PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

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1 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es ua primiiva de f() si F () = f() Ejemplos: fució: f() Primiiva: F() se - cos Noa: Ua fució iee ifiias primiivas e e / L Ejemplo: fució: f() Primiiva: F() C INTEGRAL INDEFINIDA DE f() Llamamos iegral idefiida o simplemee iegral de f() al cojuo de odas sus primiivas y se deoa: f ()d = F() C.q. F () = f() Ejemplos: [] d = C [] se d = - cos C [] d = L C OPERACIONES CON INTEGRALES (Se cumple las mismas que e derivadas) [] k.f ()d = k f () d [] ( f g) ()d = f ()d ± f.g ()d f ()d. f f ()d [] ()d g g()d ± g() d [] ( ) [ ][ g() d]

2 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao REGLAS DE INTEGRACIÓN FUNCIÓN INTEGRAL FUNCIÓN INTEGRAL k d k C d f ().f () d f () C C f () d C d f () C f () d C f () d f () f () C a d a f () f () f ().a d C a C La La e d e C f () f ().e d e f() C f () d L C d f () L f() C se d - cos C f ().se f() d - cos f() C cos d se C f ().cos f() d se f() C f () d = cos d = ag C cos f () [ ag ]d f (). [ ag f ()]d ag f() C f () d arcse C d f () arcse f() C f () d arcag C d f () arcag f() C Ejemplos: [] d = C [] d = [] d = [] d = C. C C = C /. [] d = C = C = C = C [] d = d. C = C =

3 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao [7] se d = cos C L [8] cos -.e d = -se e C - [9] d = d = arcse C [0] d =.arcag C [] d = d L C = ( - ).cos d = se( ) C [] ( ) [] e d = [] d = - [] ag d = [] d =.e d = e C d = arcse C ( ) se d = L cos C cos d L C = MÉTODOS DE INTEGRACIÓN [] Imediaas o méodo de susiució (Cuado las dos fucioes iee relació, fució y derivada) Cambio f() = siedo f() la fució. Ejemplo: se.cos d = [ = se d = cos d] se = d = C = C [] Iegració por pares: Cuado las dos fucioes o iee relació. = vdu D(u.v) = du.v u dv udv = d(u.v) vdu udv d(u.v) udv = u.v v. du Teemos Necesiamos u Derivamos du dv -----Iegramos v = dv Cuál omamos como u? a) arcos o logarimos b) Poliomios c) Trigoomérica o epoeciales

4 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao Ejemplos: [].e d u = du = d dv = e d v = = = dv e d e e d =.e e C = e C.e - ( ) [] Ld u = l du = d dv = d v = = = dv d l. -. d =.l - d =.l C =.(l ) C [] e. sed u = se du = cosd dv = e d v = dv = e d = e se.e - e.cos d e.cos d u = cos du = - sed dv = e d v = dv = e d = e =cos.e e sed e sed = se.e cos.e e sed e sed = e (se cos ) e e sed = (se cos ) C INTEGRALES CON RAÍCES Trasformar e sumas Poecias Raíces y arcos f '() d = f () f () C mcm de los ídices de las raices. Susiució: Lo de dero de la raíz = a b d b = ase f '() d = arcsef () C f ()

5 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao [].. d = d C = d = C = C [] d = d C = [] d = d = ( ) d = arcse ( ) C d [] ( ) [ = d = d] d ( ) = d = arcag C =.arcag C [] d [ = se d = cosd] se.cos d = ( se )cos.d = cos d (Iegral rigoomérica) [] d 9 - Modo : Ver que es u arcoseo. Dividir umerador y deomiador por : / / / / d = d = d = d = arcse / C 9 - / (9 - ) / 9 - (/) - (/) Modo : [ = se d = cosd] 9 - d = 9 - (se) cos d = cos 9(- se d = ) cos d = 9cos cos d = cos d = C [ = se se = / = arcse / ] Sol: arcse / C

6 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS se.cos m. d m impar Cambio se = impar Cambio cos = m y pares Cambio ag = [ ag = cos cos = se = cos = - = d ( ag ) d = d d = ] Noa: Casos pariculares: se d ó cos d Recordar las fórmulas rigooméricas cos cos se = cos = [] cos se d = d = d cos d = cos d = se C [] cos.se d = d [cos = -se d = d d = se ] d cos.se d = cos.se. =.se.d = ( cos ) d = se 7 7 cos cos ( )d = d = C = C 7 7 [] cos d = [se = cos..d = d d = d cos ( )d = [] se.cos d d cos cos = d cos. = cos d = (cos ) d = ( se ) d = ( ) d = ] C = se.se se d [ ag = cos =, se =, d = ] d.. = d (Iegral racioal) ( ) C

7 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao 7 P() INTEGRALES RACIONALES d Q() R() Caso I: Grado de P() Grado Q() Hacer la divisió C () d Q() Y grado de R() < grado Q() Caso II: Grado de P() < Grado Q() Facorizar el deomiador: Q() Caso II. : Todas las raíces de Q() so reales y simples: Q() = (-a).(-b).(-c) P() = A B C d Q() a b c d Los úmeros A, B y C se halla reduciedo a comú deomiador e igualado los umeradores. Modo : Igualado los coeficiees del mismo grado. Modo : Dado valores a la (a,b,c) y resolviedo el sisema. Solució: Logarimos Caso II. : Todas las raíces de Q() so reales, pero algua o simple:q()=(-a).(-b) P() A B C D ( ) d = d Q() a b b ( b) Los úmeros A, B y C se halla reduciedo a comú deomiador e igualado los umeradores. Modo : Igualado los coeficiees del mismo grado. Modo : Dado valores a la (a,b,cualquier oro) y resolviedo el sisema. Solució: Logarimos y Poecias Caso II. : Algua raíz de Q() o real: Q() = (-a).( ) P() A B C d = d (E el umerador u poliomio de u grado meos Q() a que e el deomiador) Los úmeros A, B y C se halla reduciedo a comú deomiador e igualado los umeradores. Modo : Igualado los coeficiees del mismo grado. Modo : Dado valores a la (a, cualquier oro) y resolviedo el sisema. Solució: Logarimos y arcoagees. Ejemplos:

8 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao 8 [] 7 l C 8 d = d =. d = 0 7 [] d = 7 7 d = d 7 Facorizamos el deomiador: 7 = ().(-).() A B C = = 7 A( ).( ) B( ).( ) C( ).( ) 7 = A( ).( ) B( ).( ) C( ).( ) Modo : igualado coeficiees = A( ) B( ) C( ) = A B C - = -A B C Resolviedo el sisema (Gauss) A = ; B = ; C = = -A B C Modo : dado valores a = A( ).( ) B( ).( ) C( ).( ) = 9 = B.. B = 0/0 = = - = C.(-).(-) C = / = 7 = - = A(-). A = 0/- = - d = 7 7 d = L.L 7.L C

9 Tema Cálculo de primiivas Maemáicas II º Bachillerao 9 7 [] d Q() =.(-).() A B C D E F = d ( ) ( ) Operado obeemos : A =, B = -, C =, D =, E = -, F = 0 d = ( ) ( ) d d d ( ) d ( ) d = ( ) ( ) = L l. C = = L.l C [] d = d ( ) d = L arcag C [] d = d = d d = L. d = L. d =L 8 d = L d = L 8 arcag C ( ) / / d. d = L d = L arcag C = L arcag C [] d = d = d = d =