( x x' ( y y'),) ( x' ', y'' ) (( x x' ) x'' (( y y') y' '),) ( ) u ( v w) ( x, y) ( x' x' ' ( y' y'' ),) ( x ( x' x' ') ( y ( y' y'' )),) iii) Elemeno neuo: no exise, pues sea cual sea ese veco, nos anula la segunda coodenada del veco. Veamos, suponiendo que el elemeno neuo es v (,): u ( x ( y ),) ( x y,) u Luego no es espacio vecoial el conjuno de los vecoes en el plano con la suma como opeación inena.. Subespacio vecoial.. Definición Definición: Sea (V,, R) un espacio vecoial y W un subconjuno de V (W V). Se dice que W es subespacio vecoial de V si W, con las opeaciones definidas en (V,, R), se compoa como un espacio vecoial, es deci, cumple las popiedades definidas en apaado aneio. En la pácica no es necesaio volve a compoba nuevamene las difeenes popiedades de las opeaciones inena y exena sobe W. Veamos una condición necesaia y suficiene en el siguiene subapaaado... Condición suficiene y necesaia Teoema: Sea (V,, R) un espacio vecoial y W un subconjuno de V (W V); (W,, R) es subespacio vecoial de V si cumple las siguienes poposiciones: ) u,v W uv W (ceado con la suma). ) u V, R u W (ceado con el poduco escala). 6 Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

7 Unidad. Espacios vecoiales Ejemplo: Esudia cuales de los siguienes subconjunos de R vecoiales son subespacios a) S{(,y): y R}. u (,y), v (,y ) S u v (, y y' ) S, pues yy R y la pimea coodenada es nula. u (,y) S, R u (, y) S, pues y R y la pimea coodenada es nula Es subespacio, al cumpli las dos condiciones. b) T{(x,): x R}. u (x,), v (x,) T u v ( x x',) T, pues la segunda coodenada no es. No es subespacio, pues no cumple la pimea condición. c) A{(x,y):xy}, se puede expesa de la siguiene foma: A{(x,-x):x R}.. u (x,-x), v (x,-x ) A u v ( x x', ( x x' )) A pues la segunda coodenada es la opuesa a la pimea.. u (x,-x) A, R u ( x,- x) A, pues la segunda coodenada es la opuesa a la pimea. Es subespacio al cumpli las dos condiciones. Ejecicio : Deci si los siguienes subconjunos son o no subespacios vecoiales a) Maices siméicas de dimensión n, S n (R) subespacio vecoial de las maices cuadadas de dimensión n (M nxn (R),, R).. A, S n (R) Aa ij A a ji b ij b ji C C c ij ( A ) A a c ji ij a b ji ij b ji como a ij a ji y b ij b ji C C A S n (R). R, A S n (R) Dd ij A a ij a ji d ji ( A)( A) A S n (R) Es subespacio vecoial (S n (R),, R) Ejemplo: 5 5 (Iden maices anisiméicas) b) Maices iangulaes infeioes de dimensión n, T i n(r) subespacio vecoial de las maices cuadadas de dimensión n (M nxn (R),, R). A T i n(r) a ij j>i (los elemeno encima de la diagonal son nulos). A, T i n(r) :Cc ij Aa ij b ij si j>i pues a ij b ij A T i n(r). A T i n(r) y R: Dd ij Aa ij i>j pues a ij A T i n(r) Es subespacio vecoial (T i n(r),, R) (Iden iangulaes supeioes). José Luis Loene Aagón 7

8 Unidad. Espacios vecoiales c) El conjuno de polinomios de gado meno o igual que m, P m (R), es subespacio vecoial del conjuno de polinomios con gado meno o igual que n, P n (R),(n>m).. p(x), q(x) P m (R) p(x)q(x) P m (R) (sumando polinomios de gado meno que m el esulado es oo polinomio de gado meno que m). p(x) P m (R) R p(x) P m (R) (el poduco de un polinomio po un nº eal es oo polinomio de mismo gado) Ejecicio. Deci si son subespacios vecoiales de (R,, R) a) A{(x,y,): x,y R} Subespacio. (x,y,),(x,y,) A (x,y,)(x,y,)(xx, yy,) A, pues la ecea coodenada es nula y la pimea y la segunda son eales.. (x,y,) A, R (x,y,)(x,y,) A, pues la ecea coodenada es nula y la pimea y la segunda son eales. b) {(x,y,-x-y): x,y R} Subespacio. (x,y,-x-y), (x,y,-x -y ) (x,y,-x-y) (x,y,-x -y ) ((xx ),(yy ),-(x-y-x -y )) pues la ecea coodenada es la opuesa a la suma de las dos pimeas coodenadas. (x,y,-x-y), R (x,y,-x-y) (x,y,(-x-y)) pues la ecea coodenada es la opuesa a la suma de las dos pimeas coodenadas c) C{(x,x,x): x R} Subespacio. (x,x,x), (x,x,x ) C (x,x,x)(x,x,x ) ((xx ),(xx ),(xx )) C pues la segunda coodenada es el doble de la pimea y la ecea el iple de la pimea. (x,x,x) C, R: (x,x,x)(x,x,x) C, pues la segunda coodenada es el doble de la pimea y la ecea el iple de la pimea d) D{(x,y,z):xy,x,y,z R}{(x,-x,z):x,z R} No es Subespacio. (x,-x,z), (x,-x,z ) D (x,-x,z) (x,-x,z ) (xx,6-(xx ),zz ) D, pues la ª coodenada no es como la del subespacio. e) E{(x,y,z): x z x,y,z R}{(x,y,/x) :x,y R} No es Subespacio. (x,y,/x),(x,y,/x ) E : (x,y,/x) (x,y,/x ) (xx,yy,/x/x ) D. Pues /x/x /(xx ) f) F{(x,y,z):xy x,y,z R}{(y,y,z):y,z R} No es Subespacio. (y,y,z), (y,y,z ) F : (y,y,z)(y,y,z )(y y,yy,zz ) F, pues (yy ) y y 8 Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

9 Unidad. Espacios vecoiales. Combinación lineal. Sisema Geneado. Definición: Un veco v V es combinación lineal de los vecoes {v,v,,v n }si se puede escibi de la siguiene foma: v v v n v n con,,, n R Ejemplos:. (7,) R es combinación lineal de los vecoes { i (, ), j (,) }: (7,)7(,)(,) 7,. (,,-5) R es combinación lineal de los vecoes, {(,,) y (,,)}: (,,-5)(,,)-5(,,), es combinación lineal de { u x u y,,, } : 5 5-5, -,,. p(x)x5x es combinación lineal de {-x, x }: p(x)x5x (-x)5 (x ), 5 Definición: un conjuno de vecoes {v,,v n } de un espacio vecoial (V,, R), es sisema geneado de V si cualquie veco del espacio V se puede escibi como combinación lineal de ésos. Ejemplos:. Los vecoes { i (, ), j (,) } genean el espacio vecoial R. Demosación: u x u y v (x,y) R veamos que es combinación lineal de esos dos vecoes: (x,y)x(,)y(,) x, y y j i v v. Los vecoes { ux i (,,), uy j (,,), uz k (,,) } R. Demosación: x son geneadoes de v (x,y,z) R veamos que es combinación lineal de esos dos vecoes: (x,y,z)x(,,)y(,,)z(,,) x, y, z. José Luis Loene Aagón 9

10 Unidad. Espacios vecoiales. Los vecoes (,,), (,,) no genean R pues, po ejemplo, el veco (,,) no se puede expesase como combinación lineal de esos, ya que no exisen valoes de, al que (,,) (,,) (,,)(,, ). Veamos: No solución pues. Los vecoes (,), (,) si son geneadoes de R : v (x,y) R veamos que es combinación lineal de esos dos vecoes: (x,y) (,) (,) x y. x, y-x (x,y)x(,)(y-x)(,). Las maices,,, Demosación: a a a a a a a son geneadoes de M x (R). a Teoema : Un conjuno de vecoes {v,,v m } es geneado del espacio (V,, ), si el ango de la maiz (v,,v m ) es igual a la dimensión del espacio vecoial (qué se definiá en el apaado 5 de ese ema). Ejemplo: Demosa, que si los siguienes vecoes {(,,), (,,-), (,,), (,,-)} genean R. Como se demosaá en el apaado 5, la dimensión de R es. Veamos si el ango de es igual a la dimensión: ang( ) Genean Ejecicio : Deci si genean los siguienes vecoes de R {(,,), (,,), (,,-)} Tendemos que ve si paa cualquie veco v(x,y,z) R compobaemos si es posible ponela como combinación lineal de los es vecoes: (x,y,z) (,,) (,,) (,,-) x y z - Tendá solución paa cualquie valo de x,y,z si el sisema es compaible; es deci, si ang(). Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

11 Unidad. Espacios vecoiales ang() No genean.. Dependencia e independencia lineal. Definición: Los vecoes {v,v,,v n } son linealmene dependienes si podemos encona númeos eales, i, al que: v v n v n en donde al menos un i Definición: Los vecoes{v,v,,v n }son linealmene independienes si no son linealmene dependienes; es deci, si cumple la siguiene igualdad v v n v n sólo ciea cuando n (solución ivial) Teoema : Si los vecoes {v,v,,v n }son linealmene dependienes, enonces, cualquiea de ellos se puede expesa como combinación lineal del eso. Si son linealmene independienes ninguno de ellos se podá expesa como combinación lineal del eso. {v,v,,v n } L.D. v i µ v µ i- v i- µ i v i µnv n {v,v,,v n } L.I. v i no se puede expesa como combinación lineal del eso. Teoema : Los vecoes {v,v,,v n }son linealmene independienes si el ango de la maiz (v,,v n ) es igual al nº de vecoes, n, (ang()n). En el caso de que sea meno, enonces, son linealmene dependienes ang((v,v,,v n ))n L. I. ang((v,v,,v n ))<n L. D. Ejemplos:. (,), (,), (,) veamos si son L.I. o L.D. : (,) (,) (,)(,), -, es solución. Linealmene dependienes. Teoema : (,)(,)-(,) Teoema : Es un sisema homogéneo compaible indeeminado( ang()) José Luis Loene Aagón

12 Unidad. Espacios vecoiales Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU. (,,), (,,), (,,) veamos si son L.D. o L.I.: (,,) (,,) (,,)(,,). Tenemos que la única solución es linealmene independiene, ya que el sisema es compaible deeminado. Teoema : (,,) µ (,,)µ (,,) Teoema : ang().. {, x, x } veamos son L.D. o L.I. x (x )xx El sisema es compaible indeeminado; una solución disina de la ivial es,, -. Linealmene dependiene Teoema : x x Teoema : ang(). Ejecicio 5: ve si son L.D. o L.I. a) (,,), (,,), (,,) (,,) (,,) (,,)(,,) La solución es y -, luego exise alguna solución disina de la ivial ( -,, ). Linealmene dependiene. Noa: Siempe que en el conjuno de vecoes haya dos iguales o popocionales (como los dos pimeos), el sisema es linealmene dependiene Teoema : (,,)(,,)(,,) Teoema : ang()

13 Unidad. Espacios vecoiales José Luis Loene Aagón b) (,,), (,,), (,,) (,,) (,,) (,,)(,,) La única solución es, luego los vecoes son linealmene independienes. Teoema : (,,) µ (,,)µ (,,) Teoema : ang(). c) (,,), (,,-) (,,) (,,-)(,,) Única solución es. Los vecoes son linealmene independiene Teoema : (,,) µ(,,-) Teoema : ang()nº vecoes d) (,,5), (,,), (,-,) (,,5) (,,) (,-,)(,,) 5 5 Tiene infinias soluciones, y R. Po ejemplo una solución no ivial puede se,. Luego los vecoes son linealmene dependienes. Noa: Siempe que uno de los vecoes sea el veco nulo, el conjuno de vecoes es linealmene dependiene Teoema : (,,) (,,5) (,-,) Teoema : ang(). Ejecicio 6: ve si son L.D. o L.I. a),,

14 Unidad. Espacios vecoiales Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU Tiene única solución. Luego el conjuno de vecoes (maices) son linealmene independienes. Teoema : µ µ Teoema : ang() b),,,,,, Tiene infinias soluciones ( ), po ejemplo, -. Luego el conjuno de las maices son linealmene dependienes. Teoema : Teoema : ang() 5. ase de un espacio vecoial. Teoema de la ase Definición: Dado un conjuno de vecoes {v,v,,v n } en un espacio vecoial (V,, R) foman una base si cumplen las dos siguienes condiciones:. linealmene independienes. sisema geneado de V Teoema de la base: Todas las bases de un espacio vecoial V ienen el mismo númeo de vecoes. Al númeo de vecoes se le llama dimensión del espacio vecoial. Ejemplos:. (R,, R) es espacio vecoial de dimensión, pues {(,), (,)}son base al se linealmene independienes y genean. A demosa po el alumno. (R,, R) es espacio vecoial de dimensión, pues {(,,), (,,), (,,)}son base, al se linealmene independienes y genea. A demosa po el alumno

15 Unidad. Espacios vecoiales. (M mxn (R),, R) es espacio vecoial de dimensión m n. Ejemplo M x (R) dimensión, pues {,,, } son base al se linealmene independiene y genea. A demosa po el alumno. P n (R) es un espacio vecoial de dimensión n, pues {,x,x,,x n } son base al genea y se linealmene independienes. A demosa po el alumno Teoema : Si un conjuno de n vecoes {v,, v n }es base de (V,, R), siendo la dimensión de V igual a n : a) Se cumple que si son linealmene independienes, enonces son geneado de V; y al evés, si genean son linealmene independienes. b) Se cumple que si son linealmene dependienes, enonces no genean V; y al evés, si no genean son linealmene dependienes. De esa manea, paa ve si un conjuno de n vecoes en un espacio de dimensión n es una base, sólo hay que compoba que son linealmene independienes o genean; no haá fala compoba las dos condiciones. Po lo geneal es más fácil ve que son L.I. Teoema 5: Un conjuno de vecoes {v,, v n } consiuye una base si la maiz (v,,v n ) es cuadada (mismo nº vecoes que la dimensión) y su deeminane (linealmene independienes). Teoema 6: Si el conjuno de vecoes {v,, v m }peenece al espacio vecoial (V,, R) de dimensión n<m, enonces esos vecoes son linealmene dependienes. Teoema 7: Si el conjuno de vecoes {v,, v m } peenece al espacio vecoial (V,, R) de dimensión n>m, enonces esos vecoes no genean a V. Ejecicio 7: Compoba si los siguienes vecoes son linealmene independienes, genean y si son base de sus especivos espacios vecoiales. a) {(,), (,), (5,)} son es vecoes en un espacio vecoial de dimensión, luego los vecoes son linealmene dependienes, y po lo ano no son base. Veamos si genean; paa eso esudiemos el ango de 5 ang() Genean b) {(,), (,)} son dos vecoes al igual que la dimensión de R, pude sucede: a) Son base y, po lo ano, linealmene independienes y genean. b) No son base y, po lo ano, linealmene dependienes y no genean. Paa ve en qué caso nos enconamos miamos el deeminane de. esamos en el caso b) linealmene dependienes y no genean José Luis Loene Aagón 5

16 Unidad. Espacios vecoiales c) {(,), (5,)} son dos vecoes, igual que la dimensión de R, esamos en el mismo caso que en b). Veamos en ese caso en qué siuación nos enconamos: -5 Luego son base y po ano linealmene independienes y geneadoes. d) {(,,), (,,)} son dos vecoes en un espacio vecoial de dimensión, luego no son geneadoes, y po lo ano, ampoco son base. Es fácil de ve que son linealmene independienes, ya que los dos vecoes no son popocionales. Oo méodo es ve el ango de : Rang()numeo de vecoes linealmene independienes. e) {(,,), (,,), (,,-)} son, igual a la dimensión. Po lo ano esamos en la misma siuación que en b). Seán base o no según el valo de : son base de R, po lo ano, genean y son linealmene independienes. f) {x,-x,-xx } base de P (R) son vecoes en un espacio vecoial de dimensión. Veamos si son base calculando son base de P (R) y, po lo ano, genean y son linealmene independienes. g) {,,, }base de M x (R) son maices en un espacio pecoal de dimensión ; veamos si son base viendo el valo de 6. Coodenadas de un veco. -7 son base de M x (R) Teoema 8: Sea {v, v,, v n } una base del espacio vecoial (V,, R); enonces odo veco u V se puede escibi de foma única como combinación lineal de los vecoes. uµ v µ n v n. Los valoes (µ,µ,,µ n ) se llaman coodenadas de u en la base. Ejemplos: Ve las coodenadas del veco u (,, ) a) en la base canónica {(,,), (,,), (,,)}: 6 Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

17 Unidad. Espacios vecoiales José Luis Loene Aagón 7 (,,-)(,,)(,,)-(,,) las coodenadas,-. b) en la base {(,,), (,,-), (,,)} (,,-)µ (,,)µ (,,-)µ (,,) µ µ µ µ µ µ -7/, µ 5/, µ Luego las coodenadas en la base son µ -7/, µ 5/, µ Maiz de cambio de base,, y cambio de base invesa, - : Dada una base W{v,v,,v n }, la maiz es la fomada po las coodenadas de los vecoes de W. Así, cada columna de es un veco de W (v,,v n ). Esas maices nos pemien obene de foma ápida:. las coodenadas de la base canónica cuando nos dan las coodenadas en oa base. - las coodenadas en una base dada cuando enemos el veco definido en la base canónica. {ase W} {ase canónica} Ejemplo: W{(,,), (,,), (,,)} Sea w w v ) (,,5 un veco de R en coodenadas de W; el valo de v en coodenadas canónicas es : (7,,8) v (,,)(,,)5(,,) Obene las coodenadas de la base canónica en la base de W: w w x u ) (,, ) ( (,,)-(,,)(,,) -

18 Unidad. Espacios vecoiales 8 Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU w w y u ),, ( ) ( -(,,)(,,)(,,)(,,) w w z u ) (,, ) ( (,,) Obene las coodenadas de u (,,) en la base W: w w u ) (,, Ejecicio 8: Sea el espacio vecoial P (R); demosa que W{,(x-),(x-),(x-) } es base. Calcula las coodenadas de p(x)-xx en dicha base. Como el númeo de vecoes de W es, seá base si son linealmene independienes. Eso ocue si. ) ( iangula Luego W es base de P (R). La maiz es la maiz de cambio de base de W a la base canónica. Paa obene las coodenadas de p(x) en la base W endemos que calcula - p(x) w ) ( ) ( ) ( (,,,) x x x w

19 Unidad. Espacios vecoiales Ejecicios: Espacios vecoiales Ejecicio 9. Deci si los siguienes conjunos con sus opeaciones son espacios vecoiales. a. El conjuno de las maices cuadadas, M nxn (R), con las siguienes opeaciones: Inena : M nxn (R) x M nxn (R) A, M nxn (R) A (A) Exena el poduco escala de un númeo po una maiz b. El conjuno de los vecoes en el espacio, R, con las siguienes opeaciones: Inena: poduco vecoial :R xr : R (x,y,z),(x,y,z ) (yz -zy,zx -xz,xy -yx ) Exena: el poduco escala un númeo po un vecoes Subespacios vecoiales Ejecicio. Deci si son subespacios vecoiales a. A{p(x)a a x : a,a R} subespacio de P (R) b. {(x,-x,/x): x R} subespacio de R c. D n {maices diagonales} subespacio de M nxn Ejecicio. Halla las bases y la dimensión de los siguienes subespacios de R a. S{(x,y,z): x-z, x,y,z R} b. T{(x,,x): x R} Ejecicio. Halla el valo de b paa que el veco (,b,-) peenezca al subespacio geneado po los vecoes {(,,), (,-,5)}. Halla la foma geneal de ese subespacio. Combinación lineal, geneadoes, base. Coodenadas Ejecicio. Deci si los siguienes conjunos de vecoes son linealmene independienes, geneadoes y base. c. {(,,-), (,-,), (,,), (-,,)} de R d. {x, xx, x } de P (R) e.,,, de M x José Luis Loene Aagón 9

20 Unidad. Espacios vecoiales Ejecicio. Halla los valoes de x que hacen que los siguienes vecoes{(x,,), (x,6x,), (,x,5)} sean linealmene independienes Ejecicio 5. Esudia el conjuno de vecoes de R W{(,,),(,,), (,,)} foma base de R. En caso afimaivo expesa en esa base las coodenadas de (,,) Soluciones: Ejecicio 9. a.) Tenemos que compoba que la opeación inena definida cumple las siguienes popiedades: A,,C M x (R) i. Conmuaiva: A (A) A A (A) A ii. Asociaiva: (A ) C(A ) C( A ) C (A)C A ( C)A ( C )A ( C ) A (C) No se cumple la popiedad asociaiva, luego no es espacio vecoial. b) Tenemos que compoba que la opeación inena definida cumple las siguienes popiedades: u, v, w R i. Conmuaiva: u xv (yz -zy,zx -xz,xy -yx ) v xu (y z-z y,z x-x z,x y-y x) - u x v u xv Ejecicio No se cumple la popiedad conmuaiva, luego no es espacio vecoial. a.) Veamos si cumple las dos siguienes popiedades p(x), q(x) A, R b.) i. p(x)q(x)a a (a a ) x A, pues iene el émino independiene y el de segundo gado. ii. p(x) a a x A pues iene el émino independiene y el de segundo gado. Es subespacio u, v R; veamos si se cumple las dos popiedades i. u v ( x x', ( x x'), ), pues x x ' No es subespacio. x x' x x' c.) A, D n (R) R; veamos si se cumple las dos popiedades: Aa ij si i j, b ij si i j i. Cc ij Aa ij b ij si i j A D n (R) ii. Dd ij A a ij si i j A D n (R) Es subespacio. Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU

21 Unidad. Espacios vecoiales Ejecicio a) S{(x,y,z): x-z, x,y,z R}{(z,y,z): y,z R} Todo veco de S se puede pone como combinación lineal de (,,), (,,): (z,y,z)z (,,)y (,,) y,z R. La dimensión es ( paámeos libes) La base se consigue dando valoes a las vaiables (anos como la dimensión) y, z (,,) y,z (,,) b) T{(x,,x): x R} Todo veco de S se puede pone como combinación lineal de (,,): (x,,x)x (,,), x R. Dimensión ( paámeo libe). La base se consigue dando valoes a las vaiables (anos como la dimensión), x (,,) base de T Ejecicio (,b,-) <(,,), (,-,5)> (,b,-) (,,) (,-,5) 7, Ejecicio 7 (,b-) (,,) (,-,5)(,,-). Luego b 5 5 Llamaemos al subespacio {x(,,)y(,-,5)(xy,x-y,5y) x,y R} a) {(,,-), (,-,), (,,), (-,,)} son vecoes de R, cuya dimensión es, luego no pueden se linealmene independienes, y po lo ano, son linealmene dependienes. Paa ve si son geneadoes enemos que esudia el ango de la maiz. Si el ango es enonces seán geneadoes. ang(), luego son geneado de R. b) {x, xx, x }. La dimensión de P (R) es, igual que el númeo de vecoes. Pueden ocui dos cosas: ) Son linealmene independienes y geneadoes, luego base ) Son linealmene dependienes y no genean, luego no son base. Paa ve en cuál de los dos casos esamos veamos el valo del deeminane de., de(), luego esamos en el caso. José Luis Loene Aagón

22 Unidad. Espacios vecoiales Apunes de Maemáicas II paa pepaa el examen de la PAU c),,,, la dimensión es, igual que el númeo de maices, luego, al igual que en el apaado aneio, enemos que ve si el deeminane de los coeficienes es disino de ceo.. Las maices son linealmene independienes y geneadoes, y po lo ano base. Ejecicio {(x,,), (x,6x,), (,x,5)} linealmene independiene si el deeminane de los coeficienes es disino de ceo. ) ( 5 6 x x x x x x x ± R. Luego, independienemene del valo de x, los vecoes son linealmene independienes, y po lo ano base. Ejecicio 5 W{(,,),(,,), (,,)}, son base ya que el deeminane de es disino de ceo. 8 / / / / / (,,) w ), /, ( / / / / / /

23 Unidad. Espacios vecoiales José Luis Loene Aagón