Electrostática: Definición.

Transcripción

1 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a lecosáica efinición os conducoes en elecosáica. Campo de una caga punual. Aplicaciones de la e de Gauss Inegales de supeposición. Poencial elecosáico. efinición e Inepeación. cuaciones de Poisson aplace. Condiciones de Inefase. Inegales de supeposición. Condiciones de egulaidad. Teoema de unicidad eoema del valo medio. Campo poencial elécico en punos alejados: dipolo momeno dipola... Polaiación de maeiales. Méodo de las imágenes. isemas de conducoes. Condensadoes. negía Fueas. M a-.. Fenánde ambina lecosáica: efinición. s el caso más simple de las cuaciones de Maell. Condiciones: No ha vaiación con el iempo: d No ha movimieno de cagas: d» sa úlima condición es necesaia: Puede habe coienes aunue d d jemplo: esfea con caga unifome ue gia alededo de uno de sus diámeos. Comenaios: No pueden eisi siuaciones esáicas desde un puno de visa esico:» os campos pecisan de un iempo infinio paa alcana su valo esáico.» iempe ha coienes de conducción en los medios. No obsane es una buena apoimación paa muchos casos en ue las coienes las velocidades de las cagas son peueñas... Fenánde ambina M a-

2 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a.. Fenánde ambina M a- n esas condiciones las ecuaciones de Maell se simplifican noablemene: Puede suponese sin poblema ue el campo magnéico es nulo aunue no se sigue diecamene de sus ecuaciones. as ecuaciones de la elecosáica son: Campo sáico H B B H H B B H B.. Fenánde ambina M a- l campo elecosáico en el ineio de los conducoes. Anes de pasa al esudio en pofundidad de las ecuaciones de la elecosáica conviene analia el compoamieno de los conducoes. Pueso ue las coienes son nulas la conducividad de los conducoes no es nula el campo elécico en los conducoes es nulo:» Paiendo de la le de Ohm genealiada:» Paa consegui ese efeco la caga del conduco se disibue sobe su supeficie de foma ue cancela cualuie campo eeio.» a caga nea en el ineio del + conduco es nula:

3 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a.. Fenánde ambina M a-5 e aa de aplica las condiciones de fonea sabiendo ue en el ineio de los conducoes el campo es nulo: uponiendo ue el conduco es el medio : esula ue el campo en la pae eeio de la supeficie de los conducoes es nomal a la supeficie. Po comodidad se suele denomina al campo en la pae eeio de la supeficie de los conducoes como campo en la supeficie del conduco. n n n n n n n l campo elecosáico en la supeficie de los conducoes. n.. Fenánde ambina M a-6 Campo de una caga punual en espacio libe s necesaio paa jusifica la uiliación de las simeías en la aplicación de la e de Gauss. Planeamieno del poblema: e supone ue la caga esá en el oigen de coodenadas. Po la linealidad del medio: e conoce ue: uego: v v k v O d O k d v v

4 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a Campo de una caga punual en espacio libe a epesión del campo ceado po una caga en el oigen de coodenadas es: Popiedades: s adial. u módulo sólo depende (del inveso del cuadado) de la disancia ene la caga el puno de obsevación... Fenánde ambina M a-7 Aplicaciones diecas de la e de Gauss. a le de Gauss en su foma inegal pemie en deeminadas condiciones calcula el campo ceado po una disibución de caga. n geneal se euiee un conocimieno pevio del compoamieno del campo en la supeficie en ue se aplica la le de Gauss. se compoamieno se suele infei a pai de» as simeías ue pesene el sisema.» l hecho de ue el campo debido a una caga punual es adial. Impoane: a le de Gauss se puede aplica siempe. as simeías sólo son necesaias paa pode uilia la e de Gauss paa obene el campo elécico... Fenánde ambina M a-8

5 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 5 e de Gauss: isibuciones con simeía esféica. Una disibución iene simeía esféica cuando sólo ha vaiación con la coodenada esféica : Bajo esas condiciones el campo elécico es adial sólo depende de la coodenada esféica : emosación: d d d dj» ado un puno abiaio paa el cálculo del campo un d abiaio siempe esula posible encona oo d al ue su conibución al campo oal cancele las componenes no adiales del pime d : d d d d d d» l campo no depende de las coodenadas j: una caga veía la disibución de igual foma al vaia esas coodenadas. M a-9.. Fenánde ambina e de Gauss: isibuciones con simeía esféica. () Con esos pesupuesos basa aplica la le de Gauss a una supeficie esféica cenada en el ceno de simeía de la disibución: dv d d V onde () es la caga enceada en la supeficie de adio. jemplo: l campo ceado po una bola de caga de adio densidad de caga es: ; ; V dv ;.. Fenánde ambina M a- ;

6 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 6 e de Gauss: isibuciones invaianes en una diección con simeía de evolución. Una disibución iene simeía de evolución alededo de un eje el eje Z es invaiane en esa diección cuando sólo ha vaiación con la coodenada cilíndica : Bajo esas condiciones el campo elécico es adial sólo depende de la coodenada cilíndica : emosación: d dj ado un puno abiaio paa el cálculo del campo un d abiaio siempe esula posible encona oo d al ue su conibución al campo oal cancele las componenes no adiales del pime d : Una caga veía la disibución de la misma foma aunue vaíen j. d d d d d d d d M a-.. Fenánde ambina e de Gauss: isibuciones invaianes en una diección con simeía de evolución. () Con esos pesupuesos basa aplica la le de Gauss a una supeficie cilíndica con eje el el eje de simeía de longiud abiaia : dv d d d d V la Tapas la Obsevese ue el flujo a avés de las apas es nulo poue el campo elécico es angencial a la supeficie. n onde es la caga po unidad de longiud deno del cilindo de adio. jemplo: isibución lineal de caga a lo lago del eje : n M a-.. Fenánde ambina

7 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 7 e de Gauss: isibuciones con vaiación en una diección. sas disibuciones sólo dependen de una d d coodenada lineal si ésa es la coodenada : d d on indefinidas en las diecciones a la coodenada de la ue dependen. Paa comena su esudio conviene empea po el caso más simple: una disibución de caga supeficial consane en el plano =. l campo iene sólo componene nomal a la disibución: dado un d siempe se puede encona oo en posición siméica de foma ue se cancelan las componenes del campo paalelas al plano de la disibución. Paa punos siméicos especo del plano uno a un lado el oo al oo lado el campo iene el mismo módulo senidos conaios: cuesión de simeía. l módulo del campo no depende de la disancia a la disibución: M a-.. Fenánde ambina s e de Gauss: isibuciones con vaiación en una diección. () l módulo del campo no depende de la disancia a la disibución:» Basa con oma una supeficie de Gauss como la de la figua: un cilindo con eco con sus apas paalelas a la disibución en posiciones siméicas especo a ellas. l flujo a avés de la supeficie laeal es nulo a ue el campo es angencial. l flujo a avés de las caas se suma debido a la simeía del campo de las nomales. d d d la h h d h d h h ; h ; M a-.. Fenánde ambina d h d h h n n n

8 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 8 e de Gauss: isibuciones con vaiación en una diección. () l campo es consane a cada lado de la disibución supeficial con el mismo módulo senidos conaios a cada lado. n caso de disibuciones mas complejas debe ecodase ue cada d define un elemeno infiniesimal de caga euivalene a una disibución supeficial de caga de densidad: =d ue la simeía de los campos debe manenese fuea de la disibución. =-a =a Z =-a a a a =a Z a a M a-5.. Fenánde ambina Campo poducido po un sisema de cagas punuales upongamos un conjuno de cagas punuales en el vacío. l campo poducido po ellas seá la suma de los ue poducen cada una de ellas po sepaado es deci: ' i i i i i ' ' i i i siendo el campo poducido po la caga i-ésima i. i i i i Toal i i O i i.. Fenánde ambina M a-6

9 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 9 Inegales de upeposición: (Apoaciones infiniesimales) Un elemeno de volumen dv' siuado en endá una caga d dv poduciá un campo elécico d en el puno de obsevación ue viene dado po: d d dv d d l campo oal vendá dado po la inegal: V O dv d dv Q V dv Análogamene paa disibuciones supeficiales lineales: d s d d dl l dl C sas epesiones pemien obene el campo poducido po disibuciones abiaias po ano son de aplicación más geneal ue la le de Gauss. M a-7.. Fenánde ambina Inegales de upeposición: jemplo Calcula el campo ceado po un disco de caga unifome de adio en su eje. e aplica: d' d' ada la geomeía: d djd d j j d ebido a la simeía solo ha componene. M a-8.. Fenánde ambina j X Z djd Y

10 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a.. Fenánde ambina M a-9 Inegales de upeposición: jemplo () íneas de campo elécico de un disco cagado con densidad unifome /a /a.. Fenánde ambina M a- Inegales de upeposición: jemplo () Noas: l campo pesena una disconinuidad en el oigen de valo / como se podía habe pedicho a pai de la condición de inefase: Cuando la disancia al disco es mu gande compaada con su amaño el campo se compoa como el de una caga punual de valo igual a la del disco. sen cos j j j j d d lim lim lim lim lim lim Q Q ICO ICO

11 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a.. Fenánde ambina M a-.5 Inegales de upeposición: jemplo () epesenación gáfica de: lej.. Fenánde ambina M a- jemplo : ínea de caga unifome. ea ahoa una línea de caga unifome de longiud. upongamos ue esá sobe el eje Z cenada en el oigen: X Y Z / -/ d dl d dl

12 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a jemplo : ínea de caga unifome. () epesenación del campo M a-.. Fenánde ambina jemplo : ínea de caga unifome. () a epesión aneio no esá definida en el eje Z aunue se puede inena obene una: a componene adial» Fuea de la disibución es nula.» obe la disibución no esá definida. so es común a odas las disibuciones lineales. a componene en los eemos de la disibución se hace infinia. ( ) 5 ( ) -5 M a-.. Fenánde ambina - -

13 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a.. Fenánde ambina M a-5 isibuciones Invaianes en Una disibución es invaiane en si ni su geomeía ni su densidad dependen de la coodenada. ueda definida po su inesección con un plano =ce su densidad. Cálculo del campo: e pueden defini elemenos de caga lineal a pai de difeenciales de supeficie: Paiendo del campo ceado po una línea de caga: Y sumando las conibuciones:» Impoane: Todos los vecoes de posición implicados deben peenece a un mismo plano =ce: son bidimensionales. dl d dl d d d d dl d d.. Fenánde ambina M a-6 isibuciones Invaianes en : jemplo Calcula el campo ceado po una ia indefinida de densidad supeficial de caga consane en los punos del eje Y. e aplica: e la geomeía: usiuendo:» a componene se cancela po simeía. Z Y X l d d acg acg ln / / / / d dl

14 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a isibuciones Invaianes en : jemplo () ise una disconinuidad en = de valo /como se podía habe pedicho a pai de la condición de inefase: lim lim acg lim lim lim acg lim.5 ( ) Fenánde ambina M a-7 / isibuciones Invaianes en : jemplo () Cuando la disancia a la ia es mucho mao ue su ancho el campo iende al de una línea indefinida de caga con la misma caga po unidad de longiud ue la línea: acg ( ) ( ).... / M a-8.. Fenánde ambina

15 lecicidad Magneismo 9/ lecosáica: Inoducción Gauss upeposición M -a 5.. Fenánde ambina M a-9 isibuciones Invaianes en : jemplo (bis) Calcula el campo ceado po una ia indefinida de densidad supeficial de caga consane en odos los punos del espacio. e aplica: e la geomeía: usiuendo: Z Y X l d d acan acan ln acan ln ) (.. Fenánde ambina M a- isibuciones Invaianes en : jemplo () / / epesenación del campo.