CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

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1 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros APÍTULO : ESTIMAIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS Para realizar la valoració fiaciera de cualquier acivo (accioes, boos, proyecos de iversió ec.) debemos acualizar los flujos moearios que la posesió de dicho acivos procura a lo largo del iempo. Para ello es ecesario coocer los ipos de acualizació que e cada isae debe aplicarse a dicho acivo, los cuales surge como la adició de los ipos de ierés libre de riesgo de isolvecia (ipos de la deuda pública) y ua prima de riesgo iheree a la auraleza del acivo que valoremos. Evideemee, si el acivo fiaciero o colleva igú ipo de riesgo de isolvecia, los iereses que se uilizará para valorar los mismos o icluirá ua prima de riesgo. E el capíulo aerior hemos aalizado como valorar fiacieramee u cojuo de capiales cuado ésos y los iereses de valoració viee dados a ravés de úmeros borrosos, lo cual, umerosos auores, cosidera ua forma de esimació que e la mayor pare de siuacioes resula más realisa. Si embargo, auque ese problema ha sido aalizado y resuelo co éxio e muchos rabajos, la esimació de los ipos fuuros como úmeros borrosos ha sido objeo de poca aeció, supoiédose que viee dados por esimacioes subjeivas de experos. Nosoros preedemos, e la medida de lo posible, dar ua solució a ese problema, basada e la esimació de ua esrucura emporal de los ipos de ierés borrosa, ya que ésa recoge implíciamee las expecaivas de los agees que acúa e los mercados de rea fija asimilables a los experos - sobre la evolució de los ipos de ierés fuuros. Así, e ese capíulo aalizaremos brevemee, y e u ambiee de cereza, los diferees ipos de ierés que rige e los mercados de rea fija. Dero de esos ipos, será de especial imporacia para uesro objeivo los deomiados ipos forward, o ipos que implíciamee aicipa el mercado para el fuuro e los precios y reabilidades de los isrumeos que se egocia e dicho mercado. Después aalizaremos las disias eorías explicaivas sobre el proceso de formació de los ipos que rige e los mercados de rea fija, de forma que quedará explicado el marco cocepual que se asume al ideificar a los ipos forward co los ipos esimados para el fuuro así como las debilidades de dicha hipóesis. Poseriormee realizaremos uos breves comearios sobre los méodos que so habiualmee uilizados e la esimació de la ETTI. Nuesras propuesas se ispirara e u grupo de méodos que podemos eiquear de ecooméricos. Por úlimo jusificaremos y moivaremos la ecesidad de la esimació de la ETTI 53

2 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos a ravés de subcojuos borrosos. Aalizaremos que aspecos, a uesro eeder, puede aporar ese isrumeo maemáico a los méodos de esimació de la ETTI ya exisees y e que puede ser de ayuda ua esimació borrosa de la ETTI a la valoració fiaciera e codicioes de iceridumbre... ANÁLISIS DE LAS TASAS DE INTERÉS QUE RIGEN EN LOS MERADOS DE DEUDA PÚBLIA Es coocido que el ierés es la cuaificació del ivel de preferecia por la liquidez e ua ecoomía, y se raa de la compesació que recibe los oferees de fodos por reuciar al cosumo presee para pospoer el mismo a momeos fuuros. Asimismo, el ierés que e u momeo cocreo rija e la ecoomía será deermiado por el ecesario equilibrio ere ofera de fodos y la demada de liquidez, viiedo esa úlima deermiada por las oporuidades de iversió producivas de las empresas y los gasos e iversioes del esado. La demada de fodos es realizada por los presaarios e gra medida mediae la emisió de acivos fiacieros e los mercados fiacieros, quedado compleado el rasvase de liquidez de los oferees de fodos hacia los demadaes cuado los oferees adquiere los íulos e dichos mercados. El equilibrio de la ofera y demada deermiará el precio de los isrumeos fiacieros emiidos por las empresas y el esado y o direcamee la reabilidad de los mismos. Por supueso, podemos iferir a ravés de dichos precios la reabilidad de los isrumeos emiidos, que obviamee, será u reflejo del grado de preferecia por la liquidez que impera e la ecoomía. A coiuació aalizamos disios ipos de asas de ierés que habiualmee se maeja e los mercados de rea fija, eso es, el redimieo iero (TIR) de u íulo de rea fija, los ipos al coado y los ipos spo, explicado su forma de cálculo, su sigificado ecoómico, y su forma de aplicació e la valoració fiaciera. Para la deermiació de odas esas asas de ierés deberemos parir del coocimieo de aquélla que es direcamee observable: la reabilidad de los isrumeos fiacieros que emie los demadaes de fodos y cuya corapresació sea capiales cieros, es decir, deberemos hallar la reabilidad de los isrumeos de rea fija.... Redimieo iero de u íulo de rea fija Defiimos como redimieo iero de u íulo de rea fija, reabilidad iera o TIR al ierés que equilibra el precio y el valor de la corriee de cobros que geera dicho íulo. 54

3 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros Veamos como hallar la TIR de u íulo de rea fija, difereciado dos ipos de íulos: Boos cupó cero So íulos que se emie al descueo. La posesió de u acivo de ese ipo por pare del comprador o presamisa implica la obeció de u úico pago fuuro, el omial o pricipal del íulo que oaremos como, e u vecimieo prefijado, es decir, la obeció del capial fiaciero (, ). E el mercado español, si áimo de ser exhausivos, podemos ideificar como isrumeos u operacioes más habiuales co esrucura cupó cero: Si el presaario es el esado: a) Leras del Tesoro, cuyos vecimieos oscila, e el momeo de la emisió, ere res meses y u año y medio. b) Repos sobre isrumeos de deuda pública. c) Srips sobre boos y obligacioes del esado. So íulos que se obiee como segregació e íulos idepediees de la corriee de capiales que geera boos y obligacioes del esado. Los vecimieos egociables abarca e la acualidad hasa reia años. Esos acivos suele egociarse e el mercado de deuda pública aoada (MDPA). Si el emisor es u ee privado, los acivos más comues so: a) Pagarés de empresa. Al igual que para las leras, sus vecimieos oscila e el momeo de la emisió, ere res meses y u año y medio. b) Boos cupó cero. Su emisió es a más de u año y medio y so poco frecuees e el mercado español. c) Repos sobre isrumeos de rea fija privada, geeralmee, sobre pagarés de empresa. El mercado e que ormalmee se egocia esos isrumeos es el mercado de los iermediarios de acivos fiacieros (MAIAF) y, e meor grado, las bolsas de valores. ualquiera de esas operacioes fiacieras iee ua esrucura emporal que podemos represear como: P 0 55

4 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos dode P es el precio del acivo, el omial y el vecimieo. Así, la asa iera de redimieo (TIR), I, de u íulo co vecimieo e, vedrá deermiada por la ecuació: / P = (+I) - I = P Obsérvese que hemos supueso que la reabilidad se mide segú u ao efecivo aual de ierés compueso. E el mercado, para los íulos cupó cero co vecimieo a meos de u año, que so los más egociados, la TIR de los mismos suele expresarse como u ao r de ierés simple vecido. E ese caso, esa asa se obiee como: = d P B P + r r = B P d dode B es la base que uiliza el mercado por ejemplo, e el MDPA es de 360 días y e el MAIAF de 365-, y d, el úmero de días que fala para el vecimieo del acivo e el momeo de realizarse la rasacció. Si queremos expresar esa asa como u ao efecivo aual de ierés compueso, I, co ua base del año aural, dicho ao será obeido a ravés de la expresió: I = + d r B 365 d Boos americaos Esos acivos procura a su comprador u cojuo de cobros periódicos (cupoes) vecidos y el reembolso, e el momeo de su vecimieo, del omial o pricipal del íulo. Podemos oar la corriee de flujos que geera u boo americao como u cojuo de capiales fiacieros {(c, ), (c, ),, (c, );(, )}, dode c es el cupó, y el valor omial del íulo. Ese ipo de íulos se suele emiir a plazos superiores a dos años por empresas y el esado para obeer fiaciació a largo plazo. E el caso de emisioes privadas, es relaivamee comú que esos íulos icorpore algú derecho adicioal como ua opció de coveribilidad e accioes, warras sobre accioes de la empresa, la opció de amorizació aicipada por pare del emisor, ec. para hacer la adquisició de dichos íulos más araciva al presamisa y reducir así el cose de la fiaciació. E cualquier caso, ésas so cuesioes que o aalizaremos, ere oras razoes, porque uesro ierés va a esar cerado e la formació de precios e el mercado de deuda pública. Asimismo, lo más frecuee es que los cupoes, que correspode al pago de los iereses del emisor, esé prefijados de aemao. De esa forma, u cambio e el ierés que rija e el mercado afecará al precio de los íulos, o a los cupoes que ésos proporcioa. Si 56

5 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros embargo, bie es ciero que exise emisioes privadas dode los cupoes de los boos esá idexados, de forma que los cambios que se produzca e el ierés de mercado queda reflejados e el cupó que ofrezca los íulos, y o ao e su precio. E el coexo del mercado español, los boos americaos emiidos por el esado se deomia boos del esado si el vecimieo del íulo e el momeo de la emisió es 3 o 5 años, y obligacioes del esado, si el vecimieo e el momeo de la emisió es 0, 5 y 30 años. Esos íulos se egocia e el MDPA, y el cupó que ofrece e casi la oalidad de las emisioes es aual. Respeco a las emisioes privadas, suele ambié deomiarse boos si su maduració es hasa 5 años, y obligacioes para maduracioes superiores. Si embargo, la periodicidad del devego de cupoes e esos íulos o ecesariamee es aual, auque e cualquier caso, si que es iferior o igual al año. El mercado e que suele egociarse esos íulos es el MAIAF, y e meor grado, las bolsas de valores, al como ocurría co los íulos cupó cero. Así, la adquisició de u boo americao implica ua operació fiaciera co la siguiee esrucura emporal: P c c c c+ dode 2 - = 3 2 = = - =P, co P la periodicidad del devego de cupoes. Para los íulos de deuda pública, P= geeralmee, al como ha sido comeado. El redimieo iero del mismo (TIR) de u boo co vecimieo e, I, se hallará plaeado: c P = ( + I) + = ( + I) Evideemee, o exise solució aalíica para la TIR e esa ecuació, debiedo ser hallada a ravés de algú méodo umérico, como por ejemplo, Newo-Raphso. Si embargo, dicha TIR, por la esrucura de la operació fiaciera que raamos, siempre exise y es úica. 2 Maemáicamee, la TIR es la raíz de la fució poliómica f(x) = P + cx + cx cx + x, dode x=(+i) -. Dado que sólo exise u cambio de sigo e los coeficiees, exise ua úica raíz al que x>0, y por ao, exise ua úica asa I>-. 57

6 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos Ua cuesió a reseñar es que e ese caso, hemos omado como precio del íulo, el precio co el cupó corrido. Si embargo, e el mercado español el precio que se publica es el precio ex-cupó o si el cupó corrido. E ese caso, P se halla añadiedo al precio ex-cupó el cupó corrido, que o es más que la pare proporcioal del cupó correspodiee al iempo que ha rascurrido desde el cobro del úlimo hasa el momeo de la compravea del íulo. La relació exisee ere el precio ex cupó, el precio co el cupó corrido, P y dicho cupó corrido, puede represearse a ravés de la siguiee gráfica, dode hemos supueso cupoes auales: Isae de valoració y vea del íulo c c c c año año Podemos comprobar que segú el gráfico, e el momeo de valoració del íulo, exise ua pare del cupó que ya ha devegado o corrido, exacamee la proporció (- ), por lo que el cupó corrido es c(- ). Si se preediera veder el íulo, dicha pare del cupó debería ser exigida por el vededor, ya que so los iereses correspodiees a la eecia del íulo durae dicha proporció de iempo. Así, el precio de compravea del íulo puede desglosarse e dos pares. La primera es el cupó corrido, siedo el reso lo que se deomia como precio ex cupó, es decir, el precio de compravea que o icluye la pare del primer cupó a cobrar que ya ha devegado. De la siguiee secció e adelae, cuado hagamos referecia a los disios ipos de ierés que se uiliza e los mercados de rea fija, esaremos refiriédoos a los mercados de deuda pública. E primer lugar, porque so los que iee mayor egociació y liquidez y porque los ipos que e ellos se egocia so los que imediaamee se raslada al reso de mercados. E segudo lugar, porque los íulos del esado se egocia si igú ipo de prima de riesgo, siedo la reabilidad de ésos la que sirve de base para fijar el ierés del reso de emisioes. A esas úlimas, se les exigirá el ierés de la deuda publica más ua prima de riesgo 2, que depederá de la capacidad del emisor de hacer free a compromisos fuuros. La solvecia de los emisores suele publiciarse e el mercado a ravés de u raig que de dicho emisor ha realizado ua empresa de raig Sadard & Poors, Moody s, ec.-. 2 Obsérvese que ideificamos prima de riesgo co prima de isolvecia. Evideemee, el cocepo de prima de riesgo es mucho más amplio que el de prima de isolvecia. Por ejemplo, las emisioes de deuda pública de España y Alemaia, iee el mismo riesgo de isolvecia, que es ulo. El hecho de que la deuda alemaa rida meos ierés es debido a que a la deuda española se le exige ua prima por riesgo, e ese caso soberao, que viee dado por el valor de las variables macroecoómicas. 58

7 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros..2. Los ipos spo y la esrucura emporal de los ipos de ierés (ETTI) Es evidee que e ua ecoomía o exise, aú para el mismo emisor, u úico ipo de ierés co idepedecia del plazo al que dicho emisor se edeuda. Para cada plazo el mercado descuea ua uidad moearia co u ierés disio. Así, el cose de oporuidad del diero e ua ecoomía o es, e érmios relaivos, el mismo co idepedecia del plazo. A dicho ierés para u plazo dado se le deomia ierés al coado o ierés spo para, y lo oaremos como i. Por ora pare, al valor acual de ua uidad moearia co vecimieo a años, f = (+i ) -, la deomiaremos como facor de acualizació spo. Así, defiiremos como esrucura emporal de los ipos de ierés (ETTI) e u mercado cocreo eedemos por mercado a u cojuo de íulos co idéica calificació crediicia y omiados e ua misma moeda- y e ua fecha cocrea, a la relació fucioal ere los ipos al coado e vigor y el vecimieo de dichos ipos. Así, la ETTI vedrá dada por ua fució i = f(). La ETTI que se cosruye co los íulos cuyo emisor es el esado es la que sirve de referecia para fijar el ierés de las emisioes privadas, de forma que, debería siuarse por ecima de la ETTI si riesgo de isolvecia las ETTIs correspodiees a emisores co iveles de riesgo superiores. Asimismo, las formas más habiuales de ETTIs so: i i ETTI creciee ETTI decreciee i i ETTI plaa ETTI co joroba iverida A coiuació relacioamos las TIRs que se obiee e los dos ipos de íulos aalizados (cupó cero y boos americaos) y co u vecimieo dado, co los ipos spo que rige e el mercado dode se egocia y que iee asociados el mismo vecimieo. 59

8 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos Para u íulo cupó cero, dado que la relació ere el precio y TIR de u íulo es: P = (+I) - y que el precio de u íulo podría hallarse a ravés de los ipos spo como: P = (+i ) - podemos ideificar el redimieo (TIR) de u íulo cupó cero co vecimieo e años, co el ipo spo a dicho vecimieo, es decir: i I. E cambio, si el íulo que aalizamos es u boo americao, podemos observar que su precio se obiee como fució de la TIR de la forma: c P= ( + I) + = ( + I) E cambio, si expresamos su precio e fució de los ipos spo, ése se obedrá como: c P= ( + i + = + ) ( i ) La coclusió es clara: el redimieo iero de u íulo co vecimieo e años o coicidirá, e geeral, co el ipo al coado para dicho plazo i, úicamee coicidirá si la ETTI es plaa. Ello es debido a que esos íulos icorpora pagos iermedios (los cupoes), de forma que su precio coiee iformació, o a sólo sobre el ipo al coado al vecimieo del íulo,, sio sobre ipos spo para plazos iermedios los vecimieos de los cupoes -. Así, el redimieo de esos íulos (la TIR) será ua media de los ipos spo que ierviee e la formació del precio del íulo. Así, a medida que se icremee el cupó de u íulo, el peso que oma los ipos spo e la deermiació de su reabilidad iera aumea. De esa forma, la TIR boo americao se alejará más del ipo spo correspodiee al vecimieo del mismo si ofrece u mayor cupó. A ese feómeo, aalizado co deeimieo e Buse (970) y aks (977) se le deomia como sesgo de cupó. Evideemee, co ua ETTI de mercado creciee, a mayor cupó el diferecial ipo al coado-reabilidad de u íulo aumeará, siuádose e u ivel más bajo la reabilidad de u íulo. Por supueso, si la ETTI es decreciee, el sesgo de cupó ambié aumeará si aumeamos el cupó que ofrece u íulo. E ese caso, la TIR del íulo omará valores cada vez más elevados respeco al ipo spo co el mismo plazo. 60

9 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros..3. Tipos de ierés implícios a plazo o ipos forward A parir de la ETTI, podemos iferir los deomiados ipos de ierés forward o implícios, que puede ser ierpreados como los ipos spo que, segú la esrucura acual de los ipos de ierés, el mercado aicipa para el fuuro, al como comearemos e epígrafes poseriores. Se puede observar que el ipo al coado aplicable a ua uidad moearia co vecimieo e y el ipo spo asociado a u vecimieo 2, co 2 >, defie u ipo forward i 2, que puede ser ierpreado como el ipo spo que regirá para u plazo 2 - dero de años. Gráficamee los podemos represear como: i i i 2 Dado que el valor acual de ua uidad moearia co vecimieo dero de 2 años debe coicidir si la acualizamos direcamee co el ipo al coado para el vecimieo 2 como si la acualizamos 2 - años co el ipo implício correspodiee, y después años co i, plaeado 3 : + i + i 2 2 = + i 2 2 obeemos que el ipo implício a 2 - años dero de años es: i 2 = ( + i ) 2 ( + i ) 2 2 Por comodidad para los desarrollos que realizaremos e aparados poseriores, expresaremos los ipos forward e fució de los facores de acualizació spo. Así, podremos plaear y obeer: f f = f 2 2 f f 2 = f 2 siedo f 2 hallado. Así, el facor de acualizació que defie el ipo de ierés forward que esamos 6

10 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos i 2 f = f 2 2 Normalmee, al como afirma Babbell y Merrill (996, p.2), los ipos forward suele ser calculados e iervalos de igual periodicidad. Así, cuado aalizamos la ETTI e el largo plazo, se suele calcular úicamee los ipos forward a u año o ipos fuuros al coado para u año. Así, el ipo forward a u año para dero de - años, - i quedará defiido por el ipo spo a - años y el ipo spo a años de la forma: ( + i ) ( + i ) i = ó f i = f y el facor de acualizació que dicho ipo implício deermia, - f : f = f f Por supueso, podemos relacioar los ipos implícios o forward que defie la ETTI co los ipos spo y co las TIRs de los íulos. Sobre la base de las relacioes expuesas e el presee aparado, o es difícil descompoer el ipo al coado a años supogamos años eeros- e los ipos forward a u año que lo compoe. Así, dado que 4 : (+i ) - = ( + i ) r= r obeemos: + r - i = ( i ) r= Así pues, el ipo de ierés spo se halla como ua media geomérica de los ipos de ierés forward que el mercado aicipa para cada uo de los años 5. 3 Obsérvese que, desde el puo de visa de la maemáica de las operacioes fiacieras, lo que esamos uilizado para la deducció de los ipos forward es la propiedad de escidibilidad del facor fiaciero. 4 Nóese uevamee, que desde el puo de visa de las maemáicas fiacieras, el hecho de que realicemos la descomposició del ipo spo e u cojuo de ipos implícios a u año es cosecuecia de la escidibilidad del facor fiaciero. 5 Es fácil comprobar que si uilizáramos la capializació isaáea, el ipo al coado isaáeo es la media ariméica de los ipos forward isaáeos. Si embargo, auque la capializació isaáea es muy uilizada e esudios académicos, osoros o la coemplamos porque el régime fiaciero uilizado e el mercado para el largo plazo es, geeralmee, el ierés compueso de capializació aual. 62

11 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros Por ora pare, a parir del ierés forward podemos ambié expresar el precio de u isrumeo de rea fija co cupoes periódicos (supoemos que so auales y co vecimieos eeros) como: P = j j= r= c (+ + r i) (+ r i ) r= Si ierpreamos los ipos implícios como ipos aicipados por el mercado, podemos comprobar que los precios de la rea fija icorpora las expecaivas que iee los agees que ierviee e el mercado sobre la evolució fuura de los ipos de ierés, de forma que la TIR de u iulo que vece e es ua suere de media de los ipos fuuros hasa dicho vecimieo aicipados por e el mercado. Ello era previsible, ya que hemos comprobado que la TIR es ua media de los ipos al coado de los vecimieos e los que exise pago de cupoes o de pricipal, y esos úlimos ipos, ua media de los iereses forward a u año..2. TEORÍAS EXPLIATIVAS DE LA ESTRUTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS E ese epígrafe aalizaremos las eorías más relevaes acerca del proceso de formació de precios e iereses e los mercados fiacieros de rea fija, eso es, las eorías explicaivas de la ETTI. Ese breve aálisis es ecesario para jusificar e cual de ellas basaremos uesra propuesa de esimació de ipos fuuros a ravés de úmeros borrosos. Ésas so: a) La eoría de las expecaivas racioales b) La eoría de la preferecia por la liquidez c) La eoría de la segmeació de mercados d) La eoría del hábia preferido Aes de dar uos breves apues sobre esas eorías, debemos puualizar que odas ellas se fudamea e dos ideas fiacieras. La primera de ellas es la del arbiraje y el comporamieo racioal de los iversores. La asució de la misma os llevará a cosiderar que los ipos forward so los ipos que los iversores aicipa sobre los ipos al coado e momeos veideros del iempo. La seguda idea esá relacioada co el riesgo de ierés asociado a cualquier íulo de rea fija. Dero de ese riesgo, debemos disiguir dos veriees: a) El riesgo de precio o riesgo de que u íulo de rea fija pierda valor ae subidas de ipos de ierés. E ese caso hay que eer e cuea que so más sesibles a variacioes del ierés los íulos que presea mayor vecimieo. 63

12 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos b) Si embargo, debemos reseñar que el riesgo de u íulo de rea fija o viee dado por su vecimieo úicamee, sio por el vecimieo de los pasivos del iversor. Para careras de rea fija, como por ejemplo, fodos de pesioes, que lleve asociadas pasivos de larga maduració, es más arriesgada ua iversió e íulos a coro plazo que a largo plazo, porque dicha carera se expoe a que las sucesivas reovacioes de las iversioes deba ser realizadas a ipos de ierés cada vez más pequeños, co el cosiguiee riesgo de quiebra. E ese caso, el riesgo de ierés queda miimizado si el vecimieo de la carera de iversioes se iguala co el de los pasivos, de forma que, es meos arriesgada la iversió e íulos de larga maduració. Aalicemos a coiuació los pricipales posulados y coclusioes de cada ua de las eorías..2.. La eoría pura de las expecaivas racioales Formulada por Luz (940), la idea básica de esa eoría es que los ipos al coado a u deermiado plazo coiee iformació sobre las expecaivas de los iversores sobre los ipos al coado que regirá e el fuuro. Esa eoría es desarrollada sobre la base de uas hipóesis excesivamee resricivas, básicamee sobre la idea de que la acividad ecoómica se desarrolla e u ambiee de absolua cereza, y que los íulos de rea fija co diferees vecimieos so perfecamee susiuivos, de forma que, por ejemplo, iverir e u boo cupó cero co vecimieo a dos años es equivalee a iverir e u boo si cupó co vecimieo a u año y volver a reovar dicha iversió. Bajo esas hipóesis, y aplicado u argumeo de iexisecia de oporuidades de arbiraje, se llega a la coclusió de que los ipos spo so la media geomérica si uilizamos el régime fiaciero de ierés compueso- de los ipos que regirá e el fuuro, de forma, que los ipos forward so u esimador perfeco de los ipos al coado fuuro. Ua demosració aalíica de esa afirmació puede ecorarse e Meeu e al. (992). De esa forma, el redimieo de ua iversió para ua maduració dada es igual co idiferecia de cómo se halla realizado, eso es, adquiriedo íulos cuyo vecimieo sea dicha maduració o iviriedo e íulos de u meor vecimieo y reovado la iversió periódicamee. Asimismo, co esa eoría, ua ETTI creciee sería debida a ua expecaiva e el mercado alcisa de los ipos de ierés a coro plazo, ua ETTI decreciee idicaría ua expecaiva bajisa 64

13 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros sobre los mismos. Ua ETTI horizoal, por supueso, idicaría que o exise expecaivas para el fuuro de variació de los ipos de ierés. Somos cosciees de que es evidee que los ipos de ierés que regirá para periodos veideros e ua ecoomía so por auraleza descoocidos, o viee predeermiados. Dado que radicioalmee se ha veido cosiderado que las magiudes icieras se compora como variables aleaorias, segú la eoría de las expecaivas racioales podríamos ierprear al ierés forward como u esimador isesgado de la esperaza maemáica de los ipos al coado fuuros. De esa forma, se asume implíciamee la idiferecia al riesgo de los agees ecoómicos que ierviee e el mercado. omo críicas o como ampliacioes de esa eoría, ha surgido el reso de eorías que se aaliza a coiuació, las cuales icorpora la aversió al riesgo de los agees ecoómicos para explicar las diferees formas que puede omar la ETTI La eoría de la preferecia por la liquidez Esa eoría, si bie acepa que los ipos de ierés al coado a largo plazo coiee iformació sobre los ipos fuuros a coro plazo, o acepa que los íulos de rea fija sea perfecamee susiuivos ere sí co idepedecia de su vecimieo. Ello es debido a que ae u aumeo dado e el ierés imperae e ua ecoomía, los precios de los íulos co mayor vecimieo, al ser más sesibles ae cambios del ipo de ierés, sufrirá mayores dismiucioes e su precio. Si acepamos que los iversores so, e geeral, adversos al riesgo, preferirá iverir e íulos a coro plazo y realizar sucesivas reovacioes si fuera preciso aes que iverir e íulos a largo plazo. De esa forma, para iverir e íulos a largo plazo, los iversores exigirá mayor ierés al que realmee espera obeer reovado iversioes de coro vecimieo para compesar el riesgo (de precio) más elevado que icorpora los íulos co mayor vecimieo. Por ora pare, los presaarios acepará pagar u ierés superior por edeudarse a largo plazo, co el fi de asegurarse u cose deermiado para su deuda y eviar el riesgo de refiaciació, eso es, el riesgo de reovar présamos coros a ipos cada vez más elevados. Ello explicaría porque e codicioes ormales la reabilidad de la deuda emiida a largo plazo es más elevada, y por ao, porque, co mayor frecuecia, se da e el mercado ua ETTI creciee. Por ejemplo, e el mercado español, e las sucesivas subasas de deuda pública realizadas durae 998, las leras del esoro a lo largo del año ridiero meos que los boos y las obligacioes (la ETTI era creciee), cuado, las expecaivas sobre los ipos fuuros era claramee bajisas, por la ecesaria covergecia de los ipos de ierés de los países que iba a erar e la Uió Moearia Europea. Si embargo, dichas expecaivas se pusiero de maifieso e la progresiva dismiució de las reabilidades de odos los isrumeos de deuda pública, de forma que lo 65

14 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos que realmee se observó fue u desplazamieo hacia abajo de ua ETTI creciee, más que ua ETTI decreciee. Por ao, los ipos forward icorporará iformació sobre los ipos fuuros al coado, pero ua iformació sesgada, ya que coiee ua prima por el mayor riesgo de ierés que sopora los íulos de mayor vecimieo. Es decir, los ipos forward será los ipos al coado fuuros aicipados por los agees ecoómicos más ua prima debida al riesgo de precio asociado al vecimieo que esemos coemplado. Por supueso, esa prima deberá ir creciedo a medida que aumee el vecimieo. Por ejemplo, ua ETTI plaa idicaría la exisecia de ua perspeciva bajisa sobre el comporamieo fuuro de los ipos de ierés, de forma que gráficamee observaríamos: Ierés ETTI Primas de liquidez Iereses esimados aicipados e por el el mercado mercado Vecimieo De esa forma, el ipo de ierés al coado que rige para u deermiado momeo del iempo esaría formada como la resulae de la media geomérica de los ipos que el mercado aicipa e el fuuro más ua prima por la iceridumbre sobre los mismos. Evideemee, dicha prima debe aumear co el iempo, ya que exise mayor iceridumbre sobre los ipos fuuros y porque los íulos co mayor vecimieo presea mayor riesgo de precio La eoría de la segmeació de mercados Esa eoría fue formulada por ulberso (957) supoe que los presamisas y presaarios so exremadamee adversos al riesgo, y que, por ao, para o icurrir e el riesgo de precio y reiversió los primeros y e el de refiaciació los segudos, ajusa perfecamee su iversió o demada de fodos a su horizoe plaificador o hábia. Asimismo, ambié cosidera que o solamee la aversió al riesgo de ierés limia la movilidad de los iversores ere segmeos; oras resriccioes, de ipo legal (como los coeficiees de iversió obligaorios de las eidades fiacieras e acivos líquidos), el alo cose de la iformació que hace a los 66

15 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros agees especializarse e u solo segmeo o la rígida esrucura de vecimieos de la carera pasiva de plaes de pesioes o aseguradoras so ambié facores que reafirma la exisecia de hábias idepediees dero del mercado de rea fija. De esa forma, o exise u úico mercado de rea fija, sio diferees mercados e fució del vecimieo de los íulos que se egocie. Así, cada uo de los mercados deermia los ipos de ierés que equilibra ofera y demada de fodos co idepedecia del reso de segmeos y de las expecaivas sobre los ipos de ierés fuuros de los iversores. De esa forma, el aálisis que de la ETTI se haga o es relevae, ya que o refleja e igú caso expecaivas de los iversores. Sobre la base de esa eoría, deberemos cocluir que los ipos forward o so idicaivos de igú ipo de expecaivas, sio u mero arificio ariméico si igú seido ecoómico. Si supoemos, por comodidad, que sólo exise dos segmeos, el mercado de deuda a coro plazo y el mercado de deuda a largo plazo, podremos observar que la ETTI quedaría deermiada de la forma que se muesra e el gráfico: Ierés i lp i cp Vecimieo Ierés i cp Ierés O D i lp O D Mercado del coro plazo Mercado del largo plazo Fodos presados 67

16 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos.2.4. La eoría del hábia preferido Formulada por Modigliai y Such (966) y (967), esa eoría combia los posulados e hipóesis del reso de eorías, de forma que, e su formulació iee e cuea expecaivas por ua pare, y por ora, el riesgo de ierés de los íulos de rea fija e odas sus faceas. Esos auores acepa la hipóesis de que exise diferees hábias e los mercados de rea fija, y que los presamisas y presaarios so adversos al riesgo, de forma que, al como posula ulberso, su horizoe plaificador será el deermiae básico e sus decisioes de iversió o fiaciació. Así, e pricipio se acepa que exise ua esrucura de ipos diferee para cada uo de los hábias, que vedrá dada por el ecesario equilibrio ere ofera y demada de fodos para dichos segmeos. Si embargo, ua ofera de fodos isuficiee e u deermiado hábia puede provocar que los emisores de acivos deba primar la reabilidad que ofrece. De esa forma, los íulos de ese submercado deberá ofrecer redimieos superiores a las expecaivas que sobre dicho plazo exise. E ese caso, los oferees de fodos que acúa e oros segmeos puede ecorar compesacioes suficiees por el riesgo que les supoe veder íulos de su hábia y adquirir íulos de oros hábias dode el ierés ofrecido es más elevado que el de sus expecaivas. Asimismo, si la ofera de fodos supera a la demada de los mismos e u deermiado hábia, el efeco será el corario: los emisores podrá emiir íulos co ua reabilidad iferior al de las expecaivas sobre dicho segmeo, exisiedo e ese caso ua prima egaiva sobre las expecaivas. De esa forma, alguos auores como Ezquiaga (992) cosidera que la eoría de la preferecia por la liquidez o sería más que u caso paricular de la misma, dode úicamee exise primas posiivas e los ipos al coado acuales, respeco a los ipos fuuros aicipados. Segú la eoría del hábia, para la ierpreació de la ETTI, además de las expecaivas, y de la aversió al riesgo de los iversores, coempládose el mismo ao e su veriee de precio como e la veriee del riesgo de reiversió, ambié deberemos cosiderar como se esrucura la ofera y la demada de fodos a lo largo de odos los vecimieos que defie a la curva de ipos cero. De esa forma, puede exisir primas posiivas o egaivas respeco los ipos al coado fuuros que se aicipa el mercado, las cuales vedrá dadas por la ieracció de odos los facores mecioados. omo coclusió al aparado.2, debemos señalar que, e uesra opiió, la eoría que mejor refleja el comporamieo real de la formació de precios e iereses e los mercados de rea fija es la eoría del hábia preferido, ya que iee e cuea e su formulació más aspecos sobre la 68

17 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros oma de decisioes e los mercados de rea fija que el reso de eorías. Los iversores y presaarios oma decisioes sobre la base de expecaivas, cieramee, pero ambié se efrea al problema del riesgo e iceridumbre sobre el comporamieo del ierés fuuro y la repercusió que sobre el valor de sus íulos iee variacioes aicipadas del ierés; y geeralmee los agees ecoómicos so adversos al riesgo. Si embargo, dado que la eoría de las expecaivas racioales ofrece u marco operacioal secillo e el proceso de iferecia de los ipos de ierés, a la vez que ése es suficieemee razoable, es frecuee cosiderar para poseriores aplicacioes de la ETTI que los ipos forward que e u momeo dado se deduce de ua ETTI refleja las variacioes fuuras de los ipos de ierés que el mercado aicipa e u momeo cocreo, segú la iformació dispoible e dicho isae. A medida que al mercado llegue ueva iformació lo cual uca se puede prever-, los agees e base a la misma, aicipará u uevo comporamieo de los ipos de ierés fuuros, cambiado así la forma de la ETTI. Sobre la base de esa premisa realizaremos uesra propuesa de esimació del ierés fuuro a ravés de úmeros borrosos..3. APLIAIONES DE LA ESTIMAIÓN DE LA ESTRUTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS Es idudable la uilidad que presa a la ecoomía fiaciera la esimació e ierpreació de la ETTI. E cocreo, la posibilidad de ierprear los ipos al coado que de ella se deduce e érmios de expecaivas sobre los iereses fuuros lo cual implica la asució implícia de la eoría de las expecaivas racioales-, ha permiido aalizar y dar luz sobre diferees cuesioes y problemas. Si áimo de ser exhausivos, y recogiedo alguas posibles aplicacioes de la ETTI formuladas por diversos auores como arleo y ooper (976), Mauleó (990), Meeu e al. (992) y Lamohe e al. (995), podemos mecioar: a) La gesió de careras de rea fija cuado e dicha gesió se aplica écicas basadas e la duració y la covexidad. b) Isrumeo para la corasació de modelos sobre el comporamieo de la ETTI. c) Para deecar posibles ieficiecias e el mercado y oporuidades de arbiraje. d) Para cuaificar las primas de isolvecia e las reabilidades de isrumeos de rea fija privada o primas de liquidez e los redimieos de deermiados isrumeos de rea fija pública por ejemplo, e los Srips-. e) omo meodología para cuaificar el efeco de la fiscalidad e deermiados acivos fiacieros. 69

18 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos f) Por las auoridades moearias, como isrumeo de aálisis del efeco sobre el ierés a largo plazo de su ierveció e el ipo a coro plazo. g) omo herramiea para la correca valoració de acivos derivados como los Swaps, fuuros, opcioes, ec. h) Herramiea para la valoració fiaciera de acivos reales o fiacieros. Por ora pare, uesro ierés se basa e la uilizació de la ETTI como herramiea para la predicció de los ipos de ierés fuuros, asumiédose de esa forma la veracidad de la Teoría de las Expecaivas Racioales. Así, la ETTI será u isrumeo que os permiirá obeer iformació sobre el coseso de los agees del mercado e relació a la evolució fuura de los ipos de ierés. Esa ierpreació y uilizació es la base de la mayor pare de las aplicacioes de la ETTI ya comeadas. Para uesros propósios, esa uilizació de la ETTI os servirá, al como se ha propueso e el puo h), para valorar acivos reales o fiacieros, e cocreo, como propodremos e el úlimo capíulo de la esis, para fijar las primas e los seguros de vida. De esa forma, el valor acual, V A, de u acivo real o fiaciero: u boo, ua acció o por exesió icluso ua empresa, ec., si podemos reducirlo a u cojuo de capiales fiacieros {(, ); ( 2, 2); ; (, )} se halla como: V A = j j= r= j (+ r ) r Debemos hacer varias apreciacioes sobre la fórmula aerior, relaivas al valor de los flujos y de los ipos de ierés que se uiliza e el cálculo del valor acual del acivo: a) Si los flujos so absoluamee cieros, circusacia que úicamee se dará e la deuda pública, las cuaías de los capiales fiacieros so los cupoes si es u boo americao- y el pricipal del isrumeo aalizado. El ipo de acualizació correspodiee a cada periodo es el ipo de ierés aicipado o ipo forward del mercado de deuda pública, que evideemee, o coiee igua prima de riesgo. De esa forma r- r r-i b) Pero e la mayor pare de supuesos se preede valorar acivos fiacieros emiidos por agees privados. Si se raa de isrumeos de rea fija, el pricipal y los cupoes o so cobros cieros, ya que exise el riesgo de isolvecia del emisor. Por supueso, si se realiza la valoració de oro ipo de acivos como las accioes, los flujos so los dividedos, icieros por auraleza. La misma apreciació cabe hacer si realizamos la valoració de ua empresa mediae la fórmula aerior. Dado que radicioalmee la iceridumbre sobre las 70

19 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros magiudes fiacieras se ha plasmado modelizado ésas como variables aleaorias, los flujos correspodiees a u momeo j-ésimo sería ua cuaía esocásica que oamos como j. A parir de dichas esimacioes a ravés de variables aleaorias, se ha realizado la correspodiee valoració fiaciera de dos formas: b.) Tomar para j el deomiado equivalee ciero, que se halla a ravés de la esperaza maemáica de los flujos, E[ j ] j corregida co uos coeficiees que refleja la aversió al riesgo del decisor, α j. De esa forma j = α j E[ j ], dode α j+ α j j. Dado que la iroducció del riesgo se ha realizado e las cuaías de los capiales fiacieros, o hace fala realizar igua correcció e el ierés calculaorio, de forma que podemos cosiderar a r- r como el ierés a u año libre de riesgo aicipado por el mercado para dero de r- años, r- i. b.2) No corregir la esperaza maemáica de los capiales que acualizamos, de forma que j = E[ j ] j. Para iroducir la aversió al riesgo del decisor deberemos corregir los iereses que so aicipados para el fuuro e el mercado de deuda pública co ua prima de riesgo. De esa forma hallaremos los ipos r- r añadiedo a los ipos libres de riesgo r- i, la prima de riesgo correspodiee al riesgo del acivo, empresa, ec. que esemos valorado..4. MODELOS ESTIMATIVOS DE LA ESTRUTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS La esimació de la ETTI e ua fecha cocrea y para u mercado deermiado será basae secilla si exise u úmero de íulos cupó cero egociados elevado, ao e sus vecimieos como e su volume, y si su precio es observable si perurbacioes. Ellos es debido a que, como ya hemos comeado, la reabilidad de esos isrumeos coicide co el ipo al coado para el vecimieo de los mismos. Basará co iferir ua relació fucioal ere su reabilidad y su vecimieo a parir de las observacioes de las que dispoemos -que bajo las hipóesis expuesas deberá ser muy elevadas-. Ello se cumple e deermiados mercados, como el mercado de depósios ierbacarios, pero o e oros, como el de deuda pública, que es el que os ocupa lo que hará que la obeció de la misma o sea a secilla. E primer lugar, e la mayoría de países o se emie íulos cupó cero esaales co vecimieos superiores a dos años. Pero aú e el caso de exisir dichos íulos e el mercado español, como ya hemos comeado, se egocia los STRIPS, exisiedo acualmee ua dispoibilidad de vecimieos egociables de hasa 30 años- el úmero de vecimieos 7

20 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos egociados e ua sesió y su liquidez es absoluamee isuficiee, de forma que a parir de los precios (o reabilidades) de dichos íulos es prácicamee imposible cosruir ua relació ipos al coado-iempo. Así, sólo es posible iferir direcamee la curva de ipos cupó cero para plazos poco elevados o más de dos años-. De esa forma, para cosruir ua ETTI que abarque plazos elevados será ecesario parir de los precios y reabilidades de los isrumeos co cupoes (boos y obligacioes), si duda los isrumeos de rea fija a largo plazo más líquidos y egociados. E ese coexo, difereciamos res ipos de modelizacioes disias e la esimació de la ETTI, que aalizaremos brevemee..4.. Modelos empíricos So los más secillos de implemear y, e cualquier caso, o recoge igú ipo de iceridumbre sobre la ETTI. A ravés de esos méodos úicamee podemos obeer la ETTI como ua relació discrea del ipo spo-vecimieo, debiédose realizar ua ierpolació lieal si se desea obeer valores de los ipos al coado para vecimieos que esé ere los vérices para los cuales se obiee la ETTI. Dero de esos méodos podemos reseñar: a) El méodo del boo a par. Se raa de u méodo de difícil implemeació e su forma pura, ya que se ecesia dispoer de observacioes de boos cuyos precios se egocie a la par y que presee vecimieos eeros, lo cual e el mercado español es prácicamee imposible. Si embargo, es muy uilizado como complemeo a oros que reseñaremos a coiuació. Ua exposició de ese méodo puede ecorarse e Ezquiaga (992). b) El méodo de los SWAPS. E ese caso la ETTI se ifiere a ravés de los ipos de ierés egociados para las ramas fijas de los IRS. De ere los problemas que supoe aplicar esa meodología, podemos mecioar la poca liquidez del mercado de SWAPS para deermiados plazos, el hecho de que e el ierés egociado suele icorporarse primas de riesgo, liquidez y coraparida, ec. U aálisis de esa meodología puede ecorarse e Ezquiaga e al. (994). c) Mediae la ierpolació lieal de las TIRs de los boos y obligacioes. Dado que rara vez se egocia e u mercado boos co vecimieos eeros ese méodo propoe esimar la TIR para los íulos cuyos vecimieos so los que queremos esimar los ipos al coado, ierpolado la TIR de dos boos que ega vecimieos cercaos. Poseriormee se asimila dicha TIR a la de u boo par y se aplica la meodología a). Ese méodo ambié geera umerosos problemas, ya que se supoe que la TIR de u boo es fució úicamee de su plazo y o ambié del valor de su cupó, lo cual o es ciero, al como se 72

21 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros comeó e el aparado..2., de forma que exisirá u ciero sesgo de cupó e las esimacioes que así se realice Modelos de equilibrio diámico Se raa de modelos derivados de la eoría de la valoració de opcioes. Ésos se fudamea, por ua pare, e la modelizació esocásica de la diámica de los iereses fuuros, de forma que el comporamieo de ésa se supoe que puede ser descria a ravés de u cojuo de variables esado, y por ora se supoe la iexisecia de arbiraje. Los rabajos ya clásicos como el de Vasicek (977) y ox, Igersoll y Ross (985) pare úicamee de la modelizació esocásica del ierés isaáeo a coro plazo u ipo spo a largo plazo o es más que ua sucesió de ipos al coado fuuros a coro plazo-, el cual, de forma geérica, se supoe que sigue la siguiee ecuació diferecial esocásica 6,7 : dr = µ(r,)d + γ(r,)dz dode: r: Valor que oma e el ipo de ierés isaáeo a coro plazo µ(r,): Idica la edecia de la evolució del ierés isaáeo a coro plazo, y depede del ivel ipo de ierés, r, y del isae,. γ(r,): Idica la desviació esádar de la evolució del ierés a coro plazo y ambié es fució de r y. dz: Proceso esádar de Wieer, de media 0 y variaza d. Aplicado el lema de Iô se puede obeer de la ecuació diferecial aerior, la ecuació diferecial esocásica que describe la diámica del precio de u íulo cupó cero, que paga ua uidad moearia a su vecimieo a su vecimieo, T, e u momeo cualquiera,, siedo el precio e u isae,p(r,,t): dp P ( r,, T) ( r,,t) = ρ ( r,, T) d + σ( r,, T)dZ Dode: ρ 2 2 ( r,,t) P( r,, T) = µ ( r, ) P ( r,, T) + γ( r, ) P ( r,, T) + P ( r,, T) rr r 6 Para ua exposició de esos modelos, e uesra opiió muy clara, y la vez mucho más deallada, puede ecorarse e Babbell y Merrill (996, p ). 7 U survey e el que se recoge los modelos uifacoriales más exedidos es Sapleo (999), dode asimismo se dealla e cada caso la ecuació diferecial esocásica que modeliza al ierés a coro plazo. 73

22 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos σ ( r,,t) P( r,, T) = µ ( r, ) P ( r,, T) deoádose co u subídice la derivada parcial. E la ecuació diferecial esocásica que defie el precio de u íulo, y uilizado u argumeo de o exisecia de arbiraje, es decir, supoiédose que el hipoéico comprador de del boo cupó cero al descubiero -por ao, co ua iversió iicial real cero- debe obeer u redimieo ulo, la ecuació diferecial aerior se coverirá e ua ecuació diferecial ciera, para la cual, aplicado la codició de cooro P(r,T,T)= se obiee la solució. De esa forma, el valor e el momeo acual de valoració, =0, del íulo, P(r,0,T) omará u valor ciero. Ua vez hallado, P(r,0,T), la deermiació de la asa iera de dicho íulo, y por ao, el ipo spo para u vecimieo T es imediaa. Obeiedo esos redimieos para diferees valores de T, hallaremos la ETTI que rige e el momeo acual. Por supueso, los modelos uifacoriales so muy resricivos ya que la ETTI úicamee depede del ipo de ierés que rija a coro plazo, r, permiiédose por ao, úicamee desplazamieos paralelos de la misma, lo cual implica que los movimieos de los íulos esá perfecamee correlacioados. Por ello, diversos auores icluye u esado más so modelos, pues, bifacoriales-, como por ejemplo, la diferecia ere el ierés al coado a coro plazo y el ipo de ierés al coado a largo plazo, el ierés a largo plazo, la volailidad del ierés a coro plazo, ec. U ejemplo so los modelos de Shaefer y Schwarz (984) o Heah, Jarrow y Moro (992). Si bie, más realisas, esos modelos o admie ua fórmula cerrada para el precio de los íulos que se preede valorar, es decir, la ecuació diferecial a resolver para hallar el valor de u íulo o iee solució aalíica, por lo que deberá ser resuela por méodos uméricos. Respeco a los modelos esocásicos sobre el comporamieo del ierés, y a pesar de su elegacia aalíica, al como idica Gerber (995), sólo fucioa razoablemee bie e el coro plazo, pero la explicació sobre el comporamieo del ierés a largo plazo, que es el que os ieresa a osoros, es muy deficiee. Asimismo, muchos de ellos presea limiacioes o ya a sólo e el reflejo de la evolució de la ETTI, sio e la valoració de los acivos que, como los boos y las obligacioes, vece a medio y largo plazo, ua vez ha sido ajusados los parámeros que defie las ecuacioes difereciales esocásicas de los facores que deermia la ETTI -ver por ejemplo Ferádez Navas (997a) y (997b)-. Así pues, y al como afirma Ferádez Navas (997a) refiriédose al modelo de ox, Igersoll y Ross (985), el ierés de esos modelos puede circuscribirse a la fijació de u marco aalíico que permia valorar derivados sobre ipos de ierés a coro plazo, ya que para realizar valoracioes sobre acivos 74

23 Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros fiacieros o derivados, basa y so más precisos modelos de la ETTI que dicho auor deomia como esáicos, que so los mecioados e el aparado.4.. y los que describiremos e el puo Modelos ecooméricos Se raa de la líea que posiblemee mejores resulados prácicos ha dado, al meos e u coexo de valoració de acivos fiacieros o derivados, e ispirádoos e esa, osoros realizaremos uesras propuesas uilizado la eoría de los subcojuos borrosos. Esas meodologías, se basa e méodos covecioales de regresió, y al igual que e los modelos de equilibro diámico, icorpora la iceridumbre e la formació de expecaivas sobre los iereses ya que e los modelos a esimar se icorpora u érmio de error. La iroducció de ese érmio de error queda jusificada por la exisecia de facores que eurbia la formació de los precios de los íulos de rea fija y la formació de las expecaivas. Ere esos facores, segú hambers e al. (984) podemos desacar: - Los precios de los boos americaos coiee iformació sobre facores de descueo referidos a más de u vecimieo, amé de su diferee ribuació respeco a los íulos cupó cero. - El hecho de que las careras de boos o se revisa coiuamee, lo cual jusificaría que, para deermiados plazos, pueda exisir poca liquidez y los ipos de ierés icorpore eoces algú ipo de prima por liquidez. - La exisecia de u diferecial ere el precio de compra y el precio de vea sobre los precios egociados debido a la exisecia de iermediarios, y por ao, la exisecia de coses de rasacció. Dero de ese grupo de meodologías debemos difereciar dos líeas diferees: a) Méodos que esima ua curva eórica a la par Esos méodos cosise e realizar ua regresió lieal TIR-vecimieo de los íulos. Así, queda esimada la TIR como ua fució coiua del iempo ua vez haya sido ajusados los parámeros de la regresió. Respeco a las formas fucioales que diversos auores propoe ajusar, o debemos buscar e ellas u sólido fudameo eórico. E la mayor pare de casos úicamee se propoe combiar liealmee u cojuo de fucioes del vecimieo de los íulos que cape odos los perfiles que puede omar la curva de reabilidades, la cual o es más que ua aproximació de la ETTI. Algua de las formas de ésa úlima ha sido represeadas e el aparado..2. De esa forma, la sigificació de ua deermiada variable idepediee, que 75

24 . Esimació de los iereses fuuros mediae úmeros borrosos se mide co la de sude, pasa a eer ua imporacia relaiva, debiédose juzgar la bodad del ajuse básicamee por la capacidad global de la forma fucioal propuesa para represear fidedigamee la relació redimieo-vecimieo de los íulos egociados e el mercado e ua sesió cocrea, siedo el idicador para al fi por excelecia, el coeficiee de deermiació (R 2 ). Para calcular los ipos al coado, se aplica poseriormee el méodo del boo par. E ese caso puede observarse la aalogía de ese méodo co la ierpolació lieal de las TIRs, y por ao, podemos achacarle los mismos problemas que a los de ierpolació lieal. E cocreo, si bie se diferecia íulos co cupó y íulos cupó cero, se supoe que la TIR de u íulo es úicamee fució del vecimieo, igorádose de esa forma que la TIR de u íulo depede, o a sólo de si el íulo ofrece cupó, sio, si exise, del valor de ése. Por ora pare, los ipos spo o queda deermiados como ua fució coiua del iempo, auque la TIR sí lo sea. b) Méodos que esima direcamee la fució de descueo Esos méodos busca esimar, o direcamee los ipos spo, sio la fució de descueo que ésos defie, ya que la relació ere precio y fució de descueo es lieal, y o así la relació precio-ierés. Dero de ese grupo de meodologías podemos difereciar, e primer lugar, aquéllas basadas e la cuaificació del facor de descueo como fucioes a rozos del iempo o splies. U resume de los modelos más uilizados puede ser ecorado e Aderso e al. (996). Oro grupo de méodos es el basado e el ajuse parsimoioso de la fució de descueo, y se basa e la formulació de los facores de descueo mediae formas moofucioales o lieales, que provoca que la ETTI deba ser esimada a ravés de modelos de regresió máximo-verosímiles. omo modelos más represeaivos de esa líea mecioamos el de Nelso y Siegel (987) y Svesso (994). E cualquier caso, co odos esos méodos si que queda ajusada ua relació fucioal ipo al coado-iempo coiua. E cualquier caso, debemos reseñar que los ipos de ierés que obeemos co las esimacioes ecooméricas (TIRs, ipos al coado, ec.) o so úmeros cieros, sio variables aleaorias, ya que e la regresió que se realice se icorpora u érmio de error. Si embargo, la iceridumbre que se iroduce e esos méodos sobre el ierés esimado o suele quedar reflejada fialmee, ya que se rabaja co el valor esperado de las esimacioes que se deduce de la regresió. Ello es debido a la dificulad y, e ocasioes, a la imposibilidad de obeer expresioes aalíicas de las magiudes que se esime pariedo de la regresió efecuada por la cosabida dificulad de operar co variables aleaorias. 76