Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION

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1 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma INTRODUCCION El cocepo de filro adapaivo, sugiere el de u disposiivo que iea modelizar la relació ere señales e iempo real de forma ieraiva. Se diferecia de los filros digiales e que ésos úlimos iee coeficiees ivariaes e el iempo, mieras que u filro adapaivo puede cambiar su forma de comporarse, es decir, puede cambiar sus coeficiees de acuerdo co u algorimo adapivo. De hecho, o se cooce los coeficiees del filro cuado se diseña, debido a que esos coeficiees so calculados cuado el filro se implemea y se reajusa auomáicamee e cada ieració mieras dura su fase de apredizaje. El hecho de que esos filros o sea ivariaes emporales y que ampoco sea lieales, hace que su esudio sea más complejo que el de u filro digial, ya que o se puede aplicar, salvo e u par de ecepcioes, las rasformacioes e frecuecia, domiio Z, ec. El presee eo raa e forma iroducoria el ema de filros adapivos. E pricipio se realiza ua breve iroducció sobre procesos aleaorios a iempo coiuo y esimació de parámeros. Seguidamee se defie al filro de Wieer, como méodo para la esimació esadísica de la respuesa al impulso uiario de u sisema. Por ulimo se aborda el ema de filros adapivos, haciedo referecia a los algorimos adapivos de máima pediee, el algorimo LMS, el algorimo RLS y filro de Kalma. PROCESOS ALEATORIOS A TIEMPO CONTINUO Cada vez que se realiza la observació o el sesado de algú eveo emporal, se obedrá señales elécricas disias cada vez que se quiera, debido a la auraleza o caracerísicas aleaorias implícias que esas presea. E el esquema de la Figura, se muesra el modelo ípico de u sisema que puede ser lieal e ivariae e el iempo y de las diferees señales emporales que ieracúa. Por raarse de señales aleaorias, esas so pare de las realizacioes de procesos aleaorios viculados al sisema. De esa maera se cuea co u proceso aleaorio de erada al sisema {}, que da lugar al proceso aleaorio de salida del sisema {Y}. Las realizacioes del proceso {Y}, esará disorsioadas por las realizacioes señal ruido del proceso {N}, dado como resulado las realizacioes del proceso aleaorio {Z}. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

2 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Ruido Erada SISTEMA f y Salida z y Figura : Esquema del sisema de aálisis, dode la erada del sisema correspode a las realizacioes o señales elécricas del rasducor emisor del proceso {}, la salida correspode a las realizacioes o señales elécricas del rasducor recepor del proceso {Z} y f la fució de rasferecia del sisema. Al represear odas las realizacioes de u proceso, al como idica la Figura, se observa a u cojuo de ifiias fucioes del iempo. Esas fucioes esá asigadas a u eveo o puo muesral de u suceso o eperimeo aleaorio, de allí su desigació como fucioes muesrales. Si las mismas se esudia de maera separada, eso es, cosiderar solo u eveo e paricular ξ, se esaría ae la presecia de ua oda de poecia fiia, pudiédose caracerizar a ravés del valor medio de la señal m ξ, del produco escalar de la fució co su versió desplazada e diversos iempos lags o fució de auocorrelacio R, τ ξ y co la poecia de la señal como auocorrelacio e el orige P ξ, respecivamee: m ξ lim T T R τ, ξ lim T T P ξ R T, ξ, ξ d T, ξ τ, ξ d Al produco escalar de la fució o fució de auocorrelacio se lo eiede como ua medida del grado de similiud de la señal co su versió desplazada e el iempo de τ. El desplazamieo e el iempo τ es arbirario y el sigificado de la fució auocorrelació, es dar iformació de la variació e el iempo de la señal e u seido promediado su, 997; Papoulis ad Pillai, ; Maolakis, e al., 5. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

3 Págia 3 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma ξ, Ampliudes Realizacioes: ξ ξn- ξn ξn ξn iempo Figura : Proceso aleaorio represeado por sus realizacioes esamble, resulado de disios eperimeos. Cada ua de las realizacioes lleva asociada ua forma de oda e el iempo. Cuado se cosidera del proceso aleaorio los disios valores que oma cada eveo para u iempo fijo, se esará ae la presecia de ua variable aleaoria VA caracerizada por su correspodiee fució desidad de probabilidad o PDF por sus siglas e igles de Probabiliy Desiy Fucio, f,, lo que permie deermiar a lo parámeros esadísicos o momeos de orde de la VA. E alguos casos coociedo esos parámeros esadísicos, se puede llegar a caracerizar la VA como por ejemplo las de disribució Gaussiaa su, 997; Papoulis ad Pillai,. Pero la caracerizació del proceso es odavía escasa, ya que hasa ahora o se iee ua caracerizació e dode se coemple la evolució cojua ao del iempo como e cada uo de los eveos. Para ello es ecesario dispoer de ua fució desidad de probabilidad, eiedo e cuea que u proceso aleaorio esará caracerizado co las PDF de las variables aleaorias que lo compoe, por lo ao, dado u cojuo de variables aleaorias obeidas para isaes de iempo,,., fijos; su caracerizació probabilísica puede represearse por ua colecció de PDF cojuas: f f f,,, ; ;,, ; ;, e dode la fució PDF cojua es la probabilidad de que el proceso ome valores e el iervalo, d e el iempo, e, d e el iempo,,e, d para e iempo. Como e el Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

4 Págia 4 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma caso de ua VA, coociedo del proceso la PDF cojua, es posible deermiar sus parámeros esadísicos como por ejemplo la fució media y los momeos de orde, la fució auocorrelació y la fució covariaza, respecivamee: { } { } { } [ ][ ] { },,, ;.,,.,., τ μ μ τ τ μ τ μ τ τ τ τ μ R E K d d f E R d f E m d f E 3 e dode E{}, represea el valor esperado. Del momeo de orde se obiee la fució error medio cuadráico y de la fució de covariaza, si τ obeemos la fució de variaza. Esacioariedad y Ergodicidad Eise alguos feómeos que da lugar a procesos aleaorios, cuyas propiedades o parámeros esadísicos se maiee cosaes e el iempo, e ese caso, los procesos aleaorios so esacioarios. E ese ipo de procesos, cuao más abarque la idepedecia del iempo sobre los parámeros esadísicos, mas esrico es el crierio de esacioariedad. De esa forma, se dice que u proceso es esacioario e seido amplio de segudo orde, si su fució media es idepediee del iempo y su fució de auocorrelació depede solo del icremeo emporal τ. Además, si la PDF cojua de segudo orde, es idepediee de las raslacioes e el iempo, se dice que el proceso aleaorio es esacioario e seido esrico de segudo orde su, 997; Papoulis ad Pillai,, por lo ao se verifica lo siguiee: { } { } f f R E R ce E, ;, ;,,. τ τ τ τ τ μ μ 4

5 Págia 5 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Se eiede como la desidad especral del proceso, a la poecia de odas las realizacioes, e promedio, respeco de u acho de bada ifiiesimal alrededor de cada frecuecia su, 997. E el caso de u proceso esacioario, se verifica que su área es la poecia del proceso o auocorrelacio e τ igual a cero. Cuado el proceso es esacioario la desidad especral de poecia será igual a la rasformada de Fourier de la auocorrelació, eso es: S j ω R τ. e ϖτ dτ 5 Por lo que la fució de auo correlació, se puede obeer a ravés de la rasformada iversa de Fourier de la desidad especral de poecia: R τ π S. j e ωτ dω 6 Esas relacioes so posibles ya que se cosidera a los procesos esacioarios como coiuos, difereciales e iegrables e seido medio cuadráico; a ravés del Teorema de Wieer Khichi Papoulis ad Pillai,. Para casos e que es ecesario coocer la depedecia esadísica ere dos procesos {} e {Y}, o el grado de parecido de los mismos, se lo hace a ravés de la fució correlació cruzada: {. y } R Y, τ E τ 7 E el caso de que ambos procesos sea esacioarios, la fució correlació cruzada será idepediee del iempo y edrá las mismas cosideracioes que la fució auocorrelació, respeco de la coiuidad, difereciació e iegració. E ese caso su rasformada de Fourier será la desidad especral de poecia cruzada: Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

6 Págia 6 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma jωτ S R τ. e dτ 8 Y Y Al igual que e la fució de auocorrelació, aplicado la rasformada iversa de Fourier de la desidad especral de poecia cruzada se obiee la fució de correlació cruzada. A meudo cuado se raa de procesos esacioarios, los promedios e el esamble puede ser reemplazados co éio por los promedios emporales de ua muesra. A ales procesos se los llama ergódicos. Esa cocepció arificial de los procesos esacioarios obedece a ua limiació que se presea e la prácica cuado o se dispoe de más de ua realizació del proceso o de la PDF cojua, e cuyo caso a parir de ua realizació, se preede eeder o deermiar los parámeros esadísicos de u proceso aleaorio esacioario. E ese caso, se prueba que u proceso aleaorio esacioario de segudo orde ergódico presea las siguiees igualdades: μ E R { } τ E m lim T T T d { τ } R τ lim T T T τ d 9 Procesos Aleaorios y Sisemas Lieales Cuado las realizacioes de u proceso {}, se aplica a u sisema como el de la Figura, co caracerísicas de liealidad e ivariaza e el iempo, se obiee a su salida oro proceso aleaorio deomiado {Y}, cuyas realizacioes esá relacioadas mediae la respuesa impulsioal del sisema h a ravés de la iegral de covolució de la ecuació. E el caso de procesos esacioarios los parámeros esadísicos de los procesos esá relacioados a ravés de la misma propiedad, por lo que la fució media del proceso de salida del sisema esará dada por. E y h ς. ς dς ς h ς dς μ. μ y { y } h. E{ ς } dς E{ }. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

7 Págia 7 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma E la epresió el ermio, correspode a la respuesa e frecuecia ω a frecuecia cero. El parecido esadísico o correlació del proceso de salida co el proceso de erada, será dado por la siguiee epresió: RY τ h ς. R τ ς dς R τ h τ La epresió de la desidad especral de poecia puede obeerse de la siguiee maera: S ω. S ω 3 Y De la misma forma, puede obeerse la correlació cruzada ere los procesos {Y} y {}, juo a la auocorrelacio del proceso de salida de la siguiee maera: R S Y Y τ h τ R τ R ω ω. S ω S Y Y τ ω 4 Respeco del proceso de salida {Y}, la fució de auocorrelacio del proceso será fució de la auocorrelació del proceso de erada. Trasladado esa relació, a sus respecivas desidades especrales de poecia, se iee: R τ h τ h τ R Y S ω Y ω S ω; S τ ω R 5 Cuado las realizacioes del proceso de salida, se ve disorsioadas por ua señal ruido como e la siuació que se grafica e la Figura, las relacioes ere la erada del sisema y la ueva salida que ese iee, va a ser afecadas por la señal ruido. Si esa señal es idepediee de la señal de erada, lo Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

8 Págia 8 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma imporae a deermiar es el grado de afecació de las realizacioes del proceso de salida, e érmios de las desidades especrales de los procesos. La maera de hacerlo, es observado aquellos coeidos de frecuecia que se geera a la salida del sisema y que o so produco de la relació ere la erada y la salida e el sisema lieal. Esa idea es la que sugiere la defiició de coherecia especral Maolakis e al., 5, dode su modulo se epresa de la siguiee maera: γ ω S Y ω. SY ω 6 S ω S ω Y E el caso que la salida o se ecuere disorsioada, para cualquier ω lieal, la coherecia especral es la uidad e odo el marge de frecuecia. Por oro lado, ae la presecia de ruido blaco o correlado co la erada, la desidad especral de poecia cruzada ere el ruido y la erada S N ω, la desidad especral de poecia del ruido S N ω y la desidad especral de poecia de la salida S ω, será resuelos de la siguiee maera: Y S S S N N Y ω ω F{ R ω S N τ } F{ N ω. ω S. δ τ } N N ω 7 e dode RN τ es la fució de auocorrelació del ruido, igual a ua dela de Dirac de peso N. Susiuyedo eoces las epresioes de 7 e la ecuació 6, se obiee la siguiee epresió: γ ω S ω N ω. S ω SNR ω SNR ω SNR ω 8 e dode SNR ω, se cooce como relació señal ruido del sisema e érmios de la frecuecia ω. Se puede observar e 8, como ifluye e el valor de la coherecia especral la relació SNR, haciedo que esa decaiga por debajo de la uidad cuado esa relació es pequeña. E oras palabras, decir que Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

9 Págia 9 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma el coeido e ua bada de frecuecia de ua señal es coheree co el de ora señal e la misma bada, implica que ua de las dos se puede obeer de la ora mediae ua rasformació lieal, es por ello que e la prácica se busca que la relació SNR sea lo mas grade posible. Esimació de Parámeros y Calidad de u Esimador El cocepo de ergodicidad es úil, cuado se preede ecorar los parámeros esadísicos o caracerizar a u proceso esacioario co solo ua realizació del proceso. Pero la cocepció de ergodicidad es limiada ya que las señales so de duració fiia y las represeacioes de los parámeros esadísicos a parir de los promedios emporales variará ere las realizacioes o señales que se dispoga. Por oro lado, dado u proceso aleaorio como erada de u sisema, puede ocurrir que el proceso o sea esacioario o que el sisema o sea lieal e ivariae e el iempo. Ae esas siuacioes, uilizado ua o pocas realizacioes del proceso aleaorio, solo se esará logrado la esimació de los parámeros esadísicos de u proceso aleaorio Maolakis e al., 5. Dado u proceso aleaorio {}, la esimació de u parámero θ a parir de ua realizació,ξ es equivalee eoces, a plaear cual es la probabilidad de que el valor correco coicida co u valor dado de θ. De esa maera el parámero a esimar es ua VA que ese relacioada co los daos observados, caracerizada por su PDF codicioal f θ /, ξ. Por lo ao, el parámero ópimo será aquel que maimiza la probabilidad codicioal su, 997; Papoulis ad Pillai, ; Maolakis, e al., 5: [ f θ /, ξ dθ ] arg ma[ Pr θ < Θ < θ dθ /, ] θmap arg ma ξ 9 θ θ a esa epresió se la deomia máimo a poseriori o MAP por sus siglas e igles de Maimum a Poseriori. Ese es u crierio ópimo para la esimació del parámero θ, pero acarrea la dificulad de ecesiar de ua fució PDF codicioal que muchas veces o se cooce o es difícil e deermiar. Uilizado el eorema de Bayes para represear dicha probabilidad, se obiee la epresió, e dode el deomiador de esa epresió o paricipa del proceso de maimizació de la probabilidad por lo que puede descararse. f, ξ / θ. f θ f θ /, ξ f, ξ / θ. f θ f, ξ Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

10 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma El crierio MAP queda resuelo eoces, por la maimizació de la PDF codicioal de los daos codicioada al parámero θ, muliplicad por la PDF del parámero θ. La PDF codicioal de los daos codicioada al parámero θ, se la cooce como verosimiliud likelihood y la PDF del parámero θ, como ua iformació a priori del parámero, respeco del coocimieo de su PDF. Cuado la PDF del parámero θ es uiforme o se iee el máimo descoocimieo o la míima iformació de su disribució, el crierio MAP se logra maimizado la verosimiliud o ML por sus siglas e igles de Maimum Likelihood, al como se idica e la siguiee epresió: [ f, ξ / θ ] θ ML arg ma θ Ese crierio es más uilizado que el crierio MAP, ya que es meos compleja la deermiació de su PDF, si embargo a diferecia del MAP, ese crierio es subópimo debido a la poca fiabilidad que se iee del coocimieo de la PDF del parámero θ. Ora maera de realizar la esimació cosise e esimar el parámero que meos se desvía del valor correco, e érmios del error medio cuadráico. El crierio se cooce como MSE por sus siglas e igles de Mea Square Error dado por la siguiee epresió: θ [ E{ θ θ /, ξ }] arg mi θ θ f θ /, ξ dθ arg mi θ θ MSE Se demuesra de que el crierio MSE es la fució media codicioal del parámero θ codicioada a los daos, ya que esa fució, es la que aula la derivada del error medio cuadráico respeco del parámero correco, eso es: E θ { θ θ /, ξ } θ MSE θ θ. f θ /, ξ dθ θ. f θ /, ξ dθ 3 Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

11 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Por lo ao, cuado el valor de la media de la PDF codicioal coicide co el valor máimo de su disribució, el crierio MSE coicidirá co el MAP, siedo e ese caso u crierio ópimo. Eise muchas fucioes de disribució de probabilidad, icluida la Gaussiaa, dode su fució media coicide co el valor máimo de su disribució. Eise ua maera de evaluar la calidad de los esimadores MAP, ML, MSE o la de cualquier oro a parir de las siguiees propiedades de ausecia de sesgo, eficiecia, cosisecia y suficiecia Papoulis ad Pillai,. Si al cosiderar el caso de que el parámero a esimar eise y se iee la seguridad de que vale θ, se puede ierprear la area de esimar a parir de las observacioes, como ua VA θˆ cuyo valor medio de las esimacioes realizadas sea igual al parámero correco. E el caso que eso o sea posible se dice que el esimador es sesgado o que iee sesgo b, defiido por: [ { } ] b E ˆ θ θ 4 Cuado la duració de las realizacioes aumea ediedo a ifiio, el sesgo iede a cero, e ese caso se dice que el esimador es asióicamee isesgado y se defie de la siguiee maera: { θ } θ lim E ˆ 5 Pero la ausecia de sesgo o es codició suficiee para defiir u bue esimador, se busca que la VA θˆ ega ua desviació respeco de la media, pequeña o míima variaza, y esa caracerísica ere esimadores isesgados dirá cua eficiee es uo del oro. Si el esimador es asióicamee isesgado y además su variaza iede a cero, se dice que el esimador iee la propiedad de cosisecia, eso es: { ˆ θ } E 6 σ θ E {} ˆ ˆ θ E θ Para cada esimador isesgado se obedrá eoces, ua variaza mayor que cero, si las observacioes so de duració fiia. El más eficiee de esos esimadores, edrá ua variaza acoada por el límie Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

12 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma de Cramer Rao, como se idica e 7. Si la variaza del esimador isesgado, coicide co el límie de Cramer Rao, se dice que iee eficiecia absolua o que el esimador iee la propiedad de suficiecia. σθ E log [ f, ξ / θ ] θ 7 FILTRO WIENER El filro de Wieer es uo de los filros lieales ópimos más imporaes, que permie deermiar o esimar la respuesa o el comporamieo de u sisema, a la vez que mejora la apariecia de señales digiales e lo que respeca a la relació señal ruido SNR. Se defie eoces a [] ua señal discrea de N elemeos, cuya epresió vecorial es igual a: T [,,...,,..., N, ] N 8 De la misma maera, se defie a h [] como la respuesa impulsioal de u filro FIR a esimar, de Q coeficiees de logiud, cuyas caracerísicas de lugar a la señal discrea y ˆ[ ] lo más parecida posible a ua señal discrea de referecia deomiada d [ ] de NQ muesras de logiud. El parecido ere las señales, se lo evalúa e érmios del míimo error medio cuadráico o MSE su, 997; Papoulis ad Pillai, ; Maolakis, e al., 5, como se idica e 9. E la Figura 3 se resume al siuació. { ε[ ] } { [ ] ˆ [ ] } ξ E E d y 9 Erada [] FILTRO WIENER h [] Salida ŷ [] ε[] Referecia d[] Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

13 Págia 3 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Figura 3: Esquema del filro de Wieer, co idicació de daos, salida, referecia y el error. La señal de salida del sisema puede ecorarse a ravés de la covolució de la señal de erada [] co la respuesa impulsioal cojugada h [ ] del sisema a esimar, cuya represeació maricial es la siguiee: yˆ[ ] h [ ] [ ] h. h [ ] [ ]. [ Q ] 3 el superídice del vecor de respuesa impulsioal idica que el vecor es raspueso cojugado, el vecor esa coformado por los desplazamieos hasa Q de la señal [] ru ime vecor, obeiedo de esa maera u vecor de salida de NQ elemeos. Al desarrollar el valor esperado de 9, eiedo e cuaa la ecuació 3, se obiee la epresió del error a miimizar: siedo R E{. } { ] } ξ E d [ h. Rh. h. P P. h 3 la mariz de correlació de la señal de erada [] co los Q primeros valores de la fució de auocorrelació, mariz del ipo Toepliz de QQ elemeos dado por 3; {. [ ]} P E d es el vecor de Q elemeos, cuyas eradas correspode a los valores de la correlació cruzada ere la señal de erada [] y la señal de referecia z [] hasa el orde Q. Derivado la epresió del error respeco del vecor e igualado a cero, se obiee el vecor ópimo para la respuesa impulsiva del sisema o filro Wieer, cuya epresió esa dada por 33. La señal de salida y ˆ[ ] de ese sisema será eoces la de ecuació 34. h Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

14 Págia 4 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma R E {. } r r r Q r r r Q r Q r Q r 3 op. h R P filro Wieer 33 y ˆ[ ] h. P R. 34 op El error míimo MSE que se obiee a parir del vecor ópimo de la respuesa impulsiva se obiee de reemplazar 33 e 3, obeiedo: { ] } { ] } ξmi E d [ P. R. P E d [ hop. Rh. op 35 Por lo epueso, si miimizar el error es miimizar la orma del vecor ε [], uilizado la defiició de produco escalar, el error será orogoal al plao de los daos de la señal de erada, por lo que el pricipio de orogoalidad es el que se epresa e 36. Por lo ao, cuao meos se parezca la señal de erada del error o dicho de ora maera o correladas, los coeficiees de la respuesa impulsiva esará más cerca del valor ópimo. { ε } ε E [ ] [ q] co q,, Q 36 Para aalizar la forma de rabajar del filro de Wieer e el domiio de la frecuecia, es ecesario eeder las ecuacioes de diseño para u filro de respuesa impulsioal ifiia o filro IIR, e lugar del caso del filro FIR causal. Cosiderado eoces para el diseño, la correlació de la señal de referecia co el de la señal de erada al filro de Q coeficiees, se iee: Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

15 Págia 5 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Q q R l h q. R l q 37 Z Si e la epresió 37 los límies de la sumaoria va desde a, el comporamieo del filro Wieer puede represearse e el domiio de la frecuecia, de la siguiee maera: S S S S 38 ω ω Z ω ω ω Z ω siedo ω la respuesa e frecuecia del filro Wieer. Ya que se raa de u sisema discreo se debería escribir z ep jωt, co z como la rasformada Z de los coeficiees del filro y co T como el periodo de muesreo. Aplicado el eorema de Parseval a la epresió 35, se puede obeer la epresió del míimo error MSE e érmios de las desidades especrales de poecia como: { ] } ξmi E d[ hop. P SZ ω ω. SZ ω. dω π SZ ω. SZ ω SZ ω. dω SZ ω γ ω. dω π S ω. SZ ω π 39 Se observa e 39, la depedecia del míimo error MSE co la coherecia e implíciamee co la relació SNR, ere los daos de la señal de erada y de la señal de referecia. De esa maera, la coherecia especral permie aicipar cua efecivo será el filro de Wieer, mosrado e que frecuecias va a eisir u míimo error MSE Maolakis e al., 5. Por la limiada caidad de realizacioes que se dispoe por lo geeral de los procesos aleaorios implicados y por el descoocimieo de sus PDF cojuas, la mariz de auocorrelació de la señal de erada [], como el vecor de correlació cruzada ere la señal de erada [] y la señal de referecia z [], co sus respecivas desidades especrales, va a ser esimadas. Maolakis e al. 5, demuesra que u bue esimador de la mariz de auocorrelació y de la fució de auocorrelació, es el que se epresa e 4. Paricularmee, el esimador de la fució de auocorrelació, se lo deomia esimador sesgado ormalizado de la auocorrelació. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

16 Págia 6 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Rˆ.Toepliz N Rˆ m N N m. [ ]. [ m] m,, N 4 Mieras que para la desidad especral de poecia de la señal [], u esimador basae uilizado es el de la siguiee epresió: N j π k/ N S k S. RS. [ ]. e k S S N N j π / N j π / N Q S e e 4 dode k, es la rasformada discrea de Fourier o DFT. FILTROS ADAPTIVOS Debido a que e la auraleza es posible regisrar señales, co caracerísicas de o esacioariedad, el filro de Wieer o resula apropiado para su uilizació, ya que ese solo brida la solució ópima para el caso de sisemas esacioarios. Cosiderado el supueso de o esacioariedad, para el caso del filro Wieer FIR de la epresió 33, la o esacioariedad implica el cosiderar los procesos aleaorios como o esacioarios y que los coeficiees del filro que miimiza el error de la epresió 3 depede de. De esa maera el cocepo del filro adapaivo variae e el iempo cosise e ecorar para cada isae de iempo de ieració del algorimo, u cojuo de coeficiees ópimos, a ravés de cosiderar las acualizacioes de los pesos del filro: h h μ f h 4 Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

17 Págia 7 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma dode μ f h es u facor de correcció que se aplica a los coeficiees h e el isae para obeer el uevo cojuo de coeficiees h e el isae. Esa ecuació de acualizació es la base de los algorimos adapivos y el diseño de cada filro adapivo requiere defiir el facor μ f h. El algorimo uilizado para aplicar la correcció del facor μ f h debe ser al, que e u esceario esacioario, el cojuo de coeficiees del filro h coverja a la solució ópima de Wieer de la epresió 33. Mieras que para señales o esacioarias, el filro debe ser capaz de adaparse a los cambios esadísicos y alcazar la solució al evolucioar e el iempo. E la Figura 4, se muesra el esquema geeral de los filros adapivos. E los párrafos siguiees se presea ua síesis de los algorimos ípicos de filros adapivos. Puede ampliar el ema de filros adapivos e Maolakis e al. 5. Referecia Erada [] FILTRO WIENER h [] ŷ [] Salida d[] μh [] ε[] ALGORITMO ADAPTIVO Figura 4: Esquema geeral de los filros adapivos, co idicació de daos, salida, referecia y el error. Méodo de Gradiee de Máima Pediee A parir de los coeficiees ópimos del filro Wieer y del valor de míimo error de la epresió 35, es posible coar co ua epresió del error MSE para cualquier respuesa impulsioal e fució de la ópima: ξ h ξ h h R h h 43 mi op op siedo u úmero que epresa las ieracioes e el proceso de apredizaje. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

18 Págia 8 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Como puede observarse e la epresió 43, eise ua depedecia cuadráica del valor del error co los coeficiees y cuyo míimo error se logra cuado se esa ae los coeficiees ópimos del filro Wieer. La superficie lograda de esa epresió, iee el aspeco de u paraboloide, cuyas curvas de ivel correspode a elipses. E la Figura 5 puede observarse el mecaismo de apredizaje a realizar, desde u esado h a oro esado mejor h, el cual cosise e omar la direcció coraria al gradiee del MSE y rasladarse ua deermiada caidad e dicha direcció. De lo aerior, se deduce la siguiee regla de apredizaje: h h μ ξ h h μ Rh P 44 e dode la caidad μ correspode al paso de adapació, el cual deermia la velocidad de apredizaje que se desea imprimir al sisema. ξ h GRADIENTE DEL ERROR ξ mi hop h h Figura 5: Curva del MSE e fució de los coeficiees. Su comporamieo cuadráico colleva que el gradiee cambiado de sigo, e cualquier posició, marca la direcció a seguir para alcazar el míimo. Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

19 Págia 9 de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Si bie la represeació de la Figura 5 es adecuada para la eplicació, ua represeació e dos dimesioes revela que el méodo del gradiee a solo deoa ua direcció de meor error. Si embargo, depediedo de su posició, o ecesariamee esa direcció correspode a la direcció del míimo error ver Figura 6. E dicha figura, las curvas de ivel represea las líeas de igual error medio cuadráico. Sólo e el caso de que esas líeas de igual error sea circuferecias, el gradiee e cualquier puo apuará siempre al míimo error. h h ξ mi Figura 6: Curvas de ivel del error para el caso de u filro de dos coeficiees, e dode se observa diversos vecores de gradiee. Las magiudes de los vecores gradiees so es iversamee proporcioales a la separació ere las curvas de ivel. Realizado u cambio de variables e la epresió 43 de maera de comprobar la relació ere la forma de las curvas de ivel y la mariz de correlació, se iee: ξ h ξ h Rh 45 mi Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma

20 Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma Ese cambio de variables producirá el cerado de las curvas de ivel e el valor ópimo h op. De ese modo, el gradiee del error de la epresió 43, e cualquier puo de la superficie, puede epresarse e érmios de la ueva variable como: ξ h Rh 46 E paricular, el gradiee e los puos eremos de los ejes de las curvas de ivel es u vecor que pasa por el orige de coordeadas y por lo ao es de la forma kh, por lo que las direccioes de los ejes pricipales viee dadas por los auovecores de la mariz R. Se demuesra eoces, la siguiee epresió ere los auovalores de R y la superficie de error: Q mi Λ mi Λ mi i 47 i ξ z ξ h E E h ξ z z ξ λ z i e dode E correspode a la mariz de vecores propios y Λ a la mariz diagoal de auovalores de la mariz R. De esa maera se logra ua roació del sisema coordeado, quedado los ejes de las op curvas de error alieados co las uevas coordeadas z E h h ver Figura 7. La curvaura e ese uevo sisema coordeado, se obiee de calcular la seguda derivada de la epresió del error de 47 respeco de z i, igual a λ i. Por lo que la direcció del eje de meor logiud del grafico de la Figura 7, esará asociada al vecor propio de mayor auovalor, y viceversa. Maolakis e al. 5 eucia que la ecericidad de las curvas de ivel de la fució de error depede de cua disios so los auovalores de la mariz de correlació. Esa observació esa íimamee relacioada co la velocidad de covergecia. Cosiderado la regla de apredizaje de la epresió 44 y eiedo e cuea el cambio de variable realizado para obeer el gradiee de la epresió 46, se deduce la regla de apredizaje e oro a la variable h : Procesamieo Digial de Señales UNC FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma