Tres Problemas que sirvieron de base a la introducción del concepto de Derivada

Transcripción

1 Tres Problemas que sirviero de base a la iroducció del cocepo de Derivada Aily Acosa García Jua Miguel Valdés Placeres Iroducció El cocepo de derivada, ocupa u lugar poserior, e el ordeamieo de los emas que usualmee se sigue e u curso de cálculo o esudio de las fucioes y sus propiedades más imporaes; o obsae los problemas que hisóricamee diero lugar a su uso y formulació, o hace que la derivada haya sido uilizada e formas más o meos elaboradas, aes de la formalizació y coeió co el límie y la coiuidad. Al respeco se afirma A Newo (64-77 le debemos el primer ieo por desarrollar la eoría de los límies, como base lógica del cálculo diferecial [] y por supueso que esa afirmació idica, que los límies esá e la base de la formalizació y prácica co las derivadas. Para darle iroducció al cocepo de derivada, lo haremos co res problemas que fuero la base objeiva, que moivó a los geiales maemáicos del siglo XVII a la iroducció de los cocepos de derivada y diferecial de ua fució. Uo de los pricipales, fue el de la deermiació de la reca agee a ua curva e u puo de esa. Ese problema iee remoos aecedees e la Grecia aigua, solo que el crierio uilizado, es para alguas curvas demasiado amplio y resricivo a la vez, pues se hacía para cada caso paricular. E la aigüedad se avazó poco e esa direcció, pero vale la pea desacar que Arquímedes fue capaz de deermiar la reca agee a varias curvas, e especial, a la hoy llamada espiral de Arquímedes. E realidad fue Ferma el iiciador de rabajos frucíferos, relacioados co el razado de la reca agee a la curva. E esa época ambié se disigue el rabajo de oros maemáicos, si embargo fue el iglés Issac Barrow, el maesro de Newo, quie por primera vez resolvió ese problema. Esudiae de Primer Año de la Carrera de Iformáica. Uiversidad de Piar del Río. Cuba Profesor del Deparameo de Maemáica. Uiversidad de Piar del Río. Cuba

2 Desarrollo La secilla idea de Barrow se basa e lo siguiee: si deoamos por a la reca secae e los puos P y de ua circuferecia, y si maeiedo el puo sobre la circuferecia lo acercamos al puo P, la reca irá girado alrededor del puo P hasa alcazar la posició de la reca agee T. (fig T P Fig. Lo aeriormee dicho e el leguaje fucioal sigifica que, dada la curva y f( y dos puos P y, siuados e el gráfico de la fució, al hacer eder hacia cero, la reca secae iede a ocupar la posició de la reca agee (Fig., luego m f ( f ( lim Y T f( f( P X Fig.

3 Ejemplo Hallemos la agee a la parábola y e el puo (3,9. Para coocer el valor de la pediee de la reca agee calculemos, y ( m lim lim lim ( lim ( Para 3 se iee que m 6. De maera que la ecuació de la reca agee a la parábola y e el puo (3,9 es: y 9 6(-3, es decir, y 6-9. Co lo que Barrow había demosrado Newo y Leibiz, desarrollaro diferees algorimos y oacioes, y sus aplicacioes e la propia maemáica así como e la física pricipalmee. Ua de sus aplicacioes e la física fue ecorarle solució al problema de la defiició de la velocidad de ua parícula. Ellos eplicaro que e u movimieo uiforme, ua parícula recorre e iervalos de iempo iguales el mismo espacio, por lo que la velocidad será cosae e ese movimieo pues se represea como la razó del icremeo de la disacia ere el iempo: s( s( s( s( ( c Eso será posible siempre que el movimieo sea recilíeo uiforme, de lo corario el cociee o será cosae y e geeral depederá ao del isae como del iervalo, ese cociee represea u promedio de la variació de s( e el iervalo de iempo de eremos y, y por eso recibe el ombre de velocidad media de la parícula e el iervalo referido. No obsae, la velocidad media ofrece poca iformació acerca de las caracerísicas pariculares del movimieo de la parícula, debido a la eesió del iervalo de iempo por lo que es imporae el comporamieo de la velocidad v m para iervalos de iempo cada vez más pequeños. De aquí que la velocidad isaáea v de la parícula P se defie por: v lim v m lim s( s( Ejemplo La ley del movimieo de u puo es s 5. Calculemos la velocidad e el isae 3 si la logiud es medida e meros y el iempo e segudos. A parir de la velocidad isaáea se iee que v s 5( lim lim lim ( 5 lim 5( ( 5 3

4 La velocidad e u isae es igual a ; luego e el isae 3, la velocidad será v 3m/s. El ercero de los problemas propuesos esá relacioado co la desidad de masa, de la cual pudiero llegar a la coclusió de que la desidad de la líea maerial e u puo s se defie como el límie de la desidad media cuado la logiud s de la porció cosiderada iede a cero (, eso es δ m Φ( s Φ( s lim δ m lim lim s Ejemplo 3 La masa (gramos de ua barra delgada de esrucura heerogéea AB, que mide 3cm esá disribuida de acuerdo co la ley m3s 5s, dada e gramos, dode s es la logiud de u segmeo de la barra, medida a parir del puo A. Hallemos la desidad lieal e el puo que disa s 5cm del puo A. De la defiició de la desidad de ua líea maerial e u puo dado se iee que m 3( s 5( s (3s 5s δ lim lim 3( s s ( 5( s 3s 5s lim lim (6s 3 5 6s 5 δ Y para s 5 se iee que 35g/cm. Después de defiir el cocepo de derivada, alrededor de ese surgiero oros eoremas para faciliar el rabajo co fucioes a parir de la derivada; esos so los llamados Teoremas fudameales del cálculo diferecial. Teorema de Ferma: ea f( ua fució defiida e u iervalo abiero que coega el puo, y supogamos que f( es derivable e y alcaza e ese puo su valor máimo o su valor míimo e dicho iervalo. Eoces f (. Ese eorema os plaea que e aquellos puos dode f alcaza valores eremos, la reca agee a la curva e él, es paralela al eje. y m y yf( yf( m 4

5 Teorema de Rolle: ea f( ua fució coiua e el iervalo [a;b] y derivable e (a;b, y al que f(af(b. Eoces eise al meos u puo c de (a;b e el cual se iee que f (c. y f(af(b yf( a b Ese eorema plaea que si f(af(b se puede hallar al meos u puo e el iervalo e que la reca la reca agee a la curva sea paralela al eje. El eorema de Ferma y el de Rolle, se uiliza e la fudameació y búsqueda de eremos, e la clase de las fucioes derivables sobre odos los reales o e u iervalo cualquiera del domiio de derivabilidad. Además esos eoremas permie fudamear o demosrar oros eoremas imporaes. Paricularmee el eorema de Rolle, garaiza que oda fució derivable e su domiio, iee u eremo (de máimo o míimo ere dos ceros cosecuivos cualesquiera. Teorema del valor medio de Lagrage: ea f( ua fució coiua e el iervalo [a;b] y derivable e (a;b. Eoces eise al meos u puo c de (a;b al que (f(b-f(a/b-af (c. Ese eorema esablece que si f es coiua y derivable puede hallarse u puo c e dicho iervalo al que la reca agee sea paralela a la reca secae que ue a los puos eremos de la curva: (a; f(a y (b; f(b. Es secillo demosrar, uilizado el cocepo de derivada de ua fució, que oda fució cosae, iee derivada cero; pero como esa defiició es local (por idicar la derivada e u puo o facilia demosrar el recíproco, o sea el hecho de que si la fució dada iee derivada cero e odo u iervalo eoces es cosae y el eorema de Lagrage resuelve ese problema. y f(c f(b T yf( f(a a c b 5

6 E cieras circusacias, esamos e presecia de elegir ua, ere varias, de las solucioes que puede eer ua siuació dada, raado de ecorar la más adecuada. Pudiéramos hacer eplicacioes similares, uilizado el leguaje comú y obedríamos diferees eos; pero si al siuació puede maemaizarse, o sea describir sus caracerísicas e érmios de variables que cuaifique el hecho; el reo de ecorar la solució puede seguir diferees camios algorimisables, co diferees herramieas maemáicas ere las que cuea, el cálculo diferecial. Tal posibilidad os permie obeer la mejor solució, para los valores posibles de las variables co ua garaía, (a diferecia de lo que comúmee podemos hacer e érmios eacos desde el puo de visa maemáico; e érmios geerales se le llama a esos procesos seguidos a ravés del cálculo diferecial u ora herramiea, Méodos de Opimizació y a ales problemas se les llama Problemas de Opimizació. Aclaremos que e ocasioes las solucioes maemáicas ópimas a problemas reales, o se oma al cual so; sio que esas represea ua idicació imporae para omar la decisió, que se adecue más a la ecesidad real. La eisecia de eremo esá caracerizada por u comporamieo ípico, e el cojuo de valores de ua fució real de variable real y por ede e el gráfico de la misma o e la sigificació paricular que pueda eer las variables, más allá del sigificado absraco de úmero; por ao además de la ilusració geomérica de la eisecia de máimos y míimos, ya sea local o global, esos muesra el momeo ópimo de comporamieo de ua variable, dero de u proceso de dado, que puede ser geoméricos, físicos, ecoómicos, y de las más diversas aplicacioes. Para ilusrar los procesos de opimizació e maemáica le daremos solució a alguos problemas propuesos. Problema -Dividir u úmero posiivo dado a e dos sumados, de al forma, que su produco sea el mayor posible. a bc; a-c b Luego f(c b*c (a-c*c -c a*c Por ao f (c [-c a*c] -ca (a es ua cosae Luego igualamos la primera derivada a cero para ecorar el posible valor de eremo. a -c a/ c Después hallamos la seguda derivada para saber si ese puo es míimo o máimo. f (c [-ca] - ; f (a/ - (porque es ua fució cosae Y podemos llegar a la coclusió de que u úmero se descompoe e dos sumados iguales para que su produco sea máimo. 6

7 Problema -Torcer u rozo de alambre de logiud dada l, de maera que forme u recágulo cuya área sea la mayor posible. l (ab; l/-a b A(a a*b a(l/ - a a*l/ - a A (a [a*l/ - a ] l/ - *a Luego hacemos la primera derivada cero Ya e la seguda derivada l/ - *a ; l/4 a A (a [l/ - *a] - y por ao A (l/4 - lo que idica que es u máimo. i el resulado obeido para a, lo evaluamos e la ecuació del perímero os daremos cuea de que el recágulo cuya área sea la mayor posible es el cuadrado, que es u caso paricular de recágulo. Problema 3 -Hay que hacer ua superficie recagular cercada por res de sus lados co ela meálica y lidae por el cuaro co ua larga pared de piedra. ué dimesioes será más coveiee dar a la superficie (para que su área sea mayor, si se dispoe e oal de l m lieales de ela meálica? L *a b; l *a b A(a a*b a(l - *a l*a - *a A (a [l*a - *a ] l - 4*a Luego l - 4*a ; l/4 a A (a [l - 4*a] - 4; A (l/4-4 Ese resulado os idica que esamos e presecia de u máimo y además si evaluamos a e la ecuació del perímero os queda que bl/ por ao el largo es dos veces mayor que el acho. Problema 4 -De ua hoja de caró cuadrada, de lado a, hay que hacer ua caja recagular abiera, que ega la mayor capacidad posible, recorado para ello cuadrados e los águlos de la hoja y doblado después los saliees de la figura e forma de cruz así obeida. a: lado del cuadrado; b: uidad que se recora; c a - *b : largo del cuadrado que resula de recorar las esquias, 7

8 V(b c *b (a - *b *b V (b [(a - *b *b] - 4*b(a - *b (a-*b (a - *b(- 4*b (a - *b (a - *b(- 4*b (a - *b - 4*b a - *b y a - *b a/6 b y a/ b V (b [-4*b(a - *b (a - *b ] - 4(a-*b 8*b - 4(a - *b V (a/6-4*a Lo que sigifica que para b a/6 la caja será de base cuadrada y podremos obeer la capacidad máima de la misma. Noemos además, que la posible solució b a/, se desecha porque sigifica que la logiud del cuadrado que se recora de cada esquia, sea la miad eacamee de la logiud de la hoja de caró uilizada, lo que claramee, o coduce a elaborar la caja pedida, icluso es prácicamee imposible. Problema 5 -i,,,, so los resulados de medicioes igualmee probables de la magiud, su valor más probable será aquel, para el cual la suma de los cuadrados de los errores σ i ( i ega el valor míimo (pricipio de los cuadrados míimos. Demosrar que le valor más probable de la magiud es la media ariméica de los resulados de las medicioes. σ ( ( (... ( (... ( σ '( [( ( [ ]' ( [ ]'... ( igualado a cero la primera derivada, se sigue que, ]' [( ]' [( ]'... [( ]' [ ]' ( (... ( ( (... ( (( (... (... (... ( Por oro lado, la seguda derivada será, σ ' ( [ ( '... ]' σ ' ' ( 8

9 Podemos observar que la suma de los cuadrados de los errores edrá valor míimo e, pues la seguda derivada es ua fució cosae posiiva ya que las,,, so valores cosaes. Coclusioes Desaquemos dos elemeos imporaes, respeco a los ejemplos y problemas resuelos, que a uesro modo de ver, puede aclarar el mesaje didácico de ese rabajo. Los ejemplos resuelos, so relaivamee secillos, pero muy ilusraivos de cómo opera el cocepo de fució, a parir de la herramiea que ofrece la defiició, y que pudiera llegar a ser aburrido y casi iaccesible, si se hubiese elegido, casos de fucioes más complicadas. No obsae a que se puede señalar icluso, que los ejemplos propuesos, puede ser abordados co écicas algebraicas, isisimos e ellos, porque los que realmee requiere del aparao del cálculo diferecial para su solució (dode los ecicismos algebraicos solos, prácicamee so irrealizables, solo a la maera del daés Chrisia Huyges, , sería de dudosa compresió, para u lecor que se iicia. El hecho de que realmee sea difíciles de abordar alguos o muchos de los problemas, e que se usa el cálculo diferecial y sus reglas, puede ser aliviado, si se uiliza adecuadamee los Asisees Maemáicos, al meos e la eploració de los resulados o para cálculo de derivadas y maipulacioes de las ecuacioes, que se deriva de esas y los algorimos de solució, de los diversos problemas, e que se usa el cálculo diferecial. Por ao cosideramos, que represea ua ilusració resumida, para acercarse al ema del cálculo diferecial y sus aplicacioes. Bibliografía. Rodríguez Macías, R y oros. Cálculo Diferecial e Iegral, Primera Pare. Ediorial Pueblo y Educació. Ciudad de la Habaa. Cuba Demidovich, B y oros. Problemas y Ejercicios de Aálisis Maemáico. Ediorial Mir, ocava edició. Moscú Valdés Casro, C y oros. Aálisis Maemáico Tomo II. Ediorial Pueblo y Educació. Ciudad de la Habaa. Cuba Aily Acosa García Esudiae de Iformáica. Uiversidad de Piar del Río, Cuba Jua Miguel Valdés Placeres Profesor del Deparameo de Maemáicas. Uiversidad de Piar del Río, Cuba jmiguel@ma.upr.edu.cu 9