Universidad Carlos III de Madrid. 3.4 Sistemas LIT. SLIT: Sistemas Lineales e Invariantes con el Tiempo Linealidad

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1 Uiversidad Carlos III de Madrid 3.4 Sisemas LIT SLIT: Sisemas Lieales e Ivariaes co el Tiempo Liealidad Supogamos que la señal se puede expresar como ua combiació lieal de señales más simples ( x i () ) y que, ae esas eradas, es fácilmee calculable la salida de u sisema (y i () ). Eoces, la salida y() es: = ax () + L+ a x () Aplicació: N N Sisema lieal T { } y() = a y () + L+ a y () Si coocemos la respuesa de u sisema lieal ae señales básicas (impulsos, escaloes, expoeciales complejas), ambié cooceremos su respuesa ae combiacioes lieales de esas señales N N

2 .6 Señales Básicas Tiempo discreo Impulso uiario desplazado Propiedad: Cualquier señal defiida sobre iempo discreo puede represearse como ua suma de impulsos escalados y desplazados M - 3 x[ 3] δ[ 3] x[] - 3 x[ ] δ[ ] - 3 = - 3 x[ ] δ[ ] x[ ] = x[ δ[ k = M L - 3 x[ ] δ[ ].6 Señales Básicas Tiempo coiuo Cualquier señal defiida sobre iempo coiuo puede represearse como ua iegral (suma) de impulsos escalados y desplazados δ () δ () xk ( ) δ ( k) x () = xk ( ) δ ( k) k = Variable idepediee k ( k + ) x ( τ) δ ( τ) = x( ) Variable iegració

3 3.4 Sisemas LIT Liealidad x[] - 3 x(τ ) = δ ( τ ) L+ x[ ] δ[ + ] + x[] δ[ ] + x[] δ[ ] + L x[ ] = x[ δ[ τ k = coeficiee (o depede de ) = x( τ) δ( τ) Señal (depede de ) Combiació lieal de δ Si coocemos la respuesa de u Sisema lieal ae δ(-τ) (ó δ[-) podremos coocer la respuesa ae cualquier erada (ó x[]) Liealidad x[ ] = x[ δ[ k = = x( τ) δ( τ) 3.4 Sisemas LIT { } δ[ Sisema h [ k ] = T δ [ k ] lieal δ ( τ ) T{ } hτ () = T{ δ ( τ )} y [ ] = xkh [ ] k[ ] k = = y () x( τ) h() τ Si coocemos la respuesa de u Sisema lieal ae δ(-τ) (ó δ[-) podremos coocer la respuesa ae cualquier erada (ó x[])

4 3.4 Sisemas LIT Ivariaza Temporal δ () h () Sisema ivariae h ( δ ( ) ) Coclusió: Si el sisema es lieal e ivariae co el iempo os basa coocer la respuesa al impulso uiario para calcular la respuesa a cualquier erada arbiraria. Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo δ () h () 3.4 Sisemas LIT Liealidad e Ivariaza Temporal Tiempo coiuo δ () h () Sisema Lieal δ ( Ivariae ) h ( ) e el Tiempo h () x(τ) δ( τ) y () = x( τ) h ( τ) τ = x( τ) δ( τ) Covolució: y () = x ()* h ()

5 3.4 Sisemas LIT Liealidad e Ivariaza Temporal Tiempo discreo δ[ ] h [ ] δ[ k x[] Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo h [] h [ k - 3 x[ ] = x[ δ[ k = Covolució: y [ ] = xkh [ ] [ k = y [] = x []*[] h 3.5 Covolució * y() = x( τ) y ( τ) x[ ]* y[ ] = x[ y[ k = Propiedades de la covolució Comuaiva: * y() = y ()* x () τ= σ = dσ *() y = ( τ y τ) = = x ( σ)() y σ ( dσ) = y()*() x τ= σ= τ= σ= k= l x[]*[] y= xky [][ = k= l= = x [ kyl ][] = y []*[] x k= l= k= l=

6 3.5 Covolució Propiedades de la covolució Asociaiva: x[]* y []*[] z = x []*[]*[] y z ( ) ( ) Cosecuecia: Iercoexió de Sisemas LIT e serie x[ ] h[ ] w [ ] h [ ] y[ ] Equivalecia ( ) ( ) y [ ] = x [ ]* h[ ] * h[ ] = x [ ]* h[ ]* h[ ] = x [ ]* h [ ] x[ ] y[ ] h[ ]* h [ ] eq Si ahora eemos e cuea la comuaividad h[ ]* h [ ] = h [ ]* h[ ] ( ) ( ) y[ ] = x[ ]* h[ ]* h [ ] = x[ ]* h [ ] * h[ ] x[ ] h [ ] z [ ] h[ ] y[ ] 3.5 Covolució Propiedades de la covolució Disribuiva respeco a la suma: x[]* y [] + z [] = x []*[] y + x []*[] z ( ) ( ) ( ) Cosecuecia: Iercoexió de Sisemas LIT e paralelo Sisema # h () Sisema # h () y () x () Sisema Equiv. y () h() +Lh () N Sisema #N h () N

7 Propiedades de la covolució Elemeo euro: Es ua señal y() que al covolucioarla co produce como resulado la misma señal. 3.5 Covolució * y() = x( τ) y ( τ) = x () Como... x(τ) δ( τ) = x( τ) δ( τ) τ El elemeo euro de la covolució es la fució δ() x( )* δ( ) = x ( ); x [ ]* δ[ ] = x [ ] 3.5 Covolució Propiedades de la covolució Elemeo euro: x ()* δ( ) = x ( τ) δ( τ ) = x( σδ ) ( σ) dσ= x ( ) δ( ) x( )

8 3.6 Propiedades de los SLIT Hemos represeado los SLIT e érmios de su respuesa impulsioal. Sisema Lieal x[] Ivariae y [ ] = xkh [ ] [ e el Tiempo k = h [] Sisema Lieal Ivariae y () = x( τ) h ( τ) e el Tiempo h () Por ao, se puede coocer las propiedades de u sisema (memoria, causalidad,...) aalizado su respuesa impulsioal. 3.6 Propiedades de los SLIT Sisemas LIT si/co memoria Si memoria: la salida, para cada isae de iempo (valor de la variable idepediee) depede ÚNICAMENTE de la erada e ese mismo isae de iempo. Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo: x [] h [ ] y [ ] = hkx [ ] [ Sisema SIN memoria k = = L+ h[ ] x[ + ] + h[] x[ ] + h[] x[ ] + L x [] h [ ] y [ ] = f( x [ ]) h[ ] = h[] = h[ ] = L = Sisema LIT si Memoria: h [ ] = Cδ[ ] h () = Cδ () C C

9 3.6 Propiedades de los SLIT Sisemas LIT causales U sisema es causal cuado la salida e u isae de iempo depede ÚNICAMENTE de valores de la erada e Sisema causal x [] h [ ] y [ ] = f( x [ ], x [ ], x [ ], K) Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo: x [] h [ ] y [ ] = hkx [ ] [ Sisema LIT causal: h()=, < (h[]=, <) h [ ] k = = L+ h[ ] x[ + ] + h[] x[ ] + h[] x[ ] + L h () - Causalidad 3.6 Propiedades de los SLIT x[] h [ ] y [ ] Causal - h () y () No causal x[] h [] - 3 y [ ] No causal

10 3.6 Propiedades de los SLIT Esabilidad Tiempo discreo x [] h [ ] y [ ] = x [ ]* h [ ] Sisema esable [ ], [ ] X [ ] Esabilidad e SLIT x x K < y K < y [ ] = hkx [ ] [ y [ ] = hkx [ ] [ k= k= Los SLIT esables iee ua respuesa impulsioal sumable e valor absoluo. hk [ ] x [ hk [ ] x [ K hk [ ] X k= k= k= Si hk [ ] < y [ ] K = K hk [ ] k= Y X k= Y 3.6 Propiedades de los SLIT Esabilidad Tiempo coiuo h () y () = x ()* h () Sisema esable ( ), ( ) X ( ) x x K < y K < Esabilidad e SLIT y ( ) = x ( ) h( ) d y ( ) = x ( ) h( ) d τ τ τ τ τ τ Si h( τ ) y( ) K = K h( τ) y ( ) = x ( τ ) h( τ) x ( τ) h( τ) Los SLIT esables iee ua respuesa impulsioal iegrable e valor absoluo. Y X Y

11 Iveribilidad 3.6 Propiedades de los SLIT Cosideremos u sisema LIT y su iverso: h () y () y () Sisema iverso El sisema iverso... es lieal? es ivariae? y () h () h INV () ( ) ( ) * h() * h () = * h()* h () = INV INV Elemeo euro h ()* h () = δ () INV Iveribilidad Ejemplo: 3.6 Propiedades de los SLIT x[ ] u [ ] y [ ] y [ ] Sisema x[ ] iverso u [ ]* h [ ] = δ[ ] INV Como δ [] = u[] u[ ] h [ ] = δ[ ] δ[ ] INV u [ ] h [ INV u[] - - u[ ] L L -

12 3.7 Respuesa al escaló Para calcular la salida y las propiedades de u SLIT ecesiamos coocer su respuesa impulsioal Tiempo discreo: o hay problema Sisema δ [ ] h [ ] LIT Tiempo coiuo: cómo geerar δ()? Solució: uilizar la respuesa al escaló (fácilmee geerable) δ () Sisema h () LIT u () s() u()* h() h( τ ) = = Relacioes ere respuesa impulsioal y respuesa al escaló s() = h( τ ) ds() h () = s () = d