SOBRE UNA FORMULA DE L. SCHWARTZ. Susana Elena Trione

Transcripción

1 Revista de la Ui5 Matem~~ica Volume 6, Argetia SOBRE UNA FORMULA DE L. SCHWARTZ Susaa Elea Trioe SUMMARY. We obtai a causal (aticausal) geeralizatio (1.7) of a importat formula due to L. Schwartz (cf. [11, p. 58, formula (VIl,7;14)). As a applicatio we show that our formula permits to give sese, i a atural way, to some of the so called "ifiities" of quatum electrodyamics (cf. formulas (.3) ad (.4)). E esta ota cosigamos ua geeralizació causal (aticausal) de ua importate f6rmula de L. Schwartz (cf. [Il, p. 58, f6rmulas (VII, 7; 14)). Nuestra f6rmula (1.7) permite dar setido, de maera atural, a ciertos "ifiitos" de la electrodiámica cuática (cf. fórmulas (.3) y (.4)). 1. Sea x u puto de R de coordeadas x 1,x,...,x Podremos P x p - x dode p+q' p+q = (O ~ P ~ ); P es el úmero de cuadrados positivos y q el úmero de cuadrados egativos de la forma cuadrática o degeerada P. Podremos tambié Sea A E C. Escribiremos (~ > O) def (P ± io)a lim (P ± ie:lxi )A. (1.1) e: + O Se demuestra que las distribucioes (P±io)A so fucioes distribucioales holomorfas de A salvo e los putos A = -I - k, co k = 0,1,..., dode estas fucioes distribucioales tiee polos

2 51 simples (cf [3), capítulo III). Desarrollemos (P ± io) e serie de Lauret, e u etoro del puto X = k: (P ±io) I v=l La distribucióri A o ' A v (A-k}v. es por defiició, la parte fiita de (1. ) _E._ A (P ± io) cuado X=k. Nuestro prop6sito es obteer ua expresi6 explícita de la distribució Ao' Luego hacemos aplicacioes de la f6rmula obteida. De acuerdo co (1.) podemos escribir A o def -E.-k Pf(P ± io) lím d A+k da {(A-k)(P ± io) } (1.3) Teiedo e cueta las f6rmulas (3) y (3') de pág. 38 de [3] Y atitrasformada de Fourier(l), obteemos 1f (-E.- A) + qi re -A} F- 1 (Q (P ± io) e 1f (1f) r (A+I) + io)a, (1.4) dode co Q desigamos la forma cuadrática De (1.3) Y (1.4) resulta lím A+k d da { (A - k) re-a) Recordemos ahora la f6rmula bie coocida (cf [4], p.3, f6rmula (4) ) (1) La trasformada de Fourier de la fuci5 f(x) es F(O def J = f(y) e-i(x,y)f(x) dx. R

3 5 re - A) e_l)k+l re-a+k+l) r(a-k) r (A + 1 ) De esta f6rmula y de (1.5) obteemos -~-k Pf(P±io) -1~r(A-k+l)r(-A+k+l) } r(a+l) (HI). el. 6) Si evaluamos explícitamete las derivadas que figura e (1.6) 10 cual lleva aparejados cálculos largos pero elemetales y que por eso omitimos, obteemos tomado límites para A + k : :I. qí - -- k e (_l)k+l r(~+k) k! : :I. - qi -- k (-1) k io)} + e r(~ + k) k! [F- 1 (Q r 1 (~+k) : : io)k { 19 + (1+-}+... +~_y) + }] r (~+k) (1.7) que es la f6rmula a que deseábamos llegar. Iteresa observar que como caso particular de la f6rmula que precede, (cuado p=, q=o), se obtiee ua f6rmula equivalete a ua f6rmula de Schwartz (cf.[ Il, p. 58, f6rmula (VII, 7; 14)).. Cosideraremos ahora la fuci6 distribucioal ía íq r(-a.) lea-) H a. (P ± io,) e e (P ± io) a. r (~) dode ' E C y -A ~ t OtO ~ -- T e ero posl lvo. (.1)

4 53 La fució Ha costituye ua geeralizació causal (alicausa1) del úcleo elíptico d~ Marce1 Riesz (ver [5], p.16). Se demuestra (cf.[], Teorema 17, p.39) que las fucioes distribucioa1es pf Hk (P ± io,) so solucioes elemetales, para todo k,de1 operador Lk defiido por la fórmula Lk a a + + a -:z ax 1 ax ax p a a a }k ax p+l ax p+ ax p+q Señalemos que el caso particular rrespodiete a q=l, =4, figura Se puede probar que si a) k etero;;;' 1 b).e etero;;;' O c).e[~ - k] - ~ = etero;;;' O etoces la expresió del teorema recié citado, ya e [ 61; pp (.) coo tiee setido como distribució. E cambio tiee setido la parte fiita de {Hk (P ± io,)}.e (e los putos dode k-e. {(P ± io) }.e tiee polos simples). Para calcularla basta co aplicar la fórmula (1. 7) a.e ( k _E. ) _E._ (.e (!!c_ k ) _E.) _E._ r (P ± io) = (P ± io) = (P ± io) dode r es u etero;;;' O. E el caso particular =4, q=1, k=1, Lk o es sio el clásico o perador de las odas: o a a a a ax 1 ax ax 3 Clx 4 y las expresioes (.) adquiere la forma (.3) Notemos que H:z(P + io, =4) coicide co la "delta fotóica" de Feyma, (llamada por los físicos C(x)) y que las expresioes (.3) coicide co ciertos famosos Hifiitos" de la e1ectro-

5 54 diámica cuática (cf.[ 61 y [71). Teemos e el presete caso, de acuerdo co (1.7), l 4 11 / l (l-)C_1)l(1)+1 1 o ~~~------~~ F- {(Q+io)~- 19(Q+io)} + r(l-) (.t-)! (l-) (_1)l- [F- 1 (Q + r(l) (l-)! io.. { 19 + (1+~ + 1 l- y) + r'(l)}1 r (l) (.4) co lo cual hemos dado setido distribucioal (de maera atural, segú os parece), a los "ifiitos" (.3). BIBLIOGRAFIA [11 SCHWARTZ, Lauret, ThéoJtie de.6 Vi.6.tJtibu:t. o.6, Paris, Herma, [1 TRIONE, Susaa Elea, Te.6i.6 doc:tojtal "SobJte.6olucioe.6 eleme.tale.6 cau.6ale.6 de ecuacioe.6 diejteciale.6 e. de.jtivada.6 pajtciale..6 co coe6icie.te.6 co.6.ta.te..6", Uiversidad de Bueos Aires. Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Bueos Aires, 197. [31 GELFAND, I.M., SHILOV, G.E., Ge.e.Jtalized Fuc.tio.6, Vol.r, Academic Press, New York, [41 BATEMAN, Mau.6cJtip.t PJtoye.c.t Table HigheJt.tJta.6ce.de..tal Fuc.tio.6, Mc Graw-Hill, New York, [51 RIESZ, Marcel, L'i.tégJtale. de. Rie.ma-Liouville e.t le pjtobleme de Cauchy, Acta Math. Vol 81, 1949, pp [61 BOLLINI, C.G., GIAMBIAGI, J.J. Y GONZALEZ DOMINGUEZ,A., Aaly.tic, JtegulaJtiza.tio ad.the. qua.tum.the.ojty 06 6ie.ld.6, 11 Nuovo Cimeto, XXXI, 1964, pp, [71 GUERRA, F., O aaly.tic JtegulaJtiza.tio i qu~.tum ie.ld.the. OJty, 11 Nuovo Cimeto, vol 1 A, serie 11, 1971,pp Uiversidad de Bueos Aires Argetia. Recibido e diciembre de 197.