5. 2. PROBLEMAS NO HOMOGÉNEOS.

Transcripción

1 5 PROBEMAS NO HOMOGÉNEOS UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN 5 PROBEMAS DE DIFUSIÓN NO HOMOGENEOS a o homogeeidad puede darse ao e la EDP como e las CC Si las CC so o homogéeas, eoces o podemos cosruir u SS Nuesro propósio es mosrar como u PVC-I de la forma 5 EDP u c u h,, < <, > 5 CC αu, +βu, g α u, +βu, g 5 CI u, f puede rasformase e oro, pero co CCH pues sólo así podemos obeer SS A Codicioes de cooro cosaes: Ejemplo 8 Cosideremos el flujo calórico e ua barra de logiud aislada laeralmee y cuyos eremos se maiee a emperaura cosae y, y co ua disribució de emperaura iicial f Se raa de resoler el PVC-I : 5 EDP u c u, < <, > 55 CC u, u, 56 CI u, f SO: Podemos pesar que la solució u, será ua solució esacioaria solució a que aria liealmee respeco de ere las emperauras del borde y Dicho de ora maera, parece razoable pesar que la emperaura u, es la suma de dos: ua esacioaria y la ora rasiee; la primera para iempo muy grades y la ora deberá depeder de las CI y ederá a cero cuado crece 57 u, esacioaria + rasiee solució a uea emperaura, Por lo ao, sea u,, + ϕ, siedo ϕ la fució que cumpla las CC o homogéeas y que o complique la EDP 58 ϕ" Sea ϕ ϕ C + D; D y C + C ϕ 59 ϕ + Ahora debemos resoler el PVC-I para, : Prof Dr Raúl F Jiméez

2 EDP c, < <, > CCH,, CI, f - ϕ ϕ* Obseramos que ese ueo PVC-I, sí se puede resoler por el méodo separació de ariables ya que eemos CCH, por ua lado, y por oro sólo cambió la CI Es decir, la solució es, c a e se ϕ * ξse ξd dode a ξ B Codicioes de cooro que depede del iempo El caso más geeral de CC o homogéeas es aquel e que ésas depede del iempo Cosideremos el siguiee caso ípico Ejemplo 9 EDP u c u, < <, > CC u, g u, + hu, g CI u, f SO Siguiedo la idea del ejemplo, sea u,, + ϕ, siedo ahora ϕ ua reca e, de la forma 59, es decir, buscamos ua solució de la forma 6 u,, +A[- ] + B dode A y B se elige de modo que la pare esacioaria, digamos 6 s, A[- ] + B erifique las CC del problema, es decir, obeiédose s s, g, + hs, g A g g + g B + h uego, la solució buscada será u,, + s, Si embargo ahora aparece u ueo problema: la EDP para, o es homogéea E efeco, por defiició, s, pero s o iee porqué ser ula! El problema para, es; 6 EDP: c + s, < <, > Prof Dr Raúl F Jiméez

3 6 CCH,, +h, 6 CI, f s, uea CI pero coocida Cuado las EDP o so homogéeas, se puede resoler por rasformacioes iegrales o bie por desarrollo de fucioes propias orogoales Veamos u ejemplo Ejemplo Hallar ua solució acoada del siguiee problema de difusió, dode el érmio αu represea u flujo laeral de la barra, es decir, e ese caso la barra o esá aislada laeralmee EDP : u u - αu, < <, > CC u, u, CI u, SO: Obsere que la EDP es homogéea, pero que las CC o lo so a susiució 6 u, e α, simplifica la EDP E efeco, deriado ua ez co respeco a y dos eces co respeco a, resula u e α + α e α ; u e α reemplazado e la EDP, e α + α e α e α + α e α :/ e α resula la EDP para, : Respeco de las CC, u, e α,, u, e α,, e α Respeco de la CI : u,,, hacemos, Por lo ao, el PVC-I para, es: 65 EDP :, < <, > 66 CC,, e 67 CI, Obseramos que la EDP es homogéea, pero las CC o lo so, icluso depede de Resoleremos ese problema 68, w, + s, uego,, w, + s, s,, w, + s, s, e α e α Teemos 69 EDP w + s w + s ; Haciedo, s al que s, como fució de, erifique s y s + B Usado las CC, resula e α Por lo ao, s A Prof Dr Raúl F Jiméez

4 7 s, e α, de dode: 7 s y s -α e α UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Fala la CI para el PVC-I respeco de w,, pero obserado 7, poemos 7 X, w, + s, w, Por lo ao, ahora debemos resoler el PVC-I: 7 EDP: w w α e, < <, > 7 CCH w, w, 75 CI w, Pueso que ese problema iee CCH, sabemos que la solució iee la forma 76 w, c φ X" λx dode las φ so las FP del SS X X' Pero, sabemos que los VP so λ y que las FP so φ se De 76, obeemos,,,, ' 77 w c se ; w c se Reemplazado e 7, Para que eisa solució el érmio eerior α SS Por lo ao, supoemos que: 77 α e α ' [ c c ] se α αe, e α θ se Pero esa es ua serie de Fourier de seos para α ahora so fucioes de, esá dados por α 78 θ αe se d debe ser desarrollado e érmios de las FP del e α ; por lo ao, los coeficiees de Fourier que Prof Dr Raúl F Jiméez

5 α αe se d iegrado por pares, α 8 αe + 79 θ,,,, De esa maera, eemos ifiias EDOs de primer orde para c : ' 8α + 8 c Debemos hallar la CI para c : c,,,, w, c se c, Fialmee, debemos resoler el ' 8α + c c 8 PVI c a solució es de la forma c h + c p, siedo c h la solució de la EDO homogéea y c p ua solució paricular de la EDO o homogéea Compruebe que la solució de uesro problema es α α u, e + se α + + Ejemplo Resolamos ahora ua EDP o homogéea co forzae que depede de y de y co CC o homogéeas cosaes u u, < <, > u, cos u, u, u SO : Sea u,, + φ, luego el PVC para φ será : u + φ" φ" φ" u,, + φ φ φ + u,, + φ' φ' CI : u,, + φ cos, cos - + PVC - I para, : Prof Dr Raúl F Jiméez

6 cos,,, >,, < < Sea, XT λ λ λ T T' X X" X X" T T' SS :,,, se X FP :,,, VP : X' X X X" λ +λ Sea : se, y se h Pero, d se d se h Iegrado por pares : cos d du d se d u, resula d cos cos h + d cos 6 d se se cos + Sea d d h +, obeemos así ifiias EDO de primer orde, que resolemos ía facor iegrae : Poemos : co, e [ ] e e d d + C e e e es decir, Ce + Prof Dr Raúl F Jiméez 5

7 + CI : C + UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN, + Ce se, y así la solució fial será: u,, CONDICIONES DE CONTORNO NO HOMOGENEAS PARA A CUERDA VIBRANTE E los problemas de la cuerda ibrae, las codicioes de cooro o homogéeas, ofrece ieresaes aplicacioes E efeco, discuiremos alguas CC o homogéeas asociadas co problemas físicos modelados por la ecuació de la oda, y que puede agruparse e res clases: A Eremos Corolados: Supogamos que eemos corol sobre los eremos de la cuerda, e el seido que ésos se muee de ua maera deermiada, digamos segú las fucioes g y g, como lo muesra la Fig E ese caso las CC so del ipo Dirichle: u,g ; u, g Como ejemplo real de ese ipo de CC, cosideremos ua barra e ua dimesió espacial emporada e u eremo, por ejemplo, e, y e el oro eremo se efecúa u giro ioleo a parir de u ciero isae, digamos, como muesra la Figura E ese caso se iee ibracioes orsioales u, {, < <, < < + oo u,, Figura E Teoría de Corol, u problema imporae cosise e deermiar la fució g para que ua cuerda deje de ibrar e u iempo míimo 6 Prof Dr Raúl F Jiméez

8 B Eremos someidos a fuerzas UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN u u Dado que las fuerzas ericales sobre la cuerda e los eremos esá dadas por T,;T,, siedo T la esió de la cuerda, eoces podemos cosiderar e los eremos codicioes de la u u forma u, g ; + u, g, como emos a coiuació Si los eremos resbala ericalmee sobre sopores si fricció, eoces las CC so homogéeas ipo Neuma homogéeas: u, u, segú se muesra e la Fig5 Como ejemplo clásico de combiació de CC Dirichle y Neuma de, cosidere u resore ibrae, como muesra la Fig 6 Si e el eremo libre, aplicamos ua fuerza de dias las fuerzas posiias se mide hacia abajo, eoces las codicioes de cooro ipo Neuma so: siedo el módulo de Youg u, u,, C Eremos co sopore elásico Cosideraremos cuerdas que ibra como las de u iolí, es decir, los eremos de la cuerda iee sopores elásicos como idica la Fig 7 Esos sopores da orige a fuerzas ericales proporcioales a los desplazamieos, e efeco, los desplazamieos e los eremos izquierdo u, 7 Prof Dr Raúl F Jiméez

9 y derecho u, y las esioes respecias so Tu, y -Tu, uego, ras muliplicar por ua cosae del resore, podemos eer codicioes de cooro homogéeas: u, u, u, u, T T Si los dos sopores de los resores se desplaza de acuerdo a las fucioes g y g, como se aprecia e la Fig 8, eoces obeemos CC o homogéeas:, [u, g ] ; u, [u, g ] T T u D Oras codicioes de cooro Si la cuerda eperimea ua fuerza e los eremos proporcioal a la elocidad de la cuerda y e direcció opuesa, eoces las CC so: Tu, βu,;tu, δu, U sopore elásico o lieal e el eremo izquierdo da ua codició de cooro o lieal de la forma: Tu,φu,, dode φ es ua fució arbiraria de u Por ejemplo, la CC Tu, -u, epresa que la fuerza de resauració e el eremo izquierdo de la cuerda es proporcioal al cubo del desplazamieo de u y o a u, como el caso lieal co la ey de Hooe 8 Prof Dr Raúl F Jiméez

10 5 RESOUCION DE PROBEMAS VIBRATORIOS NO HOMOGENEOS A CC cosaes y érmio forzae que sólo depede de Cosideremos el PVC-I 8 EDP: u c u + F, < <, > CC u, A u, B, A, B cosaes CI u,f u,g SO: Sea u,, +φ Susiuyedo el la EDP, resula - c - c φ " F Susiuyedo e las CC, resula:,+φa ;, +φb Sea c φ" F 8 φ A φ A + B A φ B Ahora, eemos u PVC-I para, co CC homogéeas EDP c, < <, > CCH,, CI,f-φ,g, que sabemos resoler fácilmee por el méodo de separació de ariables Ejemplo Empecemos por resoler u PVC-I co CCH y érmio forzae cosae, digamos h: EDP u u h <<, > CC u, u, CI u, u, SO: Obsere que la cuerda ibra sólo gracias al érmio forzae h Sea u,, +φ Susiuyedo el la EDP, resula +φ " +h Sea φ " -h, luego h φ' -h +C φ + C + C Para hallar las cosaes C i usamos las CC: h φ ; φ y así φ NOTA; E ese caso o hicimos φ, ya que haciedo φ -h, o sólo simplificamos la EDP sio que además es fácil obeer φ Por lo ao, el PVC-I para, es 9 Prof Dr Raúl F Jiméez

11 EDP <<, > CC,, h CI,, as CCH geera u SS cuyos VP so λ,, y FP: X h cos, se Fiamee, h u,, + Ejemplo Resoleremos u PVC-I co CC o homogéeas cosaes se y así por el PSP u a u u, T u, T u, f,, < <, T, T, > T, T, a ce ces SO: Sea u,, + φ a + φ" Sea φ" a CC : u,, + φ T o Sea, φ T o u,, + φ T Sea, φ T PVC para φ : φ", φ T o, φ T T T φ + T Por lo ao el PVC-I para, será: a,, T T, f φ f + + T a, λ C se e, λ,,, T T T T CI :, f + T C se SFS para f + T T T C f + T se d Prof Dr Raúl F Jiméez

12 fse d + T T u, + T + C [ T T ],,, se e λ EJERCICIO : Compruebe que la solució del PVC-I : EDP u u + γse <<, > CC u, u, CI u, u, es γ u, [ cos ]se y de ua ierpreació física de esa solució EJERCICIO : Resuela el PVC-I EDP u - 9u, <<, > CC u, / u, CI u,se/ u,+ B Térmio forzae e fució de y Cosideremos el PVC-I u -c u h, <<, > u, u, u,f u,g Pesado e la EDP homogéea y e las CC homogéeas, sabemos que el SS posee FP se,,, uego, es razoable pesar que la solució iee la forma 8 u, u se, y así, hallado las fucioes u resolemos el problema Por oro lado, supogamos que el érmio forzae h, puede escribirse e la forma 8 h, h se, y de aquí Prof Dr Raúl F Jiméez

13 85 h h,se d Supogamos que e 8 eise adecuadas codicioes de coergecia de modo que la serie puede deriarse, co respeco a y a, dos eces Eoces " 86 u u se ; u se u y susiuyedo e la EDP, co λ c, resula " [ u + λu]se \ h se m c Muliplicado esa epresió por se, m,,e iegrado sobre [,], obeemos " + 87 u λ u h cuya solució es la suma de la solució geeral de la EDO homogéea mas ua solució paricular φ : 88 u A cosλ + B seλ + τ λ τ τ λ h se[ ] d Por lo ao, la solució formal del PVC-I es 89 u, {A cosλ + B seλ + h τse[ λ λ τ]dτ} se Para calcular los coeficiees A y B usamos las CI: 9 u, f A se A f se d 9 u, g Bλ se B g se d λ Ejemplo EDP u u h, < <, >, h cosae CC u, u, CI u, - u, Prof Dr Raúl F Jiméez

14 SO: Claramee, B y A sed [ ] Además, h h hse d [ ] y así φ h h se[ λ τ] dτ [ ] cos λ λ λ u, h [ ]cos + [ ] cos se C Codicioes de cooro que depede de Cosideremos el PVC-I EDP u c u h,, < <, > CC u, p u, q CI u, f u, g SO: Sea u,, +w, y susiuyamos e la EDP: c h w + c w De las codicioes auiliares eemos:, f w, ;, g w,, p w, ;, q w, Es claro que para eer u SS debemos hacer w y las CC homogéeas para,, es decir w, p;w, q De la EDP w, podemos supoer que w, co respeco a, es ua reca, es decir: w, A + B Co las CCH deermiamos las fucioes A y B Resula: q p w, + p uego, el ueo PVC-I para, será de la forma: EDP c h, w H, CC,, CI,f-w,F,g-w,G Prof Dr Raúl F Jiméez

15 Esamos e la misma siuació del caso B, es decir, supoemos que la solució es de la forma, se, y seguimos Ejemplo 5 Resoleremos el problema o homogéeo: EDP CC CI u u, < <, >, cosae u, u, se u,- u, SO: Sea u + w + w w De las CC: sea w, ; w,se y por oro lado sea w Co ciero abuso de leguaje, escribimos: w ; w, wse, de dode w w, se + ;w cos + ;w se Por lo ao el ueo sisema para, es,,,, Ahora, supoemos que, se se h h + se sed,,, h + [ ] + se Además a + bse A sed [ ] B sed [ ] φ a+ bse τ se τ dτ a b cos + [se cos cos se ] Prof Dr Raúl F Jiméez

16 EJERCICIOS, [A cos + B u,, + se + se + φ ]se Obega las solucioes series formales de los siguiees PVC-I para la ecuació de la oda : u c u co u, y, a u,u,, u, b u,u,, u, c u,u,, u, SOs: a b c u, se cosc,<< u, + c cos cos, 8 se / c u, se cos, Qué cambios deberá hacer a la solució del Ejemplo si las codicioes iiciales ahora so: u, y u,, < <? SO: Muliplicar par 8 C por, reemplazar cosc por sec y diidir C por c, para 6 Obega las solucioes series formales de los siguiees PVC-I para la ecuació de la oda : u c u co las CCH u,u, y las CI: a u, se,u, b u, -, u, N N c u, A se, u, B se paraδ < / < / d u,, u, / ρδpara / δ uego, ome el límie de la solució cuado δ e ierpree físicamee el resulado SO: a b c u, cos se u, [ + + c ]cos se 5 Prof Dr Raúl F Jiméez

17 N c u, A d c cos + B UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN c se se δ c u, se se se se Además cρδ c lím u, δ se se se cρ solució que puede ierprearse como la que se asemeja a ua cuerda cuado se le da u golpe súbio e el puo / 6 Prof Dr Raúl F Jiméez